Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 1

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 1

1. Chương 1 Đại số - Lượng giỏc - Giải tớch ã x α x β 1.1 Tam thức bậc 2 • 1 2  a f (α) 0 f (x) ax bx c 0, (a 0)  > = + + = 6=  a f (β) 0 • α x1 x2 β S > cú hai nghiệm x ,x  S • Định lớ Viete:  β 0  2 − −| | ≤ ≤ | |∀ ∈ ẵ ∆ 0 • x a a x a • f (x) 0, x R ≤ | | ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ a 0 • x a x a W x a ⇔ • x1 α x2 a f (α) 0 • a b a b a b  a f (α) 0 • α x1 x2 > 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy • + pab dấu bằng xảy ra khi a b  2 ≥ =  ∆ 0  > a b c 3 a f (α) 0 • + + pabc a b c • x1 x2 α > dấu bằng xảy ra khi x x α ⇔ a f (α) 0 p 1 • ab cd (a2 c2)(b2 d 2) + ≤ + + ẵ Dấu “ ” xảy ra khi ad bc a f (α) 0 = = • x1 α β x2 Dấu “ ” xảy ra khi < 1 < < 2 ⇔ a f (β) 0 = b1 = b2 = b3 < 1
2.  ẵ B 0 1.3 Cấp số cộng ⇔  ẵ B 0  ≥ • Số hạng thứ n : un u1 (n 1)d A B 2 = + − > • Tổng của n số hạng đầu tiờn: n n Sn (u1 un) [2u1 (n )d] = 2 + = 2 + − 1.7 Nhị thức Newton 1.4 Cấp số nhõn 1.7.1 Cụng thức khai triển n n P k n k k • n u u .qn 1 •( a b) Cn a − b Số hạng thứ : n 1 − + = k 0 = = n 1 q n 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n • Tổng của n số hạng đầu tiờn: Sn u1 − •( a b) C a C a − b C − ab − C b = 1 q + = n + n +ããã+ n + n − 1.5 Phương trỡnh, bất phương 1.7.2 Cỏc dạng đặc biệt của nhị thức Newton trỡnh chứa giỏ trị tuyệt đối • (1 x)n C 0 C 1 x C 2 x2 C n xn + = n + n + n + ããã + n • A B A B | | = | | ⇔ = ± n 0 1 2 2 n n n • (1 x) Cn Cn x Cn x ( 1) Cn x ẵ B 0 − = − + − ããã + − • A B ≥ A B n 0 n 1 n 1 2 n 2 n | | = ⇔ •( x 1) C x C x − C x − C = ± + = n + n + n + ããã + n ẵ A B n n 0 1 2 n • A B − • A B A2 B 2 | | | | > ⇔ A B α β α β pn m n.m  A B 2 • pak pak a n.m < = = 2
3. 1.9 Logarit 1.12 Phương trỡnh, bất phương • log N M N aM trỡnh mũ a = ⇔ =  ẵ • log aM M 0 a 1 a = Ê Ô a 1 2 a 1 a 2 > ⇔ (a 1) f (x) g(x) 0 = + − − > à ả N1 • loga loga N1 loga N2 N2 = − 1.13 Cụng thức lượng giỏc cơ bản α • loga N αloga N = • sin2x cos2x 1 1 + = • log α N log N sinx a = α a • tanx = cosx log N • log N b cosx a = log a • cotx b = sinx 1 • tanx.cotx 1 • log b = a = log a b 1 •1 tan 2x + = cos2x 1.10 Phương trỡnh, bất phương 2 1 •1 cot x 2 trỡnh logarit + = sin x  0 a 1  >  f(x)=g(x) 1.14.1 Cung đối  0 a 1  a > a ⇔ g(x) 0  > • sin( x) sinx  (a 1)Êf (x) g(x)Ô 0 − = − − − > • tan( x) tanx − = − • cot( x) cotx 1.11 Phương trỡnh, bất phương − = − trỡnh mũ 1.14.2 Cung bự  ẵ 0 a 1 Ê Ô > ⇔ (a 1) f (x) g(x) 0 • cot(π x) tanx − − > − = − 3
4. 2tanx 1.14.3 Cung phụ • tan2x = 1 tg 2x π − • sin( x) cosx 2 − = 1 cos2x • cos2x + π = 2 • cos( x) sinx 2 − = 2 1 cos2x π • sin x − • tan( x) cotx = 2 2 − = π • cot( x) tanx 2 − = 1.17 Cụng thức nhõn ba • sin3x 3sinx 4sin3x 1.14.4 Hơn kộm nhau π = − 3 • sin(π x) sinx • cos3x 4cos x 3cosx + = − = − 3tanx tan3 x • cos(π x) cosx • tan3x − + = − = 1 3tan2 x − • tan(π x) tanx + = 3cosx cos3x • cos3x + • cot(π x) cotx = 4 + = 3sinx sin3x π • sin3x − 1.14.5 Hơn kộm nhau = 4 2 ³π ´ • sin x cosx 2 + = 1.18 Cụng thức ³π ´ • cos x sinx x 2 + = − Đặt t tan thỡ = 2 ³π ´ • tan x cotx 2t 2 + = − • sinx = 1 t 2 ³π ´ + • cot x tanx 2 + = − 1 t 2 • cosx − = 1 t 2 + 1.15 Cụng thức cộng 2t • tanx = 1 t 2 • sin(x y) sinx cos y sin y cosx − ± = ± • cos(x y) cosx cos y sinx sin y ± = ∓ 1.19 Cụng thức biến đổi tanx tan y • tanx(x y) ± ± = 1 tanx tan y ∓ 1.19.1 Tớch thành tổng 1 • cosx.cos y Êcos(x y) cos(x y)Ô 1.16 Cụng thức nhõn đụi = 2 − + + • sin2x 2sinx cosx 1 = • sinx.sin y Êcos(x y) cos(x y)Ô = 2 − − + • cos2x cos2x sin2x = − 2cos2x 1 1 Ê Ô = − • sinx.cos y sin(x y) sin(x y) 1 2sin2x = 2 − + + = − 4
5. • cosx 1 x k2π 1.19.2 Tổng thành tớch = ⇔ = + x y x y • cosx cos y 2cos + cos − • cosx 1 x π k2π + = 2 2 = − ⇔ = + π x y x y • cosx 0 x kπ • cosx cos y 2sin + sin − = ⇔ = 2 + − = − 2 2 x y x y • sinx sin y 2sin + cos − + = 2 2 1.21 Hệ thức lượng trong tam x y x y giỏc • sinx sin y 2cos + sin − − = 2 2 sin(x y) 1.21.1 Định lý cosin • tanx tan y + + = cosx cos y • a2 b2 c2 2bc cos A = + − sin(x y) • tanx tan y − • b2 a2 c2 2ac cosB − = cosx cos y = + − sin(x y) • c2 a2 b2 2ab cosC • cotx cot y + = + − + = sinx sin y b2 c2 a2 • cos A + − sin(x y) = 2bc • cotx cot y − − = sinx sin y a2 c2 b2 π ³ π´ • cosB + − • sinx cosx p2sin(x ) p2cos x = 2ac + = + 4 = − 4 a2 b2 c2 ³ π´ ³ π´ • cosC + − • sinx cosx p2sin x p2cos x = 2ab − = − 4 = − + 4 •1 sin2x (sinx cosx)2 ± = ± 1.21.2 Định lý hàm số sin a b c 1.20 Phương trỡnh lượng giỏc 2R sin A = sinB = sinC = 1.20.1 Phương trỡnh cơ bản 1.21.3 Cụng thức tớnh độ dài đường ã x u k2π • sinx sinu = + = ⇔ x π x k2π trung tuyến = − + 2 2 2 ã b c a x u k2π • m2 + • cosx cosu = + a = 2 − 4 = ⇔ x u k2π = − + a2 c2 b2 • tan tanu x u kπ • m2 + = ⇔ = + b = 2 − 4 • cot cotu x u kπ = ⇔ = + a2 b2 c2 • m2 + c = 2 − 4 1.20.2 Cụng thức nghiệm thu gọn π • sinx 1 x k2π 1.21.4 Cụng thức độ dài đường phõn = ⇔ = 2 + giỏc trong π • sinx 1 x k2π A = − ⇔ = − 2 + 2bc cos 2 • sinx 0 x kπ • la = ⇔ = = b c + 5
6. B 2ac cos 1.22.2 Đạo hàm hàm hợp 2 • lb α α 1 = a c •( u )0 α.u − .u0 + = C u0 2ab cos •( pu)0 2 = 2pu • lc = a b à ả + 1 0 u0 • u = −u2 1.21.5 Cụng thức tớnh diện tớch tam giỏc • (sinu)0 u0.cosu = 1 1 1 • S a.ha b.hb c.hc • (cosu)0 u0.sinu = 2 = 2 = 2 = − u0 1 1 1 •( tgu)0 • S bc.sin A ab.sinC ac.sinB = cos2u = 2 = 2 = 2 u0 abc • (cotgu)0 • S p.r = −sin2u = = 4R u u •( e )0 u0e p = • S p(p a)(p b)(p c) u u = − − − •( a )0 u0a lna = u0 • (lnu)0 1.22 Đạo hàm = u u0 • (log u)0 1.22.1 Đạo hàm cỏc hàm đơn giản a = u.lna α α 1 •( x )0 α.x − = 1.23 Nguyờn hàm 1 •( px)0 = 2px Z • dx x C à ả = + 1 0 1 • Z α 1 = − 2 x + x x • xαdx C (α 1) = α 1 + 6= + • (sinx)0 cosx = Z dx • ln x C = | | + • (cosx)0 sinx x = − Z dx 1 1 • C •( tg x)0 x2 = −x + = cos2x Z 1 • ex dx ex C • (cotg x)0 = + = −sin2x Z x x a x x • a dx C •( e )0 e = = lna + x x Z •( a )0 a lna • cosxdx sinx C = = + 1 Z • (lnx)0 = x • sinxdx cosx C = − + 1 Z dx • (loga x)0 • tanx C = x.lna cos2x = + 6
7. Z dx • cotx C sin2x = − + 1.24 Diện tớch hỡnh phẳng- Thể tớch vật thể trũn xoay 1.24.1 Cụng thức tớnh diện tớch a Z ¯ ¯ S ¯f (x) g(x)¯dx = − b 1.24.2 Cụng thức tớnh thể tớch • Hỡnh phẳng quay quanh trục Ox a Z ¯ ¯ V π ¯f 2(x) g 2(x)¯dx = − b • Hỡnh phẳng quay quanh trục Oy: a Z ¯ ¯ V π ¯f 2(y) g 2(y)¯d y = − b 7
8. Chương 2 Hỡnh học 2.1 Tọa độ của vectơ, tọa độ điểm 2.3 Gúc tạo bởi hai đường thẳng: Gúc tạo bởi d : Ax B y C 0 và ∆ : A0x B 0 y C 0 0 • −→AB (xB xA, yB y A) + + = + + = = − − là ϕ xỏc định bởi • Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: ¯ ¯ 6= ¯A.A0 B.B 0¯ ( xA kxB cosϕ + −−→MA x − p M 1 k = p 2 2 2 2 k M = y A −k yB A B . A0 B 0 = ⇔ − + + MB yM 1 k = − • Điểm I là trung điểm của AB: 2.4 Khoảng cỏch ẵ xA xB xI +2 I = y A yB Khoảng cỏch từ một điểm M(x0; y0) đến đường y + I = 2 thẳng ∆ : ax bx c 0: + + = ¯ ¯ • Điểm G là trọng tõm của tam giỏc ABC: ¯Ax0 B y0 C¯ d(M,∆) + + 2 2  xA xB xC = pA B  xG + + + G = 3 y A yB yC  yG + +  = 3 2.5 Phương trỡnh đường phõn giỏc • Cho tam giỏc ABC cú −→AB (a ;a ),−→AC (b ;b ) = 1 2 = 1 2 S 1 a b a b ⇒ ∆ABC = 2 | 1 2 − 2 1| Phương trỡnh đường phõn giỏc của gúc tạo bởi d : Ax B y C 0 và ∆ : A0x B 0 y C 0 0 là: + + = + + = AX B y C A0x B 0 y C 0 + + p+ + 2.2 Phương trỡnh đường thẳng ∆ pA2 B 2 = ± A 2 B 2 + 0 + 0 • Phương trỡnh tổng quỏt: ∆ : Ax B y C 0 Xỏc định phương trỡnh đường phõn giỏc trong và + + = Vectơ phỏp tuyến n (A;B); A2 B 2 0 phõn giỏc ngoài −→ = + 6= ẵ x x at • Khoảng cỏch đại số • Phương trỡnh tham số: ∆ : = 0 + y y bt = 0 + Ax1 B y1 C A0x2 B 0 y2 C 0 Vectơ chỉ phương u (a;b), qua điểm M(x ; y ) t1 + + ;t2 p+ + −→ = 0 0 = pA2 B 2 = A 2 B 2 + 0 + 0 x x0 y y0 • Phương trỡnh chớnh tắc: ∆ : − − a = b • Hai điểm M(x1; y1) và M 0(x2; y2) nằm cựng phớa so với ∆ t .t 0: phõn giỏc ngoài. • Phương trỡnh đoạn chắn: ∆ qua A(a;0);B(0;b) ⇔ 1 2 > x y • Hai điểm M(x1; y1) và M 0(x2; y2) nằm khỏc phớa : 1 ∆ so với ∆ t .t 0: phõn giỏc trong. a + b = ⇔ 1 2 < 8
9. 2.6 Đường trũn 2.8 Vectơ trong khụng gian Ă Â • Phương trỡnh đường trũn cú tõm I(a;b) và bỏn Trong khụng gian cho cỏc vectơ −→u1 x1, y1,z1 , −→u2 Ă Â = = kớnh R x2, y2,z2 và số k tựy ý 2 Ă Â2 2 (C): (x a) y b R  x x − + − =  1 = 2 • u u y1 y2 −→1 = −→2 ⇔ = • Phương trỡnh cú dạng  z z 1 = 2 Ă Â (C): x2 y2 2ax 2by c 0 • −→u1 −→u2 x1 x2, y1 y2,z1 z2 + − − + = ± = ± ± ± Ă Â • k−→u1 kx1,k y1,kz1 Với a2 b2 c 0 là phương trỡnh đường trũn (C) = + − > cú tõm I(a;b) và bỏn kớnh R pa2 b2 c • Tớch cú hướng: u .u x .x y .y z .z = + − −→1 −→2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 u u u .u 0 x .x y .y z .z 0 −→1 ⊥ −→2 ⇔ −→1 −→2 = ⇔ 1 2 + 1 2 + 1 2 = ¯ ¯ q • ¯u ¯ x2 y2 z2 2.7 Elip −→1 = 1 + 1 + 1 Ă Â • Gọi ϕ là gúc hợp bởi hai vectơ 0◦ ϕ 180◦ • Phương trỡnh chớnh tắc Elip ẫ ẫ −→u1.−→u2 x1x2 y1 y2 z1z2 x2 y2 cosϕ + + (E): 1 = ¯ ¯ ¯ ¯ = q q 2 2 ¯−→u1¯.¯−→u2¯ x2 y2 z2. x2 y2 z2 a + b = 1 + 1 + 1 2 + 2 + 2 2 2 2 với a b c Ă Â = + • −→AB xB xA, yB y A,zB zA = q − − − 2 Ă Â2 2 • Tiờu điểm: F ( c;0), F (c;0) AB (xB xA) yB y A (zB zA) 1 − 2 = − + − + − • Đỉnh trục lớn: A ( a;0), A (a;0) • Tọa độ cỏc điểm đặc biệt: 1 − 2 ? Tọa độ trung điểm I của AB: • Đỉnh trục nhỏ: B (0; b), B (0;b) 1 − 2 ³ xA xB y A yB zA zB ´ c I + , + , + • Tõm sai: e 1 2 2 2 = a < ? Tọa độ trọng tõm G của tam giỏc ABC: a • Phương trỡnh đường chuẩn: x ³ xA xB xC y A yB yC zA zB zC ´ = ± e G + + , + + , + + 3 3 3 • Bỏn kớnh qua tiờu điểm: ? Tọa độ trọng tõm G của tứ diện ABCD: MF a ex ,MF a ex 1 = + M 2 = − M • Tớch cú hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuụng gúc cả hai vectơ xỏc định bởi • Phương trỡnh tiếp tuyến tại M (x ; y ) (E) 0 0 0 ∈ ௠¯ ¯ ¯ ¯ ¯ả Ê Ô ¯ y1 z1 ¯ ¯ z1 x1 ¯ ¯ x1 z1 ¯ −→u −→u1,−→u2 ¯ ¯,¯ ¯,¯ ¯ x0x y0 y = = ¯ y z ¯ ¯ z x ¯ ¯ x z ¯ 1 2 2 2 2 2 2 a2 + b2 = • Một số tớnh chất của tớch cú hướng x2 y2 h i • Điều kiện tiếp xỳc của (E): 1 và ? a và −→b cựng phương a ,−→b −→0 a2 + b2 = −→ ⇔ −→ = 2 2 2 2 2 h i ∆ : Ax B y C 0 là: A a B b C A,B,C thẳng hàng −→AB,−→AC −→0 + + = + = ⇔ = 9
10. ? Ba vectơ −→a , −→b , −→c đồng phẳng 2.10 Phương trỡnh đường thẳng h i a ,−→b . c 0 −→ −→ = Ă Â Cho đường thẳng d qua M0 x0, y0,z0 và cú vectơ chỉ phương là −→u (a,b,c). Khi đú: A,B,C,D khụng đồng phẳng = h i • Phương trỡnh tham số của d −→AB,−→AC .−−→AD −→0 6=  x x0 at ¯h i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ³ ´  = + ? ¯ −→a ,−→b ¯ ¯−→a ¯.¯−→b ¯.sin −→a ,−→b d : y y0 bt ¯ ¯ = ¯ ¯  = + z z0 ct • Cỏc ứng dụng của tớch cú hướng = + • Phương trỡnh chớnh tắc của d (khi abc 0) ? Diện tớch hỡnh bỡnh hành: 6= ¯h i¯ x x0 y y0 z z0 S ¯ −→AB,−−→AD ¯ d : − − − ABCD = ¯ ¯ a = b = c 1 ¯h i¯ ? Diện tớch tam giỏc: S ABC ¯ −→AB,−→AC ¯ = 2 ¯ ¯ 2.10.1 Vị trớ tương đối giữa hai đường ? Thể tớch khối hộp: thẳng ¯h i ¯ V ¯ −→AB,−−→AD .−−→AA0¯ ABCD.A0B 0C 0D0 = ¯ ¯ Đường thẳng d1 qua M1 và cú vectơ chỉ phương là 1 ¯h i ¯ −→u1, d2 qua M2 và cú vectơ chỉ phương là −→u2 thỡ: ¯ ¯ ? Thể tớch tứ diện: VABCD ¯ −→AB,−→AC .−−→AD¯ Ê Ô h i = 6 • d trựng d u ,u u ,−−−−→M M −→0 1 2 ⇔ −→1 −→2 = −→1 1 2 =  Ê Ô u ,u −→0 2.9 Phương trỡnh mặt phẳng  −→1 −→2 = • d song song d 1 2 ⇔ h i  u ,−−−−→M M −→0 • Phương trỡnh tổng quỏt (α): ax by cz d 0 −→1 1 2 6= 2 2 2 + + + = với (a b c 0).  Ê Ô + + 6=  −→u1,−→u2 .−−−−→M1M2 0 Ă Â  = • Phương trỡnh mặt phẳng (α) qua M x0, y0,z0 và • d1 và d2 cắt nhau ⇔  Ê Ô cú vectơ phỏp tuyến −→n (a,b,c)  u ,u −→0 = −→1 −→2 6= Ă Â (α) : a (x x0) b y y0 c (z z0) 0 Ê Ô − + − + − = • d và d chộo nhau u ,u .−−−−→M M 0 1 2 ⇔ −→1 −→2 1 2 6= • Phương trỡnh mặt phẳng theo đoạn chắn: (α) qua A(a,0,0);B(0,b,0);C(0,0,c) 2.11 Gúc x x0 y y0 z z0 (α) : − − − 1, với a,b,c 0 a + b + c = 6= • Gúc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α) cú Ă Â vectơ phỏp tuyến là −→nα, mặt phẳng β cú vectơ Ă Â 2.9.1 Vị trớ tương đối hai mặt phẳng phỏp tuyến −→nβ, khi đú gúc giữa (α) và β được tớnh bằng Cho (α): a x b y c z d 0 và ĂβÂ: a x b y c z 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + ¯ ¯ d2 0 ¯ ¯ ¯−→nα.−→nβ¯ = cosĂ(α),Ăβ cosĂn ,n  à  ¯ −→α −→β ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ • (α) cắt β a : b : c a : b : c = = ¯−→nα¯.¯−→nβ¯ ⇔ 1 1 1 6= 2 2 2 a1 b1 c1 d1 • (α) song song Ăβ • Gúc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường ⇔ a = b = c 6= d 2 2 2 2 thẳng d1 và d2 cú cỏc vectơ chỉ phương là −→u1 và a1 b1 c1 d1 −→u2, khi đú gúc giữa d1 và d2 tớnh bằng • (α) trựng Ăβ ⇔ a = b = c = d ¯ ¯ 2 2 2 2 ¯ Ă Â¯ ¯−→u1.−→u2¯ Ă Â cos(d1,d2) ¯cos −→u2,−→u2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ • (α) vuụng gúc β a a b b c c 0 = = ¯u ¯.¯u ¯ ⇔ 1 2 + 2 2 + 1 2 = −→1 −→2 10
11. • Gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho • Phương trỡnh x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 + + − − − + = đường thẳng d cú vectơ chỉ phương là u , mặt cú a2 b2 c2 d là phương trỡnh mặt cầu với −→ + + > phẳng (α) cú vectơ phỏp tuyến là n , khi đú gúc tõm I(a,b,c) bỏn kớnh R pa2 b2 c2 d. −→ = + + − giữa d và (α) là ϕ được tớnh bằng ¯ ¯ ¯−→u .−→n ¯ 2.13.1 Vị trớ tương đối giữa mặt cầu và sinϕ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯−→u ¯.¯−→n ¯ mặt phẳng Cho (α) và S(I,R), khi đú nếu 2.12 Khoảng cỏch • d(I,(α)) R : mặt phẳng khụng cắt mặt cầu. > Ă Â • Khoảng cỏch từ điểm A x0, y0,z0 tới • d(I,(α)) R : mặt phẳng tiếp xỳc mặt cầu, khi (α) : ax by cz d 0 là = + + + = đú mặt phẳng cũn gọi là tiếp diện của mặt cầu. Tọa độ tiếp điểm M0 là tọa độ hỡnh chiếu vuụng ¯ ¯ ¯ax0 by0 cz0 d¯ gúc của I xuống (α). d (A,(α)) + + + = pa2 b2 c2 + + • d(I,(α)) R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một 11
12. • d (I,d) R: d tiếp xỳc với (S). = • d (I,d) R: d cắt (S) tại 2 điểm phõn biệt. | 1 − 2| ⇔ 1 2 • I I R R (S ),(S ) tiếp xỳc trong. 1 2 = | 1 − 2| ⇔ 1 2 • I I R R (S ),(S ) tiếp xỳc ngoài. 1 2 = 1 + 2 ⇔ 1 2 • R R I I R R (S ),(S ) cắt nhau theo | 1 − 2| < 1 2 < 1+ 2 ⇔ 1 2 một đường trũn. 12