Chuyên đề Hình học luyện thi vào Lớp 10: Tứ giác nội tiếp

Nội dung text: Chuyên đề Hình học luyện thi vào Lớp 10: Tứ giác nội tiếp

1. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ B A C O D 1) Khái niệm: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp) 2) Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 -Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . II) Bài tập Bài tập 1 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn tại S. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp. b) A· BD A· CD c) CA là phân giác của S· CB Bài tập 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp . b) CA là phân giác của B· CF . c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập 3 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bài tập 4 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . 1
2. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp c) AC song song với FG . d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bài tập 5 Cho tam giác vuông ABC (Aµ 900 ; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đương tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn. b. CM là phân giác của góc B· CS . TA TC c. . TD TB Bài tập 6 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh LA là phân giác của M· LN c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ. e/ Chứng minh ∆KLN cân. Bài tập 7 Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H) 1. Chứng minh gúc A· BE bằng gúc E· AH và ∆ABH đồng dạng với ∆EAH. 2. Lấy điểm C trờn d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giỏc nội tiếp. 3. Xỏc định vị trớ điểm H để AB= R . Bài tập 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp . 2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF Bài tập 9 Cho ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a) Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N và HE// CD. b) M là tâm đường tròn ngoại tiếp HEF. Bài tập 10 2
3. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE. a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này. b) Chứng minh: HA là tia phân giác B· HC . c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH d) BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK. Bài tập 11 Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó. a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? AB.CD c) Chứmg minh rằng: AC.BD BC.DA 2 Bài tập 12 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh A· BD D· FB . 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài tập 13 Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn . 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài tập 14 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F. a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minh: BEFC là tứ giác nội tiếp . c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC. Bài tập 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 1 3. Chứng minh ED = BC. 2 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm. Bài tập 16 3
4. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Từ điểm M ngoài đường trũn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trờn cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD AB; CE  MA; CF  MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a) Tứ giỏc AECD; BFCD nội tiếp được. b) CD2 = CE.CF c) IK  CD Bài tập 17 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh DMC đều. b) Chứng minh MB + MC = MA. c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp. d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào ? Bài tập 18 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d. Bài tập 19 Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh: 1. AE2 = AB.AC 2. Tứ giác AEOF nội tiếp 3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn. 4. ED song song với Ac. 5. Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài tập 20 Cho ABC có các góc đều nhọn và Aµ 450 . Vẽ đường cao BD và CE của ABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. DE b) Tính tỉ số BC c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA  DE Bài tập 21 Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đường cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt PB, PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC ở điểm thứ hai E 4
5. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy. b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE Bài tập 22 Cho tam giác vuông ABC (A 900 ); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đường tròn đường kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn. c. AC là tia phân giác của góc EAF. Bài tập 23 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp b/ Chứng minh AB//EI c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS 1 1 2 * AB CD RS Bài tập 24 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đường tròn. b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao? c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào? Bài tập 25 Cho nửa đường tròn đường kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đường tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao? b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bài tập 26 Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đường tròn cố định. b) Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp. c) Chứng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định. d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc  TPT’ = 600. 5
6. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Bài tập 27 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh: a) Tứ giác ABTM nội tiếp b) Khi M chuyển động trên AC thì A· DM có số đo không đổi. c) AB//ST. Bài tập 28 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đường vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đường tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng MB với đường tròn (O') là N và giao điểm của hai đường thẳng CM, DN là P. a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao? b. Chứng minh ACPD nội tiếp được đường tròn. c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đường tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP. Bài tập 29 Cho ABC vuụng tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường trũn (O) đường kớnh HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D. a) Chứng minh tứ giỏc ABCD nội tiếp. b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phõn giỏc của K· CB Bài tập 30 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chứng minh AM2 = AE.AC. 4. Chứng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài tập 31 Cho nửa đường trũn (O;R) đường kớnh AB, dõy AC. Gọi E là điểm chớnh giữa cung AC bỏn kớnh OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K. a) Chứng minh tứ giỏc CHEK nội tiếp. b) Chứng minh KH AB c) Cho BC = R. Tớnh PK. Bài tập 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài tập 33 Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. 6
7. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh HA là tia phân giác của B· HC . c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB2 AI.AH . R d) Cho AB=R 3 và OH= . Tính HI theo R. 2 Bài tập 34 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. c) Chứng minh BAF là tam giác cân. d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Bài tập 35 Cho hai đường trũn (O 1), (O2) cú bỏn kớnh bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cỏt tuyến qua B khụng vuụng gúc với AB, nú cắt hai đường trũn ở E và F. (E (O1); F (O2)). 1. Chứng minh AE = AF. 2. Vẽ cỏt tuyến CBD vuụng gúc với AB ( C (O 1); D (O2)). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: a. Cỏc tứ giỏc AEPF và ACPD nội tiếp được đường trũn. b. Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 3. Khi EF quay quanh B thỡ I và P di chuyển trờn đường nào? Bài tập 36 Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lượt lấy điểm E, F sao cho E· AF 450 . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh: a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau Bài tập 37 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. a. Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b. Chứng minh: HK // CD. c. Chứng minh: OK.OS = R2. Bài tập 38 Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, sao cho 3 C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh V AME đồng dạng với V ACM và AM2 = AE.AC. c. Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2. 7
8. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài tập 39 Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D; Tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P. a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp được. b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đường tròn cố định. Bài tập 40 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB. a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp. b/ Chứng minh:.M· HI M· KH c/ Chứng minh: MH2 = MI.MK. Bài tập 41 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: 1. Tích BN.BM không đổi. 2. Tứ giác MNPQ nội tiếp. 3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài tập 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Góc CID bằng góc CKD. b. Tứ giác CDFE nội tiếp được một dường tròn. c. IK // AB. Bài tập 43 Trên đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D. a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB. b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA. c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD. d. Cho biết BAM 450 và BAE 300 . Tính diện tích tam giác ABC theo R. Bài tập 44 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB. Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vuông góc với MN tại K. Gọi C là giao điểm của Ax với tia BI. a/ Chứng minh rằng: BN// MC 8
9. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC là hình chữ nhật c/ Tiếp tuyến Bt với đường tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao điểm thứ hai của tia Ax với (O). Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp Bài tập 45 Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 60 0; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Tam giác BCD là tam giác gì? tại sao? b) Kéo dài đường cao CH của ABC cắt BD tại E. Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đường tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đường tròn. c) Các đường thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh: MBG cân. Bài tập 46 Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh KN.KC = KH.KO. c. Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. d. Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất. Bài tập 47 Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H (D BC; E CA; F AB) 4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB 5. Gọi A' là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OA' 6. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích ABC, 2p là chu vi DEF. Chứng minh: a. d // EF b. S = p.R Bài tập 48 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đường tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K. a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh IK song song với BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành. Bài tập 49 Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đường tròn. Một góc xAy = 90 0 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đường tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tương ứng là B, C. Đường tròn đường kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M, N. Tia OM cắt đường tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh rằng a) AMON là hình chữ nhật 9
10. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp b) MN//BC c) Tứ giác PHOB nội tiếp d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Bài tập 50 Cho đường tròn (O) đường kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh: a) Tứ giác IECB nội tiếp. b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bài tập 51 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: D là điểm chính giữa cung MB. c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đườngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được. d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đường tròn. Bài tập 52 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH. a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh: OH.OI = OK. OM c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) Bài tập 53 Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đường tròn đường kính BC tại I. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. Bài tập 54 Cho đường tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: góc AOC bằng góc BIC c) Chứng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. 10
11. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Bài tập 55 Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn O tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đường tròn (O). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tai E và F. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đường tròn. b. IAB AMO . c. O là trung điểm của FE Bài tập 56 Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F. a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp b/ Chứng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành Bài tập 57 Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy ngoài đường tròn. Đường thẳng đi qua O vuông góc với xy tại H cắt đường tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đường thẳng AM cắt xy tại E, đường thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đường thẳng AF cắt (O) tại K. Nối E với K. a) Chứng minh: IM = IF b) Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh: IK là tiếp tuyến của (O). d) Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp AMH khi M di động trên (O) Bài tập 58 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM lần lượt ở K và H. Hãy chứng minh: 1) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK=HA.HM. 2) KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) 3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng Bài tập 59 Cho đường tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO ; OM tại P và Q. a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp. b) Chứng minh SA2 = SD. SC. c) Chứng minh OM. OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S. d) Khi BC // SA. Chứng minh tam giác ABC cân tại A e) Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA. Bài tập 60 Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc cung BM ( K khác M và B ). AK cắt MO tại I. a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp được trong một đường tròn. b) Gọi H là hình chiếu của M lên AK. Chứng minh : Tứ giác AMHO nội tiếp . 11
12. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp c) Tam giác HMK là tam giác gì ? d) Chứng minh : OH là phân giác của góc MOK. e) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình chiếu của K lên AB) Bài tập 61 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (0). Tia phân giác trong của góc B, góc C cắt đường tròn này thứ tự tại D và E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC. a) Chứng minh: các tam giác EBF, DAF cân. b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ? d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK. Bài tập 62 Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho 2 AI = .OA . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C 3 không trùng với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp. b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM2 = AE . AC c) Chứng minh : AE .AC – AI .IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài tập 63 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R)(AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB ; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K ; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I. a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được b) Chứng minh: IK // AB. c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp được d) Chứng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED. f) Gọi R1 , R2 là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.Chứng 2 2 minh: R1 + R2 = 4R PA Bài tập 54 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a. E là điểm đi chuyển trên đoạn CD (E khác D), đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. 1) Chứng minh ABF = ADK từ đó suy ra AFK vuông cân . 2) Gọi I là trung điểm của FK, Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K. 3) Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đường tròn . Bài tập 65 Cho góc vuông xOy , trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là một điểm bất kỳ trên AB. Dựng đường tròn tâm O 1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A, đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N . 1) Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB . 2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi . 12
13. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp 3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất . Bài tập 66 Cho điểm A bờn ngoài đường trũn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE đến đường trũn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cựng nằm trờn một đường trũn. b) Chứng minh HA là tia phõn giỏc của B· HC . c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB2 AI.AH . Bài tập 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lượt tại M , N . 1) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân . 2) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC . 3) Tứ giác CMIN là hình gì ? Bài tập 68 Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn (AB HE. Tinh HC. Bài tập 69 Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM . a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Tính AH.AK theo R. Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó Bài tập 70 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O1) , (O2) lần lượt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD . 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông . 2) Gọi M là giao diểm của CO 1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đường tròn 3) E là trung điểm của IJ , đường thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E. 4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất . Bài tập 71 Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB , AC lần lượt tại E và F . 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng . 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn . 3) Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . Bài tập 72 13
14. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F 1) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp . 2) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB . 3) Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB Bài tập 73 Cho ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC. CMR a/ MAOH là tứ giác nội tiếp b/ Tia HM là phân giác của góc AHB c/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lượt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng QP // EF. Bài tập 74 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . c) AC song song với FG . d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bài tập 75 Cho đường tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đường tròn (O). a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đường tròn. b. Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì? c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng. Bài tập 76 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 2) Chứng minh A· MB H· MK 3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK . Bài tập 77 Cho nửa đường trũn đường kớnh AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường trũn. Gọi C là điểm trờn nửa đường trũn sao cho cung AC bằng cung CB. Trờn cung CB lấy điểm D khỏc C và B. Cỏc tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F. a, Chứng minh ABE vuụng cõn b, Chứng minh ABF  BDF c, Chứng minh tứ giỏc CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bài tập 78 14
15. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được; b) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đường tròn Bài tập 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bài tập 80 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B 450 ), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lượt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. a. Chỉ ra cách dựng đường tròn (O). b. Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp. c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH. Chứng minh PQ  MI. Bài tập 81 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó. 2. MN// DE 3. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CDE không đổi. Bài tập 82 Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M B ; M C ) . Gọi D , E , F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 1) Chứng minh : a) MECF là tứ giác nội tiếp . b) MF vuông góc với HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Bài tập 83 Cho ABC vuụng cõn tại A. AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kỡ thuộc đoạn AD (M khụng trựng A, D). Gọi I, K lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB, AC. H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn đoạn DK a/Tứ giỏc AIMK là hỡnh gỡ? b/ A, I, M, H, K thuộc một đường trũn. Tỡm tõm đường trũn đú. c/ B, M, H thẳng hàng. Bài tập 84 15
16. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đường cao AD và BF gặp nhau tại H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK là đường cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF tại E. Chứng minh rằng gócEFH = góc KBH c/ Giả sử CH = AB. Tính số đo của góc ACB Bài tập 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: 1 a. CAB AOD . 2 b. Tứ giác AEDO nội tiếp. c. EI // AB. Bài tập 86 Cho đường trũn tõm O đường kớnh AC. Trờn AC lấy điểm B , vẽ đường trũn tõm O’ đường kớnh BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt đường trũn tõm O tại D và E. Nối DC cắt đường trũn tõm O’ tại I. Chứng minh: a/ AD // BI. b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng. c/ MD = MI. d/ DM2 = AM.MC. e/ Tứ giỏc DMBI nội tiếp. Bài tập 87 Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm D, dựng CE vuông góc với BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn. b. Chứng minh AD.CD = ED.BD. c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và DKE ABE . Bài tập 88 Từ một điểm A ở ngoài đường tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, M B;M C . Từ M hạ các đường vuông góc MI, MH, MK tương ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của MC và IH. a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được đường tròn. b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH. c. Chứng minh PQ // BC Bài tập 89 Cho đường tròn tâm O, bán kính R và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy 1 điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) ở M. 3 a. Tính CE theo R. b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác. c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đường cao MH của tam giác CDM. Bài tập 90 16
17. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Cho hai đường tròn (O 1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O 1), (O2) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. a. Chứng minh IA vuông góc với CD. b. Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF Bài tập 91 Cho đường trũn tõm O và cỏt tuyến CAB (C ở ngoài đường trũn). Từ điểm chớnh giữa của cung lớn AB kẻ đường kớnh MN cắt AB tại I, CM cắt đường trũn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F. 1) Chứng minh tứ giỏc MEFI là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh gúc CAE bằng gúc MEB. 3) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bài tập 92 Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b. Chứng minh AE.AB = AF.AC c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. Bài tập 93 Cho đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC. Đường tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đường tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn (O'). Chứng minh: a. Tứ giác ADBE là hình thoi. b. AF // BD. c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đường tròn. e. Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 94 Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành. b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đường tròn. c. Chứng minh rằng: BP = BA. Bài tập 95 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn. c. Tam giác PQO cân. 17
18. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp d. PM2 = PE.PF. e. PHM PHN . Bài tập 96 Cho ABC, các đường phân giác trong của góc B và C gặp nhau tại S. Các đường thẳng phân giác ngoài cảu góc B và C gặp nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BSCE nội tiếp. b) A; S; E thẳng hàng. Cho nửa đường tròn đường kính AB cà một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD cắt AB tại I. Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMCI; BNCI nội tiếp. b) MNI vuông và IMN đồng dạng với CAB. Bài tập 97 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dựng hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp điểm) và cát tuyến APQ. Gọi L là trung điểm của của PQ. a. Chứng minh 5 điểm O; L; M; A; N nằm trên một đường tròn. b. LA là tia phân giác của góc MLN. c. Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL. d. Gọi K là giao điểm của ML với đường tròn (O). Chứng minh rằng: KN//AQ. e. Chứng minh KLN cân. Bài tập 98 Cho nửa đường tròn đường kính AB, C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB, Trên AB lấy điểm E sao cho AE = AC, DE cắt BC tại H. AH cắt nửa đường tròn tại K. Chứng minh: a) Góc DAH = góc BAH. b) OK  BC. c) Tứ giác ACHE nội tiếp. d) B; K; D tẳng hàng. Bài tập 99 Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ (R>R’) tiếp xúc ngoài tại C. Gọi AC, BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O’). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB, CD cắt đường tròn (O’) tại F. a/ Tứ giácAEBD là hình gì? b/ B; E; F thẳng hàng. c/ Tứ giácMDBF; MCFE nội tiếp. d/ BD cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng quy. 1 e/ Chứng minh MF DE và MF là tiếp tuyến của (O’). 2 Bài tập 100 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Tại B vẽ tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (Bx cùng phía với nửa đường tròn bờ AB). Trên Bx lấy hai điểm C; D sao cho C nằm giữa B và D, các tia AC và AD lần lượt cắt nửa đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M, hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng: a. MN//Bx. b. Tứ giácMFNE nội tiếp. c. Tứ giác CDFE nội tiếp. 18
19. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp Bài tập 101 Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CDAB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và DF; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a. Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp. b. CD2 = CE.CF = DE.DF. c. Tứ giác ICKD nội tiếp. d. IK//AB. 19