›
›
›

Đề chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 - Phòng giáo dục và đào tạo Ninh Hòa (Có đáp án)

doc 50 trang dichphong 3710
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 - Phòng giáo dục và đào tạo Ninh Hòa (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_chon_hoc_sinh_gioi_huyen_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2009_2010.doc

Nội dung text: Đề chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 - Phòng giáo dục và đào tạo Ninh Hòa (Có đáp án)

  1. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2009-2010 ĐỀ CHÍNH Môn: TOÁN THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5 = cotg450 x 4 x 1 x 4 x 1 1 Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q  1 x2 4 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q y x 1 x y 4 Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M xy x2 yz y2 xz Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu x 1 yz y 1 xz với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 1 1 1 thì x y z x y z Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. 1 Chứng minh rằng: S S MEF 4 ABC Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA Gv: Nguyễn Văn Tú 1 Trường THCS Thanh Mỹ
  2. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điểm 1 2 5 3 29 12 5 5 3 2 5 3 1đ 5 6 2 5 0,5đ 2 5 5 1 0,75đ = 1 0,25đ = cotg450 0,5đ 2a Q có nghĩa x 1 và x 2 0,5đ 2b x 4 x 1 x 4 x 1 1 Q  1 x2 4 x 1 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 2 Q  2 x 4x 4 x 1 0,75đ 2 2 x 1 1 x 1 1 x 2 Q  x 2 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 2 Q  x 2 x 1 * Nếu 1 2 ta có: 0,5đ Gv: Nguyễn Văn Tú 2 Trường THCS Thanh Mỹ
  3. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 x 1 1 x 1 1 x 2 Q  x 2 x 1 0,25đ 2 Q x 1 0,25đ 0,5đ 0,25 3 0,25đ Với điều kiện x 1, y 4 ta có: x 1 y 4 M = x y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, 0,75đ 1 x 1 x Ta có: x 1 1 x 1 2 2 x 1 1 0,5đ (vì x dương) x 2 1 1 4 y 4 y 0,75đ Và: y 4 4 y 4  2 2 2 4 y 4 1 0,5đ (vì y dương) y 4 x 1 y 4 1 1 3 Suy ra: M = x y 2 4 4 0,25đ 3 Vậy giá trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8 4 0,5đ 4 x2 yz y2 xz x 1 yz y 1 xz 2 2 x yz y xyz y xz x xyz 0,25đ x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 xy3 z x2 z x2 yz2 0 x2 y xy2 x3 yz xy3 z x2 z y2 z x2 yz2 xy2 z2 0 0,5đ xy x y xyz x2 y2 z x2 y2 xyz2 x y 0 0,5đ 2 x y xy xyz x y z x y xyz 0 xy xyz x y z x y xyz2 0 (vì x y x y 0 ) 0,5đ 2 0,5đ xy xz yz xyz x y xyz 0,5đ Gv: Nguyễn Văn Tú 3 Trường THCS Thanh Mỹ
  4. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 xy xz yz xyz x y xyz2 (vì xyz 0 ) xyz xyz 0,5đ 1 1 1 x y z x y z 0,5đ 5 B P M E N K A F Q C Kẻ MP AB tại P, MQ AC tại Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N 0,25đ Do  EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ 0,25đ 1 S S S MEN MEK 2 MPEK 0,5đ 1 và S S S (S S vì có cùng chiều cao nhưng đáy FEN QEK 2 QAEK FEN QEK 0,5đ EN bé hơn đáy EK) 1 1 Suy ra: S S S S S (*) MEN FEN 2 APMQ MEF 2 APMQ 0,5đ 1 Chứng minh được: S MAP S MAB 2 0,5đ 1 S S MAQ 2 MAC 1 S S ( ) 0,5đ APMQ 2 ABC 1 Từ (*) và ( ) ta có: S S 0,5đ MEF 4 ABC 0,25đ 6 B P O I A Q Gv: Nguyễn Văn Tú 4 Trường THCS Thanh Mỹ
  5. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 K C M Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ là I. AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của  BAC 0,25đ PAQ cân ở A và AO PQ 0,25đ Áp dụng Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 ( MKO vuông tại K) MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( MOI vuông tại I) 0,25đ MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( BOP vuông tại B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( IOP vuông tại I và PA = 0,25đ PB) 0,25đ MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) 0,25đ MK2 = MI2 + AI2 ( IAP vuông tại I) 0,25đ MK2 = MA2 ( IAM vuông tại I) 0,25đ MK = MA PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 TRƯỜNG THCS AN BÌNH (Thời gian : 120 phút) Gv: Nguyễn Văn Tú 5 Trường THCS Thanh Mỹ
  6. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 3 3 x 3 Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức Q 1 2 3 x x 3 3 x 27 3 x a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi x 3 2010 Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức M 4 7 4 7 Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có a2 b2 c2 ab bc ac Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình x2 9 x2 6x 9 0 b/ x2 4 x2 4 0 Bài 6(2,5đ): Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt M· DC a/ Chứng minh AM là phân giác của F· CB . Tính độ dài DM, CE theo a và b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của sin Gv: Nguyễn Văn Tú 6 Trường THCS Thanh Mỹ
  7. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Nội dung Biểu chấm 1(1,5đ) a.(1đ) 3 3 x 3 A = 1 2 3 x x 3 3 x 27 3 x 0.25 ĐKXĐ: x 0; x 3 3 3 x 2 x 3 3 = 0.25 2 2 x x 3 3 (x 3)(x x 3 3) 3x (x 3) 3 3 x 2 x 3 3 = 2 0.25 (x 3)(x x 3 3) 3x 1 0.25 x 3 b. (0,5 đ) Thay x = 3 +2010 vào A ta có: 1 1 1 A 0,5 x 3 3 2010 3 2010 2(1đ) Rút gọn biểu thức M 4 7 4 7 M 4 7 4 7 8 2 7 8 2 7 0.25 M 2 2 0.25 2 2 1 7 1 7 M 2 2 0.25 1 7 7 1 0.25 M 2 2 M 2 3(1đ) 2 2 2 a b c ab bc ac 0.25 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac a2 2ab b2 b2 2bc c2 a2 2ac c2 0 0.25 Gv: Nguyễn aVăn b Tú2 b c 2 a c 2 0 7 Trường THCS Thanh Mỹ
  8. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 0.5 4(2đ) a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 a b 2 b 2 a A a2 2 a 2 A 2a2 4a 4 2 2 A 2a 2 2a. 2 2 2 2 A 2a 2 2 A 2 Amin 2 x 2y 8 x 8 2y B y 8 2y 8y 2y2 2 2 b/ 2y 2 2y.2 2 2 2 8 2 8 2y 2 2 8 Bmax 8 5(2đ) a / x2 9 x2 6x 9 0 0.5 x 3 x 3 x 3 0 0.25 x 3 0 x 3 ptvn 0.25 x 3 x 3 0 vậy nghiệm của pt là x=3 b / x2 4 x2 4 0 x2 4 x2 4 0 0.25 2 t 1 t t 0 t t 0 t 0 x 2 0.25 x 5 0.5 Gv: Nguyễn Văn Tú 8 Trường THCS Thanh Mỹ
  9. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 6(2.5đ) E· CF ·ACM M· DC E 0.5 F A B M D O C O a/vì M thuộc đường tròn tâm O đuờng kính CD nên C· MD 900 Mà CA  OB (đuờng chéo hình vuông ) nên M· CA M· CB ( góc có 0.5 cạnh vuông góc) M· CA M· CB Do đó MC là tia phân giác của ·ACB 0.5 Ta thấy DMC vuông tại M cóM· DC và CD=2a nên DM cos DM DC.cos DC DEC vuông tại D có DM là đường cao nên CE.CM=CD2 (1) Mà CM CDsin CM 2asin CD2 2a Từ (1) ta có CE CM sin b/ gọi I là tâm hình vuông OABC ta có 2 IM OM OI IM a 1 2 0.25 a2 2a2 0.25 CM 2 IM 2 IC 2 CM 2 2 2 4 4 0.25 2 0.25 MIC vuông tại I a 2 2 CM a 2 2 0.25 CM 2 2 sin CD 2 Gv: Nguyễn Văn Tú 9 Trường THCS Thanh Mỹ
  10. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Phßng GD- §T vÜnh t­êng §Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái (10 - 2010) Tr­êng THCS vò di M«n: To¸n 9 === Thêi gian: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ) Bµi 1. (1,5 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc sau : 1 1 1 1 1 a)A = + + + + 1 5 5 9 9 13 2001 2005 2005 2009 b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2 Bài 2 (2,0 điạm) Giại các phương trình sau: a) 3x2 + 4x + 10 = 2 14x2 7 b) 4 4 x2 4 x4 16 4x 1 x2 y2 2y 3 5 y c)x 4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên) Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2 a b a) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a,b ta lu«n cã: ab . 2 Gv: Nguyễn Văn Tú 10 Trường THCS Thanh Mỹ
  11. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? b) Cho ba sè thùc a,b,c kh«ng ©m sao cho a b c 1 . Chøng minh: b c 16abc . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? c) Víi gi¸ trÞ nµo cña gãc nhän th× biÓu thøc P sin6 cos6 cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ bÐ nhÊt ®ã. Bµi 4: (1,5 ®iÓm) Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t«. NÕu mçi « t« chë 22 ng­êi th× cßn thõa mét ng­êi. NÕu bít ®i mét « t« th× cã thÓ ph©n phèi ®Òu tÊt c¶ c¸c häc sinh lªn c¸c « t« cßn l¹i. Hái cã bao nhiªu häc sinh ®i c¾m tr¹i vµ cã bao nhiªu « t« ? BiÕt r»ng mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ng­êi. Bµi 5 ( 3,0 ®iÓm ) 1)Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a , gäi R vµ r lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ABC. 1 1 4 a) Chøng minh : R2 r 2 a2 8R3r3 b) Chøng minh : S ; ( KÝ hiÖu S lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD ) ABCD (R2 r 2 )2 ABCD BC 2) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã B· AC 1080 .Chøng minh : lµ sè v« tØ. AC === Gv: Nguyễn Văn Tú 11 Trường THCS Thanh Mỹ
  12. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Phßng GD- §T vÜnh t­êng Hd chÊm §Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái (10 - 2010) Tr­êng THCS vò di M«n: To¸n 9 Cho Bµi S¬ l­îc lêi gi¶i ®iÓm Bµi 1.b ¸p dông c«ng thøc (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), víi a=3 3 2 2 , b= 3 3 2 2 (1,5 ®) 0,75 vµ biÕn ®æi => x3 = 6 + 3x Suy ra B = 2006 a 5 1 9 5 13 9 2005 2001 2009 2005 Cã A = + + + + + 5 1 9 5 13 9 2005 2001 2009 2005 0,75 2009 1 Rót gän, ®­îc A = . 4 Bµi 2a 2 2 Giại, xác đạnh đúng điạu kiạn: x ; x 0,25 (2,0®) 2 2 x2 4x 4 2x2 1 2 2x2 1. 7 7 = 0 0,25 (x 2)2 ( 2x 1 7) 0 x 2 x 2 0 x 2 x 2 (Thạa mãn) 2 0,25 2x 1 7 0 x 2 b 4 x2 0 (1) x2 16 0 (2) Điạu kiạn : 4x 1 0 (3) 2 2 x y 2y 3 0 (4) Tạ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) 0 x2 4 0 kạt hạp vại (1) và (3) suy ra x = 2 0.5 Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0 ; Đúng vại mại giá trạ cạa y. Thay x = 2 vào phương trình và giại đúng, tìm đưạc y = 1,5 0,25 Vạy nghiạm cạa phương trình: (x = 2; y = 1,5) c Biạn đại đưa đưạc pt vạ dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0 x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lạ 2 2 2 2 Đạt x = 2k + 1 ; ( k Z ) 4k + 4k +1 = 2y + 5 2y = 4k + 4k – 4 0,25 y2 = 2(k2 + k – 1) y chạn Đạt y = 2n; (n Z ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị 0,25 chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệm pt đã Gv: Nguyễn Văn Tú 12 Trường THCS Thanh Mỹ
  13. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 cho vô nghiệm Bµi 3a Ta cã: 2 (2,0®) a b a2 2ab b2 a2 2ab b2 ab ab 2 4 4 a b 2 0, a,b R 0,25 4 2 a b 2 VËy: ab, a,b R a b 4ab,a,b R 2 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a b 0,25 b Theo kÕt qu¶ c©u 3.a, ta cã: a b c 2 a b c 2 4a b c 0,25 mµ a b c 1 (gi¶ thiÕt) nªn: 1 4a b c b c 4a b c 2 (v× a, b, c kh«ng ©m nªn b + c kh«ng ©m) 0,25 Nh­ng: b c 2 4bc (kh«ng ©m) Suy ra: b c 16abc . 0,25 a b c 1 1 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: b c , a b c 4 2 c Ta cã: 3 3 P sin6 cos6 sin2 cos2 2 2 4 2 2 4 P sin cos sin sin cos cos 2 P sin2 cos2 3sin2 cos2 1 3sin2 cos2 0,25 ¸p dông kÕt qu¶ c©u 3.1, ta cã: 2 1 sin2 cos2 4sin2 cos2 1 4sin2 cos2 sin2 cos2 4 3 1 Suy ra: P 1 3sin2 cos2 1 4 4 0,25 1 Do ®ã: P khi vµ chØ khi: sin2 cos2 sin cos (v× lµ gãc min 4 sin nhän) 1 tg 1 450 cos 0,25 Bµi 4 + Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ x ( x nguyªn vµ x 2) 0,25 (1,5®) Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 1. 0,25 + Theo gi¶ thiÕt: NÕu sè xe lµ x 1 th× sè häc sinh ph©n phèi ®Òu cho tÊt c¶ c¸c xe, mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ 0 < y 30). Gv: Nguyễn Văn Tú 13 Trường THCS Thanh Mỹ
  14. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 22x 1 23 + Do ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh: x 1 y 22x 1 y 22 x 1 x 1 0,25 + V× x vµ y ®Òu lµ sè nguyªn d­¬ng, nªn x 1 ph¶i lµ ­íc sè cña 23. Mµ 23 nguyªn tè, nªn: x 1 1 x 2 hoÆc x 1 23 x 24 0,25 NÕu x 2 th× y 22 23 45 30 (tr¸i gi¶ thiÕt) NÕu x 24 th× y 22 1 23 < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n). 0,25 + VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22 24 1 23 23 529 häc sinh. 0,25 Bµi 5 Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi nªn AC 0,25 B (3,0®) E lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng M BD,BD lµ ®­êng trung trùc cña O AC.Do vËy nÕu gäi M,I,K lµ giao A C I ®iÓm cña ®­êng trung trùc cña ®o¹n K th¼ng AB víi AB,AC,BD th× ta cã I,K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c D tam gi¸c ADB,ABC Tõ ®ã ta cã KB = r vµ IB = R.LÊy mét ®iÓm E ®èi xøng víi ®iÓm I qua M , Ta cã BEAI lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®­êng chÐo EI vµ AB vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng ) 1a Ta cã B· AI E· BA mµ B· AI ·ABO 900 E· BA ·ABO 900 0,25 XÐt EBK cã E· BK 900 ,®­êng cao BM.Theo hÖ thøc trong tam gi¸c 0,25 1 1 1 vu«ng ta cã BE 2 BK 2 BM 2 a 1 1 4 0,25 Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn (§pcm) 2 R2 r 2 a2 1b XÐt AOB vµ AMI cã ·AOB ·AMI 900 vµ µA chung 0,25 AO AM AM .AB AB 2 AOB : AMI AO AB AI AI 2 R BM.AB AB2 Chøng minh t­¬ng tù ta ®­îc BO BK 2r 0,25 AB4 0,25 Ta cã S 2.AO.OB 2. ABCD 4Rr Mµ theo ®Þnh lÝ Pi ta go trong tam gi¸c vu«ng AOB ta cã 2 2 2 2 2 1 4 1 1 2 4R r AB OA OB AB 2 2 AB 2 2 4 R r R r 0,25 8R3r3 Tõ ®ã ta cã : S ABCD (R2 r 2 )2 Gv: Nguyễn Văn Tú 14 Trường THCS Thanh Mỹ
  15. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 B 0,25 A C x D KÎ tia Cx sao cho CA lµ tia ph©n gi¸c cña B· Cx , tia Cx c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i D.Khi ®ã Ta cã D· CA ·ACB 360 DCA c©n t¹i C , BCD c©n t¹i B AB AC DC .Theo tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c BCD ta CB AB BC CA 0,25 cã ; BC BD CD AD CA BD CA BC C A BC ( BC C A) C A 2 BC 2 BC .C A C A 2 0 C A BC C A 2 2 BC BC BC 1 5 1 0 C A C A C A 2 4 0,25 BC 1 5 BC BC 0,25 ( V× 0) .VËy lµ sè v« tØ CA 2 CA AC PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI : TOÁN ĐỀ CHÍNH Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) THỨC Ngày thi: 16/01/2010 Bài 1(4đ) 2 2 2 2 P a) Tính tổng: 15 35 63 399 a c b) Cho a, b, c, d là các số dương và . Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu b d thức sau: 1 a b c d Bài 2: (4đ) a) (2đ) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 a2 b2 Chứng minh : 2 2 a b b) (2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho : Gv: Nguyễn Văn Tú 15 Trường THCS Thanh Mỹ
  16. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 abc n 1 2 với n là số nguyên lớn hơn 2 cba n 2 Bài 3: (4đ) a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = 7 x 1 x 3 x 2 x 1 với x 1 b) (2đ) Giải phương trình 3 x 2 26 3 x x 3 8 Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m 2) (m 3)y m 8 a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1). b) (1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (2 đ) Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ? Bài 6: (4,0 đ) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. HẾT ĐÁP ÁN Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm) a) 2 2 2 2 P 15 35 63 399 2 2 2 2 (0,5 3.5 5.7 7.9 19.21 1 1 1 1 1 1 1 1 điểm) (0,75 3 5 5 7 7 9 19 21 điểm) 1 1 (0,5 3 21 điểm) 2 (0,25 7 điểm) b) 1 1 Gv: Nguyễna b Vănc Túd ( a d ) ( b c ) 16 Trường THCS Thanh Mỹ
  17. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 ( a d) ( b c) (0,5 điểm). ( a d) ( b c) ( a d) ( b c) a d b c (0,5 điểm). a d 2 ad (b c 2 bc) a d b c a d 2 ad b c 2 bc (0,5 điểm) . a d b c a c a d b c do ad bc 2 ad 2 bc b d (0.5 điểm) Bài 2: ( 2 điểm ) 2 2 a2 b2 a b 2ab a b 2 2 * Vì a.b = 1 nên a b ( 1 đ ) a b a b a b a b * Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 2 2 Ta có : a b 2 a b  a b a b a2 b2 Vậy 2 2 ( 1đ ) a b 1) ( 2 đđiểm ) abc 100a 10b c n2 1 Viết được 2 cba 100c 10b a n 4n 4 Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5  99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 n2 1 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n 5 119 (4) ( 0,75đđ ) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc 675 ( 0,5 đ ) Bài 3(4đ) a) (2 điểm) M = 7 x 1 x 3 x 2 x 1 với x 1 x 1(7 x x 1) (0,25đ) 1 25 x 1( x 1 x 1 ) (0,5đ) 4 4 Gv: Nguyễn Văn Tú 17 Trường THCS Thanh Mỹ
  18. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 1 25 x 1 x 1 (0,5đ) 2 4 x 1 x 1 3 x 1 2 (0,5đ) x 1 3 x 1 x 1 2 (0,25đ) b) (2đ) Giải phương trình 3 x 2 26 3 x x 3 8 (1) Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,75đ) Với 0 x 1 thì: 3 x 2 26 3 x x 3 3 12 26 3 1 1 3 8 Nên PT vô nghiệm với 0 x 1 (0,5đ) Với x >1 Thì: 3 x 2 26 3 x x 3 3 12 26 3 1 1 3 8 Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ) Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25đ) Bài 4: (2 điểm) a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên (m 2).( 1) (m 3).1 m 8 5 m 8 m 3. (0,5 điểm) b) Gọi x0 ; y0 là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua Ta có: (m 2)x0 (m 3)y0 m 8 m . (0,5đ) (x0 y0 1)m 2x0 3y0 8 0 m. x0 y0 1 0 x0 1 2x0 3y0 8 0 y0 2 Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ) Bài 5: Vẽ tam giác đều CMN BCN ACM BN AM (1 điểm) mà AM 2 BM 2 CM 2 BN 2 BM 2 MN 2 BMN vuông tại M. B· MC B· MN N· MC 900 600 1500 . (1 điểm) Bài 6: (4,0 đ) a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 18 Trường THCS Thanh Mỹ
  19. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 AB . EB = HB2 AC . EH = AC . AD = AH2 => ĐPCM (1 điểm) AD2 AE 2 DE 2 AH 2 b) S(ADHE)= AD.AE (0,75 đ) A 2 2 2 E AH 2 AO2 R2 S(ADHE) (0,75 đ) 2 2 2 R2 D Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE 2 C B O Hay A là điểm chính giữa của cung AB (0,5 đ) H UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực hiện tính: 2x 2 x 2 4 với x 2 6 3 x 2 4 x 2 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a. x 2 5x x 2 5x 4 2 b. x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2x 3 Gv: Nguyễn Văn Tú 19 Trường THCS Thanh Mỹ
  20. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài 3: (2.0 điểm) a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên. 2 b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x + 2009x + 1 = 0 2 x3, x4 là nghiệm của phương trình x + 2010x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K. a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. b. Chứng minh  ICB =  IDK c. Chứng minh H là trung điểm của DK. Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n. UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) 1 1 4 a) Chứng minh bất đẳng thức: . Với a;b là các số dương. a b a b b) Cho x ; y là hai số dương và x y 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 P ;M . 2xy xy x2 y2 Bài 2: (2.0 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 20 Trường THCS Thanh Mỹ
  21. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 x 2 y 2 11 Giải hệ phương trình: x xy y 3 4 2 Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM tại H. a. Chứng minh HM = HN. b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP. Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I a. Tính góc CIF. b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó. Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực hiện tính: 2x 2 x 2 4 với x 2 6 3 x 2 4 x 2 x 2 x 2 2 (x 2)(x 2) ( x 2 x 2) 2 1 0,75 (x 2)(x 2) x 2 x 2( x 2 x 2) x 2 1 1 1 Thay x 2 6 3 vào được: 3 2 0,75 2 6 2 3 ( 3 2) 2 3 2 Gv: Nguyễn Văn Tú 21 Trường THCS Thanh Mỹ
  22. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a. x 2 5x x 2 5x 4 2 x 2 5x 4 x 2 5x 4 2 . 0,50 Đặt y x 2 5x 4 (y 0) được: y2 - y - 2 = 0 Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 2. 0,25 2 Với y = 2 giải x 5x 4 2 được x1 = 0; x2 = -5. 0,25 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương hai vế. b. x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2x 3 (x 1)(x 2) x 3 x 2 (x 1)(x 3) 0,25 x 1( x 2 x 3) x 2 x 3 0 0,50 ( x 2 x 3)( x 1 1) 0 x 2 x 3 0 vô nghiệm; x 1 1 0 được x = 2. 0,25 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm. 0,25 Bài 3: (2.0 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên. n =-1: Phương trình có nghiệm. Với n -1 n+1 0. ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) 0,50 = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2. ’ 0 nên phương trình luôn có nghiệm. 0,25 ’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là 0,25 số hữu tỉ. 2 b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x + 2009x + 1 = 0 2 x3, x4 là nghiệm của phương trình x + 2010x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm. 0,25 Có: x1x2 = 1 x3x4 = 1 x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = 1 (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) 2 2 2 2 = x1x2x3 - x3x4x2 - x3x4x1 +x1x2x4 0,50 2 2 2 2 = x3 - x2 - x1 + x4 2 2 = (x3 + x4 ) - 2x3x4 -( x2+ x1) + 2x1x2 2 2 = (x3 + x4 ) -( x2+ x1) Gv: Nguyễn Văn Tú 22 Trường THCS Thanh Mỹ
  23. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 2010 - 2009 =2010+2009 =4019 0,25 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( 3.0 điểm) B K M A H O D I E C OB  BA; OC  CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI  IA (I là trung điểm của dây DE) . 0,75 B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO. ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) 1.0  IDK = IAB (2) Từ (1) và (2) được:  ICB =  IDK  ICB =  IDK hay  ICH =  IDH Tứ giác DCIH nội tiếp. HID =  HCD  HCD =  BED (Cùng chắn cung DB của (O)) 1,25 HID =  BED IH // EB IH là đường trung bình của DEK H là trung điểm của DK (Mỗi bước cho 0,25 điểm) Bài 5: ( 1.0 điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n. - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1). Do n(n - 1)(n+1) 0,25 chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n. - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n). Do n5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên 0,25 A(n) chia hết cho 5 với mọi n. - Nếu n chẵn n2 chia hết cho 4 A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ (n- 1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4. A(n) chia hết cho 4 0,25 với mọi n. - Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay 0,25 A(n) chia hết cho 60. Gv: Nguyễn Văn Tú 23 Trường THCS Thanh Mỹ
  24. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) 1 1 4 a. Chứng minh bất đẳng thức: . Với a;b là các số dương. a b a b b. Cho x ; y là hai số dương và x y 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của Gv: Nguyễn Văn Tú 24 Trường THCS Thanh Mỹ
  25. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 1 2 3 P ;M . 2xy xy x2 y2 1 1 4 a b 4 a b 2 4ab a b 2 0 0,50 a b a b ab a b 1 x y 4 4 P 2 0,50 2xy 2xy 2(x y) 2.1 1 P đạt giá trị nhỏ nhất tại: x = y = 0,25 2 1 1 1 hoặc: 2xy x 2 y 2 4xy (x y) 2 xy 4 2 4 xy 2xy 2 3 4 3 1 4.3 1 4.3 M 2 2 = 2 2 2 2 2 2 12 14 0,50 xy x y 2xy x y 2xy x 2xy y 2xy (x y) - 1 đạt GTNN tại x = y = 1 . 2xy 2 3 3 1 1 0,25 - đạt GTNN tại x = y = . Nên M đạt GTNN tại x = y = . 2xy x 2 y 2 2 2 Bài 2: (2.0 điểm) x 2 y 2 11 Giải hệ phương trình: x xy y 3 4 2 S 2 2P 11 - Đặt S = x + y; P = xy được: 0,25 S P 3 4 2 - S 2 2S (17 8 2) 0 0,25 - Giải phương trình được S1 3 2 ; S 2 5 2 0,25 - S1 3 2 được P1 3 2 ; S 2 5 2 được P2 8 5 2 0,25 - Với S 3 2 ; P 3 2 có x, y là hai nghiệm của phương trình: 1 1 0,25 X 2 (3 2)X 3 2 0 - Giải phương trình được X 1 3; X 2 2 . 0,25 - Với S 5 2 được P 8 5 2 có x, y là hai nghiệm của phương trình: 2 2 0,25 X 2 (5 2)X 8 5 2 0 . Phương trình này vô nghiệm. x 3 x 2 - Hệ có hai nghiệm: ; 0,25 y 2 y 3 Bài 3: (2.0 điểm) -Chứng tỏ MBND là hình bình hành O là A M B trung điểm của MN. 0,75 - OH // AB OH  MN. H Gv: Nguyễn Văn Tú 25 Trường THCS ThanhO Mỹ Q C D N P
  26. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 - HMN cân tại H (Trung tuyến vừa là đường cao) HM = HN. HQ OQ - OH // BM được: HM OB OQ NQ - ON // BP được: OB NP HQ NQ NH//PM 1,25 HM NP  HNM =  NMP  HMN =  NMP MN là phân giác của góc QMP Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. Giải: Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). Tích ba số nguyên 0,25 tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c. 0,50 bc -b - c + 1 = 6 (b-1)(c-1) = 6. b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ: b 1 1 b 2 b 1 2 b 3 và 0,25 c 1 6 c 7 c 1 3 c 4 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 C Bài 4: (3.0 điểm) E F H A O I B Gv: Nguyễn Văn Tú 26 Trường THCS Thanh Mỹ
  27. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 - BE, AF là hai đường cao của ABC CI là đường cao thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF = EBF . 1,0 - EOF đều nên EOF = 600. - EF = 600 CIF = EBF = 300. - Chứng minh ACI đồng dạng với ABE AC AI - được: AC.AE AB.AI AB AE BC BI 1.0 - Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: BC.BF BA.BI BA BF - Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB 2 = const. - Chứng minh ABC đồng dạng với FEC. 2 2 S FEC EF R 1 3 - S ABFE S ABC S ABC AB 2R 4 4 - Để S lớn nhất S lớn nhất CI lớn nhất. C chạy trên cung chứa ABFE ABC 1,0 góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I  O CAB cân EF // AB. 2.R.R 3 3R 2 . 3 - Lúc đó S R 2 . 3 S ABC 2 ABFE 4 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) PHÒNG GD & ĐT LONG ĐIỀNKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC: 2009 – 2010 Môn thi: Toán Thời gian: 150 Phút Bài 1: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm b) Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8 2 2 2 2 c) Tính tổng: P Giải 15 35 63 399 a) (0,5 điểm). Ta có: a2 – b2 = (a2 – 1) – (b2 – 1) = (a + 1)(a – 1) – (b + 1)(b – 1) (0,5 điểm). Vì (a + 1)(a – 1) là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 (0,5 điểm). Tương tự: (b +1)(b – 1)  8 (0,5 điểm). Vậy: (a2 – b2 )  8 (đpcm) b) Gv: Nguyễn Văn Tú 27 Trường THCS Thanh Mỹ
  28. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 2 2 2 P 15 35 63 399 2 2 2 2 (0,5 3.5 5.7 7.9 19.21 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 (0,5 điểm) 3 5 5 7 7 9 19 21 1 1 (0,5 điểm) 3 21 2 (0,5 7 điểm) Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm a) Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng: b c c a a b 2 2 2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2009 2010 x Giải a) Ta có: b c c a a b VT (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 1 1 1 1 1 1 (0,75 điểm) a b a c b c b a c a c b 1 1 1 1 1 1 (0,75 điểm) a b c a b c a b c a b c 2 2 2 (0,5 a b b c c a điểm) = VP b) A x 2009 2010 x (0,25 điểm) Tập xác định: D = 2009; 2010 (0,25 điểm) Với x D thì A ≥ 0. Do đó: A = A2 1. Xét: 2 (0,25 điểm) A x 2009 2010 x 2 x 2009. 2010 x 1 2 x 2009. 2010 x Ta có: A2 1 (vì 2 x 2009. 2010 x 0 với x D) A ≥ 1 với x D (0,25 điểm) Vậy: Amin = 1 khi x 2009 0 x 2009 (0,25 điểm) 2010 x 0 x 2010 Gv: Nguyễn Văn Tú 28 Trường THCS Thanh Mỹ
  29. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2. Xét: 2 (0,25 điểm) A 1 2 x 2009. 2010 x 1 x 2009 2010 x (vì 2 x 2009. 2010 x x 2009 2010 x , với x D; BĐT Côsi) A2 ≤ 2 với x D A 2 với x D (0,25 điểm)Vậy Amax = 2 khi: x – 2009 = 2010 – x (0,25 điểm) x = 2009,5 Bài 3: (4 điểm) Mỗi câu 2 điểm a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 7y = 55 a c b) Cho a, b, c, d là các số dương và Trục căn thức ở mẫu của biểu thức b d sau: 1 a b c d Giải a) 3x + 7y = 55 (0,5 điểm). HS tìm được nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên: x 110 7t (t ¢ ) y 55 3t (0,5 điểm).Để: 110 t x 0 110 7t 0 7 (t ¢ ) (t ¢ ) y 0 55 3t 0 55 t 3 (0,5 điểm).=> t 16; 17; 18 (0,5 điểm).Vậy phương trình trên có 3 nghiệm nguyên dương là: (2; 7); (9; 4) ; (16; 1) b) 1 1 a b c d ( a d ) ( b c) ( a d) ( b c) (0,5 điểm). ( a d) ( b c) ( a d) ( b c) Gv: Nguyễn Văn Tú 29 Trường THCS Thanh Mỹ
  30. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 a d b c (0,5 điểm). a d 2 ad (b c 2 bc) a d b c (0,5 điểm) a d 2 ad b c 2 bc . a d b c a c (0,5 điểm). a d b c (vì => ad = bc =>2 a d 2 b c ) b d Bài 4 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J. a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích. b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất. Giải (h.1) C J A B I M O O ’ D Hình 1 a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB CD : gt) ACMD là hình thoi AC // DM, mà AC CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) DM CB; MJ CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng. Ta có : IDˆM IMˆD 900 (vì DIˆM 900 ) Mà IJˆM IDˆM (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến) MJˆO ' JMˆO ' IMˆD (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); JMˆO ' và IMˆD đối đỉnh) (1,5 điểm) IJˆM MJˆO ' 900 (0,5 điểm) IJ là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm Gv: Nguyễn Văn Tú 30 Trường THCS Thanh Mỹ
  31. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 b) Ta có IA = IM AB IO’ = = R (R là bán kính của (O)) 2 O’M = O’B (bán kính (O’) JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 2 2 Mà IJ + O’J 2IJ.O’J = 4SJIO’ R2 (1,5 điểm). Do đó SJIO’ 4 R2 SJIO’ = khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : 4 R 2 2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = 2 (0,5 điểm) Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 2 Bài 5 (4 điểm). a) Cho tam giác ABC. Hãy tìm điểm M sao cho tổng độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM là nhỏ nhất. b) Trong tất cả các tam giác có đáy bằng a, chiều cao bằng h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất ? Giải a) (h.2) A R 1 H O1 M B C R2 O2 Hình 2 Gọi O1, R1, O2, R2 lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM (h.2). Xét O1AB : O1A + O1B AB 2R1 AB Gv: Nguyễn Văn Tú 31 Trường THCS Thanh Mỹ
  32. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 (0,5 điểm) 2R1 = AB AB là đường kính của (O1) và giả sử đường tròn (O1) đường kính AB cắt AC tại H thì AHˆB = 900 (1) (0,5 điểm)Tương tự với O2BC : 2R2 BC. Suy ra R2 nhỏ nhất BC là đường ˆ kính của (O2) và giả sử đường tròn (O2) đường kính BC cắt AC tại H’ thì BH 'C = 900 (2) (1,0 điểm) Từ (1) và (2) suy ra H’ H. Vậy điểm MC’ phải tìm là chân đường cao kẻ từ đỉnh B. b) (h.3). (2,0 điểm). Lí luận đúng x A A1 y h B a C Hình 3 Tất cả các tam giác có đáy a, chiều cao h đều có thể sắp xếp để cạnh đáy của chúng trùng với BC = a, còn đỉnh A ở trên một đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng h. Trong các tam giác này, ta cần tìm tam giác có bán kính đường 1 tròn nội tiếp lớn nhất. Ta có SABC = ah 2 1 Mặt khác, nếu r là bán kính của đường tròn nội tiếp thì S ABC = r(AB + BC + 2 CA) ah r = AB BC CA Do a, h, BC không đổi nên r sẽ có giá trị lớn nhất khi AB + AC có giá trị nhỏ nhất Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua xy thì AB + AC = AB + AC’ C’B Khi đó : AB + AC = C’B khi A A1 ABC cân tại A. Gv: Nguyễn Văn Tú 32 Trường THCS Thanh Mỹ
  33. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 PGD& ĐT huyện Long Điền Trường THCS Trần Nguyên Hãn ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2009 – 2010 Thời gian 150 phút. 3x 9x 3 x 1 x 2 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = x 0; x 1 x x 3 x 2 1 x a/ Rút gọn K b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111 .111 ( 2m chữ số 1) B = 111 .111 (m + 1 chữ số 1) C = 666 .666 (m chữ số 6) Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương Bài 3: (4 điểm) 1 1 1 a/ Cho abc = 1.Tính S = 1 a ab 1 b bc 1 c ac b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 7y = 167 Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d qua A cắt (O) tại M và (O’) tại M’. a/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B b/ Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến Gv: Nguyễn Văn Tú 33 Trường THCS Thanh Mỹ
  34. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 tại A và B của (O) lần lượt tại C và D, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM. ĐÁP ÁN Bài 1(4 điểm) 3x 9x 3 x 1 x 2 3x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 x 2 a/ K = = x x 3 x 2 1 x x 2 x 1 (0,5điểm) x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = = = x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 (1,5điểm) b/ K = x 1 = 1 + 2 x 1 x 1 (0,5điểm) K nguyên khi 2  x 1 x 1 Ư(2) = 1; 2 (0,75điểm) Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên x = 4;9 (0,75điểm) Bài 2: (4 điểm) 2m A = 111 .111 ( 2m chữ số 1) = 10 1 9 (0,5điểm) m 1 B = 111 .111 (m + 1 chữ số 1) = 10 1 9 (0,5điểm) 6 10m 1 C = 666 .666 (m chữ số 6) = 9 (0,5điểm) m 102m 1 10m 1 1 6 10 1 102m 16.10m 64 A + B + C + 8 = + + + 8 = = 9 9 9 9 2 10m 8 (1điểm) 3 Mà 10m + 8  3 nên 10m + 8 là số nguyên (0,25điểm) Vậy A + B + C + 8 là số chính phương (0,25điểm) Bài 3: (4 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 34 Trường THCS Thanh Mỹ
  35. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 1 a/ Cho abc = 1. ab c 1 1 1 1 1 1 S = = 1 1 a ab 1 b bc 1 c ac 1 a abc b bc 1 c ac c (0,5điểm) c 1 1 bc 1 b b c ac 1 = = = 1 c ac 1 b ac 1 c 1 c ac b 1 c ac b c ac 1 (1.5điểm) b/ phương trình 3x + 7y = 167 167 7y y 1 3x + 7y = 167 x = = 56 2y 3 3 (0,5điểm) y 1 đặt = t y = 3t – 1 Nên x = 58 – 7t (t Z) 3 (0,5điểm) 1 Vì x; y nguyên dương nên 3t – 1 > 0 t > 3 58 và 58 – 7t > 0 t < 7 (0,5điểm) Vì t Z n ên t 1;2;3;4;5;6;7;8 (0,25điểm) Các nghiệm nguyên dương của phương trình là : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23) (0,25điểm) Bài 4 (5 điểm) hình vẽ (0,5điểm) a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N . Vì NMˆA = 900 nên AN là đường kính của đường tròn (O) N cố định (0,5điểm) Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’ Vì N 'Mˆ ' A = 900 nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’) N’ cố định (0,5điểm) B thuộc đường tròn đường kính AN nên ABˆN = 900 (0,25điểm) B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên ABˆN ' = 900 (0,25điểm) NBˆN ' = ABˆN +ABˆN ' = 1800 (0,25điểm) Vậy N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 35 Trường THCS Thanh Mỹ
  36. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) OI đi qua trung điểm của NA và NN’ nên OI là đường trung bình của ANN’ OI = O’A = R’ (0,5điểm) Gọi r là bán kính của đường tròn (I) vẽ (I; r) và (O; R) tiếp xúc trong, nên OI = R – r Mà OI = R’ (cmt) nên R’ = R – r R’ + r = R (0,5điểm) Lại có IO’ đi qua trung điểm của N’N và AN’ nên OI là đường trung bình của ANN’ O’I = OA = R (0,5điểm) mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r (I; r) tiếp xúc ngoài với (O’; R’) (0,5điểm) Vậy trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) (0,5điểm) Bài 5 (4 điểm) hình vẽ (0,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM Ta có CA = CM; BD = BM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (0,25điểm) Mà CD = CM + MD nên CD = AC + BD (0,25điểm) Kẻ MH AB (H AB) ta có MH MO = R (0,25điểm) Tứ giác ABDC là hình thang vuông nên CD AB = 2R (0,5điểm) AC BD AB CD.AB AB.AB 2 Ta có SABDC = 2R (0,5điểm) 2 2 2 MH.AB MO.AB 2 SMAB= R (0,5điểm) 2 2 2 2 Nên SACM + SBDM = SABDC - SMAB 2R –R 2 SACM + SBDM R (0,5điểm) Dấu “=” xảy ra H O (0,25điểm) M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O)(0,25điểm) Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O) 2 Thì SACM + SBDM nhỏ nhất và bằng R (0,25điểm) ( Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho tròn điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 36 Trường THCS Thanh Mỹ
  37. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 x y D M C A H O B M A M' O O' N I B N' Hình bài 5 hình bài 4 Phòng GD Huyện Long Điền ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trường THCS Văn Lương Năm học : 2009 – 2010 Môn : TOÁN 9 : 150 phút Bài 1 ( 6 điểm ) 2 3 5 13 48 1) Chứng minh rằng : A là một số nguyên 6 2 2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 a2 b2 Chứng minh : 2 2 a b Gv: Nguyễn Văn Tú 37 Trường THCS Thanh Mỹ
  38. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 3) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho : 2 abc n 1 2 với n là số nguyên lớn hơn 2 cba n 2 Bài 2 : ( 4 điểm ) 2 x 2 x 2 1 x Cho biểu thức : P  ( với x 0; x 1 ) x 1 x 2 x 1 2 a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng : nếu 0 0 c) Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 3 : ( 5 điểm ) Cho ABC nhọn. Trên đường cao AD ( D BC ) lấy điểm I sao cho BIˆC 900 . Trên đường cao BE ( E AC ) lấy điểm K sao cho AKˆC 900 . Chứng minh : CI = CK Bài 4 : ( 5 điểm ) Cho ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có 2 đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M, cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí điểm D và E để diện tích DME đđạt giá trị nhỏ nhất. ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Bài 1 : ( 6 điểm ) 2 3 5 (2 3 1) 2 3 4 2 3 2) ( 2 điểm ) Viết được A ( 0,5 đ ) 6 2 6 2 Gv: Nguyễn Văn Tú 38 Trường THCS Thanh Mỹ
  39. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 2 3 ( 0,5 đ ) 6 2 2 8 4 3 6 2 = 1 ( 1 đ ) 6 2 6 2 3) ( 2 điểm ) 2 2 a2 b2 a b 2ab a b 2 2 * Vì a.b = 1 nên a b ( 1 đ ) a b a b a b a b * Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 2 2 Ta có : a b 2 a b  a b a b a2 b2 Vậy 2 2 ( 1đ ) a b 4) ( 2 đđiểm ) abc 100a 10b c n2 1 Viết được 2 cba 100c 10b a n 4n 4 Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5  99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 n2 1 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n 5 119 (4) ( 0,75đđ ) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc 675 ( 0,5 đ ) Bài 2 ( 4 điểm ) a) Rút gọn x 2  x 1 x 2  x 1 1 x 2 P . x 1  x 1 2 ( 1,5 đ ) x  1 x b) Với 0 0 Do đđó x 1 x > 0 ( 1 đ ) 2 1 1 1 c) Viết được P x x x 2 4 4 1 1 1 Vậy Pmax = x 0 x ( 1,5 đ ) 4 2 4 Gv: Nguyễn Văn Tú 39 Trường THCS Thanh Mỹ
  40. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài 3 ( 5điểm ) ( hình vẽ 0,5 đ ) Viết được CI 2 = BD.BC (1 đ ) CK 2 = CE.CA (1đ ) Chứng minh BD.BC = CE.CA (1,5 đ ) => CI 2 = CK2 => CI = CK ( 1 đ) Bài 4 : ( 5 điểm ) -Vẽ MH  AB;MK  AC H AB, K AC Thì ta có H , K cố định (1 đ ) MH  HD MD MH Chỉ ra ( 1đđ ) MK  KE ME MK 1 1 Do đó SMDE = MD  ME MH  MK 2 2 Với MH , MK không đổi ( vì M , H , K cố định ) ( 1 đ ) D  H Đẳng thức xảy ra .Luùc ñoù c/m ñöôïc D & E laàn löôït laø trung E  K ñieåm cuûa AB vaø AC (1,5 đ ) Vậy khi D , E lần lượt là trung ñieåm cuûa AB , AC thì SMDE nhỏ nhất ( 0,5đ ) PHOØNG GD- ÑT LONG ÑIEÀN KYØ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI CAÁP HUYEÄN NAÊM HOÏC 2005-2006 MOÂN THI : TOAÙN Gv: Nguyễn Văn Tú 40 Trường THCS Thanh Mỹ
  41. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Thôøi gian : 150 phuùt ( Khoâng keå thôøi gian giao ñeà) Ngaøy thi: 20 -01 -2006 Baøi 1: (4,0 ñ) 1/ Cho A = 1+2+3+ + 2004+2005 +2006 a/ Tính A (1,0 ñ) b/ Neáu thay toång cuûa hai soá haïng baát kyø ( choïn trong toång A)ø baèng hieäu cuûa hai soá haïng ñoù thì toång môùi cuûa A laø soá leû hay soá chaün (1,0 ñ) 2/ Chöùng minh raèng soá töï nhieân : 1 1 1 1 A = 1.2.3 2003.2004 (1++ + + + ) 2 3 2003 2004 chia heát cho 2005 (2,0 ñ) Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm 2006 (2006 1) 1: a/ ( 1,0 ñ) Ta coù : A = 1003 . 2007 = 2013021 2 b/ ( 1,0 ñ) Vôùi hai soá a, b baát kyø thì tính chaün leû cuûa toång vaø hieäu gioáng nhau. Ta coù: . a = 2p ; b = 2q a + b = 2( p + q) ; a – b = 2( p – q): Chaün . a = 2p + 1 ; b = 2q + 1 a + b = 2(p + q + 1); a – b = 2(p – q): Chaün . a = 2p ; b = 2q + 1 a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) – 1 :leû . a = 2p + 1 ; b = 2q a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) + 1: leû Nhö vaäy khi ta thay moät toång bôûi hieäu cuûa chuùng thì tính chaün leû cuûa toång A khoâng ñoåi A = 2013021 laø soá leû neân toång A môùi laø moät soá leû 2/ ( 2,0 ñ) Ta coù: 1 1 1 1 C = (1++ + + + ) 2 3 2003 2004 1 1 1 1 1 = (1+ ) +(+ ) + + +(+ ) 2004 2 2003 1002 1003 1 1 1 = 2005( ) 2004 2 . 2003 1002 . 1003 = 2005. k ( 1,0 ñ) B = 1.2.3 2003.2004 1 1 1 maø 1.2.3 2003.2004 ( ) N B . k 2004 2 . 2003 1002 . 1003 N A = B. 2005 k  2005 ÑPCM ( 1,0 ñ) Gv: Nguyễn Văn Tú 41 Trường THCS Thanh Mỹ
  42. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Baøi 2: (4,0 ñ) 1/ Chöùng minh raèng neáu: x2 + y2 = 1 thì: 2 x y 2 (2,0 ñ) 2/ Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc : 1 1 2 A = x2 + x4 x 1 vôùi x = 2 (2,0 ñ) 2 8 8 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm 1/ Ta coù: ( x – y )2 0 x2 + y2 2 xy Vì x2 + y2 = 1 2xy 1 Do ñoù: x2 + y2 + xy 1 + 1 = 2 ( x + y )2 2  x + y  2 -2 x + y 2 1 1 2 2/ Ta coù: x = 2 2 8 8 1 1 1 1 1 1 2 1 x2 = = 2 2 2 2 2 16 8 8 4 4 4 2 8 x 2 2 x2 2x 1 = 0,5d x4 ( 0,5 ñ) 4 8 2 x 3 Vaø x4 + x + 1 = ( 0,5 ñ) 8 Thay vaøo A ta coù A = 2 ( 0,5 ñ) Baøi 3: ( 4,0 ñ) 1/ Cho x> 0, y> 0 thoûa maõn x+ y = 6 6 8 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: A = 3x + 2y + x y 2/ Tìm taát caû nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: 5x y 3x 2 2y 1 3 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm 6 8 3 3 6 y 8 1/ Ta coù: A = 3x + 2y + =( 0, 5ñ) x y x ( 0, 5ñ) x y 2 2 x 2 y 3 x 2 y 8 .6 6 . 2 . 19 ( 0, 5ñ) 2 2 x 2 y Daáu “=” xaûy ra khi x = 2; y = 4. ( 0, 5ñ) Vaäy: Min P = 19 khi x = 2; y = 4 5x 5x 2/ y 3x 2 2y 1 3x 2 2y 1 y 1 (1) (0,5 ñ) 3 3 Ta coù veá traùi laø moät soá voâ tyû. Veá phaûi laø soá höõu tyû neân ñeå phöông trình coù nghieäm nguyeân laø caû hai veá cuûa (1) baèng 0 Gv: Nguyễn Văn Tú 42 Trường THCS Thanh Mỹ
  43. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 3x 2 2y 1 0 5x y 1 0 (1,0 ñ) 3 Giaûi heä phöông trình ta ñöôïc nghieäm laø(3; 6) ( 0,5 ñ) Baøi 4: (4,0 ñ) Cho tam giaùc ABC coù BC = a; AC = b; AB = c noäi tieáp ñöôøng troøn ( O; R) Ñöôøng cao AH. a/ Chöùng minh: bc = 2R. AH 3 3 b/ Goïi S laø dieän tích tam giaùc ABC. Chöùng minh: S R2 4 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm a/( 2,0 ñ) Veõ ñöôøng kính AD ta coù: A· CD 1V ( 0,5 ñ) AHB vaø ACD coù A· BH A· DC ( Cuøng chaén cung AC) AHB ACD (0, 5 ñ) AH AB AB . AC AD . AH AC AD bc bc = 2R . AH AH = ( 0,5 ñ) 2R 1 abc b/ ( 2,0 ñ) Ta coù SABC = BC . AH = ( 0,5 ñ)Aùp duïng baát 2 4R ñaúng thöùc CoSi 1 a b c 3 ta coù SABC ( ) (0, 5 ñ) daáu “ = “ xaûy ra khi a = b = c Khi ñoù 4R 3 a tam giaùc ABC ñeàu R = (0, 5 ñ) 3 1 3 3 2 3 2 3 3 2 S . a = . a . (R 3) R 4a 4 4 4 3 3 3 Vaäy: S R2 (0, 5 ñ) 4 Baøi 5: (4,0 ñ) Cho goùc xOy vaø moät ñieåm M chuyeån ñoäng trong goùc ñoù sao cho MH + MK = l ( doä daøi cho tröôùc) vôùi H vaø K laø hình chieáu cuûa M treân Ox vaø Oy. Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc OHMK ñi qua moät ñieåm coá ñònh (khaùc ñieåm O) Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Gv: Nguyễn Văn Tú 43 Trường THCS Thanh Mỹ
  44. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Goïi Oz laø tia phaân giaùc cuûa x· Oy veõ ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc vôùi Oz taïi P. Ta coù OP vöøa laø phaân giaùc vöøa laø ñöôøng cao neân OAB caân taïi O 1 OA = OB.( 0,5 ñ) Veõ AD  OB ta coù SOAB=AD . OB 1 2 1 1 Maët khaùc : SABC = SOAM + SOBM = OA . MH +OB . MK ( 0,5 ñ) 2 2 1 Maø OA OB S OB. MH MK (2) AD = MH + MK = l ( 0,5 ABC 2 ñ) OAB coá ñònh . Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc OHMK coù ñöôøng kính laø OM Ñieåm P Nhìn OM döôùi moät goùc vuoâng neân P thuoäc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc OHMK P laø ñieåm coá ñònh ( 0,5 ñ) Gv: Nguyễn Văn Tú 44 Trường THCS Thanh Mỹ
  45. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Phßng gi¸o dôc vµ ®µo kú thi chän häc sinh giái líp 9 THCS t¹o yªn ®Þnh n¨m häc 2008 - 2009 M«n: To¸n ®Ò thi chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Câu 1: (4,0 điểm) 2x 4 1 Cho biÓu thøc : P . x - 2 x2 - 5x 6 x - 3 a) T×m ®iÒu kiÖn của x ®Ó P cã nghÜa vµ rót gän biÓu thøc P. b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P nguyªn. Câu 2: (5,0 điểm) 3x 3 Trªn mÆt ph¼ng täa ®é cho c¸c ®-êng th¼ng (d): y vµ 2 9 - 3x (d') : y c¾t nhau t¹i C vµ lÇn l-ît c¾t trôc Ox t¹i A, B. 2 a) T×m täa ®é cña c¸c ®iÓm A, B, C. b) T×m diÖn tÝch vµ chu vi cña tam gi¸c ABC biÕt ®¬n vÞ ®o ®é dµi trªn c¸c trôc lµ cm. Câu 3: (4,0 điểm) 5 a, Cho 3 sè d-¬ng a,b,c tho¶ m·n a2 b2 c2 3 1 1 1 1 Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a b c abc b, T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh: x2 25 y(y 6) Câu 4: (5,0 điểm) Cho ®-êng trßn t©m O ®-êng kÝnh AB; Tõ A vµ B ta vÏ hai d©y cung AC vµ BD c¾t nhau t¹i N. Hai tiÕp tuyÕn Cx, Dy cña ®-êng trßn c¾t nhau t¹i M. Gäi P lµ giao ®iÓm cña hai ®-êng th¼ng AD vµ BC. a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB. b, Chøng minh P,M,N th¼ng hµng. C©u 5: (2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 2 3 4 5 2000 3 Gv: Nguyễn Văn Tú 45 Trường THCS Thanh Mỹ
  46. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 HÕt Häc sinh kh«ng ®­îc sö dông tµi liÖu g×. C¸n bé coi thi kh«ng giải thÝch g× thªm. Phßng gi¸o dôc vµ kú thi chän häc sinh giái líp 9 THCS ®µo t¹o yªn ®Þnh n¨m häc 2008 - 2009 §¸p ¸n vµ h­íng dÉn chÊm M«n: To¸n H­íng dÉn chÊm nµy cã 3 trang C ý Néi dung c¬ b¶n §iÓm ©u x 2 ; x 3 §iÒu kiÖn : 2 x 2 vµ x 3 0,5 x - 5x 6 0 2x 4 1 P x - 2 x2 - 5x 6 x - 3 2x(x - 3) 4 (x - 2) 2x2 - 7x 6 0,5 = = a (x - 2)(x - 3) (x - 2)(x 3) ) (2x - 3)(x - 2 ) 2x - 3 = = (x - 2)(x 3) x 3 2x - 3 VËy : P = víi x 2 , x 3 . 1,0 x 3 Gv: Nguyễn Văn Tú 46 Trường THCS Thanh Mỹ
  47. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 1 2x - 3 (2x - 6) 3 3 Ta cã P = = = 2 + x 3 x 3 x 3 0,5 3 nªn P nguyªn nguyªn x - 3 lµ -íc cña 3 x 3 0,5 x - 3 3 x 6 b ) x - 3 1 x 4 x - 3 - 3 x 0 . x - 3 -1 x 2 ( lo¹i ) VËy c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m lµ x = 6 ; x = 4 ; x = 0 1,0 C© ý Néi dung c¬ b¶n §iÓ u m C lµ giao ®iÓm cña d vµ d/ nªn täa ®é cña C tháa m·n hÖ : 2y 3x 3 2y 3x 3 x 1 VËy C(1 ; 3) 1,0 2y 9 - 3x 4y 12 y 3 a) y Ph-¬ng tr×nh trôc Ox lµ y = 0 nªn täa ®é A tháa m·n 3x+3 y = 2 hÖ : 3 C 0,5 2y 3x 3 y 0 -1 1 3 x A O H B x -1 0,5 9-3x y = VËy A(- 1; 0) 2 y 0 täa ®é B tháa m·n hÖ : b Gv: Nguyễn Văn Tú 47 Trường THCS Thanh Mỹ
  48. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 ) 2y 9 - 3x x 3 VËy B(3 ; 0) y 0 y 0 2 Gäi H lµ h×nh chiÕu cña C trªn trôc Ox th× CH lµ ®-êng cao cña tam gi¸c CAB vµ CH = 3 cm ( tung ®é cña ®iÓm C) ; c¹nh ®¸y AB = AO + OB = 1 + 3 = 4 (cm) . 1 1 dt( ABC) = AB.CH = .4.3 = 6 (cm2) 1,5 2 2 HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm) HB = AB - AH = 2 (cm) HA = HB = 2(cm) tam gi¸c CAB c©n t¹i C (CH võa lµ ®-êng cao võa lµ trung tuyÕn) ; tam gi¸c vu«ng HCA cã : CA AH2 HC 2 22 32 13 (cm) chu vi ABC lµ : AB + BC + CA = 4 2 13 (cm) 1,5 C© Ta cã u a a b c 2 0 3 a2 b2 c2 2(ac bc ab) 0 0.5 1 1 5 ac bc ab (a2 b2 c2 )  1 2 2 3 0.5 ac bc ab 1 (do a,b,c > 0) abc abc 0.5 1 1 1 1 a b c abc 0.5 Tõ x2 25 y(y 6) b Ta cã : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 §Ó ý trong ph-¬ng tr×nh chØ chøa Èn sè x víi sè mò b»ng 2 , do ®ã ta cã thÓ h¹n chÕ gi¶i víi x lµ sè tù nhiªn. 0.5 Khi ®ã: y+3+x y+3-x . Ta cã ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) lµ sè ch½n Suy ra 2 sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) cïng tÝnh ch½n lÎ . Ta l¹i cã tÝch cña chóng lµ sè ch½n , vËy 2 sè 2 sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) lµ 2 sè ch½n . 0.5 Ta chØ cã c¸ch ph©n tÝch - 16 ra tÝch cña 2 sè ch½n sau ®©y. Gv: Nguyễn Văn Tú 48 Trường THCS Thanh Mỹ
  49. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 - 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong ®ã thõa sè ®Çu b»ng gi¸ trÞ (y+3+x). Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta cã x= 5 , y= 0. 0.5 Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta cã x= 4 , y= -3. Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6. V× thÕ ph-¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm ( x,y) = ( 5,0 ; 5, 6 ; 4, 3 . 0.5 C© u 4 Trong tam gi¸c PAB ta cã AC vµ BD lµ c¸c ®-êng cao nªn N lµ trùc t©m tam gi¸c. Do ®ã PN lµ ®-êng cao cßn l¹i nªn vu«ng gãc a víi c¹nh AB. 2 Gäi I lµ trung ®iÓm cña PN th× IC lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c b vu«ng PAC nªn IPC c©n t¹i I. Do ®ã : IPC ICP . 0,5 Tam gi¸c OAC c©n t¹i O nªn : CAO ACO . 0,5 MÆt kh¸c CAO IPC (do cã c¸c c¹nh t-¬ng øng vu«ng gãc) nªn ACO ICP . 0.5 Ta cã AC  PC nªn OC  IC . Do ®ã IC lµ tiÕp tuyÕn t¹i C cña ®-êng trßn. 0.5 T-¬ng tù , ID lµ tiÕp tuyÕn t¹i D cña ®-êng trßn . 0.5 Gv: Nguyễn Văn Tú 49 Trường THCS Thanh Mỹ
  50. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Chøng tá I trïng víi M nªn P,M,A th¼ng hµng. 0.5 C© u 5 2 3 4 5 2000 2 3 1999.2001 2 3 1998 20002 1 2 3 1998.2000 2 3 1997 19992 1 1,0 2 3 1997.1999 2.4 3 1,0 Hết Gv: Nguyễn Văn Tú 50 Trường THCS Thanh Mỹ