Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 6, 7, 8

115 trang mainguyen 4280

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 6, 7, 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_boi_duong_hsg_toan_lop_6_7_8.doc

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 6, 7, 8

Đề số 22 Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau bằng phương pháp hợp lí: 4 4 4 a) 5.7 7.9 59.61 3 3 3 3 3 24.47 23 b) . 7 11 1001 13 24 47.23 9 9 9 9 9 1001 13 7 11 Câu 2: (2 điểm) Cho A 2 22 23 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15. Câu 3: (2 điểm) 4 Hai lớp 6A và 6B trồng cây. Số cây lớp 6A trồng bằng số cây lớp 6B trồng. 5 2 Nếu mỗi lớp đều trồng thêm được 15 cây nữa thì số cấy lớp 6B trồng bằng 1 số 9 cây lớp 6A. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây ? Câu 4: (3 điểm) Cho đường thẳng x’x và một điểm O thuộc đường thẳng ấy. Hai điểm A, B nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ x’x và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ x’x và có chứa điểm A. Biết xOB =1150 ; AOB = 750 ; x’OC = 400 a) Tính các góc xOA, x’OB. b) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng. Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên x, y sao cho: (x 2) 2 .(y 3) 4 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 22 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 23 Bài 1: (2 điểm) 1 1 1 a) Tính hợp lí A 2 3 4 1 1 1 1 1 1 . . 2 3 4 2 3 4 42 b) Tìm phân số nhỏ nhất khác 0 mà khi chia phân số này cho các phân số ; 275 63 ta được kết quả là một số tự nhiên. 110 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho viết nó liên tiếp sau số 1999 thì được một số chia hết cho 37. b) Tìm số chia và thương của một phép chia có số bị chia là 145, số dư là 12 biết thương khác 1, số chia và thương đều là số tự nhiên. Bài 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng 2x 3y 17 khi và chỉ khi 9x 5y 17 . b) Gọi S(N) là tổng các chữ số của N. Tìm N biết N + S(N) = 94. Bài 4: (3 điểm) Cho các tia OB, OC thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA. Gọi OM là tia phân giác của BOC. Tính AOM biết rằng: a) AOB =100 ; AOC = 600 b) AOB = m ; AOC = n (m > n) c) Vẽ p tia chung gốc. Trong hình vẽ có bao nhiêu góc. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phương: A abc bca cab Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 23 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 24 Bài 1: ( 2 điểm) Tính nhanh: 1 3 3 1 1 1 2 a) 3 4 5 57 36 15 9 b) 3 32 33 34 32003 32004 Bài 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu 3a + 4b + 5c chia hết cho 11 với giá trị tự nhiên nào đó của a, b, c thì biểu thức 9a + b + 4c với các giá trị đó của a, b, c cũng chia hết cho 11. b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các chữ số khác nhau. Tìm ƯCLN của tất cả các số lập được. Bài 3: (2 điểm) 1) Người ta lấy một tờ giấy xé thành 5 mảnh sau đó lại lấy một số mảnh này xé mỗi mảnh thành 5 mảnh nhỏ hơn. Hỏi sau một số lần xé liên tục như vậy ta có thể có được 2004 mảnh, 2005 mảnh hay không ? 2) Tìm số có hai chữ số khác nhau dạng ab sao cho ba cũng là số nguyên tố và hiệuab ba là số chính phương. Bài 4: (3 điểm) Cho đường thẳng x’x và một điểm O thuộc đường thẳng ấy. Hai điểm A, B nằm trong cùng một nửa của mặt phẳng bờ x’x và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối vủa nửa mặt phẳng bờ x’x có chứa điểm A. Biết xOB = 1150; AOB = 750 ; x’OC = 400. a) Chứng minh rằng OA nằm giữa hai tia OB, Ox. b) Tính xOA, x’OB. c) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng. Bài 5: (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 1.2004 2.2003 3.2002 2004.1 A 1.2 2.3 3.4 2004.2005 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 24 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 25 Bài 1: (2 điểm) Cho A 1.2.3 29.30 B 31.32.33 59.60 a) Chứng minh: B chia hết cho 230 b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61. Bài 2: (2 điểm) 4x 9 a) Tìm x nguyên để nguyên. 6x 5 1 1 1 1 b) So sánh A với 1, biết: A 2 22 23 2100 Bài 3: (2 điểm) Để trở hết một số hàng có thể dùng một ô tô lớn chở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ chở 15 chuyến. Ô tô lớn chở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ chở tiếp cho xong. Như vậy 2 xe chở tổng cộng 14 chuyến. Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến? Bài 4: (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9 và tổng của hai số đó là một số có đặc điểm sau: - Có 3 chữ số - Là một bội số của 5 - Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị chia hết cho 9 - Tổng của chữ số hàng trăm và chữ hàng chục chia hết cho 4. Bài 5: (2 điểm) Cho góc AOB. Goi Ot là tia phân giác của góc AOB, Om là tia phân giác của góc AOt. Tìm giá trị lớn nhất của góc AOm. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 25 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 26 Bài 1: (5 điểm) a) Biết rằng số x7x8x9 chia hết cho 7, cho 11, cho 13. Tìm số đó ? b) Bạn An nghĩ ra hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9. Tổng của hai số đó là một số có đặc điểm sau: 1. Có ba chữ số 2. Là bội của số 5 3. Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là một bội số của 9. 4. Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục chia hết cho 4. Hãy cho biết bạn An đã nghĩ ra số nào ? Bài 2: (5 điểm) a) Khi chia 1 số A cho 7 ta được một số dư là 6, còn khi chia nó cho 13 được số dư là 3, hỏi khi chia A cho 91 thì số dư là bao nhiêu ? b) So sánh 231 và 321 Bài 3: (5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu p và 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4p + 1 là hợp số. b) Cho p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 cũng là số nguyên tố. Bài 4: (5 điểm) Hai thành phố A và B cách nhau 100km. Một người đi xe đạp từ A đến B và người khác đi xe đạp từ B đến A. Họ khởi hành cùng một lúc và 5 giờ sau thì gặp nhau. Nếu sau khi đi được 1 giờ 30 phút người đi xe đạp từ B dừng lại 40 phút rồi mới tiếp tục đi thì phải sau 5 giờ 22 phút kể lúc khởi hành họ mới gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi người. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 26 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 27 Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 3 1 1 A 4 ( 0,37) ( 1,28) ( 2,5) 3 4 8 12 46.95 69.120 B 84.312 611 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các số nguyên dương a và b sao cho: 3a 1 (b 1) 2 b) Cho các số nguyên dương a, b, x, y thoả mãn các đẳng thức: a + b = x + y; ab + a = xy. Chứng tỏ rằng x = y. Bài 3: (2 điểm) 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: A 2 2 32 4 2 20052 4 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác AOB gọi Ox là tia phân giác của góc AOB, tia Oy là phân giác của góc xOB. a) Biết yOb = a0 . Tính AOB theo a0. 1 b) Gọi giao điểm của Ox với Oy và với AB lần lượt là C và D. Biết CD AC ; 2 2 BD AC ; AC = 13 cm. Tính AD; CD. 3 c) Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AO, BO với các điểm O, M, N, A, B, C, D kẻ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? kể tên những đường thẳng đó. Bài 5: (1 điểm) 1 1 1 1 Tính P 2 3 4 2005 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 27 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 28 Bài 1: (2 điểm) Tính: A 2 4 6 8 10 12 14 16 2000 2002 2004 B 2 2005 2 2004 2 2003 2 1 Bài 2: (2 điểm) 1) Một số tự nhiên khi cho 15 dư 5, chia cho 18 dư 17. Hỏi số đó khi chia cho 90 dư bao nhiêu ? 2) Trong tập hợp số tự nhiên có thể tìm được các số có dạng: 20042004 200400 0 chia hết cho 2005 hay không ? Bài 3: (2 điểm) Chứng minh rằng luôn tìm được 2005 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số cả. 2) Tổng của 9 số tự nhiên khác 0 là 2005. Gọi d là ƯCLN của các số đó. Tìm giá trị lớn nhất của d. Bài 4: (2 điểm) Bạn An nói rằng có thể trồng 9 cây thành 10 hàng mỗi hàng có 3 cây. Hãy cho biết bạn An đã làm như thế nào ? Bài 5: (2 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a3 3a2 5 5b và a 3 5c Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 28 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 29 Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì dư 38, còn 450 chia cho a thì dư 18. 5 10 b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 sao cho khi nhân nó với , với ta đều 12 21 được thương là các số tự nhiên. Câu 2: (2 điểm) a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: 3n 2 2 n 3 3n 2 n 1 chia hết cho 10. b) Tìm x biết: (x 1) (x 2) (x 3) (x 100) 570 Câu 3: (2 điểm) Hai bạn Hồng và Hà đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. Hồng đưa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và được trả lại 72000 đồng. Hà nói: “Cô tính sai rồi”. Em hãy cho biết Hà nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ? Bài 4: (3 điểm) A Trong hình vẽ bên: a) Có bao nhiêu tam giác nhận EF làm cạnh ? B b) Có bao nhiêu góc có đỉnh là E ? E G c) Nếu biết số đo của góc BDC bằng 600, H I 0 góc EDF bằng 50 thì tia DE có phải là C D F tia phân giác của góc BDF không vì sao? Bài 5: (1 điểm) 1 1 1 1 B 6 24 60 990 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 29 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 30 Bài 1: (3 điểm) 1 1 1 1 a) Tính A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 b) Cho B 4 32 33 34 32003 32004 và C 32005 So sánh B và C. c) Tìm chữ số tận cùng của số A 3n 2 2n 2 3n 2n (với n N) Bài 2: (2 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3 thì dư 1, chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3, chia cho 6 thì dư 4 và chia hết cho 13. Bài 3: (2 điểm) Vào lúc 12 giờ hai kim phút và kim giờ trùng nhau. Hỏi sau ít nhất thời gian bao lâu kim phút và kim giờ lại trùng nhau ? Bài 4: (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ OA < OB. b) Trong 3 điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại. c) Chứng tỏ rằng độ dài của đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O. Bài 5: (1điểm) Chứng tỏ rằng số 11. . 122. . 2 là tích hai số tự nhiên liên tiếp. n n Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 30 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 1: (lớp 8) Bài 1: (2 điểm) 4 Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 .1,25) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 B 9 :11,25 Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ? b) Số A 101998 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ? Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ? Câu 3: a) Cho f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số hữu tỉ. Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . Biết rằng 13a b 2c 0 2 b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. 6 x Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB. a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB  EC. Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận cùng của 90 69 18 19 A 195 29 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 31 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 2 Câu 1: (2 điểm) 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 1890 a) Tính A 11 12 : 115 5 5 5 2005 2,5 1,25 0,625 0,5 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 3 32 33 34 32004 32005 1 Chứng minh rằng B . 2 Câu 2: (2 điểm) a c 5a 3b 5c 3d a) Chứng minh rằng nếu thì (giả thiết các tỉ số đều có b d 5a 3b 5c 3d nghĩa). x 1 x 2 x 3 x 4 b) Tìm x biết: 2004 2003 2002 2001 Câu 3: (2điểm) a) Cho đa thức f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. Câu 5: (1 điểm) 7n 8 Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất. 2n 3 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 32 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 3 Câu 1: (2 điểm) a) Tính: 3 3 11 11 A = 0,75 0,6 : 2,75 2,2 7 13 7 13 10 1,21 22 0,25 5 225 B = : 7 3 49 9 b) Tìm các giá trị của x để: x 3 x 1 3x Câu 2: (2 điểm) a b c a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: M không là số nguyên. a b b c c a b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 . Câu 3: (2 điểm) a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ? Câu 4: (3 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450. Câu 5: (1 điểm) 1 1 1 1 9 Chứng minh rằng: 5 15 25 1985 20 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 33 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 4 Bài 1: (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có: A= 5n (5n 1) 6n (3n 2)  91 b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho P2 14 là số nguyên tố. Bài 2: ( 2 điểm) a) Tìm số nguyên n sao cho n2 3  n 1 bz cy cx az ay bx b) Biết a b c a b c Chứng minh rằng: x y z Bài 3: (2 điểm) An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số bưu ảnh hoa của An bằng số bưu ảnh thú rừng của Bách. - Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng của tôi thì số bưu ảnh của bạn gấp 7 lần số bưu ảnh của tôi. - An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp bốn lần số bưu ảnh của bạn. Tính số bưu ảnh của mỗi người. Bài 4: (3 điểm) Cho ABC có góc A bằng 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF . a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB. b) Tính số đo góc EDF và góc BED. Bài 5: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 2 52 p 1997 52 p q2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 34 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 5 Bài 1: (2 điểm) 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 Tính: 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 Bài 2: (3 điểm) a) Chứng minh rằng: A 3638 4133 chia hết cho 77. b) Tìm các số nguyên x để B x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Chứng minh rằng: P(x) ax3 bx2 cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên. Bài 3: (2 điểm) a c a) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: b d 2 ab a2 b2 a b a2 b2 và cd c2 d 2 c d c2 d 2 b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7. Bài 4: (2 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 35 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 6 Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a. 1 1 1 1 b) Tính P 2 3 4 2005 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 Bài 2: (2 điểm) x y z t Cho chứng minh rằng biểu thức sau có giá y z t z t x t x y x y z trị nguyên. x y y z z t t x P z t t x x y y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH  BC (H BC). Vẽ AE  AB và AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N AH). EF cắt AH ở O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF. Bài 5: (1 điểm) So sánh: 5255 và 2579 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 36 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 7 Câu 1: (2 điểm) 1 1 1 512 512 512 512 Tính : A 6 39 51 ; B 512 1 1 1 2 3 10 2 2 2 2 8 52 68 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 x y z b) Tìm x, y, z biết: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 Câu 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: S 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10. b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2004)2 23 y2 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP. Chứng minh: a) AC // BP. b) AK  MN. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền. Chứng minh rằng: a2n b2n c2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 37 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 8 Câu 1: (2 điểm) Tính: 3 1 16 1 8 . 5 3 . 5 7 A 9 4 19 4 : 14 1 24 2 2 . 34 17 34 1 1 1 1 1 1 1 B 3 8 54 108 180 270 378 Câu 2: ( 2, 5 điểm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1. b) 3m 1 3 2) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương. Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y y z ; và x2 y2 16 2 3 4 5 b) Cho f (x) ax2 bx c . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. b) Chứng minh: EN // FM. Câu 5: (1 điểm) Cho 2n 1 là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh 2n 1 là hợp số. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 38 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 9 Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh: 1 1 1 1 (1 2 3 99 100) (63.1,2 21.3,6) 2 3 7 9 A 1 2 3 4 99 100 1 2 3 2 4 . ( ) 14 7 35 15 B 1 3 2 2 5 . 10 25 5 7 Câu 2: (2 điểm) 1 a) Tính giá trị của biểu thức A 3x2 2x 1 với x 2 b) Tìm x nguyên để x 1 chia hết cho x 3 Câu 3: ( 2 điểm) 3x 3y 3z a) Tìm x, y, z biết và 2x2 2y2 z 2 1 8 64 216 b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = 2 AM b) AM  EF. Câu 5: (1 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chứng tỏ rằng: 1 2 3 4 99 200 101 102 199 200 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 39 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 10 Câu 1: (2 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 a) Thực hiện phép tính: M 9 11 3 5 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) Tính tổng: P 1 10 15 3 28 6 21 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm x biết: 2x 3 2 4 x 5 2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ nhất đi từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc người thứ nhất so với người thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc người thứ nhất đi so với người thứ hai đi là 2: 5. Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ? Câu 3: (2 điểm) a) Cho đa thức f (x) ax2 bx c (a, b, c nguyên). CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3. a c 7a2 5ac 7b2 5bd b) CMR: nếu thì (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa). b d 7a2 5ac 7b2 5bd Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 Câu 5: (1 điểm) Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn như trên tham gia. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 40 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 11 Câu 1: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 11 3 1 2 1 . 4 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 b) Chứng tỏ rằng: B 1 22 32 32 20042 2004 Câu 2: (2 điểm) 3 x 2 Cho phân số: C (x Z) 4 x 5 a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x Z để C là số tự nhiên. Câu 3: (2 điểm) a c ab (a b)2 Cho . Chứng minh rằng: b d cd (c d)2 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D. a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE. b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các MAB; MAC là tam giác vuông cân. c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC. Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên tố p sao cho: 3p2 1 ; 24 p2 1 là các số nguyên tố. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 41 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 12 Câu 1: (2 điểm) a) Thực hiện phép tính: 3 3 0,75 0,6 A 7 13 ; B ( 251.3 281) 3.251 (1 281) 11 11 2,75 2,2 7 3 b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000. Câu 2: ( 2 điểm) a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z). bz cy cx az ay bx b) Biết a b c a b c Chứng minh rằng: x y z Câu 3: ( 2 điểm) Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Câu 4: (2 điểm) Cho ABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của ABD, đường cao IM của BID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C tại N. Tính góc IBN ? Câu 5: (2 điểm) Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 42 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 13 Bài 1: (2 điểm) 3 3 5 0,375 0,3 2,5 1,25 a) Tính giá trị của biểu thức P 2005 : 11 12 . 3 5 5 1,5 1 0,75 0,625 0,5 11 12 b) Chứng minh rằng: 3 5 7 19 1 12.22 22.32 32.42 92.102 Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì: 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2 chia hết cho 6. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2004 x 2003 x Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng: a) DE = 2 AM b) AM  DE. Câu 5: (1 điểm) Cho n số x1, x2, , xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 thì n chia hết cho 4. Đề số 14 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 43 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 2 4 3 81,624 : 4 4,505 125 3 4 A 2 2  11 2 13 : 0,88 3,53 (2,75)  : 25 25  b) Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0,2 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các số nguyên x thoả mãn. 2005 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > 3. Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6. Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ? b) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I. a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 600. b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của ABC lần lượt là M và N. Chứng minh BM > MN + NC. Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dương. x y z 3 Chứng minh rằng: 2x y z 2y z x 2z x y 4 Đề số 15 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 44 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Bài 1: (2 điểm) a) Tìm x biết: x2 6x 2 x2 4 b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = (3 4x x2 )2004. (3 4x x2 )2005 Bài 2: (2 điểm) Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiên. Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) x y z t Cho . y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P z t t x x y y z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = . Trên cạnh AC lấy điểm E sao 1 cho góc EBA= . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. 3 Chứng minh tam giác CED là tam giác cân. Bài 5: (1 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a3 3a2 5 5b và a 3 5c Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 45 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 16 Bài 1: (2 điểm) a) Tính A 3 32 33 34 32003 32004 b) Tìm x biết x 1 x 3 4 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x 2y z 2x y z 4x 4y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. Tính số đo các góc AIC và AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức: x2005 2006x2004 2006x2003 2006x2002 2006x2 2006x 1 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 46 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 17 Bài 1: (2 điểm) a) Tìm x nguyên biết: 2x 7 2x 10 17 4x 11 b) Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị nguyên. 6x 5 Bài 2: (2 điểm) 2 2 a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b = ac ; c = bd. a3 b3 c3 a Chứng minh rằng: b3 c3 d 3 d ab bc ca b) Cho a, b, c khác 0 thoả mãn: a b b c c a ab bc ca Tính giá trị của biểu thức: M a2 b2 c2 Bài 3: (2 điểm) Cho a là số nguyên dương, biết a100 chia cho 73 dư 2 và a101 chia cho 73 dư 69. Hỏi a chia 73 dư bao nhiêu ? Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM. Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AN. Gọi H là giao điểm của BE và MA. Chứng minh: BC a) AM 2 b) AMN = ABN c) BH = AC Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dương và a, b, c khác 1. Thoả mãn: x a bc ; b y ca ; c z ab . Chứng minh rằng: x + y + z + 2 = xyz Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 47 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 18 Bài 1: (2 điểm) a) Tìm x, y, z biết: y z 1 x z 2 x y 3 1 x y z x y z b) Tìm a1, a2 , ,a9 . Biết: a 1 a 2 a 8 a 9 1 2 8 9 9 8 2 1 Bài 2: (2 điểm) 3 3 3 Tính : A 4.7 7.10 97.100 1 1 1 1 B 6 24 60 990 Bài 3: (2 điểm) Ba đội công nhân cùng lao động. Nếu chuyển 1/3 số người đội I, và 1/4 số người đội II, và chuyển 1/5 số người đội III đi làm việc khác thì số người mỗi đội còn lại bằng nhau. Tính số người mỗi đội ban đầu biết tổng số người ban đầu là 196 người. Bài 4: (3 điểm) Cho hai góc xoy và x’o’y’ có ox // o’x’ , oy // o’y’. Gọi om là tia phân giác của góc xoy, on là tia phân giác của góc x’o’y’. Chứng minh: a) Nếu góc xoy và x’o’y’ cùng nhọn hoặc tù thì om // o’n. b) Nếu góc xoy và x’o’y’ có một góc nhọn, một góc tù thì om  o’n. Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên tố P sao cho: P + 2 , P + 8 , 4P2 + 1 là các số nguyên tố. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 48 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 19 Câu 1: (2 điểm) a) Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3. 2x 1 4y 2 2x 4y 1 b) Tìm x, y thoả mãn: 5 7 6x Câu 2: (2 điểm) Tính: a) A 1 4 7 10 2998 3001 1 1 1 1 b) B 1 1 1 1 2 3 4 n Câu 3: (2 điểm) Ba đơn vị vận tải cùng vận chuyển 762 tấn hàng. Đơn vị thứ nhất có 15 xe trọng tải mỗi xe 5 tấn, đơn vị thứ hai có 20 xe trọng tải mỗi xe 4,2 tấn, đơn vị thứ ba có 25 xe trọng tải mỗi xe 3,5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị đã vận chuyển bao nhiêu tấn hàng, biết rằng mỗi xe huy động một số chuyến như nhau. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC , góc A bằng 800. Trong tam giác ABC lấy điểm I sao cho góc BIC bằng 100 và góc ICB bằng 200. Tính góc AIB. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b là hai số nguyên dương biết rằng trong 4 mệnh đề sau: A. a + 1 chia hết cho b. B. a = 2b + 5 C. a + b chia hết cho 3. D. a + 7b là số nguyên tố. Có 3 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai. Tìm các cặp số a, b ? Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 49 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 20 Bài 1: (2 điểm) a) Tính A 2100 299 298 22 21 1 A có phải là số nguyên tố không ? A có phải là số chính phương không ? 10 10 10 10 b) Tính tổng: B 56 140 260 1400 c) Chứng minh rằng: C 192004 52003 20031890  5 Câu 2: (2 điểm) 3n 2 a) Tìm n N để phân số là tối giản ? 7n 1 b) Tìm hai số biết BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng là 19. Câu 3: (2 điểm) a) Tìm các số tự nhiên n sao cho: n +1 ; n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ; n +13 ; n + 15 đều là các số nguyên tố. b) Hai người cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B. Người thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại ngay, người thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay. Hai người gặp nhau lần thứ hai tại điểm C cách A 6 km, tính quãng đường AB. Biết rằng vận tốc người thứ hai bằng 2/3 vận tốc người thứ nhất. Câu 4: (3 điểm) Trên tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 5 cm và BC = 2cm. a) Tính AC ? b) Điểm O nằm ngoài đường thẳng AB biết góc AOB = 550 và góc BOC = 250. Tính góc AOC ? c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 1cm. Tính CE ? Câu 5: (1 điểm) Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu ? Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 50 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 21 Câu 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính. 3 4 7 5 . 10 15 20 19 24 a) . 1 1 3 1 5 . 1 14 7 35 3 b) 1 2 3 4 5 6 7 8 1999 2000 2001 2002 2003 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên m thoả mãn: (m2 9)(m2 37) 0 x 3 2a b) Cho x, a, b Z+ thoả mãn: b 3x 1 4 Câu 3: (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn: (100x + 10y + z)  21. Chứng minh rằng: (x - 2y + 4z)  21. a b c d b) Cho b c d a c d a b d a b c a b b c c d d a Tìm giá trị của biểu thức: A c d a d a b b c (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Câu 4: (2 điểm) Trong một xưởng cơ khí người thợ chính làm một chi tiết hết 5 phút, người thợ phụ làm xong hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian cả hai người cùng làm việc thì số chi tiết làm được là 84 chiếc. Tính số chi tiết mà mỗi người đã làm được ? Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác góc B cắt AC tại M. Kẻ MN // AB cắt BC tại N. Phân giác góc MNC cắt MC tại P. a) Chứng minh rằng: MBC = BMN ; BM // NP. b) Gọi NQ là phân giác của góc BNM. CMR: NQ  BM. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 51 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 22 Bài 1: (2 điểm) Tìm x, y, z biết rằng: x y x z 1) ; và x + 2y + 3z =164 2 3 5 7 x y z 2) x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 Bài 2: (2 điểm) Tìm tỉ lệ ba đường cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8. Bài 3: (2 điểm) Lúc rời nhà đi bạn An xem thấy kim đồng hồ chỉ hơn 1 giờ và khi đến trường thì hai kim đồng hồ đã đổi vị trí cho nhau (trong thời gian này hai kim đồng hồ không chập với nhau lần nào). Tính thời gian An đi từ nhà đến trường; lúc An rời nhà, An đến trường là mấy giờ. (Hai kim đồng hồ được nói tới ở đây là kim phút và kim giờ). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là BAE và CAF. 1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngược lại nếu I thuộc BC và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC. 2) Chứng tỏ AI =EF/2 (với I là trung điểm của BC). 3) Giả sử H là trung điểm của EF, hãy xét quan hệ của AH và BC. Bài 5: (1 điểm) 2001 x Tìm x nguyên dương để M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị ấy. 2002 x Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 52 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 23 Bài 1: (4 điểm) a Tìm phân số biết: b a) a = ƯCLN (12, 18) và b = BCNN (5, 9) 4 1 b) a = ƯCLN (12, 20) và b a : 5 5 Bài 2: (4 điểm) a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: (3n 2 2n 3 3n 2n 1) 10 b) Chứng minh rằng: abba chia hết cho 11. Câu 3: (4 điểm) Số học sinh khối 7 của một trường khi xếp hàng hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người, nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học đó chưa đến 300. Tính số học sinh khối 7 của trường đó. Câu 4: (6 điểm) Cho góc aOb. Vẽ tia Oc nằm trong góc aOb. Gọi Ox, Oy lần lượt là các tia phân giác của các góc aOc, bOc. Vẽ tia Oz là tia bất kì nằm trong góc xOy. Gọi Ot, Oh lần lượt là các tia phân giác của các góc xOz, yOz. a) Cho biết góc aOb = 1020. Tính góc tOh ? b) Cho biết góc tOh = 200. Tính góc aOb ? c) Tìm giá trị lớn nhất của góc tOh ? Câu 5: (2 điểm) Tìm số có bốn chữ số abcd thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: a) ab , ac là hai số nguyên tố. b) cd b b 2 c Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 53 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 24 Bài 1: (1 điểm) Tìm x, y là số nguyên biết 6xy 10x 3y 4 0 Bài 2: (2 điểm) 1 2 3 4 100 Chứng minh rằng: 1 3 32 33 34 3100 Bài 3: (2 điểm) a) Có một số gạch cần chuyển. Nếu lớp 8A chuyển thì cần 4 ngày; 7A chuyển cần 7 ngày, nếu lớp 6A chuyển cần 12 ngày. Hỏi cả ba lớp cùng chuyển số gạch đó thì mất bao lâu ? b) Hai kim giờ và kim phút của đồng hồ gặp nhau trước và sau mất thời gian bao lâu ? Bài 4: (3 điểm) Tìm x biết: 15 3 6 1 a) x x 12 7 5 2 b) 2 3x 1 3 x 1 7 x 25 x 24 x 23 x 22 x 1979 x 1980 x 1981 x 1982 c) 1979 1980 1981 1982 25 24 23 22 Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng: MN song song và có độ dài bằng nửa của BC. Người ta gọi MN là một đường trung bình của tam giác. Hãy phát biểu điều vừa chứng minh dưới dạng định lí. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 54 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 25 Bài 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính: 3 4 7 5 . 10 15 20 19 5 a) : 1 1 3 1 24 . 1 14 7 35 3 1 1 1 1 1 1 b) 10 40 88 154 238 340 Bài 2: (3 điểm) a) Tìm số nguyên m thoả mãn m - 5 chia hết cho 2m + 1. b) Tìm x biết rằng: 3 1.3x 5.3x 1 162 (x N) c) Tìm x, y, z biết rằng: 4x = 3y ; 5y = 3z và 2x - 3y + z =6 Bài 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 1919 6969 chia hết cho 44. a c b) Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có: b d 2002a 2003b 2002c 2003d 2002a 2003b 2002c 2003d Bài 4: (1 điểm) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc và đi về phía gặp nhau từ hai tỉnh A và B cách nhau 544 km. Tính xem 2 xe gặp nhau ở chỗ cách A bao nhiêu km. Biết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 12 giờ, còn xe thứ hai phải đi hết 13 giờ 30 phút. Bài 5: (2 điểm) Cho biết A + B + C = 3600 A x x Chứng tỏ rằng Ax song song với By. C B y Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 55 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 26 Câu 1: (2 điểm) 1) Tính nhanh: 2 a) 2.(-3).4.(-5).(-80.(-2.5).1,25.2,004. 1 3 1 1 1 1 1 1 1 b) 10 20 30 42 56 72 90 2) Thực hiện phép tính: 4 7 5 0,3 . 15 20 19 5 : 1 1 3 1 24 1 14 7 35 3 Câu 2: (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: a) 82004 82005 chia hết cho 9. b) 87 218 chia hết cho 14. 2) Tìm chữ số tận cùng của số A 3n 2 2n 2 3n 2n (với n N) Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x, y biết rằng 10x = 6y và 2x2 y2 28 a c 2004a 2005b 2004c 2005d b) Cho biết . Chứng minh: b d 2004a 2005b 2004c 2005d Câu 4: (2 điểm) Cho hình vẽ. A x Cho biết Ax / / By. Hãy tính tổng các góc x A + B + C = ? C Câu 5: (2 điểm) B y a) Tìm x, y, z biết: x y z x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 b) Tìm số hữu tỉ x biết rằng tổng của số đó với số nghịch đảo của nó là một số nguyên. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 56 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 27 Câu 1: (2 điểm) Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lí: 3 7 a) 3 1,8 : 4 5 3 2 8 5 3 2 7 b) . . : 2 3 7 13 2 3 2 Câu 2: (2 điểm). Tìm x, y Z thoả mãn: a) x 2001 2002 y 1 b) 3x 1 .5y 45x Câu 3: (1,5 điểm) 2 Cho a, b, c là ba số khác 0 và a = bc. Chứng minh rằng: a2 c2 c b2 a2 b Câu 4: (1,5 điểm) Cho x, y Z. Chứng minh: Nếu 3x + 2y  17 thì 10x + y  17 và ngược lại. Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC (góc A = 900, AB = AC. Kẻ trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MB = MD. Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường thẳng BC kẻ tia Cx  CB. Trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CB. Chứng minh: a) CD = AB và CD // AB. b) BD = AE. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 57 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 28 Câu 1: (4 điểm) Thực hiện phép tính: 3 4 7 5 . 10 15 20 19 5 a) : 1 1 3 1 24 . 1 14 7 35 3 1 1 1 1 1 1 b) 10 40 88 154 238 340 Câu 2: (4 điểm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1. b) 2m 1 5 2) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 với n nguyên dương. Câu 3: (4 điểm) x y a) Tìm x, y biết: và 2x2 y2 28 3 5 b) Tính thời gian từ lúc kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ gặp nhau lần trước đến lúc chúng gặp nhau lần tiếp theo. Từ đó suy ra trong một ngày chúng gặp nhau bao nhiêu lần ? Tạo với nhau góc vuông bao nhiêu lần? Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng hai lần độ dài cạnh AB. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy D sao cho ND = NA. Chứng minh: a) Tam giác BCD vuông. b) Tam giác ACD cân. Câu 5: (2 điểm) Cho C 75 42001 42000 41999 42 41 40 25 a) Chứng minh rằng C chia hết cho 42002. b) Hỏi C chia cho 42003 dư bao nhiêu ? Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 58 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 29 (Đề thi HSG cấp tỉnh vòng I năm học 1999-2000) Bài 1: (2 điểm) 1 Cho A (0,8.7 0,82 ).(1,25.7 .0,7) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 và B 9 :11,25 Trong hai số a và b số nào nhỏ hơn và nhỏ hơn bao nhiêu lần ? Bài 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 106 57 chia hết cho 59. b) Cho x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng 5x + 2y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x + 7y chia hết cho 17. Bài 3: (2 điểm) u 2 v 3 u v Chứng minh rằng nếu: thì u 2 v 3 3 2 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các trung tuyến BE và CF. Trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm N sao cho FN = FC. Chứng minh A là trung điểm của MN. Bài 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên nguyên dương x, y, z biết rằng: x3 y3 z3 3xyz và x2 2(y z) Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 59 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 30 Bài 1: (2 điểm) 1 1 1 a) Tính 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) b) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 199 200 101 102 200 Bài 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 3232 32 chia hết cho 31. b) Tìm n N* để 2n 1  7 Bài 3: (3 điểm) a) Hãy tìm số A xyzt biết A 2yzt xz x y b) Tìm x, y biết rằng: và x2 y2 4 2 5 1 2a 7 3a 3b c) Tìm a, b biết rằng: 15 20 23 7a Bài 4: (1 điểm) 1 1 Gạo chứa trong 3 kho theo tỉ lệ 1,3 : 2 :1 . Gạo chứa trong kho thứ hai nhiều 2 2 hơn kho thứ nhất 43,2 tấn. Sau 1 tháng người ta tiêu thụ hết ở kho thứ nhất 40%, ở kho thứ hai là 30%, kho thứ 3 là 25% của số gạo trong mỗi kho. Hỏi 1 tháng tất cả ba kho tiêu thụ hết bao nhiêu tấn gạo ? Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AC = AD. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE. a) Nối D, E . Chứng minh BC = DE. b) Chứng minh đường phân giác của góc BAE vuông góc với CD. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 60 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 31 Câu 1: (2 điểm) a) Tính một cách hợp lí: 2 2 1 0,4 1 0,875 0,7 2005 A : 9 11 . 6 2006 7 7 1 1 1,4 0,25 9 11 3 5 b) Chứng minh rằng: 3 5 7 4011 1 12.22 22.32 32.42 20052.20062 Câu 2: (2 điểm) a) Biết 12 22 32 102 385 Tính nhanh: S 1002 2002 3002 10002 b) Chứng minh rằng: 810 2713 921  225 Câu 3: (2 điểm) Hai người đĩ xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 11 km để đến C (Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h, của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường của mỗi người đã đi, biết rằng họ đến C cùng một lúc. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC với Bˆ 900 và Bˆ 2Cˆ . Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. 1 a) Chứng minh: Eˆ BAC. 2 b) Chứng minh DA = DH = DC. c) Lấy điểm B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh rằng tam giác AB’C cân. d) Chứng minh: AE = HC. Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thoả mãn đẳng thức: ab(ab 2cd) c2d 2 .ab(ab 2) 2(ab 1) 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 61 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 32 Bài 1: (3 điểm) a) Giải phương trình: x2 3x 1 x2 7 b) Tìm x, a, b nguyên dương biết x + 3 = 2a và 3x + 1 = 4b. c) Tìm a, b, c biết 8a = 5b ; 7b = 12c ; a + b + c = -318. ab 1 ac 2 bc 3 d) Tìm a, b, c biết: và ab + ac + bc =11 9 15 27 Bài 2: (2 điểm) a) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dương và a, b, c 1 thoả mãn: ax = bc ; by = ac ; cz = ab Chứng minh: xyz - x - y - z =2 b) Cho a, b, c khác 0, 2a 2b c 0 , 2b 2c a 0 , 2c 2a b 0 2y 2z x 2z 2x y 2x 2y z thoả mãn: a b c x y z Chứng minh: 2a 2c a 2c 2a b 2a 2b c Bài 3: (2 điểm) Cho 23 số nguyên khác 0: a1 , a2, a3 , ., a23 có tính chất: * a1 dương. * Tổng 3 số liên tiếp bất kì dương. * Tổng của cả 23 số là âm. Chứng minh: a2 âm và a1 dương. Bài 4: (3 điểm) Cho ABC vuông tại A và AB < AC. Vẽ đường cao AH, trên đoạn HC lấy điểm M sao cho BM = AB. Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N và AM tại E. a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc HAC. b) Chứng minh MN vuông góc với AB. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 62 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 33 Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1 a) 2 3 : 4 3 7 3 2 6 7 2 210.13 210.65 b) 29.104 Bài 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 87 218 chia hết cho 14. b) Cho x, y Z. Chứng minh rằng: (6x + 11y) chia hết cho 31 khi và chỉ khi (x + 7y) chia hết cho 31. Bài 3: (2 điểm) a c Chứng minh rằng nếu: 1 (a, b, c, d 0) b d a b c d Thì a b c d Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Trên tia đối của tia BD lấy đoạn thẳng BH bằng AC. Trên tia đối của tia CE lấy đoạn thẳng CK bằng AB. Chứng minh rằng: a) BAH = CKA b) AH  AK Bài 5: (1 điểm) Cho hai số nguyên a và b chia cho 3 có cùng số dư khác 0. Chứng minh rằng: (ab 1) chia hết cho 3. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 63 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 34 Bài 1: (2 điểm) Tính nhanh: 1 1 1 a) (1 2 3 90)(12.6 36.2) : 10 11 12 3 1 1 1 0,6 0,25 0,125 b) 7 3 5 8 8 8 7 7 7 0,7 3 5 7 6 8 16 Bài 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 106 57 chia hết cho 59. b) Chứng minh rằng nếu (3a + 2b) chia hết cho 17 thì (10a + b) chia hết cho 17 và ngược lại. Bài 3: (2 điểm) x y y z a) Tìm x, y, z biết: ; và 2x 3y z 172 2 3 5 7 a c ac a2 c2 b) Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: b d bd b2 d 2 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC (góc B = 900 ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Ax vuông góc với AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng: a) AD // BC. b) DAC = BAE. c) CD  BE. Bài 5: (1 điểm) Cho p và 2 p + 1 là 2 số nguyên tố, p > 3. Chứng minh rằng 4p +1 là hợp số. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 64 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 35 Câu 1: (2 điểm) a) Tìm x sao cho biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất: A x 2004 x 2003 b) Tìm các số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu a - b bằng thương a : b và bằng 3 lần tổng a + b. Câu 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: a) Tồn tại số có dạng 1997k (k N) có tận cùng là 0001. a b a2 b2 a b) Nếu thì b d b2 d 2 d Câu 3: (2 điểm) Cho hàm số y m x 2 a) Xác định m ? Biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 1) b) Vẽ đồ thị của hàm số đó và nhận xét về dạng của đồ thị ? Câu 4: (2 điểm) Trong ngày tết trồng cây nhà trường dự định giao cho lớp 7A, 7B, 7C trồng số cây theo tỉ lệ 5 : 4 : 3. Nhưng do số học sinh các lớp đi trồng cây có thay đổi nên số cây được chia cho các lớp tỉ lệ với 4 : 3 : 2. Như vậy có một lớp trồng số cây ít hơn so với dự định là 2 cây và có một lớp trồng số cây nhiều hơn so với dự định là 2 cây. Tính số cây mỗi lớp đã trồng được ? Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ là đường thẳng AB ta dựng đoạn thẳng MB vuông góc với AB và MB = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ là đường thẳng AC ta dựng đường thẳng NC vuông góc với AC và NC = AC. Đường thẳng MN cắt AB tại E và cắt AC tại F. a) Chứng minh: EF // BC. b) Chứng minh rằng nếu thay đổi độ dài cạnh của tam giác ABC thì tỉ số giữa BE và NF vẫn không thay đổi. c) Hãy chỉ ra tính chất chung nhất của 3 đoạn thẳng MN, EF và BC. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 65 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 36 Câu 1: (2 điểm) 1 1 1 1 1 Tính : A 1 . 1 . 1 1 . 1 2 3 4 2004 2005 2 2 1 1 0,16 0,25 9 3 B 121 25 7 49 1 1,4 1 0,875 0,49 81 11 6 Câu 2: (2 điểm) a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng: p + 1 chia hết cho 6. b) Tìm một số có ba chữ số. Biết rằng số đó có tận cùng bằng chữ số 7 và nếu chuyển chữ số 7 lên vị trí đầu thì được một số mới. Số này khi chia cho số phải tìm thì được thương là 2 và dư 21. Câu 3: (2 điểm) 14 Một trường có ba lớp 7. Biết rằng số học sinh lớp 7A bằng số học sinh lớp 15 9 7B, số học sinh lớp 7B bằng số học sinh lớp 7C. Biết rằng tổng hai lần số học 10 sinh lớp 7A với ba lần số học sinh lớp 7B thì nhiều hơn bốn lần số học sinh lớp 7C là 19 bạn. Tính số học sinh của mỗi lớp. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có Aˆ 750 , Bˆ 350 . Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a) AM = DM. b) Tam giác ACM là tam giác cân. c) Chu vi tam giác ABC bằng độ dài đoạn thẳng BE. Câu 5: (1 điểm) 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 53 63 73 20043 40 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 66 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 37 Câu 1: (2,25 điểm) 3 1 2 3 1) Tính: A . . 3 3 4 4 B 49 ( 5)2 5 1,44 3 9 2) So sánh: M 31 13 và N 6 11 3) Xét biểu thức: A 2006 2007 x a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa. b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó ? Câu 2: (1,5 điểm) 5 4 1) Tìm phân số có mẫu bằng 20. Biết nó lớn hơn nhưng nhỏ hơn . 11 11 2) Tìm số nguyên n sao cho: (n2 + 2n - 7) chia hết cho (n + 2). 3) Cho p và 2p + 1 là số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số. Câu 3: (2,25 điểm) a c 1) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: b d 2) Chứng minh rằng: 810 89 88 : 55 là số tự nhiên. 3) Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ các đồ thị hàm số và y = 2. Tính diện tích hình tam giác giới hạn bởi hai đồ thị đó ? Dùng đồ thị để tìm giá trị của x sao cho x 2 . Câu 4: (1,5 điểm) 3 Tìm 3 phân số, biết rằng tổng của chúng bằng 3 các tử của chúng tỉ lệ với 3, 70 4, 5; các mẫu của chúng tỉ lệ với 5, 1, 2. Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn AD bằng và vuông góc với AB (D, C nằm khác phía đối với AB) . Vẽ đoạn thẳng AE bằng và vuông góc với AC (E và B nằm khác phía đối với AC) ; vẽ đoạn AH vuông góc với BC. Đường thẳng HA cắt DE ở K. Chứng minh rằng DK = KE. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 67 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 38 Phần I: Trắc nghiệm khách quan (2 điểm) Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: a) So sánh: 330 và 245 . A. 330 > 245 ; B. 330 = 245 ; C. 330 b). Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 68 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 39 Bài 1: (5 điểm) 11 3 1 2 1 .4 1,5 6 . 31 7 3 19 14 Thực hiện phép tính: . 1: 5 1 1 93 4 12 5 6 6 3 Bài 2: (3 điểm) a c ab (a b) 2 a) Cho . Chứng minh rằng: b d cd (c d) 2 b) Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3. Bài 3: (5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A x 1 x 2 42 y b) Tìm giá trị nguyên của y để biểu thức B có giá trị nguyên nhỏ nhất. y 15 Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D. a) Chứng minh rằng: BE = CD và AD = AE. b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC ở M. Chứng minh rằng các tam giác MAB và MAC là các tam giác cân. c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc BE, các đường này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng: KH = KC. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB > AC và Aˆ . Đường thẳng đi qua A vuông góc với phân giác góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM = BA + AC. Tính số đo góc B và góc C ? Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 69 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 40 Bài 1: (5 điểm) Tìm x biết: 1 5 3 a) x 1 ; b) x x 10 12 4 3 8 5 7 1 1 1 a b c c) x ; d) x 8 8 8 b c c a a b Bài 2: (3 điểm) Tính: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 1999 2000 2001 2002 2003 1 1 1 1 1 b) B 1 1 1 1 1 4 9 16 25 121 Bài 3: (4 điểm) a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b ; 5b = 7c ; 3a + 5c -7b = 30. b) Tìm hai số nguyên dương sao cho: tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) của hai số đó cộng lại được 38. Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kì thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD). Chứng minh: a) BH = CK b) Tam giác MHK vuông cân Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có Aˆ 200 , BC = 2 cm. Trên AB dựng điểm D sao cho ACD = 100. Tính độ dài AD. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 70 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 1 (t0án 8) Bài 1: (3 điểm) 1 3 x 2 1 A : Cho biểu thức 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: 1 6y 2 a) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 b) x 2 4 3 2 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy. Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11 1 (2n chữ số 1), b = 44 4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 71 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 2 Câu I: (2điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 4x 5 b) ab(a b) ac(a c) bc(2a b c) 2) Giải phương trình 1 1 1 1 4 x 2 x x 2 3x 2 x 2 5x 6 x 2 7x 12 5 Câu II: (2 điểm) 1) Xác định a, b để da thức f (x) x 3 2x 2 ax b chia hết cho đa thức g(x) x 2 x 1. 2) Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) x161 x 37 x13 x 5 x 2006 cho đa thức Q(x) x 2 1. Câu III: (2 điểm) 1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: a 2 b 2 c 2 P a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 2) Cho ba số a, b, c thoả mãn a b , b c, c a . a 2 bc b 2 ac c 2 ab CMR: 0 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) Câu IV: (3điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng. c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi. 2) Cho tamg gáic ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại HA' HB' HC' H. CMR: bằng một hằng số. AA' BB' CC' Câu V: (1 điểm): Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: a 2 ab b 2 Q a 2 ab b 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 72 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 3 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b c) 2 (b c) b(c a) 2 (c a) c(a b) 2 (a b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Giải phương trình: (y 4,5) 4 (y 5,5) 4 1 0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2 5y 2 345 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 73 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 4 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) xx - 3x + 4x -2 với x 0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 ab Tính: P 4a 2 b 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 74 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 5 Bài 1: (2điểm) Cho biểu thức: 1 1 1 1 M x 2 5x 6 x 2 7x 12 x 2 9x 20 x 2 11x 30 1) Rút gọn M. 2) Tìm giá trị x để M > 0. Bài 2: (2điểm) Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu. Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên sao cho: x 2 2xy x y 2 4y 0 Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D). Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K. 1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK. 2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng: JA = JB = JF = JI. 3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x. 4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất. 1 1 1 Bài 5: (1điểm) Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 0 xy yz zx x 2 y 2 z 2 Tính N yz zx xy Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 75 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 6 Câu I: (5 điểm) Rút gọn các phân thức sau: x 1 x x 1) 3x 2 4x 1 (a 1) 4 11(a 1) 2 30 2) 3(a 1) 4 18(a 2 2a) 3 Câu II: (4 điểm) 1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a 2 b 2 chia hết cho 13. 2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1 Tính giá trị của biểu thức: a b c A 1 a ac 1 b bc 1 c ac x 2 2x 1 x 2 2x 2 7 3) Giải phương trình: x 2 2x 2 x 2 2x 3 6 Câu III: (4 điểm) Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. Nếu công việc trên được giao giêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành. Câu IV: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. 1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA. 3) Chứng minh AC 2 AB.AH AD.AK Câu V: (2 điểm) Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 76 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Giải phương trình: x 2002 2002 x 2003 2003 1 Đề số 7 Câu I: (2điểm) 1. Thực hiện phép chia A 2x 4 x 3 x 2 x 2 cho B x 2 1 . Tìm x Z để A chia hết cho B. 2. Phân tích đa thức thương thành nhân tử. Câu II: (2điểm) 1. So sánh A và B biết: A 532 1 và B 6(52 1)(54 1)(58 1)(516 1) 2. Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44. Câu III: (2điểm) 1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: (a b c) 2 3(ab bc ca) . Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ? 2. Cho đa thức f(x) = x100 x 99 x 2 x 1 . Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x 2 1 . Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE. 1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ? 2. Chứng minh AB. CF = AC. AE 3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC. Câu V : (1 điểm) Chứng minh nghiệm của phương trình sau là một số nguyên: x 2 x 3 x 4 x 2005 x 2004 x 2003 2005 2004 2003 2 3 4 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 77 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 8 Câu 1: (2điểm) a) Cho x 2 2xy 2y 2 2x 6y 13 0 3x 2 y 1 Tính N 4xy b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương. A a 3 b3 c 3 3abc Câu 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a b b c c a c a b A 9 c a b a b b c c a Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC. Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 6 3x 2 1 y 4 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 78 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 9 Bài 1: (2 điểm) 6 1 1 x x 6 2 x x 6 Cho M 3 1 1 x x 3 x x 3 a) Rút gọn M. b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của M. Bài 2: (2 điểm) a) Tìm x biết : (2x 5)3 (x 2)3 (x 3)3 b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương. Bài 3: (2 điểm) a) Cho x và y thoả mãn: 4x 2 17xy 9y 2 5xy 4 y 2 Tính H x 3 y 3 xy b) Cho a, b, c thoả mãn: a b c abc Chứng minh: a(b 2 1)(c 2 1) b(a 2 1)(c 2 1) c(a 2 1)(b 2 1) 4abc Bài 4: (4 điểm) Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh IM = IN. 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD MN c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đường thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lượt tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK. d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). Tính S(ABCD) theo a và b. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 79 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 10 Câu 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x 2 x 12 b) x8 x 1 c) (x 2 3x 2)(x 2 11x 30) 5 Câu 2: (2 điểm) 1) So sánh A và B biết: A 532 và B 24(52 1)(54 1)(58 1)(516 1) 2) Cho 3a 2 2b 2 7ab và 3a b 0 . 2005a 2006b Tính giá trị của biểu thức: P 2006a 2007b Câu 3: (2 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x 2 9y 2 6xy 6x 12y 1974 2) Giải phương trình: y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 3) Chứng minh rằng: a8 b8 c8 d 8 4a 2b 2c 2 d 2 Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh AF2 = FK. FC. c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Câu 5: (1 điểm) Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 80 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 11 Câu 1: (2 điểm) 1 1 1 14 34 194 4 4 4 a) Tính giá trị của biểu thức: A 1 1 1 24 44 204 4 4 4 b) Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương. Câu 2: (2 điểm) a) Cho xyz = 2006 2006x y z Chứng minh rằng: 1 xy 2006x 2006 yz y 2006 xz z 1 b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3. c) Cho a 2b 3c 14 . Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 14 . Câu 3: (2 điểm) Cho phân thức: 3x 2 3 x 1 1 x 1 B . 3 2 2 x 1 x x 1 x 1 2x 5x 5 a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị lớn nhất của B. Câu 4: (3 điểm) Cho M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ các hình vuông AMCD và BMEF. a) Chứng minh: AE  BC. b) Gọi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB. Câu 5: (1 điểm) a) Chứng minh rằng với n N và n > 3 thì: 1 1 1 1 1 C 1 2 23 33 43 53 n3 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 81 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
b) Giải phương trình: (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) Đề số 12 Câu 1: (2 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 7x 6 b) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 c) x 4 4 2) Rút gọn: 1 1 1 1 A x 2 5x 6 x 2 7x 12 x 2 9x 20 x 2 11x 30 Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì dư 2, f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 thì được thương là 1-x2 và còn dư. 2) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên. 2x 3 x 2 2x 5 A 2x 1 Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6 a) 99 97 95 98 96 94 b) (x 2 x 1) 2 (x 2 x 1) 12 0 Câu 4: (3 điểm) Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lượt tại E, K, G. Chứng minh rằng: 1) AE 2 EK. EG 1 1 1 2) AE AK AG 3) Khi đường thẳng d xoay quanh điểm A. Chứng minh: BK. DG = const. Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức sau: 16x 2 4x 1 B (với x > 0) 2x Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 82 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 13 Câu 1: (6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử; a) 2x 2y x 2 2xy y 2 b) 2xy 2x y 2 y 2 2 c) x 2xy y 3x 3y 10 Câu 2: (4 điểm) Cho a b c 0 và abc 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 P 0 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 Câu 3: (4 điểm) x 4 x 2x 2 3x 1 Cho biểu thức Q 1 (x 1 ) x 2 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. Câu 4: (6 điểm) Vẽ ra phía ngoài tam giác nhọn ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CE. H là hình chiếu của N trên AC, từ H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN. b) Tính các góc của tam giác MNI. c) Giả sử góc BAC = 900 , AB = a, AC = b. Tính diện tích tam giác MIN theo a, b. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 83 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 14 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a b c)3 a 3 b3 c 3 2x 3 7x 2 12x 45 b) Rút gọn: 3x 3 19x 2 33x 9 Câu 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A n3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Câu 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x a x 2a 3a (a là hằng số). Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC và INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích tam giác IMN lớn gấp đôi diện tích tam giác ABC. Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499    9100    .09 là số chính phương. (n 2 ). n-2 số 9 n số 0 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 84 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 15 Câu 1: (2 điểm) a 3 4a 2 a 4 Cho P a 3 7a 2 14a 8 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 3: (2 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình: x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng; a b c A 3 b c a a c b a b c Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh: BC 2 a) BD.CE 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 85 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 16 Bài 1: (2 điểm) Giải phương trình a) (x 2 6x 9)3 (1 x 2 )3 (6x 10)3 0 b) Cho x, y thoả mãn: x 2 2y 2 2xy 6x 2y 13 0 . x 2 7xy 52 Tính giá trị của biểu thức: H x y Bài 2: (2 điểm) x 2 3y y 2 3x 1 Cho với x, y 0 ; x, y ; x y . x(1 3y) y(1 3x) 3 1 1 8 Chứng minh rằng: x y . x y 3 Bài 3: Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên. 4x 3 Với y x 2 1 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC > BC). Trên cạnh BC lấy M sao cho MB < MC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng EF. a) Cho AB =1002,5 cm. Tính chu vi tứ giác AEMF. b) Chứng minh tứ giác ANEF là hình thang cân. c) AN cắt BC tại H. Chứng minh HB. HC = HN. HA Bài 5: (1 điểm) Cho đa thức f (x) x 3 ax 2 bx c Tìm a, b, c biết f (1) 5 ; f (2) 7 ; f (3) 9 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 86 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 17 Bài 1: (2 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x8 x 7 1 b) (4x 1)(12x 1)(3x 2)(x 1) 4 2) Cho a b c 0 và a 2 b 2 c 2 1 . Tính giá trị của biểu thức: M a 4 b 4 c 4 x 2 y 2 x 2 y 2 Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức: M (x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y) a) Rút gọn M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. Bài 3: (2điểm) Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 = FK. FC c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Bài 5: (1 điểm) Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n + 1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên, n 1 ). Chứng minh rằng: a b c 8 là số chính phương. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 87 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 18 Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình sau: a) x 4 4x 2 5 b) x 1 2x 3 5 Câu 2: (2 điểm) x 4 x Cho biểu thức: A x 2 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A > 1. Câu 3: (2 điểm) Hai anh em Trung và Thành cùng cuốc một mảnh vườn, và sẽ hoàn thành trong 5 giờ 50 phút. Nhưng sau 5 giờ làm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, một mình anh thành phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới cuốc xong mảnh vườn. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi anh phải làm trong bao lâu?. Câu 4: (3 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng: a) EF song song với AB. b) AB2 = CD. EF Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng biểu thức: 10n 18n 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 88 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 19 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích thành nhân tử: x 4 3x 2 4x 12 1 1 1 1 b) Tính: A 1.3 3.5 5.7 2003.2005 Câu 2: (2 điểm) a) Cho a, b, c là hai số khác nhau và khác 0 thoả mãn: 3a 2 b 2 4ab . a b Tính giá trị của biểu thức: A a b b) Giải phương trình: x 2 1 3 Câu 3: (2 điểm) Cho A n3 3n 2 2n (n N) a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3. b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15. Câu 4: (3 điểm) Cho ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC. a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng. b) Chứng minh BEFC là hình thang. c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông, hình bình hành. Câu 5: (1 điểm) a 3 3ab 2 14 Cho . Tính giá trị của : P a2 b2 3 2 b 3a b 13 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 89 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 20 Bài 1: (2 điểm) a) Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: x 2 2xy 3y 2 x y Tính giá trị của biểu thức: A x y x 2 6x 5 b) Với x 1 . Rút gọn biểu thức: B 5x n x n 1 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì biểu thức x 3 x 2 x P(x) 1985. 1978. 5. có giá trị nguyên. 3 2 6 Bài 3: (2 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô cùng đi từ A về B khởi hành lần lượt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều người đi xe đạp và xe máy. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O là giao điểm của ba đường trung trực, vẽ ra phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH. Biết OE = OH. Tính số đo góc BAC ? Bài 5: (1 điểm) Giải phương trình: (x 2 6x 11)(y 2 2y 4) z 2 4z 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 90 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 21 Câu 1: (2 điểm) a2 a 2 (a 2)2 a2 3 a) Rút gọn biểu thức: A n 1 n . 2 2 a 3a 4a 4 a a b) Tính giá trị của biểu thức: B x19 5x18 5x17 5x16 5x2 5x 1886 với x = 4. Câu 2: (2 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 5x 12y 4 . b) Cho a, b, c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 1. 1 1 2 Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 ab Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian một ô tô con cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng ngay sau khi đi được nửa quãng đường AB, xe tải giảm bớt 5 km/h nên hai xe gặp nhau tại C cách B 30 km. Tính quãng đường AB. Câu 4 : (3 điểm) Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) AE2 = EK. EG 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG = Const Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 2x 2005 M x2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 91 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 22 Câu 1: (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: x5 x4 7x3 5x2 x A luôn luôn là số nguyên dương. 120 12 24 12 5 x24 x20 x16 x4 1 b) Rút gọn: B x26 x24 x22 x2 1 Câu 2: (2 điểm) Bạn A hỏi bạn B: “ năm nay bố mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” B trả lời: “ bố tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chúng tôi là 14; 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của ba anh em tôi”. Tính xem tuổi của bố mẹ bạn B là bao nhiêu ? Câu 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu: x y z t (x, y, z, t Z ) thì số : A x2 y2 z 2 t 2 là tổng các bình phương của ba số nguyên. b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong đó có 2 điều kiện đúng, 1 điều kiện sai: 1. N + 45 là bình phương của một số tự nhiên. 2. N có chữ số tận cùng là 7. 3. N - 44 là bình phương của một số tự nhiên. Câu 4: (3 điểm) Hai đường chéo AC và BD của hình thoi ABCD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD và AC tại O1 và O2 . Đặt O2A = a ; O1B = b . Tính diện tích ABCD theo a, b. Câu 5: (1 điểm) Tìm x, y, z Z thoả mãn: (2x 5y 1)(2 x y x2 x) 105 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 92 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 23 Câu 1: (2 điểm) 3k 2 3k 1 a) Cho a với k N* k (k 2 k) 3 Tính tổng S = a1 a2 a3 a2007 b) Chứng minh rằng: A n3 (n2 7)2 36n chia hết cho 7 với mọi n nguyên. Câu 2: (3 điểm) a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: x2 2y 1 0 ; y2 2z 1 0 ; z 2 2x 1 0 Tính giá trị của biểu thức: A x2005 y2006 z 2007 b) Chứng minh rằng với x, y Z thì P (x y)(x 2y)(x 3y)(x 4y) y4 là một số chính phương. c) Tìm số dư trong phép chia: (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 2007 cho x2 8x 1 Câu 3: ( 2 điểm) Phương và Hưng có 110.000 đồng. Hai người cùng rủ nhau đi chợ. Phương tiêu mất 1/5 số tiền của mình. Hưng tiêu mất 1/6 số tiền của mình. Số tiền còn lại của Hưng nhiều hơn số tiền còn lại của Phương là 10.000 đồng. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền. Câu 4: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. 1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA. 3) Chứng minh AC 2 AB.AH AD.AK Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 93 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: 1 1 1 1 .x 2 3 4 2005 a) 2005 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 b) x 1 x 3 4 Câu 2: (2 điểm) Tìm tỉ lệ ba đường cao của một tam giác. Biết nếu cộng lần lượt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8. Câu 3: (2 điểm) a) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: P(x) (2004 2005x x2 )2004. (2004 2005x x2 )2005 b) Tìm số tự nhiên n để n4 n2 1 là số nguyên tố. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K. Chứng minh IB, CK là đường cao của tam giác ABC. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c 0;1 và a b c 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 94 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 25 Câu 1: ( 2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x9 x7 x6 x5 x4 x3 x2 1 b) Rút gọn biểu thức: 1 3y2 y x2 . y 2 4 3 3 2 2 x xy x xy x x y xy x y Câu 2: (2 điểm) a) Có tồn tại một cặp số tự nhiên (x, y) nào để số 4x4 y4 là một số nguyên tố không. 6 b) Giải phương trình: y2 2y 3 x2 2x 4 Câu 3: (2 điểm) Một người đi từ A đến B rồi đi tử B về A mất 3 giờ 17 phút, đoạn đường AB dài 8 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đường bằng, cuối cùng là một đoạn xuống dốc. Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km. Nếu vận tốc của người đó lúc lên dốc là 4km/h, lúc đi đoạn đường bằng là 5 km/h, lúc xuống dốc là 6 km/h. Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD. a) Chứng minh: DE = CF và DE  CF. b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: a b c 1 2 a b b c c a Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 95 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 26 Câu 1: (2 điểm) x4 x3 x2 2x 2 Cho phân thức: A (với x Z) x4 2x3 x2 4x 2 a) Rút gọn A. b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu: x2 yz a ; y2 zx b ; z 2 xy c Thì tổng ax by cz chia hết cho tổng a b c . b) Cho đa thức f(x) khi chia cho x-2 thì dư 5, khi chia cho x-3 thì dư 7, còn khi chia cho x2 5x 6 thì được thương là 1 x2 và còn dư. Tìm đa thức f(x). Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình: 1 x 3 x 2 x 3 Câu 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho AF = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi N là giao điểm của FC với AB và M là giao điểm của EC và AD. a) Chứng minh MD = BN. b) Kẻ BH  AC, gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng BH  IK. Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ số của mỗi số bằng 1. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 96 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 27 Câu 1: (2 điểm) x2 y2 10 x y a) Cho y x 0 và . Tính giá trị của biểu thức M xy 3 x y 1 1 1 14 34 114 4 4 4 b) Rút gọn biểu thức A 1 1 1 24 44 124 4 4 4 Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình: x4 4x3 19x2 106x 120 0 x4 y4 1 b) Cho và x2 y2 1 a b a b x2004 y2004 2 Chứng minh rằng: a1002 b1002 (a b)102 Câu 3: (2 điểm) Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà bình với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình. Khi trở về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp bốn lần quãng đường Bình đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình. Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, một góc vuông xAy qoay quanh đỉnh A của hình vuông, cạnh Ax cắt các đường thẳng BC, CD lần lượt tại M, N; cạnh Ay cũng cắt các đường thẳng đó tại P và Q. a) Chứng minh rằng ANP và AMQ vuông cân. b) Biết QM cắt PN ở R; I, K theo thứ tự là trung điểm của PN, QM. Tứ giác AKRI là hình gì ? c) Chứng minh 4 điểm: B, D, K, I cùng thuộc một đường thẳng, từ đó suy ra đường thẳng IK cố định khi góc vuông xAy quay quanh đỉnh A. Câu 5: (1 điểm) Cho p 3 q 3 2 . Chứng minh rằng: 0 p q 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 97 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 28 Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: (x2 4x 4)3 (2 x2 )3 (4x 6)3 0 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 4 2004x 2 2003x 2004 a b c Câu 2: (2 điểm) Cho a b c 0 ; x y z 0 ; 0 x y z Chứng minh: ax2 by2 cz 2 0 Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dương A; Cho biết trong ba mệnh đề P, Q, R dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai: P = “A+ 45 là bình phương của một số tự nhiên”. Q = “A tận cùng là chữ số 7”. R = “A - 44 là bình phương của một số tự nhiên”. Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên BD, ME AB; MF  AD (E AB, F AD). a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy. b) Tìm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF là lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) 2x 3 Tìm x nguyên để y nguyên: y x2 1 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 98 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 29 Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức: x 2 x x a) A 3x2 8x 4 2 3 4 1 b) B x2 2x x2 7x 10 x2 14x 15 x 9 Câu 2: (2 điểm) a b a) Cho 3a2 b2 4ab và b > a > 0. Tính P a b b) Tìm x, y biết: x2 y2 xy 3x 3 0 Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 dư 3, b chia cho 19 dư 2 thì a2 b2 ab chia hết cho 19. b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AA’, BB’ , CC’ cắt nhau tại H, gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia HG lấy điểm O 1 sao cho OG = OH; AO và HM cắt nhau tại D. 3 a) Chứng minh OM  BC. b) Tứ giác BHCD là hình gì ? c) Gọi A1 , B1 , C1 là các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB. Tính AA BB CC 1 1 1 AA' BB' CC' Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P (x 8)4 (x 6)4 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 99 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 30 Câu 1: (2 điểm) Cho đa thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 a) Phân tích đa thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A> 0. Câu 2: (2 điểm) 2 a) Giải phương trình: x2 y2 4xy 1 a b c b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0 . b c c a a b a b c Tính P (b c)2 (c a)2 (a b)2 Câu 3: (2 điểm) a) Cho m, n là các số thoả mãn: 3m2 n 4m2 n . Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là số chính phương. 1 1 1 b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn x y z xyz và m . x y z 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức: A theo m. x2 y2 z 2 Câu 4: (3 điểm) Cho ABC , trọng tâm G, trên BC lấy điểm P, đường thẳng qua P theo thứ tự song song CG và BG cắt AB, AC tại E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự tại I, J. a) Chứng minh: EI = IJ = JF b) Chứng minh PG đi qua trung điểm của EF. c) Một đường thẳng P ở ngoài tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác ABC xuống đường thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm đến đường thẳng d. ab Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho: là số nguyên tố. a b Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 100 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 31 x 2 y 2 x 2 y 2 Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức: M (x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y) a) Rút gọn M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. Câu 2: (3 điểm) a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 323 b) Cho x, y, z khác 0 và x y z 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 Nếu thì x y z x y z x2007 y2007 z 2007 x2007 y2007 z 2007 Câu 3: (2 điểm) Trong một cuộc đua mô tô có ba xe cùng khởi hành một lúc. Một xe trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất là 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km, đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và sớm hơn xe thứ ba 3 phút. Không có sự dừng lại trên đường đi. Tìm vận tốc mỗi xe, quãng đường đua và xem mỗi xe chạy mất bao nhiêu thời gian. Câu 4: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Các đoạn thẳng AO, BE, Cn và DK cắt nhau tại L, M, R, P. Tính tỉ số diện tích S(MNPR) : S(ABCD). Câu 5: (1 điểm) 1 1 1 1 Tính tổng S 1.2.3 2.34 3.4.5 n(n 1)(n 2) Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 101 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 32 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích a4 4 thành nhân tử. 24 4 64 4 104 4 144 4 184 4 b) Tính : A . . . . 44 4 84 4 124 4 164 4 204 4 Câu 2: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: A x15 7x14 7x13 7x2 7x2 7x 5 với x = 6 b) Tìm n nguyên để n - 1 chia hết cho n2 n 1 Câu 3: ( 2 điểm) a) Cho đa thức f (x) x100 x99 x2 x 1 Tìm dư của phép chia f(x) cho x2 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2004 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh AB. AE = AC. AF. c) So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC. Câu 5: (1 điểm) Cho x2 y2 xy x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x3 y3 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 102 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 33 Câu 1: (2 điểm) 1. Phân tích thành nhân tử: a) x10 x2 1 b) (x2 3x 2)(x2 7x 12) 15 2. Cho a, b là các số thoả mãn a2 b2 ab 2005 . Tính giá trị của biểu thức: a4 b4 (a b)4 P a2 b2 (a b)2 Câu 2: ( 2 điểm) a) Cho p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 là số nguyên tố. b) Tìm các số dương x, y, z thoả mãn: x y xyz và x y z 4 Câu 3: (2 điểm) Trên quãng đường AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe buýt đi từ B vể phía mình. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó. Câu 4: (3 điểm) a) Cho hình bình hành ABCD. Lấy E thuộc BD, Gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F kẻ Fx song song với AD, cắt AB tại I, Fy song song với AB, cắt AD tại K. Chứng minh rằng ba điểm I, K, E thẳng hàng. b) Cho đoạn thẳng AB song song với đường thẳng d. Tìm điểm M (d và M nằm khác phía với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đường thẳng d một tam giác có diện tích nhỏ nhất. b2 x2 Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình: x a2 x a b2 x2 x2 b2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 103 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 34 Câu 1: (2 điểm) a) Cho x2 4x 1 0 x4 x2 1 Tính giá trị của biểu thức: A x2 x2 8 b) Tìm số tự nhiên x để là số chính phương. x 8 Câu 2: (2 điểm) 2 a) Giải phương trình: x2 1 4x 1 x 1 b) Giải bất phương trình: 1 2 x Câu 3: ( 2 điểm) Việt (hỏi): Bạn ở số nhà bao nhiêu ? Nam (trả lời): Mình ở số nhà là một số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu cũng như hai chữ số cuối lập thành một số chính phương và số này gấp bốn lần số kia ? Việt: Sau một lúc suy nghĩ đã tìm ra số nhà của Nam. Hỏi số nhà của Nam là bao nhiêu ? Câu 4: ( 3 điểm) 1) Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng a. Hãy tìm trên đường thẳng a một điểm P sao cho tổng độ dài AP + PB là bé nhất. 2) Cho góc nhọn xOy và 1 điểm A ở miền trong góc đó. Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy các điểm tương ứng B và C sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất. Câu 5: (1 điểm) Tìm các số x, y, z, t thỏa mãn: x2 y2 z 2 t 2 x(y z t) Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 104 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 35 Câu 1: ( 2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 b) (x 2 y 2 )3 (z 2 x 2 )3 (y 2 z 2 )3 Câu 2: (2 điểm) a) Cho f(x) = ax2 bx c Chứng minh rằng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm các số x, y nguyên dương thoả mãn: x2 y2 2y 13 Câu 3: ( 2 điểm) a) Chứng minh rằng n5 5n3 4n chia hết cho 120 với mọi n nguyên. b) Cho tam giác có độ dài hai đường cao là 3 cm và 7 cm. Hãy tìm độ dài đường cao thứ ba, biết rằng độ dài đường cao đó là một số nguyên. Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó. b) Cho tam giác ABC . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) 1 Tìm tất cả các số thực dương x, y thoả mãn: x 3 y 3 xy 27 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 105 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 36 Câu 1: ( 2 điểm) a) Chứng minh rằng:n5 n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n. b) Phân tích thành nhân tử: x 3 y 3 6xy 8 Câu 2: (2 điểm) 1 1 1 2 x y z a) Tìm x, y, z thoả mãn: 2 1 4 xy z b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 1 1 1 A là một số hữu tỉ. (a b)2 (b c)2 (c a)2 Câu 3: ( 2 điểm) a) Cho x, y > 0 thoả mãn x + y =1. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 25 x y x y 2 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 5 13 n2 (n 1)2 2 Câu 4: (2 điểm) Cho đa thức P(x) x4 ax3 bx2 cx d với a, b, c , d là hằng số. Biết P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . Tính P(12) + P(-8). Câu 5: ( 2 điểm) Tìm các số x, y nguyên thoả mãn: x2 y2 x2 8y2 2xy Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 106 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 37 Bài 1: (4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A x4 4 a2 a 3 b) Tìm số nguyên a để biểu thức P nhận giá trị nguyên. a 1 Bài 2: (4 điểm) Đa thức P(x) khi chia cho x -3 dư 7, khi chia cho x + 5 dư -9 còn khi chi cho x 2 - 5x + 6 thì được thương là x2 + 1 và còn dư. Tìm đa thức P(x). Bài 3: (6 điểm) a) Biết x là nghiệm của phương trình: x ab x ac x bc a b c a b a c b c Tìm x ở dạng thu gọn. (23 1)(33 1)(43 1) (503 1) b) Rút gọn biểu thức: M (23 1)(33 1)(43 1) (503 1) Bài 4: (6 điểm) a) Trên tia Ox của góc xOy cho trước một điểm A. Hãy tìm trên tia Oy của góc đó một điểm B sao cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trước. b) Cho tam giác ABC có 2 trung tuyến kẻ từ B và C là BE và CF. Chứng minh rằng BE vuông góc với CF khi và chỉ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 . Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 107 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 38 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 4 3x 2 2x 3 b) Giải phương trình: x 3 3x 2 3x 1 0 a 2 a 2 a 1 Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức: P . a 1 a 1 a a) Rút gọn P. b) Tìm a để P nguyên. Bài 3: (3 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y, z biết rằng: y z 1 x z 2 x y 3 1 x y z x y z b) Cho đa thức f(x) = ax2 bx c với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. HA' HB' HC' Chứng minh rằng: 1 AA' BB' CC' Bài 5: (1 điểm) Tìm các hằng số a và b sao chob đa thức x2 ax b chia cho (x + 1) thì dư 7, chia cho (x-3) thì dư -5. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 108 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 39 Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức: a) P (a b c)2 (a b c)2 (a b c)2 (b c a)2 1 1 1 b) Q x y x y x2 y2 Bài 2: ( 2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (a b c)(ab bc ca) abc 5 b) Tìm x, y biết: x2 y2 x 3y 0 2 c) Cho A (n 1)(n2 3n 1) . Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là một số nguyên tố. Bài 3: ( 2 điểm) Giải phương trình: x 13 x 11 x 9 x 7 x 5 x 117 x 119 x 121 x 123 x 125 117 119 121 123 125 13 11 9 7 5 Bài 4: (2 điểm) Một ô tô khởi hành đi từ A đến C, hai giờ sau một ô tô khác đi từ B đến C. Sau 2 3 giờ tính từ khi ô tô thứ nhất lhởi hành thì hai ô tô gặp nhau. Tính vận tốc của 5 mỗi ô tô. Biết rằng B nằm trên đường từ A đến C và quãng đường AB bằng 78 km, vận tốc của ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc của ô tô đi từ B là 5 km/h. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba phân giác trong là AD, BE và CF. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của B, A và C qua AD, BE , AD. Q là điểm đối xứng của A qua CF. Chứng minh MN // PQ. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 109 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 40 Bài 1: ( 2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4 1 2x3 x2 b) a(b3 c 3 ) b(c 3 a 3 ) c(a 3 b3 ) Bài 2: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau: (a b 1)3 (a b 1)3 6(a b)2 b) Xác định a, b để đa thức x3 ax2 2x b chia hết cho đa thức x2 1 c) Tìm dư của phép chia đa thức f (x) 2004x2005 2005x2004 x2002 1 cho đa thức x2 1 d) Tìm x nguyên thoả mãn: 2x 1 5 Bài 3: (2,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BD và AC. a) Chứng minh MN là phân giác của góc PMQ. b) Tìm điều kiên của tứ giác ABCD để MN = PQ. c) Xác định vị trí của điểm I trên CD để AIB có chu vi nhỏ nhất. Bài 4: (1,5 điểm) a) Tính nhanh: 9982 9992 10012 10022 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 xy y2 3x 3y 2004 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 110 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 41 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 x3 2x2 3x 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2 9y2 6xy 6x 12y 2006 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm thương và phần dư trong phép chia đa thức: f (x) 1 x x2 x3 x1997 cho x2 1 b) Đa thức f(x) khi chia cho x-3 thì dư 10, khi chia cho x+5 thì dư 2 còn khi chia cho (x-3)(x+5) thì được thương là x2 1 và còn dư. Tìm đa thức f(x). Bài 3: (2 điểm) Tìm số tự nhiên x sao cho M x1999 x1997 1 có giá trị là một số nguyên tố. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên đường chéo AC. Từ M hạ MH, MK thứ tự vuông góc với AB và BC. a) Chứng minh rằng: AK, CH và DM đồng quy. b) Tính các góc của tam giác DHK nếu biết diện tích của tam giác đó bằng 1 HK 2 KD2 . 4 Bài 5: (1 điểm) Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2x a 1 x 3 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 111 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 42 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 b) x3 x2 4 Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức: 1 m m2 m 1 2m 1 P . : 3 2 m 1 m 1 m 1 m 2m 1 a) Rút gọn P. 2001 b) Tính P khi m 1999 Bài 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số: 15n2 8n 6 tối giản. 30n2 21n 13 b) Tìm số nguyên n để n 7 chia hết cho n2 64 Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE, cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh rằng chi vi tam giác CEM không đổi khi E chuyển động trên BC. Bài 5: (1 điểm) Tìm a để P = a4 + 4 là một số nguyên tố. Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 112 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 43 Bài 1: ( 2điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x y) 2 (x y) 6 b) (x 2 x 1)(x 2 3x 1) x 2 Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức P(x) x5 ax4 bx3 cx2 dx e và cho biết P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51. Tính P(6) ; P(7) ; P(8). Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình: 4x 2 a) x 2 5 x 2 4x 4 b) x5 x4 x3 x2 2 Bài 4: (2 điểm) Dùng hai can 4 lít và 2,5 lít làm thế nào để đong được 3 lít rượu từ một can 6 lít đựng đầy rượu (các can không có vạch chia độ). Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x100 10x10 10 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 113 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 44 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành nhân tử: x 5 x 4 1 b) Tìm các cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: P x2 y2 xy 2x 2y Bài 2: ( 2điểm) Giải phương trình: a) x 2 2 x 3 3 x 4 4 2 b) x 2 1 x 2 4 x 2 2x 4 Bài 3: ( 2 điểm) 8 Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newtơn của đa thức: 1 x2 (1 x) Bài 4: (2 điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng luỹ thừa bậc bốn tổng các chữ số của nó. Bài 5: (2 điểm) 1 x 2 x 1 Chứng minh rằng: 3 3 x 2 x 1 Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 114 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
Đề số 45 Câu 1: ( 2 điểm) Phân tích thành nhân tử: a) x 4 y 4 64 b) 2x 4 9x 3 14x 2 9x 2 Câu 2: ( 2 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: x x 2 x 1 m Câu 3: ( 2 điểm) Cho x 2 2006x 1 0 . Tính giá trị của biểu thức: x 4 x 2 1 P x 2 Câu 4: (2 điểm) Cho x, y, z > 0 và xyz =1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 Câu 5: ( 2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a b c 1. 1 1 1 Tìm GTNN của biểu thức: P 1 1 1 a b c Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 115 HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)