Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán 6

Nội dung text: Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán 6

1. 1 CHUYÊN ĐỀ .CHỮ SỐ TẬN CÙNG A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tìm 1 chữ số tận cùng Tính chất 1: Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là1 . d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là6 . Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a : - Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 . - Nếu chữ số tận cùng của a là3, 7, 9 : Phân tích: am = a4n+ r = a4n .ar với r = 0, 1, 2, 3 Từ tính chất 1c Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar . - Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 : cũng như trường hợp trên Từ tính chất 1d Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6ar . Tính chất 2:
2. 2 Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n Î ¥ )thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
3. 3 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Tính chất 4: Nếu a Î ¥ và (a , 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125. Chứng minh: Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 Þ a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a100 - 1 = (a20 - 1) (a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125. * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số A = nk với n,k Î N . k - Giả sử A = 10q+ r . Khi đó, A k = (10q+ r ) = 10t p + r k với r Î ¥ ; 0 £ r £ 9 Suy ra, chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r k . - Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A . - Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A . m - Nếu A = 10 .am + am- 1 a0 = am a1a0 thì am- 1 a0 là m chữ số cuối cùng của A . 2. Tìm hai chữ số tận cùng Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 100. Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = an : Trước hết, ta có nhận xét sau: 220 º 76 (mod 100)
4. 4 320 º 01 (mod 100) 65 º 76 (mod 100) 74 º 01 (mod 100) Mà: 76n º 76 (mod 100) với n ³ 1 , 5n º 25 (mod 100) với n ³ 2 . Suy ra kết quả sau với k Î ¥ * : a20k º 00 (mod 100) nếu a º 0 (mod 10) , a20k º 01 (mod 100) nếu a º 1; 3; 7; 9 (mod 10) , a20k º 25 (mod 100) nếu a º 5 (mod 10) , a20k º 76 (mod 100) nếu a º 2; 4; 6; 8 (mod 100) . Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an ta lấy số mũ n chia cho 20 . Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Dạng 1. Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng - Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76 - Các số 320 (hoặc 815 ); 74; 512 ; 992 có tận cùng bằng 01 . - Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76 . - Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76 . - Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. (1) - Các số 320;74;910;512;815;992 có chữ số tận cùng là 01. (2) - Các số 410;65;184;242;684;742 có chữ số tận cùng là 76. (3) - Số 26n (n > 1) có chữ số tận cùng là 76. (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.
5. 5 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Dạng 2. CHÚ Ý: - 410 có 2 chữ số tận cùng là 76. - 52 có 2 chữ số tận cùng là 25. - 820 có 2 chữ số tận cùng là 76. - 910 có 2 chữ số tận cùng là 01. 3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. k Giả sử n = 100k + r với 0 £ r < 100 , khi đó: an = a100k+ r = (a100) .ar . Giả sử: a º x (mod 10) , x Î {0, 1, 2, , 9} 100 Ta có: a100 = (10k + x) º x100 (mod 1000) Vậy 3 chữ số tận cùng của a100 cũng chính là 3 chữ số tận cùng của x100. Dùng quy nạp với mọi n ³ 1 , ta có: 625n º 625 (mod 1000), 376n º 376 (mod 1000). - Nếu x = 0 thì x100 º 000 (mod 1000) 25 - Nếu x = 5 thì x 4 = 54 = 625 Þ x100 = (54 ) º 625 (mod 103) - Nếu x = 1; 3; 7; 9 ta có tương ứng: 25 x 4 = 1;81; 2401; 6561 º 1 (mod 40) Þ x100 = (40k + 1) º 1 (mod 103) - Nếu x = 2;4; 6;8 thì x100 M2100 M8 . Ta có: (x , 125) = 1 nên x100 º 1 (mod 125) (Định lí Euler). Giả sử 3 chữ số tận cùng của x100 là abc ta có: x100 = 1000k + abc Þ abc M8 và abc º 1 (mod 125)
6. 6 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Trong các số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một số chia hết cho 8 là 376. Vậy x100 º 376 (mod 1000). Do đó ta có kết quả sau: a100k º 000 (mod 103) nếu a º 0 (mod 10) a100k º 001 (mod 103) nếu a º 1; 3; 7; 9 (mod 10) a100k º 625 (mod 103) nếu a º 5 (mod 10) a100k º 376 (mod 103) nếu a º 2; 4; 6; 8 (mod 10) Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của an ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ n . Dạng 3. Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng  Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 001; 376; 625.  Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625. II. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm 1 chữ số tận cùng Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 3240 b) 20182019 c)2750 d) 20192020 Phân tích: - Ta biết rằng các số tận cùng là 2;4;6;8 khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là 6 . Còn các số tận cùng là 1;3;7;9 khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là 1. - Để đưa về lũy thừa 4n thì em cần viết số mũ dưới dạng công thức của phép chia có dư với số chia là 4 . - Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị. Lời giải a) Để tìm chữ số tận cùng của 3240 ta tìm chữ số tận cùng của 240 Ta xét 240 , ta có 240 = 24.10 = 6
7. 7 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Vậy 3240 có chữ số tận cùng là 6 . b) Để tìm chữ số tận cùng của 20182019 ta tìm chữ số tận cùng của 82019 Ta xét, ta có 82019 = 84.502 ´ 8 = ( 6)´ 8 = 8 Vậy 20182019 có tận cùng là 8 . c) Chữ số tận cùng của 2750 cũng là chữ số tận cùng của 750 Ta có 750 = 74.12 ´ 72 = ( 1)´ 49 = 9 Vậy chữ số tận cùng của 2750 là 9 . d) Chữ số tận cùng của 20192020 cũng là chữ số tận cùng của 92020 Ta có 92020 = 94.505 = 1 Vậy chữ số tận cùng của 20192020 là 1 . Bình luận: Với phần d) ta có thể giải như sau: Vì chữ số tận cùng là 9 mà khi nâng lên lũy thừa chẵn sẽ ra tận cùng là 1, do vậy 20192020 có tận cùng là 1 . 2021 Với cách giải này ta hoàn toàn có thể mở rộng số cho phần d), chẳng hạn số 20192020 , 2050 20192020 , Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận cùng của 32020 Phân tích: Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là 1 hoặc 6 . Lời giải Ta thấy 34 = 81 , số tận cùng bằng 1 nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng 1 nên ta phân tích .32020 = 34.505 = 81505
8. 8 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Vậy số 3có20 2chữ0 số tận cùng bằng . 1 Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau 24 2015 5152 a)2625 b)20132014 c) 7850 Phân tích: Trong bài này ta không thể viết ngay số mũ ở dạng 4n , để cho dễ biểu diễn ta dùng đồng dư thức để tìm dư của phép chia số mũ cho 4 . Lời giải a) Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2524 khi chia cho 4 . Ta có 25 º 1(mod 4) Þ 2524 º 1(mod 4) Þ 2524 = 4k + 1(k Î N * ) 24 Suy ra, 2625 = 264k+ 1 = 264k ´ 26 = 6´ 26 = 6 24 Vậy 2625 có tận cùng là 6 . Nhận xét: Trong phần này rõ ràng dựa vào nhận xét ‘Số có tận cùng là 6 khi nâng lên lũy thừa bất kỳ luôn có tận cùng là 6 ’ thì lời giải rất đơn giản. b) Tương tự, ta tìm số dư khi chia số mũ của 2013 cho 4 . 2015 2015 ïü 2014 º 2(mod 4) Þ 2014 º 2 (mod 4)ï 2015 ýï Þ 2014 º 0(mod 4) Ta có 22015 = 22.1002 ´ 2 = 41002 ´ 2 ï þï Þ 20142015 = 4k (k Î N *) 2015 Do đó 20132014 = 20134k = 20134k = 1 2015 Vậy 20132014 có tận cùng là 1 . 52 c) Trước hết ta tìm số dư trong phép chia 5051 khi chia cho 4 . Ta có 50 º 2(mod 4); 502 º 0(mod 4); 50k º 0(mod 4)(k > 2) 52 Suy ra 5051 º 0(mod 4)(n Î N )
9. 9 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 52 52 Mà 5152 là số lẻ nên 5051 º 0(mod 4) Þ 5051 = 4m (m Î N ) 5152 Từ đó ta có 7850 = 784m = 784m = 6 5152 Vậy 7850 có tận cùng là 6 . Bình luận: Với bài toán ở dạng lũy thừa tầng thì ta luôn chú ý tìm cách viết số mũ dưới dạng công thức của phép chia có dư với số chia là 4 . Tuy nhiên, nếu tận cùng là một trong các số đặc biệt như: 0;1;5;6 thì ta nhận xét ngay mà không cần quan tâm đến giá trị của số mũ. Còn nếu tận cùng là 4 hoặc 9 thì ta có thể xem xét tính chẵn lẻ của số mũ để suy ra kết quả. Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của a) 789 - 481 b)22014.91955 Lời giải a) Ta có: 789 = 74.21.7 = 7.240121 nên số này có số tận cùng bằng 7 . 481 = 42.40.4 = 1640.4 nên số này có số tận cùng bằng 4 . Vậy số 789 - 481 có chữ số tận cùng bằng 3 b) Ta có: 22014 = 24.506.22 = 16506.4 nên số này có số tận cùng bằng 4 . 91955 = 92.977.9 = 81977.9 nên số này có số tận cùng bằng 9 . Vậy số 22014.91955 có chữ số tận cùng bằng 6 . Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau: 2020 a)2627.2728 b)(1.3.5 2019) 200202 100 c)(8.18.28.38 198) d)(1.3.9.11.13.17 2019) Phân tích: Để tìm chữ số tận cùng của tích ta có thể tìm chữ số tận cùng của từng thừa số hoặc nhóm các thừa số.
10. 10 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Lời giải a) Ta thấy 26 có tận cùng là 6 , mà số tận cùng là 6 nâng lên lũy thừa bao nhiêu vẫn tận cùng là 6 . Do đó, 2627 có tận cùng là 6 . Có 2728 = 274.7 = 1 Suy ra 2627 ´ 2728 = 6´ 1 = 6 Vậy tích có tận cùng là 6 . Khai thác: - Vì tích có tận cùng là 6 nên ta có thể yêu cầu khác như sau: 2627 ´ 2728 + 4 Chứng minh rằng số là số tự nhiên. 10 - Nếu để ý đến công thức lũy thừa của một tích ta có thể làm như sau: 27 4´ 6+ 3 2627 ´ 2728 = 2627 ´ 2727 ´ 27 = (26´ 27) ´ 27 = ( 2) ´ 27 4´ 6 3 = ( 2) ´ ( 2) ´ 27 = 6´ 8´ 27 = 6 b) Ta biết rằng tích của 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là 5 , do đó tích 1´ 3´ 5´ ´ 2019 sẽ có tận cùng là 5 . Mặt khác, số có tận cùng là 5 khi nâng lên lũy thừa bất 2020 kỳ vẫn tận cùng là 5 . Vậy (1´ 3´ 5´ ´ 2019) có tận cùng là 5 . Khai thác: Ta biết rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp sẽ có tận cùng là 1 trong các số sau: 0;2;6 do đó, ta có thể ra bài toán như sau: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 2020 2020 a)n 2 + n = (1´ 3´ 5´ ´ 2019) ; b)(2n + 1)(2n + 2) = (1´ 3´ 5´ ´ 2019) c) Đặt A = 8´ 18´ 28´ 38´ ´ 198 . Số thừa số của tích này là: (198 - 8): 10 + 1 = 20 (số hạng) (1) Ta thấy tích 4 thừa số có tận cùng là 8 sẽ có tận cùng là 6 . Vì có 20 thừa số ta kết hợp được 5 nhóm mỗi nhóm có 4 thừa số, tích mỗi nhóm này có chữ số tận cùng là 6 . Do đó kết quả của tích A
11. 11 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé có chữ số tận cùng là 6 . Mà số có tận cùng là 6 nâng lên lũy thừa bất kỳ sẽ có tận cùng là 6 , suy ra 202 A200 sẽ có tận cùng là 6 . Vậy lũy thừa của tích có tận cùng là 6 . Khai thác: - Ta để ý, chữ số tận cùng của A cũng là chữ số tận cùng của 8´ 8´ 8´ ´ 8 (20 thừa 200202 số), do đó ta có thể quy về việc tìm chữ số tận cùng của 820 - Ta có mở rộng bài toán bằng cách cho tăng số lượng các thừa số của tích. - Hoàn toàn tương tự, ta cũng có thể thay đổi chữ số tận cùng của mỗi thừa số trong tích bởi một chữ số khác. Chẳng hạn, tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2020 A = (2´ 12´ 22´ ´ 2022) 100200 B = (7´ 17´ 27´ ´ 2017) d) Ta để ý rằng các nhóm 1´ 3´ 7´ 9;11´ 13´ 17´ 19; ;2011´ 2013´ 2017´ 2019 đều có tận cùng giống nhau, nên ta đi tìm chữ số tận cùng của 1 nhóm. Ta có 1´ 3´ 7´ 9 = 9 Có số nhóm là: (2011- 1) : 10 + 1 = 202 (nhóm) Suy ra 202 4´ 50+ 2 4´ 50 2 (1´ 3´ 7´ 9´ 11´ 13´ 17´ ´ 2019) = ( 9) = ( 9) = ( 9) ´ ( 9) = 1´ 1 = 1 100 100 Vậy (1´ 3´ 7´ 9´ 11´ 13´ 17´ ´ 2019) = ( 1) = 1 nên có tận cùng là 1 . Khai thác: Ta thấy tất cả các thừa số của tích đều không chia hết cho 5 , nên ta có thể thay đổi cách phát biểu bài toán như sau: Cho số A = (1´ 3´ 5´ 7´ 9´ 11´ 13´ 15´ ´ 2019) , sau khi gạch bỏ tất cả các số chia hết cho 5 của A, ta được số B. Tìm chữ số tận cùng của B100 .
12. 12 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé - Bài toán trên có thể thay đổi các thừa số lẻ bằng các thừa số chẵn, chẳng hạn: Tìm chữ số tận cùng 2019 của số B = (2´ 4´ 6´ 8´ 12´ 14´ 16´ ´ 2018) Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau: S = 21 + 35 + 49 + ¼ + 20048009. Phân tích: Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong S, các số mũ này đều chia 4 dư 1 . Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng 4n + 1 sẽ có tận cùng không đổi. Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng 4(n – 2) + 1 n , n thuộc {2;3;4 ;2004} ) Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + ¼ + 9)+ 199.(1+ 2 + ¼ + 9)+ 1+ 2 + 3 + 4 = 200(1+ 2 + ¼ + 9)+ 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9 . Tổng quát hóa: 4(n- 2)+ 1 Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:S = 21 + 35 + 49 + ¼ + n Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011. Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng 4(n- 2)+ 3 n , n thuộc {2;3;4 ;2004}) Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ;
13. 13 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1+ 8 + 7 + 4 = 200.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4 = 9019 Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9 Tương tự hóa: 4(n- 2)+ 3 Tìm chữ số tận cùng của S = 23 + 37 + 411 + ¼ + n Ví dụ 1.8: Tìm số dư của phép chia: a) Q = 21 + 35 + 49 + + 20038005 cho 5 b) R = 23 + 37 + 411 + 20038007 cho 5 Lời giải: a) Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng 4(n- 2)+ 1 n , n thuộc {2;3;4 ;2003} ) Theo quy tắc 2, Chữ số tận cùng của tổng Q các lũy thừa bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng S. Mọi lũy thừa trong Q và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + + 9) + 199.(1+ 2 + + 9) + 1+ 2 + 3 = 200(1+ 2 + + 9) + 5 = 9005 Vậy chữ số tận cùng của tổng Q là 5 nên chia 5 không có dư. b) Nhận xét: Mọi lũy thừa trong R đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng 4(n- 2)+ 3 n , n thuộc {2;3;4 ;2003} ) Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 Như vậy, tổng R có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1+ 8 + 7 = 200.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 = 9015 Vậy chữ số tận cùng của tổng R là 5 nên chia 5 không có dư.
14. 14 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Ví dụ 1.9: Cho H = 1234567891011121314151617¼¼ .được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có 121 chữ số. Số H 2019 có chữ số tận cùng là chữ số nào? Phân tích: Trước hết ta phải tìm được chữ số tận cùng của H, muốn vậy ta phải tính xem với 121 chữ số thì chữ số cuối cùng được viết là chữ số nào. Ta dựa vào bài toán ngược của bài toán “Đánh số trang sách”. Lời giải: Ta có từ 1 đến 9 có 9 số, mỗi số gồm 1 chữ số. Từ 10 đến 99 có 90 số, mỗi số gồm 2 chữ số nên khi viết chúng liên tiếp ta có 90.2 = 180 (chữ số). Mà 9 < 121 < 180 nên chữ số tận cùng của H phải ở số có hai chữ số. Số chữ số của các số có 2 chữ số viết ở H là: 121- 9 = 112 (chữ số) Số các số có 2 chữ số viết viết ở H là 112 : 2 = 56 Số thứ 56 kể từ 10 có 2 chữ số là: 10 + (56 - 1) = 65 suy ra chữ số tận cùng của H là chữ số 5 (là chữ số hàng đơn vị của số 65 ). Mặt khác, 52019 có tận cùng là 5 . Vậy chữ số tận cùng của H 2019 là chữ số 5 . Tổng quát hóa: Bài toán có thể mở rộng cho số các chữ số của số đã cho. Cho H = 1234567891011121314151617¼¼ .được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có n chữ số (n Î N * ). Số H 2019 có chữ số tận cùng là chữ số nào? Với mỗi giá trị của n ta được một bài toán mới. 2 14 9 4 Ví dụ 1.10: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn (10´ A + x) = 1414 + 99 + 23 với A là số tự nhiên khác 0 . Phân tích: Rõ ràng ta không thể tính được giá trị vế phải, để ý rằng x chính là chữ số tận cùng của biểu thức 10´ A + x nên ta suy nghĩ theo hướng tìm chữ số tận cùng của vế phải.
15. 15 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Lời giải Ta biết rằng, số có tận cùng là 4 (hoặc 9 ) khi nâng lên lũy thừa chẵn cho tận cùng là 6 (hoặc 1 ), còn khi nâng lên lũy thừa lẻ sẽ tận cùng không đổi. 14 9 Do đó, chữ số tận cùng của 1414 là 6 , chữ số tận cùng của 99 là 9 4 Mặt khác, 23 = 281 = 24´ 20+ 1 = 24´ 20 ´ 2 = 6´ 2 = 2 4 suy ra chữ số tận cùng của 23 là 2 . Do vậy, chữ số tận cùng của vế phải giống chữ số tận cùng của 6 + 9 + 2 = 17 , tức là 7 . 2 Ta thấy 10´ A + x có tận cùng là x nên (10´ A + x) có tận cùng bằng tận cùng của x 2 Vì không có số nào lũy thừa bậc 2 lên để có tận cùng là 7 , nên không tìm được x thỏa mãn. Vậy không có x thỏa mãn. Bình luận: Việc phát hiện ra x là chữ số tận cùng của biểu thức trong ngoặc là mấu chốt để giải bài toán. Tổng quát hóa: Vì không có số nào lũy thừa với số mũ khác 4n + 1 hoặc 4n + 3 lại có tận cùng là 7 , nên ta có thể tổng quát bài toán như sau: Với mỗi số tự nhiên n , hãy tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 4n+ 2 14 9 4 a) (10´ A + x) = 1414 + 99 + 23 với A là số tự nhiên khác 0 . 4n 14 9 4 b) (10´ A + x) = 1414 + 99 + 23 với A là số tự nhiên khác 0 . Ví dụ 1.11: Chứng minh N = 20124n + 20134n + 20144n + 20154n không phải là số chính phương với mọi n là số nguyên dương. Lời giải Ta có 20124n = ( 6)n nên số này có số tận cùng bằng 6 20134n = ( 1)n nên số này có số tận cùng bằng 1
16. 16 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 20144n = ( 6)n nên số này có số tận cùng bằng 6 20154n số này có số tận cùng bằng 5 Suy ra số N có chữ số tận cùng bằng 8 , mà số chính phương không có chữ số tận cùng bằng 8 . Vậy số N không là số chính phương. Ví dụ 1.12: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n 2 + n + 1 chia hết cho 19952000 Lời giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5 . Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n 2 + n + 1 có chia hết cho 5 không? Ta có n 2 + n = n (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n 2 + n chỉ có thể là 0;2 ;6 n 2 + nchỉ+ có1 thể tận cùng là 1;3;7 khôngn 2 + n chia+ 1 hết cho . 5 Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n 2 + n + 1 chia hết cho 19952000 Sử dụng tính chất: “ một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0;1;5;6;9 ”, ta có thể giải được bài toán sau: Ví dụ 1.13: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 . Chứng minh rằng p8n + 3.p4n - 4 chia hết cho 5 . Lời giải: Theo tính chất trên, ta có p là số nguyên tố lớn hơn 5 vậy chữ số tận cùng của p là các chữ số 1;3;7;9, các lũy thừa của p có dạng 4n Chữ số tận cùng của p8n ;p4n là 1 . Vậy chữ số tận cùng của p8n + 3.p4n - 4 là 0 nên chia hết cho 5 (dpcm). Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng Ví dụ 2.1: Tìm hai số tận cùng của 2100 Lời giải Chú ý rằng: 210 = 1024 bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. 10 5 5 Do đó 2100 = (210) = 102410 = (10242) = ( 76) = 76
17. 17 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76. Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 Lời giải Ta thấy: 74 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. 497 497 Do đó: 71991 = 71988.73 = (74 ) .343 = ( 01) .343 = ( 01).343 = 43. Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng là 43. Bài toán tương tự Tìm hai chữ số tận cùng của: 99 a) 5151; b) 9999 ; c) 6666; d) 14101.16101 Hướng dẫn: 25 25 a) 5151 = (512) .51 = (K 01) .51 = K 51 . 99 k k b) 9999 = 992k+ 1 = (992) .99 = (K 01) .99 = (K 99) . 133 c)6666 = (65) .6 = (K 76).6 = K 56 . 101 50 50 d) 14101.16101 = (14.16) = 224101 = (2242) .224 = (K 76) .224 = (K 76).224 = K 24 . Ví dụ 2.3: Tìm 2 chữ số tận cùng của 197656.201577 Lời giải Ta thấy: Chữ số tận cùng của 197656 cũng là chữ số tận cùng của 7656 mà 7656 = 76
18. 18 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Chữ số tận cùng của 201577 cũng là chữ số tận cùng của 1577 mà 77 1577 = (3.5) = 377.577 = 320.3+ 17.577 = 317( 01).( 25) = ( 63)( 25) = 75. Suy ra: 197656.201577 = ( 76).( 75) = 00. Vậy 197656.201577 có 2 chữ số tận cùng là 00. Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận cùng của số C = 2999 Lời giải Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025M25 suy ra 220 – 1 = (210 + 1)(210 – 1)M25 50 Ta lại có 21000 – 1 = (220) – 1M220 – 1 suy ra 21000 – 1M25 Do đó21000 chữ số tận cùng là 26;51;76nhưng 21000 M4 Suy ra 21000 tận cùng là 76 Þ 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 M4 Vậy 2999 tận cùng là 88 Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88. Ví dụ 2.5: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng 2002 2002 2002 2002 a)S1 = 1 + 2 + 3 + L + 2004 2003 2003 2003 2003 b) S2 = 1 + 2 + 3 + L + 2004 Phân tích: Trong bài tập này ta sử dụng tính chất sau: Nếu a Î N và (a,5) = 1 thì a20 - 1 M25 . (*) Lời giải a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25.
19. 19 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Mặt khác, từ tính chất (*) ta suy ra với mọi a Î N và (a,5) = 1 ta có a100 - 1M25. Vậy với mọi a Î N ta có a2 (a100 - 1)M100 . 2002 2 2000 2 2000 2 2 2 Do đó S1 = 1 + 2 (2 - 1)+ + 2004 (2004 - 1)+ 2 + 3 + + 2004 . Nên hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 + 22 + 32 + + 20042. n (n + 1)(2n + 1) Ta có: 12 + 22 + 32 + + n 2 = 6 Þ 12 + 22 + + 20042 = 2005.4009.334 = 2684707030, tận cùng là 30. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. b) Hoàn toàn tương tự như câu a, 2003 3 2000 3 2000 3 3 3 S2 = 1 + 2 (2 - 1)+ + 2004 (2004 - 1)+ 2 + 3 + 2004 . Nên hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 13 + 23 + 33 + + 20043. æ ö2 2 çn (n + 1)÷ Áp dụng công thức: 13 + 23 + + n 3 = 1+ 2 + + n = ç ÷ ( ) ç ÷ èç 2 ø÷ 2 Þ 13 + 23 + + 20043 = (2005.1002) = 4036121180100, tận cùng là 00. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. Ví dụ 2.6: Tìm 2 chữ số tận cùng của 42004 Lời giải Do 4 là số chẵn nên ta tìm số n nhỏ nhất để 4n - 1 M25 . Ta tìm được n = 10thỏa mãn. Mặt khác 2004 = 10.200 + 4. Nên 42004 = 410.200+ 4 = 44 é(410)200 - 1ù+ 44 = 100k + 256 ëê ûú
20. 20 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Vậy chữ số tận cùng của 42004 là 56. Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512020 Lời giải Ta có 2020 = 2.1010 nên 512020 = (512)1010 = 26011010 . Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của 512020 là 01. Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) 72015 b) 5766 Lời giải a) Ta có: 74 = 2401 nên 72015 = 74.503+ 3 = (74)503.73 = 2401503.343 = ( 01).343 = 43 2015 Chữ số tận cùng của 7 là 43. b) ta có 5766 = (574)16.572 = ( 01)16.3249 = 49 Bình luận: Ở ví dụ này ta đã áp dụng tính chất: Nếu A có 2 chữ số tận cùng là ab và B có 2 chữ số tận cùng làcd thì 2 chữ số tận cùng của A.B là 2 chữ số tận cùng của tích ab và cd Ví dụ 2.9: Tìm 2 chữ số tận cùng của 2 a) 2098123 b) 199619 Phân tích: + Ta thấy 2 chữ số tận cùng của 2098123 cũng là 2 chữ số tận cùng của 98123 2 2 + tương tự ta thấy 2 chữ số tận cùng của 199619 cũng là 2 chữ số tận cùng của 9619 . Lời giải a)Ta có: 98123 = (49.2)123 = 49123.2123 mà: 49123 = 492.61+ 1 = 240161.49 = ( 01).49 = 49 2123 = 220.6+ 3 = (220)6.23 = ( 76)6.8 = 08
21. 21 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Þ 98123 = (49.2)123 = 49123.2123 = ( 49).( 08) = 92 Vậy 2 chữ số tận cùng của 2098123 là 92. 2 b) ta có: 9619 = 96361 = (32.3)361 = 32361.3361 = (25)361.3361 = 21805.3361 . Mà 21805 = 220.90+ 5 = (220)90.25 = ( 76)90.32 = 32 3361 = 320.18+ 1 = (320)18.3 = ( 01)18.3 = 03 2 Þ 9619 = 96361 = (32.3)361 = 32361.3361 = (25)361.3361 = 21805.3361 = ( 32).( 03) = 96 2 Vậy 2 chữ số tận cùng của 199619 là 96. Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng Ví dụ 3.1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 123101 Phân tích: Nhận thấy rằng 123,5 1 nên ta sẽ áp dụng tính chất 4, khi đó chia hết cho 125. Lời giải: + Vì 123,5 1 nên áp dụng tính chất ta có 123101 1 chia hết cho 125. (1) + Ta lại có chia hết cho 8 (2) Vì (8;125)=1 và kết hợp (1),(2) ta có chia hết cho 1000 Khi đó Vậy 3 chữ số tận cùng của là 123 Ví dụ 3.2: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2004200 Phân tích: Cách 1: Ta dễ dàng chứng minh được chia hết cho 8, khi đó ta sẽ tìm 3 chữ số tận cùng bằng cách gián tiếp: tìm dư phép chia số đó cho 125 từ đó suy ra các khả năng 3 chữ số tận cùng , cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8
22. 22 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé + Ta có nên suy ra chia hết cho 8 + Ta lại có (2014,5) = 1 nên 2004100 º 1(mod 125) => 2004200 º 1(mod 125) Hay (2004200 - 1) chia hết cho 125 khi đó số 2004200 có các khả năng 3 chữ số tận cùng là 126;251;376;501;626;751;876 Vì 2004200 chia hết cho 8 nên số đó có chữ số tận cùng là 376 Cách 2. Ta thấy 2004 º 4 (mod1 0) khi đó 2004200 º 20042.100 º 376(mod1 000) Vậy số đó có chữ số tận cùng là 376 Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát: Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Tìm 3 chữ số tận cùng của A 200 Phân tích: Vì A là một số chẵn không chia hết cho 10 nên (A,5)=1. Khi đó ta áp dụng tính chất ta có A 100 - 1 chia hết cho 125. Lời giải: 200 + Do A là một số chẵn nên A 200 = (2n) = 2200.n200 º 0(mod 8) (với nÎ N và (n;5)=1) Suy ra A 200 chia hết cho 8 (1) + Vì A là một số chẵn không chia hết cho 10 nên (A,5)=1. Khi đó áp dụng tính chất ta có A 100 º 1(mod 125) => A 200 º 1(mod 125) Hay (A 200 - 1) chia hết cho 125 khi đó số A 200 có các khả năng 3 chữ số tận cùng là 126;251;376;501;626;751;876 Vì A 200 chia hết cho 8 nên số đó có chữ số tận cùng là 376 Bình luận: Bài toán tổng quát này cũng có thể coi là phần chứng minh ý (4) trong phần chú ý
23. 23 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 2003 Ví dụ 3.3: Tìm 3 chữ số tận cùng của 29 Lời giải - Tìm 2 chữ số tận cùng của 92003 Ta có 92003 = 93.92000 = 93.(320)50 º 29 (mod1 00) 2003 - Khi đó ta có 29 = 2100k+ 29 = 229.2100k º 912.376 º 912(mod 1000) Vậy 3 chữ số tận cùng là 912 213 Ví dụ 3.4: Tìm 3 chữ số tận cùng của 37 Lời giải 26 Ta có 7213 º 726.8+ 5 º (78 ) .75 º 126.75 º 75 º 7(mod 100) 213 Khi đó 37 = 3100k+ 7 = 3100k.37 º 1. 37 º 187(mod 1000) 213 Vậy 3 chữ số tận cùng của 37 là 187 Ví dụ 3.5: Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a. Phân tích: Để chứng minh ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a thì ta cần đưa ra dạng a101 = 100k + a. Ta thấy (a,10)=1 thì a chỉ có thể là các số lẻ tận cùng khác 5 Lời giải. + Do (a,10)=1 nên khi đó ta có a º 1;3;7;9(mod 10) Áp dụng chú ý phần (2) ta có a100 º 1(mod 1000) Ta xét a101 = a100.a º 1.a(mod1 000) = a(mod1 000) => a101 = 1000k + a (với kÎ N* ) Điều này có nghĩa ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a. (đpcm)
24. 24 Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của 51992 Lời giải 498 51992 = (54 ) = 625498 = 0625498 = (¼ 0625) Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625 Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946