Đề chọn đội tuyển dự thi cấp tỉnh môn Toán THCS - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Cm'Gar (Có đáp án)

Nội dung text: Đề chọn đội tuyển dự thi cấp tỉnh môn Toán THCS - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Cm'Gar (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP TỈNH HUYỆN ČM’GAR NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN: TOÁN- THCS Thời gian làm bài: 120 phút Bài số 2 (Không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) xy x xy x Cho biểu thức P x 1 1 : 1 x 1 . xy 1 1 xy xy 1 xy 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Cho 1 1 8 . Tìm giá trị lớn nhất của P. x y Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho A = n6 n4 2n3 2n2 (với n N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương. b) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn18a 4b 2013 . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax2 4bx 671 9a 0 . Bài 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4. (1,5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (Aµ Dµ 900 ), có DC = 2AB . Kẻ DH vuông góc với AC (H AC) , gọi N là trung điểm của CH. Chứng minh BN vuông góc với DN . Bài 5. (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D AC, E AB) a) Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng b) Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng 1 1 1 DK2 DA2 DM2 hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài câu Gợi ý lời giải Điểm a Điều kiện: xy 1 . 0,25 x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy P : 0,25 xy 1 1 xy xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy 0,25 xy 1 1 xy x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy 0,25 xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy 1 1 x 1 0,25 x y xy xy b 1 1 1 1 Theo Côsi, ta có: 8 2 16 . 0,25 x y xy xy 1 Dấu bằng xảy ra 1 1 x = y = . 0,25 x y 16 1 Vậy: maxP = 9, đạt được khi : x = y = . 0,25 16 2,0 a n6 n4 2n3 2n2 n2 (n 1)2 .(n2 2n 2) 0, 25 2 2 2 với n N , n > 1 thì n 2n 2 (n 1) 1 > (n 1) 0,25 2 2 2 và n 2n 2 n 2(n 1) < n 0,25 2 (n 1) n2 2n 2 n2 n2 2n 2 Vậy < < không là số 0, 25 chính phương đpcm b Cho hai số thực a, b thỏa mãn 18a 4b 2013 (1) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: 2 18ax2 4bx 671 9a 0 (2) TH1 : Với a = 0 thì (2) 4bx 671 0 671 0,25 Từ (1) b 0 . Vậy (2) luôn có nghiệm x 4b TH2 : Với a 0 , ta có : ' 4b2 18a(671 9a) 4b2 6a.2013 162a2 0,25 4b2 6a(18a 4b) 162a2 4b2 24ab 54a2 (2b 6a)2 16a2 0,a,b0,25 Vậy pt luôn có nghiệm 0,25 2,0
3. Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 0,25 2 Ta có: abcd k với k, m N, 0,25 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m2 31 k m 100 abcd k2 2 0,25 abcd 1353 m 0,25 3 Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) 0,25 m+k = 123 m+k = 41 0,25 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 ( loại) 0,25 Kết luận đúng abcd = 3136 0,25 2,0 4 Gọi M là trung điểm của DH 0,25 Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành AM // BN (1) 0,25 Chứng minh MN  AD 0,25 Suy ra M là trực tâm của ADN AM  DN (2) 0,25 Từ (1) và (2) BN  DN 0,5 1,5
4. a Ta có IB  AB; CE  AB (CH  AB) Suy ra IB // CH 0,25 IC  AC; BD  AC (BH  AC) 0,25 Suy ra BH // IC Như vậy tứ giác BHCI là hình bình hành J trung điểm BC 0,25 J trung điểm IH 0,25 Vậy H, J, I thẳng hàng 0,25 b 1 Ta có A· CB A· IB sdA»B 0,25 2 A· CB D· EA cùng bù với góc D· EB của tứ giác nội tiếp BCDE 0,25 B· AI A· IB 900 vì ABI vuông tại B Suy ra B· AI A· ED 900 , hay E· AK A· EK 900 0,25 Suy ra AEK vuông tại K Xét ADM vuông tại M (suy từ giả thiết) 0,25 DK  AM (suy từ chứng minh trên). 1 1 1 Như vậy . 0,25 DK2 DA2 DM2 2,5 Tổng 10 Lưu ý: - Hs có cách giải khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm trên. - Điểm bài thi là tổng điểm thành phần các bài. Không làm tròn.