Các chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 1: Rút gọn phân thức đại số

Nội dung text: Các chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 1: Rút gọn phân thức đại số

1. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. II – Các dạng bài toán thường gặp: 1- Rút gọn phân thức. 22 ()xax aa42 31 Câua1:) 22 axax 44 Câu:) b 42 a a 21 a ()()xaxxax aa42 31 (2)ax 2 a42 ( a 2 a 1) axa(2) a4 21 a 2 a 2 (2)xa 2 aa42 ( 1) a (aa2 1) 2 2 2xa 42 aa ( 1) (a22 1 a )( a 1 a ) (a22 a 1)( a a 1) (aa2 1) (aa2 1) c) 2yy2 5 2 2y32 9 y 12 y 4 (2y2 4 y ) ( y 2) (2y3 4 y 2 ) (5 y 2 10 y ) (2 y 4) 2y ( y 2) ( y 2) 2 2y ( y 2) 5 y ( y 2) 2( y 2) (yy 2)(2 1) (y 2)(2 y2 5 y 2) (2y 1) (2yy 1)( 2) 1 y 2 1 Với: y -2 và y - 2 2- Chứng minh. 1
2. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 aaaa32 441 Câu2 : a) Hãy chứng minh: aaa32 7148 a 2 Giải: aaa32 44 aaa32 7148 ()(44)aaa32 (8)(714)aaa32 aaa(1)4(1)22 (2)(24)7(2)aaaaa 2 (4)(1)aa 2 2 (2)(54)aaa (4)(1)(1)aaa (2)(4)(1)aaa a 1 a 2 Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: 222 ()(1)1xaaax ()(1)1xaaax222 Giải: ()(1)1xaaa22 2 x 22 2 ()(1)1xaaa x xx2222 aaaa 2 x 1 xx2222 aaaa 2 x 1 xx222 aa 22 xaa 1 xx222 aa 22 xaa 1 xaaaa222(1)(1) xaaaa222(1)(1) (1)(1)xaa22 (1)(1)xaa22 1 aa2 2 1 aa Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x. 1 1 1 1 Câu2: c) Chứng minh rằng nếu thì trong ba số x, y, z ít nhất x y z x y z cũng có một cặp số đối nhau . Giải: 2
3. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1111 Từ: xyzxyz yzxzxy 1 Ta có: xyzxyz Từ đó ta có: ()()xyzyzxzxyxyz Hay ()()0xyzyzxzxyxyz Biến đổi vế trái: ()()xyzyzxzxyxyz xyzxzxyyzxyzxyyzxzxyzxyz222222 ()()xyzxzyzyzxyxzxyxyz222222 zxyxzyyzx()() xyxzyyz22 ()()xyxzyyzxz 2 ()()()xyyzxz Vậy: ()()()0xyyzxz Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau. 3- Tính giá trị. 32 Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = xxx 6 với x = 2008 xx3 4 Giải: C = xxx 32 6 xx3 4 x(6) xx2 xx(4)2 2 xxx 236 (2)(2)xx x(2)3(2) xx (2)(2)xx x 3 x 2 Với x = 2008 thì C = 2011 2010 Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức 3 3 3 a b c 3 abc a2 b 2 c 2 ab bc ac Ta có:a 3 b 3 c 3 3 abc a3 b 3 c 3 3 a 2 b 3 ab 2 3 a 2 b 3 ab 2 3 abc a3 3 a 2 b 3 ab 2 b 3 c 3 3 a 2 b 3 ab 2 3 abc 3 (a b )33 c 3 ab ( a b c ) (a b c )[()() a b22 a b c c ]3( ab a b c ) (a b c )( a2 b 2 c 2 ab bc ca )
4. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 abcabcabcabcabbcac333222 3()() Vậy: abc5 abcabbcacabcabbcac222222 () x y z a b c Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn 1 và 0 a b c x y z x y222 z Tính: a b222 c Giải: xyz 1 abc xyz ()1 2 abc xyzxyxzyz222 222 1 abc222 abacbc xyzxyzcba222 2 ()1 abc222 abczyx xyzxyzabc222 2 ()1 abc222 abcxyz Mà: xyz222 Vậy: 1 abc222 4- Tổng hợp 222 Câu4 : a) Cho biểu thức A = mnnnm ()1 mnnm2442 22 a1) Rút gọn A. a2) Chứng minh rằng A dương. a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất? Giải: mn2 n 2( n 2 m ) 1 a1) A = 2 4 4 2 m n 22 n m 2 4 2 mn n mn 1 2 4 2 4 m n m 22 n n4 1 (nm42 1)( 2) 1 m2 2 4
5. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 2 a2) Ta có: m 0,  m. Nên: m2 + 2 > 0, m. Do đó: 1 > 0, m. m2 2 Vậy: A > 0, m. 2 a3) Ta có: m 0, m. Nên: m2 + 2 2, m. 11 Do đó: , m. m2 2 2 1 Hay: A , m. 2 Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0 xxxx 222431 2 Câu4: b) Cho M = 3: . 3113xxxx b1) Rút gọn biểu thức M. b2) Tìm giá trị của M với x = 2008. b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ? b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên? Giải: 1 b1) Điều kiện: x 0, x -1, x 2 x 2 2 2 4 x 3 x x2 1 3: M = 3x x 1 x 1 3 x (x 2)( x 1) 2.3 x 3.3 x .( x 1) x 1 3 x x2 1 . 3x .( x 1) 2 4 x 3 x x2 3 x 2 6 x 9 x 2 9 x x 1 3 x x 2 1 . 3x .( x 1) 2 4 x 3 x ( 8x22 2)( x 1) 3 x x 1 3x .( x 1)(2 4 x ) 3 x 2(1 2xx )(1 2 ) 31xx 2 2.3x.(1 2 x ) 3 x 1 2x 3 x x2 1 3x xx( 1) 3x 5 x 1 3
6. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 b2) Với x = 2008. 2 0 0 8 1 M = 669 3 b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện. Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, 1 . 2 b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) 3 hay x -1 = 3k (k Z) Vậy: x = 3k +1 (k Z) Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau: ababab 22 M = aa : 22 abab ab Giải: ab ab a22 b aa : 22 M = a b a b ab a2 ab ab ab a 2 ab a 2 b 2 . 22 a b a b ab 4 2 2 a a b 2 2. 2 2 a b a b a4 ab22 Câu5: b) Chứng tỏ: aa2 13 ,  aR a2 1 2 Giải: Ta có: aaa 1012 2 2 (1) Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được: 1 a 2 a2 1 1 a Do đó: 11 2 a2 1 31aa2 2 a2 1 Vậy: , 6
7. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau: 3 xaxab 2 ab Q với x xbxab 2 2 Giải: Với , ta có: abba xaa 22 a b a b x b b 22 xaba 2 .1 xbab 2 Ta lại có: abbaba 333() xabab 22 222 ababab 333() xabab 22 222 xabba 23()2 .1 xabab 223() Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0 Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau: 111 A = ()()()()()()abacbc bacacb Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: 1 1 1 A = (abac )( )( bcba )( )( cacb )( ) 1 1 1 (abca )( )( bcab )( )( cabc )( ) ()()()b c c a a b (a b )( b c )( c a ) b c c a a b (a b )( b c )( c a ) (a, b, c đôi một khác nhau) 0 Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c. 7
8. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 4abc2 1 4 2 1 4 2 1 B = (abac )( )( bcba )( )( cacb )( ) Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: 414141abc222 B ()()()()()()ab acbc baca cb abc222 4. ()()()()()()ab acbc baca cb 111 ()()()()()()ab acbc baca cb abc222 4.0 ()()()()()()ab cabc abca bc a2 ( bc )()() b22 cacab 4. ()()()ab bc ca a222222 ba cb cabacbc 4. ()()()ab bc ca a222222 cb caba bacbc 4. ()()()ab bc ca c()()() abab222 abcab 4. ()()()ab bc ca ()[ab () c abab c2 ] 4. ()()()ab bc ca ()()a b cb cab2 ca 4. ()()()a b b c c a ()()()a b b c c a 4.4 ()()() a b b c c a ( a, b, c đôi một khác nhau ) Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau: x 22 a x b 4ab P với x x 22 a x b ab Giải: 8
9. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 xaxb 22 P xaxb 22 (2)(2)(2)(2)xaxbxaxb (2)(2)xaxb xbxaxabxbxaxab22 224224 xabxab2 2()4 2(4)xab2 xabxab2 2()4 4ab Thay x vào P ta có: ab 16ab22 24 2 ab ()ab P 16ab22 84abab ()ab 2 16ab22 24 2 ab ()ab 16ab22 2 4ab ()ab 2 9
10. Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 10