Chuyên đề Đại số Lớp 9: hệ thức Viét

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 9: hệ thức Viét

1. CHUYấN ĐỀ: HỆ THỨC VI ẫT  Cỏc kiến thức cần nhớ 1) Định lớ Vi ột: 2 Cho phương trỡnh ax + bx + c = 0 (a≠0). Nếu phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 thỡ: ỡ b ù x + x = - ù 1 2 a ớù ù c ù x1.x2 = ợù a D x - x = ± Lưu ý: Khi đú ta cũng cú: 1 2 a 2) Áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phương trỡnh bậc hai: c x = 1; x = - Nếu a + b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm 1 2 a c x = - 1; x = - - Nếu a – b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm 1 2 a 3) Tỡm hai số khi biết tổng và tớch: Hai số x; y cú: x + y = S; x.y = P thỡ hai số x; y là nghiệm của phương trỡnh: X2 – SX + P = 0 Điều kiện S2 4P. Bài tập DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trỡnh khi biết hai nghiệm: Bài 1: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 1 3 d) x =0,1; x =0,2 e) x = 3; x = f) x = - 5; x = - 1 2 1 2 4 1 2 2 1 3 1 1 1 g) x = ; x = - h) x = - 2 ; x = 3 i) x = 1 ; x = - 0,9 1 4 2 2 1 4 2 3 1 3 2 1 j) x = 1- 2; x = 1+ 2 k) x = 3 + 2; x = 1 2 1 2 3 + 2 x = 3 + 2 2; x = 3- 2 2 l) x1 = 5 + 2 6; x2 = 5- 2 6 m) 1 2 1 1 1 1 n) x = ; x = o) x = ; x = 1 2 + 3 2 2- 3 1 10- 72 2 10 + 72 p) x1 = 4 - 3 5; x2 = 4 + 3 5 q) x1 = 3 + 11; x2 = 3- 11
2. r) x1 = 3- 5; x2 = 3 + 5 s) x1 = 4; x2 = 1- 2 1 t) x = - ; x = 2 + 3 u) x = - 1,9; x = 5,1 1 3 2 1 2 2 Bài 2: Giả sử x 1; x2 là hai nghiệm của phương trỡnh: 2x - 7x - 3 = 0 . Khụng giải phương trỡnh, hóy lập một phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm là: 1 1 a) 3x1 và 3x2 b) -2x1 và -2x2 c) và x1 x2 1 1 x x x + 1 x + 1 d) và e) 2 và 1 f) 1 và 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 + 1 x2 + 1 x1 x2 1 1 g) và h) và i) x1 + và x2 + x2 x1 x2 + 1 x1 + 1 x2 x1 j) 1 và 1 x2 + 2 x1 + 2 2 Bài 3: Giả sử x 1; x2 là hai nghiệm của phương trỡnh: x + px - 5 = 0 . Khụng giải phương trỡnh, hóy lập một phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm là: 1 1 a) -x1 và -x2 b) 4x1 và 4x2 c) x và x 3 1 3 2 1 1 x x x - 2 x - 2 d) và e) 2 và 1 f) 1 và 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 - x1 + 3 - x2 + 3 x1 x2 1 1 g) và h) và i) x1 - và x2 - x2 x1 x2 - 1 x1 - 1 x2 x1 x 2 x 2 1 1 2 2 j) 1 và 2 k) x1 + và x2 + l) x1 x2 và x1x2 x2 x1 Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phương trỡnh 3x2 + 7x + 4 = 0. Khụng giải phương trỡnh. Hóy lập một phương trỡnh bậc hai với cỏc hệ số nguyờn cú nghiệm là: p và q q - 1 p - 1 Bài 5: Tương tự: a) x2 + 4x + 2 = 0 b) x2 - 5x - 3 = 0 c) 2x2 + 6x - 7 = 0 Bài 6: 2 a) Chứng minh rằng nếu a 1; a2 là hai nghiệm của phương trỡnh: x + px + 1 = 0 , b 1; b2 là hai nghiệm của phương trỡnh: x2 + qx + 1 = 0 thỡ: 2 2 (a1 - b1)(a2 - b2 )(a1 + b1)(a2 + b2 ) = q - p
3. b) Chứng minh rằng nếu tớch một nghiệm của pt: x2 + ax + 1 = 0với mộ nghiệm nào đú của pt x2 + bx + 1 = 0 là nghiệm pt thỡ: 4 1 1 - - = 2 a2b2 a2 b2 c) Cho pt x2 + px + q = 0 Chứng minh rằng nếu 2p2 - 9q = 0 thỡ pt cú hai nghiệm và nghiệm này gấp đụi nghiệm kia. DẠNG THỨ HAI: Tỡm tổng và tớch cỏc nghiệm: 2 Bài 1: Cho phương trỡnh: x - 5x + 3 = 0. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trỡnh khụng giải phương trỡnh hóy tớnh: x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 2 - x 2 a) 1 2 b) 1 2 c) x1 - x2 d) 1 2 1 1 1 1 x - 3 x - 3 x 3 - x 3 + + 1 + 2 e) 1 2 f) g) 2 2 h) x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 1 x1 + 5 x2 + 5 1 1 1- x1 1- x2 i) + j) + k) x1 + + x2 + l) + x1 - 2 x2 - 2 x2 x1 x1 x2 2x1 2x2 x x 2 2 1 + 2 m) x1 x2 + x1x2 n) x2 x1 Bài 2: Tương tự: 2x2 - 5x + 1 = 0 ; 3x2 + 4x - 3 = 0 ; - 3x2 + 2x + 5 = 0 Bài 3: Cho phương trỡnh: - x2 - 4x + 1 = 0. Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh: a) Tổng bỡnh phương cỏc nghiệm b) Tổng nghịch đảo cỏc nghiệm c) Tổng lập phương cỏc nghiệm d) Bỡnh phương tổng cỏc nghiệm e) Hiệu cỏc nghiệm f) Hiệu bỡnh phương cỏc nghiệm 2 Bài 4: Cho pt: x + 4 3x + 8 = 0 cú hai nghiệm x1; x2. Khụng giải pt hóy tớnh: 6x 2 + 10x x + 6x 2 A = 1 1 2 2 3 3 5x1x2 + 5x1 x2 DẠNG THỨ BA: Tỡm hai số khi biết tổng và tớch: Bài 1: a) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng bằng 27, tớch của chỳng bằng 180. b) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng bằng 1, tớch của chỳng bằng 5. c) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng bằng 33 , tớch của chỳng bằng 270.
4. d) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng bằng 4, tớch của chỳng bằng 50. e) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng bằng 6 , tớch của chỳng bằng -315. Bài 2 Tỡm hai số u, v biết: a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = 9 d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24 i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24 k) u2 + v2 = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180 m) u2 + v2 = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12 DẠNG THỨ BỐN: Tớnh giỏ trị của tham số khi biết mối liờn hệ giữa cỏc nghiệm: 2 Bài 1: Cho pt x - 6x + m = 0 . Tớnh giỏ trị của m biết pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả: 1 1 1 1 4 2 2 + = 3 + = a) x1 + x2 = 36 b) c) 2 2 d) x1 - x2 = 4 x1 x2 x1 x2 3 2 Bài 2: Cho pt x - 8x + m = 0 . Tỡm cỏc giỏ trị của m để pt cú hai nghiệm x 1; x2 thoả một trong cỏc hệ thức sau: 2 2 a) x1 + x2 = 50 b) x1 = 7x2 c) 2x1 + 3x2 = 26 d) x1 - x2 = 2 2 Bài 3: Cho pt x - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 . Tỡm m để pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả x1 = 2x2 . Khi đú tỡm cụ thể hai nghiệm của pt? Bài 4: 2 2 2 a) Tỡm k để pt: x + (k - 2)x + k - 5 = 0 cú hai nghiệm x1; x2 thoả x1 + x2 = 10 2 2 2 b) Tỡm m để pt: x - 2(m - 2)x - 5 = 0 cú hai nghiệm x1; x2 thoả x1 + x2 = 18 2 c) Tỡm k để pt: (k + 1)x - 2(k + 2)x + k - 3 = 0 cú hai nghiệm x1; x2 thoả (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 d) Tỡm m để pt: 5x + mx - 28 = 0 cú hai nghiệm x1; x2 thoả 5x1 + 2x2 = 1
5. 2 Bài 5 Gọi x1; x2 là hai nghiệm khỏc 0 của pt: mx + (m - 1)x + 3(m - 1) = 0 . Chứng minh: 1 1 1 + = - x1 x2 3 DẠNG THỨ NĂM: Cỏc bài toỏn tổng hợp. 2 2 Bài 1: Cho pt: x - (2m + 3)x + m + 3m + 2 = 0 a) Giải pt trờn khi m = 1 b) Định m để pt cú một nghiệm là 2. Khi đú pt cũn một nghiệm nữa, tỡm nghiệm đú? c) CMR pt luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m. 2 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tỡm m để x1 + x2 = 1 e) Định m để pt cú nghiệm này bằng ba nghiệm kia? 2 Bài 2: Cho pt x - 2(m - 1)x - m = 0 a) CMR pt luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1; x2 với mọi m. 1 1 b) Với m ≠ 0. Hóy lập pt ẩn y cú 2 nghiệm là: y1 = x1 + và y2 = x2 + x2 x1 c) Định m để pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả x1 + 2x2 = 3 2 Bài 3: Cho pt x - 2(k + 3)x + 2k - 1 = 0 1 a) Giải pt khi k = 2 b) Tỡm k để pt cú một nghiệm là 3, khi đú pt cũn một nghiệm nữa, tỡm nghiệm ấy? c) Chứng minh rằng pt luụn cú 2 nghiệm x1; x2 với mọi k. d) CMR giữa tổng và tớch cỏc nghiệm cú một sự liờn hệ khụng phụ thuộc k? 1 1 3 + + = 2 e) Tỡm k để pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x2 x1x2 f) Tỡm k để tổng bỡnh phương cỏc nghiệm cú giỏ trị nhỏ nhất. 2 Bài 4: Cho pt (m - 1)x - 2mx + m + 1 = 0 a) CMR pt luụn cú 2 nghiệm phõn biệt khi m ≠ 1. b) Xỏc định m để pt cú tớch hai nghiệm bằng 5. Từ đú hóy tớnh ổng cỏc nghiệm của pt.
6. c) Tỡm một hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm của pt khụng phụ thuộc m? x x 5 1 + 2 + = 0 d) Tỡm m để pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả x2 x1 2 2 Bài 5: Cho pt x - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 a) Giải và biện luận pt trờn. b) Tim giỏ trị của m để pt cú một nghiệm bằng m. khi đú hóy tỡm nghiệm cũn lại? 2 2 c) Tỡm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thoả 10x1x2 + x1 + x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú? Bài 6: Cho pt x2 - 2mx + 2m - 1 = 0 a) Chứng minh rằng pt luụn cú 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. 2 2 b) Đặt A = 2(x1 + x2 ) - 5x1x2 +) Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9 +) Tỡm m sao cho A = 27. c) Tỡm m để pt cú nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đú hóy tỡm hai nghiệm ấy? 2 Bài 7: Cho pt x - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 a) Giải pt khi m = -5 b) CMR pt luụn cú nghiệm x1; x2 với mọi m. c) Tỡm m để pt cú hai nghiệm trỏi dấu. d) Tỡm m để pt cú hai nghiệm dương. e) CMR biểu thức A = x1(1- x2) + x2(1- x1) khụng phụ thuộc m. f) Tớnh giỏ trị của biểu thức x1 - x2 2 Bài 8: Cho pt x - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 3 a) Giải pt trờn khi m = - 2 b) Tỡm m để pt cú hai nghiệm trỏi dấu? c) Tỡm m để pt cú hai nghiệm đều õm? 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tỡm m để x1(1- 2x2) + x2(1- 2x1) = m 2 2 Bài 9: Cho pt x - 2(m + 1)x + m - 4m - 9 = 0 (x là ẩn)
7. a) Giải và biện luận pt. b) Tỡm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giỏ trị của m vừa tỡm được hóy tỡm nghiệm cũn lại của pt. c) Tỡm m để pt cú hai nghiệm trỏi dấu. 2 Bài 10: Cho pt (m - 4)x - 2mx + m + 2 = 0 a) Tỡm m để pt cú nghiệm x = 2 . Tỡm nghiệm kia b) Tỡm m để pt cú nghiệm 2 2 c) Tớnh x1 + x2 theo m. 3 3 d) Tớnh x1 + x2 theo m. e) Tỡm tổng nghịch đảo cỏc nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo cỏc nghiệm. Bài 11: 2 a) Pt x - 2px + 5 = 0 cú nghiệm x1 = 2 . Tỡm p và tớnh nghiệm kia. 2 b) Pt x + 5x + q = 0 cú một nghiệm bằng 5. Tỡm q và tớnh nghiệm kia. 2 c) Biết hiệu hai nghiệm của ptx - 7x + q = 0 bằng 11. Tỡm q và hai nghiệm của 2 d) Tỡm q và hai nghiệm của pt x - qx + 50 = 0 , biết pt cú hai nghiệm và nghiệm này gấp đụi nghiệm kia. 2 2 e) Tỡm giỏ trị của m để pt x + 2(m + 2)x + 2m + 7 = 0 cú nghiệm x1 = 5. khi đú hóy tỡm nghiệm cũn lại. 2 f) Định giỏ trị của k để pt x + k(k + 1)x + 5k + 20 = 0 cú nghiệm x = -5. Tỡm nghiệm kia. 2 g) Cho pt: 5x + mx - 28 = 0 . Định m để pt cú hai nghiệm thoả 5x1 + 2x2 = 1 2 h) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để pt x + ax + a + 7 = 0 cú hai nghiệm x 1; x2 thoả 2 2 món x1 + x2 = 10 2 Bài 12: Cho pt (m + 1)x - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 a) Xỏc định m để pt cú hai nghiệm phõn biệt. b) Xỏc định m để pt cú một nghiệm bằng 2. Tỡm nghiệm kia.
8. c) Xỏc định m để pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả 1 1 7 1 1 + = + = 1 2 2 ; ; x1 + x2 = 2 x1 x2 4 x1 x2 d) Xỏc định m để pt cú hai nghiệm thoả 3(x1 + x2) = 5x1x2 2 Bài 13: Cho pt x - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 a) Tỡm m để pt cú nghiệm 2 2 b) Cho P = 6x1x2 + x1 + x2 ( x1; x2 là hai nghiệm của pt). Tỡm m sao cho P đạt giỏ trị nhỏ nhất, tỡm GTNN ấy. 2 Bài 14: Tỡm cỏc giỏ trị của m; n để pt x - 2(m + 1)x + n + 2 = 0 cú hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2? 2 Bài 15: Tỡm cỏc giỏ rị của m để pt x - mx + m + 1 = 0 cú nghiệm x1; x2 thoả món một trong hai điều: a) x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0 b) x1; x2 đều õm. 2 Bài 16: Cho pt x - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 a) CMR pt luụn cú nghiệm với mọi m. b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ thuộc m. c) Xỏc định m để pt cú hai nghiệm bằng nhau về giỏ trị tuyệt đối và trỏi dấu nhau. Bài 17: Cho pt x2 + mx + 3 = 0 a) Giải và biện luận pt. Từ đú hóy cho biết với giỏ trị nào của m thỡ pt cú hai nghiệm? b) Xỏc định cỏc giỏ trị của m để pt cú hai nghiệm dương. c) Với giỏ trị nào của m thỡ pt nhạn 1 là nghiệm. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài 18: Cho pt x2 + 8x + m + 5 = 0 a) Xỏc định m để pt cú nghiệm b) Với giỏ trị nào của m thỡ pt cú nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia?. Tớnh cỏc nghiệm trong trường hợp này. Bài 19: Cho pt x2 - mx + m - 1 = 0
9. a) Chứng tỏ rằng pt cú nghiệm x 1; x2 với mọi m. Tớnh nghiệm kộp (nếu cú) của pt và giỏ trị tương ứng của m. 2 2 b) Đặt A = x1 + x2 - 6x1x2 +) Chứng minh A = m2 - 8m + 8 +) Tớnh giỏ trị của m để A = 8 +) Tỡm min của A 2 Bài 20: Cho pt (m - 1)x + 2(m - 1)x - m = 0 a) Định m để pt cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp này. b) Định m để pt cú hai nghiệm đều õm? đều dương? trỏi dấu? 2 2 Bài 21: Cho pt x - (2m - 3)x + m + 3m = 0 a) CMR pt luụn cú hai nghiệm với mọi m. b) Tỡm m để pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả món một trong cỏc điều: 2 2 2 2 +) x1 + x2 = 9 +) x1 x2 + x1x2 = - 4 Bài 22: Cho pt kx2 - 18x + 3 = 0 a) Với giỏ trị nào của k thỡ pt cú một nghiệm? Tỡm nghiệm đú? b) Với giỏ trị nào của k thỡ pt cú hai nghiệm phõn biệt 2 2 c) Tỡm k để pt cú hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x2 + x1x2 = 6 Bài 23: Cho pt x2 - 10x - m + 20 = 0 a) Giải pt khi m = 4? b) Xỏc định giỏ trị của m để pt cú hai nghiệm phõn biệt. c) Tỡm m để pt cú hai nghiệm trỏi dấu. d) Tỡm m để pt cú hai nghiệm đều dương. 2 Bài 24: Cho pt x - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 a) Tỡm cỏc giỏ trị của m để pt cú nghiệm. 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tỡm m để: x1(1- 2x2) + x2(1- 2x1) = m Bài 25: Cho pt 2x2 - 6x + m = 0 a) Với giỏ trị nào của m thỡ pt cú nghiệm.
10. b) Với giỏ trị nào của m thỡ pt cú nghiệm đều dương x x 1 + 2 = 3 c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tỡm m để x2 x1 2 Bài 26: Cho pt x - 2(a + 1)x + 2(a + 5) = 0 a) Giải pt khi a = -2 b) Tỡm a để pt cú hai nghiệm phõn biệt c) Tỡm a để pt cú hai nghiệm thoả x1 + 2x2 = 3 d) Tỡm a để pt cú hai nghiệm dương. 2 Bài 27: Cho pt (m + 1)x - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 a) Xỏc định m để pt cú nghiệm 1 1 7 b) Xỏc định m để pt cú hai nghiệm thoả + = x1 x2 4 c) Xỏc định m để pt cú một nghiệm bằng hai nghiệm kia 2 Bài 28: Xỏc định m để pt x - (5 + m)x - m + 6 = 0 cú hai nghiệm thoả món một trong cỏc điều kiện sau: a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị b) Cú hai nghiệm thoả 2x1 + 3x2 = 13 2 2 Bài 29: Tỡm giỏ trị của m để x1 + x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất: 2 2 a) x - (2m - 1)x + m - 2 = 0 b) x + 2(m - 2)x - (2m - 7) = 0 2 Bài 30: Cho pt x - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 a) Giải pt khi m = 1 b) Với giỏ trị nào của m thỡ pt nhận x = 3 là nghiệm. Tỡm nghiệm cũn lại. c) Chứng minh rằng pt luụn cú nghiệm với mọi m. 2 2 d) Tỡm m để pt cú nghiệm thoả x1 + x2 = 5 e) Tỡm giỏ trị của m để pt cú hai nghiện dương? hai nghiệm õm? 2 Bài 31: Cho pt x - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0 a) CMR pt luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m.
11. 2 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tỡm GTLN của Y = x1 + x2 c) Tỡm m để Y = 4; Y = 2. Bài 32: Cho pt 5x2 + mx - 28 = 0 a) CMR pt luụn cú hai nghiệm phõn biệt b) Tỡm m để pt cú hai nghiệm dương c) Tỡm m để pt cú hai nghiẹm thoả: 1 1 7 142 + = 2 2 +) +) x1 + x2 = x1 x2 4 25 d) Định m để pt cú hai nghiệm thoả: 5x1 + 2x2 = 1 2 Bài 33: Cho pt 2x + (2m - 1)x + m - 1 = 0 a) CMR pt luụn cú hai nghiệm phõn biệt b) Tỡm m để pt cú hai nghiệm thoả 3x1 - 4x2 = 11 c) Tỡm m để pt cú hai nghiệm đều dương d) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm khụng phụ thuộc m.