Các chủ đề luyện thi vào Lớp 10 THPT môn Toán

177 trang dichphong 5130

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chủ đề luyện thi vào Lớp 10 THPT môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

cac_chu_de_luyen_thi_vao_lop_10_thpt_mon_toan.pdf

Nội dung text: Các chủ đề luyện thi vào Lớp 10 THPT môn Toán

www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 54. Mét ®oµn häc sinh tæ chøc ®i th¨m quan b»ng « t«. Ng•êi ta nhËn thÊy r»ng nÕu mçi xe chØ trë 22 häc sinh th× cßn thõa 1 häc sinh. NÕu bít ®i mét « t« th× cã thÓ ph©n phèi ®Òu c¸c häc sinh trªn c¸c « t« cßn l¹i. Hái lóc ®Çu cã bao nhiªu « t« vµ cã bao nhiªu häc sinh ®i th¨m quan, biÕt r»ng mçi « t« chØ chë ®•îc kh«ng qu¸ 32 häc sinh. 55. Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 1200 m2. TÝnh c¸c kÝch th•íc cña v•ên ®ã, biÕt r»ng nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 5 m vµ gi¶m chiÒu réng ®i 10 m th× diÖn tÝch cña v•ên gi¶m ®i 300m2. 56. Mét thöa ruéng h×nh tam gi¸c cã diÖn tÝch 180m2. TÝnh c¹nh ®¸y cña thöa ruéng ®ã, biÕt r»ng nÕu t¨ng c¹nh ®¸y thªm 4 m vµ gi¶m chiÒu cao t•¬ng øng ®i 1 m th× diÖn tÝch cña nã kh«ng ®æi. 57. Hai c«ng nh©n nÕu lµm chung th× hoµn tyhµnh mét c«ng viÖc trong 4 ngµy. Ng•êi thø nhÊt lµm mét nöa c«ng viÖc, sau ®ã ng•êi thø hai lµm nèt nöa c«ng viÖc cßn l¹i th× toµn bé c«ng viÖc sÏ ®•îc hoµn thµnh trong 9 ngµy. Hái nÔu mçi ng•êi lµm riªng th× sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc ®ã trong bao nhiªu ngµy. 58. Mét phßng häp cã 100 ng•êi ®•îc s¾p xÕp ngåi ®Òu trªn c¸c ghÕ. NÕu cã thªm 44 ng•êi th× ph¶i kª thªm hai d·y ghÕ vµ mçi d·y ghÕ ph¶i xÕp thªm hai ng•êi n÷a. Hái lóc ®Çu trong phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ? 59. Lóc 6h30 phót mét ng•êi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B dµi 75km víi vËn tèc ®Þnh tr•íc. §Õn B ng•êi ®ã nghØ l¹i 20 phót råi quay trë vÒ A víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 5km/h. Ng•êi ®ã vÒ ®Õn A lóc 12 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc dù dÞnh cña ng•êi ®i xe m¸y. 60. Hai bÕn s«ng A vµ B c¸ch nhau 40 km. Cïng mét lóc mét chiÕc ca n« xu«i dßng tõ A ®Õn B vµ mét chiÕc bÌ còng tr«i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 3km/h. Sau khi ®Õn B, ca n« quay vÒ A ngay vµ gÆp chiÕc bÌ ë mét ®Þa ®iÓm c¸ch A lµ 8km. TÝnh vËn tèc cña ca n«. 61. Ng•êi ta trén 4 kg chÊt láng lo¹i I víi 3 kg chÊt láng lo¹i II th× ®•îc mét hçn hîp cã khèi l•îng riªng lµ 700kg/m3. BiÕt r»ng khèi l•îng riªng cña chÊt láng lo¹i I lín h¬n khèi l•îng riªng cña chÊt láng lo¹i II lµ 200kg/m3. TÝnh khèi l•îng riªng cña mçi chÊt láng.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 62. Mét hîp kim gåm ®ång vµ kÏm trong ®ã cã 5 gam kÏm. NÕu thªm 15 gam kÏm vµo hîp kim nµy th× ®•îc mét hîp kim míi mµ trong hîp kim ®ã l•îng ®ång ®· gi¶m so víi lóc ®Çu lµ 30%. T×m khèi l•îng ban ®Çu cña hîp kim. 63. Sè ®•êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi lµ 230. TÝnh sè c¹nh cña ®a gi¸c nµy. 64. Mét ca n« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian ®· ®Þnh. NÕu vËn tèc ca n« t¨ng 3km/h th× ®Õn n¬i sím hai giê. NÕu vËn tèc ca n« gi¶m 3km/h th× ®Õn n¬i chËm 3 giê. TÝnh chiÒu dµi khóc s«ng AB. 65. TÝnh c¸c kÝch th•íc cña mét h×nh ch÷ nhËt biÕt r»ng nÕu t¨ng chiÒu dµi 3m, gi¶m chiÒu réng 2 m th× diÖn tÝch kh«ng ®æi; nÕu gi¶m chiÒu dµi3 m, t¨ng chiÒu réng 3 m th× diÖn tÝch kh«ng ®æi. 66. Mét c«ng nh©n ph¶i lµm mét sè dông cô trong mét thêi gian. NÕu mçi ngµy t¨ng 3 dông cô th× hoµn thµnh sím 2 ngµy, nÕu mçi ngµy lµm gi¶m 3 dông cô th× thêi gian ph¶i kÐo dµi 3 ngµy. TÝnh sè dông cô ®•îc giao. 67. §Ó söa ch÷a mét qu·ng ®•êng, cÇn huy ®éng mét sè ng•êi lµm trong mét sè ngµy. NÕu bæ sung thªm 3 ng•êi th× thêi gian hoµn thµnh rót ®•îc 2 ngµy. NÕu rót bít 3 ng•êi th× thêi gian hoµn thµnh ph¶i kÐo dµi thªm 3 ngµy. TÝnh sè ng•êi dù ®Þnh huy ®éng vµ sè ngµy dù ®Þnh hoµn thµnh c«ng viÖc. 68. Trong mét trang s¸ch, nÕu t¨ng thªm 3 dßng, mçi dßng bít 2 ch÷ th× sè ch÷ cña trang kh«ng ®æi; nÕu bít ®i 3 dßng, mçi dßng t¨ng thªm 3 ch÷ th× sè ch÷ cña trang còng kh«ng ®æi. TÝnh sè ch÷ trong trang s¸ch. 69. Mét c©u l¹c bé cã mét sè ghÕ quy ®Þnh. NÕu thªm 3 hµng ghÕ th× mçi hµng bít ®•îc 2 ghÕ. NÕu bít ®i ba hµng th× mçi hµng ph¶i thªm 3 ghÕ. TÝnh sè ghÕ cña c©u l¹c bé.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 70. Mét phßng häp cã mét sè d·y ghÕ, tæng céng 40 chç. Do ph¶i xÕp 55 chç nªn ng•êi ta kª thªm 1 d·y ghÕ vµ mçi d·y xÕp thªm 1 chç. Hái lóc ®Çu cã mÊy d·y ghÕ trong phßng? 71. Cã ba thïng ®ùng n•íc. LÇn thø nhÊt, ng•êi ta ®æ ë thïng I sang hai thïng kia mét sè n•íc b»ng sè n•íc ë mçi thïng ®ã ®ang cã. LÇn thø hai, ng•êi ta ®æ ë thïng II sang hai thïng kia mét sè n•íc gÊp ®«i sè n•íc ë mçi thïng ®ã ®ang cã. LÇn thø ba, ng•êi ta ®æ ë thïng III sang hai thïng kia mét sè n•íc b»ng sè n•íc ë mçi thïng ®ã ®ang cã. Cuèi cïng mçi thïng ®Òu cã 24 lÝt n•íc. TÝnh sè n•íc ë mçi thïng cã lóc ®Çu. 1 72. Mét h×nh v•ên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 450 m. NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i chiÒu dµi cò, t¨ng 5 1 chiÒu réng lªn chiÒu réng cò th× chu vi h×nh ch÷ nhËt kh«ng ®æi. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng 4 cña v•ên. 73. Mét v•ên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi h¬n chiÒu réng 20 m, diÖn tÝch 3500 m2. TÝnh ®é dµi hµng rµo xung quanh v•ên biÕt r»ng ng•êi ta chõa ra 1 m ®Ó lµm cæng ra vµo. 74. Mét tuyÕn ®•êng s¾t cã mét sè ga, mçi ga cã mét lo¹i vÐ ®Õn tõng ga cßn l¹i. BiÕt r»ng cã tÊt c¶ 210 lo¹i vÐ. Hái tuyÕn ®•êng Êy cã bao nhiªu ga? 75. Hai tr•êng A vµ B cña mét thÞ trÊn cã 210 häc sinh thi ®ç hÕt líp 9, ®¹t tû lÖ tróng tuyÓn 84%. TÝnh riªng th× tr•êng A ®ç 80%, tr•êng B ®ç 90%. TÝnh xem mçi tr•êng cã bao nhiªu häc sinh líp 9 dù thi? 76. D©n sè cña mét thµnh phè hiÖn nay lµ 408 040 ng•êi, hµng n¨m d©n sè t¨ng 1%. Hái hai n¨m tr•íc ®©y, d©n sè thµnh phè lµ bao nhiªu? 77. Møc s¶n xuÊt cña mét xÝ nghiÖp c¸ch ®©y hai n¨m lµ 75000 dông cô mét n¨m, hiÖn nay lµ 90750 dông cô mét n¨m. Hái n¨m sau xÝ nghiÖp lµm t¨ng h¬n n¨m tr•íc bao nhiªu phÇn tr¨m?
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 78. Qu·ng ®•êng AB gåm mét ®o¹n lªn dèc dµi 4 km, ®o¹n xuèng dèc dµi 5 km. Mét ng•êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B hÕt 40 phót vµ ®i tõ B vÒ A hÕt 41 phót (vËn tèc lªn dèc lóc ®i vµ vÒ nh• nhau, vËn tèc xuèng dèc lóc ®i vµ vÒ nh• nhau). TÝnh vËn tèc lóc lªn dèc vµ lóc xuèng dèc. 79. Mét ca n« xu«i khóc s«ng dµi 40 km råi ng•îc khóc s«ng Êy hÕt 4 giê r•ìi. BiÕt thêi gian ca n« xu«i 5 km b»ng thêi gian ng•îc 4km . TÝnh vËn tèc dßng n•íc. 80. Mét ca n« ®i xu«i dßng 45 km råi ng•îc dßng 18 km. BiÕt r»ng thêi gian xu«i l©u h¬n thêi gian ng•îc 1giê vµ vËn tèc xu«i lín h¬n vËn tèc ng•îc lµ 6 km/h. TÝnh vËn tèc cña ca n« lóc ng•îc dßng. 81. Mét ng•êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B ®•êng dµi 78 km. Sau ®ã mét giê, ng•êi thø hai ®i tõ B ®Õn A. Hai ng•êi gÆp nhau t¹i C c¸ch B lµ 36 km. TÝnh thêi gian mçi ng•êi ®· ®i tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau biÕt r»ng vËn tèc ng•êi thø hai lín h¬n vËn tèc ng•êi thø nhÊt lµ 4 km/h. 82. Hai c«ng nh©n ph¶i lµm mét sè dông cô b»ng nhau trong cïng mét. Ng•êi thø nhÊt mçi giê lµm t¨ng thªm 2 dông cô nªn hoµn thµnh c«ng viÖc tr•íc thêi h¹n 2 giê. Ng•êi thø hai mçi giê lµm t¨ng 4 dông cô nªn kh«ng nh÷ng hoµn thµnh c«ng viÖc tr•íc thêi h¹n 3 giê mµ cßn lµm thªm 6 chiÕc n÷a. TÝnh sè dông cô mçi ng•êi ®•îc giao. 83. Vµo thÕ kû thø III tr•íc C«ng Nguyªn, vua xø Xiracut giao cho AcsimÐt kiÓm tra xem chiÕc mò b»ng vµng cña nhµ vua cã bÞ pha thªm b¹c hay kh«ng. ChiÕc mò cã träng l•îng 5 Niut¬n (theo ®¬n vÞ hiÖn nay), nhóng trong n•íc th× träng l•îng gi¶m 0,3 Niut¬n. BiÕt r»ng khi c©n trong n•íc, 1 1 vµng gi¶m träng l•îng, b¹c gi¶m träng l•îng. Hái chiÕc mò chøa bao nhiªu gam vµng, 20 10 bao nhiªu gam b¹c? VËt cã khèi l•îng 100 gam th× cã träng l•îng 1 Niut¬n). 84. Cã hai lo¹i quÆng chøa 75% s¾t vµ 50% s¾t. TÝnh khèi l•îng cña mçi lo¹i quÆng ®em trén ®Ó ®•îc 25 tÊn quÆng chøa 66% s¾t.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 85. Hai m¸y cµy lµm viÖc trªn mét c¸nh ®ång. NÕu c¶ hai m¸y cïng cµy th× 10 ngµy xong c«ng viÖc. Nh•ng thùc tÕ hai m¸y chØ cïng lµm viÖc 7 ngµy ®Çu, sau ®ã m¸y thø nhÊt ®i cµy n¬i kh¸c, m¸y thø hai lµm tiÕp 9 ngµy n÷a th× xong. Hái mçi m¸y lµm viÖc mét m×nh th× trong bao l©u cµy xong c¶ c¸nh ®ång? 86. T×m sè cã ba ch÷ sè sao cho chia nã cho 11, ta ®•îc th•¬ng b»ng tæng c¸c ch÷ sè cña sè bÞ chia. 87. T×m sè cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng ch÷ sè hµng ngh×n vµ hµng tr¨m gièng nhau, ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ gièng nhau, sè ph¶i t×m cã thÓ viÕt ®•îc thµnh mét tÝch cña ba thõa sè, mçi thõa sè gåm hai ch÷ sè gièng nhau. 88. T×m sè chÝnh ph•¬ng cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng nÕu mçi ch÷ sè gi¶m ®i 1 ta ®•îc mét sè míi còng lµ sè chÝnh ph•¬ng. 89. NÕu thªm 3 vµo mçi ch÷ sè cña mét sè chÝnh ph•¬ng cã bèn ch÷ sè (mçi ch÷ sè cña sè chÝnh ph•¬ng nµy ®Òu nhá h¬n 7) ta ®•îc mét sè chÝnh ph•¬ng míi. T×m hai sè chÝnh ph•¬ng ®ã. 90. T×m ba sè tù nhiªn sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. 91. T×m ba sè tù nhiªn sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng1. 92. Tuæi hai anh em céng l¹i b»ng 21. Tuæi anh hiÖn nay gÊp ®«i tuæi em lóc anh b»ng tuæi em hiÖn nay. TÝnh tuæi mçi ng•êi hiÖn nay. 93. Mét xÝ nghiÖp dù ®Þnh ®iÒu mét sè xe ®Ó chuyÓn 120 t¹ hµng. NÕu mçi xe chë thªm 1 t¹ so víi dù ®Þnh th× sè xe gi¶m ®i 4 chiÕc. TÝnh sè xe dù ®Þnh ®iÒu ®éng. 94. Cã hai ®éi c«ng nh©n, mçi ®éi ph¶i söa 10 km ®•êng. Thêi gian ®éi I lµm nhiÒu h¬n ®éi II lµ 1 ngµy. Trong mét ngµy, mçi ®éi lµm ®•îc bao nhiªu kil«mÐt biÕt r»ng c¶ hai ®éi lµm ®•îc 4,5 km trong mét ngµy.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 95. Mét s©n h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 720 m2. NÕu t¨ng chiÒu dµi 6 m, gi¶m chiÒu réng 4 m th× diÖn tÝch kh«ng ®æi. TÝnh c¸c kÝch th•íc cña s©n. 96. Mét tÊm s¾t cã chu vi 96 cm. Ng•êi ta c¾t ra ë mçi gãc mét h×nh vu«ng c¹nh 4 cm råi gÊp lªn thµnh mét h×nh hép ch÷ nhËt kh«ng n¾p cã thÓ tÝch 768 cm3. TÝnh kÝch th•íc cña tÊm s¾t. 97. Hai ®éi thuû lîi cïng ®µo mét con m•¬ng. NÕu mçi ®éi lµm mét m×nh c¶ con m•¬ng th× thêi gian tæng céng hai ®éi ph¶i lµm lµ 25 giê. NÕu hai ®éi cïng lµm th× c«ng viÖc hoµn thµnh trong 6 giê. TÝnh xem mçi ®éi lµm mét m×nh xong c¶ con m•¬ng trong bao l©u? 98 T×m hai sè tù nhiªn biÕt tæng cña chóng bµng 59, hai lÇn sè nµy bÐ h¬n ba lÇn sè kia lµ 7. T×m hai sè ®ã. 99: T×m hai sè biÕt r»ng bèn lÇn sè thø hai céng víi n¨m lÇn sè thø nhÊt b»ng 18040, vµ ba lÇn sè sè thø nhÊt h¬n hai lÇn sè thø hai lµ 2002.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán CHỦ ĐỀ 5 HÌNH HỌC
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán I. C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng 1. HÖ thøc l•îng trong tam gi¸c vu«ng a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®•êng cao trong tam gi¸c vu«ng A Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®•êng cao AH ta cã 2 2 c b b = a. b’ c = a. c’ h b2 + c2 = a2 h2 = b’. c’ c' b' 1 1 1 B C a. h = b. c H h2 b 2 c 2 a b) TØ sè l•îng gi¸c cña gãc nhän - C¸c tØ sè l•îng gi¸c cña gãc nhän ®•îc ®Þnh nghÜa nh• sau: sin = c¹nh ®èi cos = c¹nh kÒ c¹nh huyÒn c¹nh huyÒn ®èi c¹nh tg = c¹nh ®èi cotg = c¹nh kÒ c¹nh kÒ c¹nh ®èi - Víi hai gãc vµ  phô nhau ta cã c¹nh kÒ sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg 1 2 - Mét sè gãc ®Æc biÖt sin3000 cos60 sin4500 cos45 2 2 3 cos3000 sin60 tg4500 cotg45 1 2 3 tg3000 cotg60 cotg3000 tg60 3 3 c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng Trong mét tam gi¸c vu«ng, mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n víi sin gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«sin gãc kÒ. Mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng kia nh©n tang gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«tang gãc kÒ d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c S = a.h (h lµ ®•êng cao øng víi c¹nh a) S = 2 a.b.sinC b.c.sinA c.a.sinB 2 2 2 S = p.r (p lµ nöa chu vi, r lµ b¸n kÝnh ®•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c) S = a.b.c (R lµ b¸n kÝnh ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c) 4R S = p p a p b p c (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c) 2. §•êng trßn: a) Sù x¸c ®Þnh ®•êng trßn. TÝnh chÊt ®èi xøng cña ®•êng trßn - §•êng trßn t©m O b¸n kÝnh R (víi R > 0) lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu ®iÓm O mét kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoµi ®•êng trßn - Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng vÏ ®•îc mét vµ chØ mét ®•êng trßn
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán - §•êng trßn cã t©m ®èi xøng, ®ã lµ t©m ®•êng trßn. §•êng trßn cã v« sè trôc ®èi xøng, ®ã lµ bÊt k× ®•êng kÝnh nµo cña nã b) §•êng kÝnh vµ d©y cung cña ®•êng trßn. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y - Trong mét ®•êng trßn, d©y lín nhÊt lµ ®•êng kÝnh - §•êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §•êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong mét ®•êng trßn: Hai d©y b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m. Trong hai d©y kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n c) VÞ trÝ t•¬ng ®èi cña ®•êng th¼ng vµ ®•êng trßn. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña ®•êng th¼ng vµ ®•êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: ®•êng th¼ng vµ ®•êng trßn kh«ng giao nhau; tiÕp xóc nhau; c¾t nhau. øng víi mçi vÞ trÝ trªn, kho¶ng c¸ch d tõ t©m ®•êng trßn ®Õn ®•êng th¼ng vµ b¸n kÝnh R cña ®•êng trßn cã c¸c liªn hÖ: d > R; d = R; d < R. Ta cã c¸c ®Þnh lÝ - NÕu mét ®•êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm - NÕu mét ®•êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®•êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã th× ®•êng th¼ng Êy lµ mét tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®•êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×: - §iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm - Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn. Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm e) §•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - §•êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ ngo¹i tiÕp ®•êng trßn. T©m cña ®•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®•êng ph©n gi¸c c¸c gãc trong tam gi¸c - §•êng trßn ®i qua ba ®Ønh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ néi tiÕp ®•êng trßn. T©m cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®•êng trung trùc tam gi¸c - §•êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia lµ ®•êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c. T©m cña mçi ®•êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña hai ®•êng ph©n gi¸c cña hai gãc ngoµi tam gi¸c hoÆc giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc trong vµ mét trong hai ®•êng ph©n gi¸c cña gãc ngoµi kh«ng kÒ víi nã f) VÞ trÝ t•¬ng ®èi cña hai ®•êng trßn C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña hai ®•êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: Hai ®•êng trßn kh«ng giao nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t nhau Do tÝnh chÊt ®èi xøng cña ®•êng trßn, nÕu hai ®•êng trßn c¾t nhau th× giao ®iÓm ®èi xøng víi nhau qua ®•êng nèi t©m, nÕu hai ®•êng trßn tiÕp xóc nhau th× giao ®iÓm n»m trªn ®•êng nèi t©m g) Gãc víi ®•êng trßn:
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán + Gãc ë t©m: Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®•êng trßn ®•îc gäi lµ gãc ë t©m. Sè ®o cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã. Sè ®o cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cung nhá. Sè ®o cña nöa ®•êng trßn b»ng 1800. + Gãc néi tiÕp: Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®•êng trßn vµ hai c¹nh chøa d©y cung cña ®•êng trßn ®ã. Cung bªn trong cña gãc gäi lµ cung bÞ ch¾n. Trong mét ®•êng trßn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Gãc t¹o bëi gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung: Cho ®•êng trßn (O), A lµ tiÕp ®iÓm, xAy lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, AB lµ mét d©y cung. Gãc t¹o bëi tia Ax (hoÆc tia Ay) víi d©y AB ®•îc gäi lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®•êng trßn: Mçi gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®•êng trßn ch¾n hai cung: mét cung n»m bªn trong gãc vµ cung kia n»m bªn trong gãc ®èi ®Ønh cña cung ®ã. Sè ®o cã ®Ønh ë bªn trong ®•êng trßn b»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n + Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®•êng trßn: Sè ®o gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®•êng trßn b»ng nöa hiÖu hai cung bÞ ch¾n  Chó ý: Trong mét ®•êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng•îc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®•êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. h) §é dµi ®•êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®•êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2 R = d Rn - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : l 180 I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 R2 n lR - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: S 360 2 3. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc so le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán - Hai gãc t•¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t•¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr•¬ng øng hai cung b»ng nhau trong mét ®•êng trßn hoÆc hai ®•êng b»ng nhau. TÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau D¹ng 3: Chøng minh hai ®•êng th¼ng song song  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®•êng th¼ng cïng song song víi ®•êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®•êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®•êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: ë vÞ trÝ so le trong; ë vÞ trÝ so le ngoµi; ë vÞ trÝ ®ång vÞ. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®•êng trßn - Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh, ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, D¹ng 4: Chøng minh hai ®•êng th¼ng vu«ng gãc  C¸ch chøng minh: - Chóng cïng song song víi hai ®•êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®•êng cao trong mét tam gi¸c. - §•êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y vµ d©y kh«ng ®i qua t©m. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. - TÝnh chÊt 2 ®•êng chÐo h×nh thoi, h×nh vu«ng D¹ng 5: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng, ba ®•êng th¼ng ®ång quy.  C¸ch chøng minh: - Dùa vµo tæng hai gãc kÒ bï cã tæng b»ng 1800 - Dùa vµo hai gãc ®èi ®Ønh - Dùa vµo hai ®•êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cïng song song víi ®•êng th¼ng kh¸c - Dùa vµo hai gãc b»ng nhau cã 1 c¹nh trïng nhau - Chøng minh chóng lµ ba ®•êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau * Hai tam gi¸c th•êng: - Tr•êng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Tr•êng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Tr•êng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c)
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét c¹nh vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau D¹ng 7: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng * Hai tam gi¸c th•êng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét (g-g) - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t•¬ng øng tû lÖ (c-g- c) - Cã ba c¹nh t•¬ng øng tû lÖ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t•¬ng øng tû lÖ - Cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng t•¬ng øng tû lÖ D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp  C¸ch chøng minh: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d•íi mét gãc . - Dùa vµo ph•¬ng tÝch cña ®•êng trßn II. C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian 1. H×nh l¨ng trô: H×nh l¨ng trô lµ h×nh ®a diÖn cã hai mÆt song song gäi lµ ®¸y vµ c¸c c¹nh kh«ng thuéc hai ®¸y song song víi nhau. L¨ng trô ®Òu lµ l¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu Sxq = p. l (p lµ chu vi thiÕt diÖn th¼ng, l lµ ®é dµi c¹nh bªn) L¨ng trô ®øng: Sxq = p. h (p lµ chu vi ®¸y, h lµ chiÒu cao) V = B. h (B lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao) H×nh hép ch÷ nhËt: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c lµ c¸c kÝch th•íc cña h×nh hép ch÷ nhËt) V = a. b. c C¸c ®•êng chÐo h×nh hép ch÷ nhËt d = a222 b c H×nh lËp ph•¬ng: V = a3 (a lµ c¹nh) 2. H×nh chãp: H×nh chãp lµ h×nh ®a diÖn cã mét mÆt lµ ®a gi¸c, c¸c mÆt kh¸c lµ tam gi¸c cã chung ®Ønh. H×nh chãp ®Òu lµ h×nh chãp cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu vµ c¸c mÆt bªn b»ng nhau. H×nh chãp côt lµ phÇn h×nh chãp n»m gi÷a ®¸y vµ thiÕt diÖn song song víi ®¸y. H×nh chãp côt tõ h×nh chãp ®Òu gäi lµ h×nh chãp côt ®Òu H×nh chãp ®Òu: S = 1 . n .a. d (n lµ sè c¹nh ®¸y; a lµ ®é dµi c¹nh ®¸y; d lµ ®é xq 2 dµi trung ®o¹n) Stp = Sxq + B (B lµ diÖn tÝch ®¸y) V = 1 . B . h 3 1 H×nh chãp côt ®Òu: S = n.a n.a' .d (n lµ sè c¹nh ®¸y; a, a’ c¹nh ®¸y; d trung xq 2 ®o¹n chiÒu cao mÆt bªn)
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán V = V1 + V2 (V1 thÓ tÝch h×nh chãp côt; V2 thÓ tÝch h×nh chãp trªn) 1 V = .h B B' B.B' (B, B’ lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao) 3 3. H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh ra bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2 . R. h (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; h lµ chiÒu cao) 2 - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2 . R. h + 2 . R - ThÓ tÝch h×nh trô: V = S. h = . R2. h (S lµ diÖn tÝch ®¸y) 4. H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh ra bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vu«ng cña nã. H×nh nãn côt lµ phÇn h×nh nãn gi÷a ®¸y vµ mét thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = . R. l (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; l lµ ®•êng sinh) 2 - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = . R. l + . R 1 - ThÓ tÝch: V = .R2 .h (h lµ chiÒu cao) 3 H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (R1 + R2). l (R1; R2 lµ b¸n kÝnh hai ®¸y; l lµ ®•êng sinh) 2 2 - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2). l + (R1 + R2 ) 1 - ThÓ tÝch: V = .h.(R22 R R R ) (h lµ chiÒu cao) 3 1 2 1 2 5. H×nh cÇu: - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4 . R2 (R lµ b¸n kÝnh) 4 - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = .R 3 3 Dạng 1: Hình học phẳng Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. 2. Chứng minh: DEA ACB . 3. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN . Chứng tỏ: AM2=AE. AB. y A x N D E M O B C
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 2: Cho(O) đường kình AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O‟, đường kình BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O‟ tại I. 1. Tứ giác ADBE là hính gí? 2. C/m DMBI nội tiếp. 3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD. 4. C/m MC. DB=MI. DC 5. C/m MI là tiếp tuyến của (O‟) D I A C M B O' O E H×nh 2 Bài 3: Cho ABC có A =1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường tròn tâm O đường kình CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 1. C/m BADC nội tiếp. 2. BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của AED . 3. C/m CA là phân giác của góc BCS. A D S M O E C B Hình 3
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 4: Cho ABC có A = 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng đường tròn tâm O đường kình MC; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 1. C/m ADCB nội tiếp. 2. C/m ME là phân giác của góc AED. 3. C/m: ASM = ACD . K 4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. 5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. A D M S O B C E Bài 5: H×nh 4 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kình AA‟. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kình AA‟. 1. C/m AEDB nội tiếp. 2. C/m DB. A‟A=AD. A‟C 3. C/m:DE  AC. 4. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF. A P N E O I B D M C F A' H×nh 5
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1 . C/m MFEC nội tiếp. M 2 . C/m BM. EF=BA. EM A 3. C/M AMP FMQ. 4 . C/m PQM = 90o. P F O Q B E C Bài 7: H×nh 6 Cho (O) đường kình BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hính vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 1. C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn này. 2. C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. 3. C/m GEFB nội tiếp. 4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD. Có nhận xét gí về I và F A B C O D F E H×nh 7 G
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 1. C/m: BDCO nội tiếp. A 2. C/m: DC2 = DE. DF. F 3. C/m: DOIC nội tiếp. 4. Chứng tỏ I là trung điểm FE. O I C B E H×nh 8 D Bài 9: Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M A và M B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. 1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m:NQ. NA=NH. NM 3. C/m MN là phân giác của góc BMQ. 4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trì của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhấ M N Q P A B A B I H I H Q P O O M N H×nh 9 b H×nh 9 a
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. 1 . Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. 2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng tỏ : BC2= 4 Rr 4 . Tình tìch tìch tứ giác BCIO theo R;r B E C N F O A I Bài 11: H×nh 10 Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. 1. C/m OMHI nội tiếp. 2. Tính góc OMI. 3. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K. C/m OK=KH 4. Tím tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. x B E H H×nh 11 M K y I O A
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 12: Cho (O) đường kình AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. 1. C/m: MA là phân giác của góc CMD. 2. C/m: EFBM nội tiếp. 3. Chứng tỏ: AC2 = AE. AM 4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD 5. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM C M N E A B F O I D H×nh 12 Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. 1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. C/m HA là phân giác của góc BHC. 3. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB2=AI. AH. 4. BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP. B E H I D O K A P C H×nh 13
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 14: Cho (O) đường kình AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kình bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. 1. CMR: MCDN nội tiếp. 2. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. CMR: AOIH là hình bình hành. 4. Khi đường kình CD quay xung quanh điểm O thí I di động trên đường nào? y M C O A B K I D H N x H×nh 14 Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hính chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). 1. C/m AHED nội tiếp 2. Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M C/m: HA. DP=PA. DE 3. C/m: QM = AB
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 4. C/m: DE. DG = DF. DH 5. C/m: E;F;G thẳng hàng. A H Q P O G B F E C M D H×nh 15 Bài 16: Cho tam giác ABC có A =1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IKBC (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. 1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O. 2. C/m: BMC 2 ACB 3. Chứng tỏ: BC2= 2. AC. KC 4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN 5. C/m: NMIC nội tiếp. N M A K B I C Hình 16
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 17: Cho (O) đường kình AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn. Tia phân giác của góc ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hính chiêu của M lên AC và CB. 1. C/m: MOBK nội tiếp. 2. Tứ giác CKMH là hính vuông. 3. C/m: H;O;K thẳng hàng. 4. Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường tròn thí I chạy trên đường nào? Bài 18: Cho hính chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a. Kẻ tia phân giác của góc ACD, từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên. 1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC Và AB. AC = BH. BI 3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) 4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp. y A 2a B M a I O H J N K C D x H×nh 18
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB,bán kình OC  AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. 1. Chứng minh AOHC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM. 3. Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. Cmr: CDBM là hình thang cân. 4. BM cắt OH tại N. Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN. MC=IN. MA. N C D M I H A B O Bài 20: H×nh 19 Cho đều ABC nội tiếp trong (O;R). F Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. 1. Chứng tỏ OMN cân. 2. C/m :OMAN nội tiếp. 3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở A I E. C/m BC2+DC2=3R2. 4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. M E Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại D K I;AO kéo dài cắt BC tại J. C/m BI đi N O qua trung điểm của AJ. C B J H×nh 20
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 21: Cho ABC ( A =1v) nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường tròn tâm I đường kình MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D. 1. C/m ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN. 2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I). 3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. C/m BMOE là hính bính hành. 4. C/m NM là phân giác của góc AND. A D M I B C O N E H×nh 21 Bài 22: Cho hính vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M. 1. C/m INCQ là hình vuông. 2. Chứng tỏ NQ//DB. 3. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F. C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm. 4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tình diện tích theo a. A P B 5. C/m MFIE nội tiếp. F M Q I E D N C H×nh 22
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 23: Cho hính vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kình BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I. 1. C/m MDNE nội tiếp. 2. Chứng tỏ BEN vuông cân. 3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN. 4. C/m BI=BC và IE F vuông. 5 . C/m: BM là đường trung trực của QH (H là giao điểm của BE và AB) và MQBN là thang cân A Q B E M H O I F D N C H×nh 23 Bài 24: Cho ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Vẽ A đường cao AH. Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với AB;AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. 1. C/m AMHK nội tiếp. M J 2. C/m JA. JH=JK. JM K 3. Từ C kẻ tia Cx với AC và Cx cắt AH kéo B H C dài ở D. Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC. Cmr : HKM HCN I N 4. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường D H×nh 24 tròn.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 25: Cho ABC ( A =1v),đường cao AH. Đường tròn tâm H, bán kình HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I. 1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng. 2. C/m BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn này. 3. C/m: AMDE. A 4. C/m AHOM là hình bình hành. E I B H M C D O H×nh 25 Bài 26: Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC. E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 1. Chứng minh AICH nội tiếp. 2. C/m AI = AK 3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn. 4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC. 5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chình là trực tâm của ABC. A I F E M K B H C H×nh 26
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 27: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). D Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy điểm K sao cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D sao cho AD=AC. A 1. C/m: BAC 2. BKC 2. C/m BCKD nội tiếp. Xác định tâm I K của đường tròn này. M O 3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I. C/m: B;O;I thẳng hàng. B C 4. C/m DI = BI Bài 28: H×nh 27 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chình giữa cung AB (Cung AB không chứa điểm C;D). ID và IC cắt AB ở M;N. 1. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m NA. NB=NI. NC 3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. C/m:EF//AB. 2 F 4. C/m :IA =IM. ID. E I B A M N O C D H×nh 28
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 29: Cho hính vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của AEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. 1. C/m AECF nội tiếp. 2. C/m: AF2=KF. CF 3. C/m:EGFK là hình thoi. 4. Cmr:khi E di động trên BC thí EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi. 5. Gọi giao điểm của EF với AD là J. C/m:GJ  JK. B A G E I J F D K C H×nh 29 A Bài 30: Cho ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Dựng hính bính hành BHCD. M Gọi I là giao điểm của HD và BC. Q 1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường H G O tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O. B N I C 2. So sánh BAH và OAC . 3. CH cắt OD tại E. C/m AB. D AE=AH. AC H×nh 30 4. Gọi giao điểm của AI và OH là G. C/m G là trọng tâm của ABC.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 31: Cho (O) và sđ AB = 90o. C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gaëp nhau ở D. N 1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m: BI. KC=HI. KB 3. C/m:MN là đường kình O C của (O) K 4. C/m ACBD là hình bình hành. A 5. C/m:OC // DH. B J M I D H H×nh 31 Bài 32: Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kình BN. (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 1. C/m BFN vuông cân. 2. C/m:MEBA nội tiếp 3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt (O) ở P. C/m B;Q;P thẳng hàng. 4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC. A B 5. C/m FPE là tam giác vuông F M O Q E P D N C H×nh 32
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 33: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB; AB và CD cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. Q E 1. Cm: CB là phân giác của góc ACE. B 2. C/m: AQEC nội tiếp. 3. C/m: KA. KC=KB. KD C K 4. C/m: QE//AD. A D O H×nh 33 Bài 34: Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC. Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn. CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hính bính hành AECD. 1. C/m:D nằm trên đường thẳng BF. x 2. C/m ADCF nội tiếp. C 3. C/m: CF. CN=CE. CM 4. C/m:MN//AC. D 5. Gọi giao điểm của AF với MN là I. Cmr:DF đi qua trung điểm của NI. B E N J O A I F H×nh 34 M
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 35: Cho (O;R) và đường kình AB;CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB. 1. C/m:ACBD là hình vuông. 2. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. C/m IB. IC=IA. IM 3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM. 4. Tính tích tích AID theo R. C M I P A B O J D H×nh 35 Bài 36: Cho ABC ( A =1v). Kẻ AHBC. Gọi O và O‟ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng O O‟ cắt cạnh AB;AC tại M;N. 1. C/m: OHO‟ là tam giác vuông. 2. C/m:HB. HO‟=HA. HO 3. C/m: HOO‟ HBA. 4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO‟NC nội tiếp. 5. C/m AMN vuông cân. A N O' O M C B H H×nh 36
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kình AB=2R,gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K. Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 1. C/m:AIMD nội tiếp. D 2. C?m CM. CA=CI. CD. 3. C/m ND=NC. 4. Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường N M tròn nội tiếp EIM. K 5. Giả sử C là trung điểm IK. Tình E C CD theo R. A B I O H×nh 37 Bài 38: Cho ABC. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho PBA PAC . Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC. 1. C/m AHPK nội tiếp. 2. C/m HB. KP=HP. KC. 3. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC. Cmr:HD=EF; DF=EK 4. C/m:đường trung trực của HK đi qua F. A K H P D E B F C H×nh 38
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 39: Cho hình bình hành ABCD ( A > 90o). Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB. 1. C/m DEFC nội tiếp. 2. C/m:CF2 = EF. GF. 3. Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OICD. Cmr: OI đi qua trung điểm của AG 4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp. A G B E F O D J I C Bài 40: H×nh 39 Cho hai đường tròn (O) và (O‟) cắt nhau ở A và B. Các đường thẳng AO cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO‟ cắt (O) và (O‟) lần lượt ở D và F. 1. C/m:C;B;F thẳng hàng. 2. C/m CDEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ DA. FE=DC. EA 4. C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE. E D A O I O' C B F H×nh 40
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 41: Cho (O;R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung điểm EF. 1. Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. C/m: OI. OA=OH. OK=R2. 3. Khi A di động trên xy thí I di động trên đường nào? 4. C/m KE và KF là hai tiếp tyueán của (O) B O I x y E H F A C K H×nh 41 Bài 42: Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D. Qua A kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với BN và CM. Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K. 1. C/m AFDE nội tiếp. A 2. C/m: AB. NC = AN. BC N 3. C/m: FE//BC M 4. Chứng tỏ ADIC nội tiếp. F E D B K I C H×nh 42
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 43: Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng ñôn vị đo đoä dài). Dựng đường tròn tâm O đường kình AB và (O‟) đường kình AC. Hai đường tròn (O) và (O‟) cắt nhau tại điểm thứ hai D. 1. Chứng tỏ D nằm trên BC. 2. Gọi M là điểm chình giữa A cung nhỏ DC. AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. O N O' C/m DE. AC=AE. MC 3. C/m AN=NE và O;N;O‟ I thẳng hàng. C B D E 4. Gọi I là trung điểm MN. o M C/m góc OIO‟=90 . H×nh 43 5. Tính tích tích tam giác AMC. Bài 44: Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều, kể từ điểm A một cung AB=60o, rồi cung BC = 90o và cung CD = 120o. 1. C/m ABCD là hình thang cân. 2. Chứng tỏ ACDB. 3. Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD. 4. Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB. Trên DA kéo dài về phìa A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q. C/m MN là phân giác của góc PMQ. P N B A J K Q I O D M C E H×nh 44
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 45: Cho đều ABC có cạnh bằng a. Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam giác BC. Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phìa của đường thẳng AB). Từ E kẻ EFBC. Gọi O là trung điểm EB. 1. C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kình của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. 2. Kéo dài FE về phìa F,cắt (D) tại M. EC cắt (O) ở N. C/m EBMC là thang cân. Tính tích tích. 3. c/m EC là phân giác của góc A E DAC. 4. C/m FD là đường trung trực của N MB. O 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng. 6. Tình tìch tìch phần mặt trăng D được tạio bởi cung nhỏ EB của C hai đường tròn. F B M H×nh 45 Bài 46: F Cho nửa đường tròn (O) đường kình BC. Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chình giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E. A 1. C/m BD là phân giác của góc E ABC và OD//AB. I D 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Gọi I là giao điểm BD và AC. B Chứng tỏ CI=CE và IA. IC = O C ID. IB. H×nh 46 4. C/m góc AFD AED
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 47: Cho nửa đường tròn (O); Đường kình AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E. Kẻ EFAD tại F. 1. C/m: ABEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DE. DB=DF. DA. 3. C/m:E là tâm đường tròn nội tiếp CBF. 4. Gọi I là giao điểm BD với CF. C/m BI2 = BF. BC - IF. IC C B E I M A F O D H×nh 47 Bài 48: Cho (O) đường kình AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hính vuông APQR vào phìa trong đường tròn. Tia PR cắt (O) tại C. 1. C/m ACB vuông cân. 2. Vẽ phân giác AI của góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J. C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng tỏ: CI. QJ=CJ. QP. 4. CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng I P Q J A B O R C H×nh 48
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 49: Cho nửa (O) đường kình AB=2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho cung AM<MB. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở D và C. 1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp. 2. Chứng tỏ AD. BC = R2. 3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng minh: AMFN là hính thang cân. 4. Xác định vị trì của M trên nửa đường tròn để DE = EF x y F C E M D N A O B Bài 50: H×nh 49 Cho hính vuông ABCD,E là một điểm A thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng B vuông góc với DE ,đường này cắt các H đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và E K. 1. Chứng minh:BHCD nội tiếp. 2. Tính góc CHK. 3. C/m KC. KD=KH. KB. D C K H×nh 50 4. Khi E di động trên BC thí H di động trên đường nào?
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 51: Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. 1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE. AD. 3. C/m góc AOC ACB và BDC cân. 4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. B I A O E Hình 51 D Bài 52: C Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng ñôn vị đoä dài), nội tiếp trong (O) đường kình AA‟. 1. Tính bán kình của (O). 2. Kẻ đường kình CC‟. Tứ giác ACA‟C‟ là hính gí? 3. Kẻ AKCC‟. C/m AKHC là hính thang cân. 4. Quay ABC một voøng quanh trục AH. Tình tìch tìch xung quanh của hính được tạio ra. A C' K O H B C A'
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 53: Cho(O) và hai đường kình AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P. 1. C/m: a/ PMIO là thang vuông. C M P b/ P; Q; O thẳng hàng. 2. Gọi S là Giao điểm của AP với S CQ. Tính Góc CSP. H 3. Gọi H là giao điểm của AP với A B I O MQ. Cmr: J a/ MH. MQ= MP2. b/ MP là tiếp tuyến của Q đường tròn ngoại tiếp QHP. D Bài 54: Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O. Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênôømg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D. 1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. C/m AC//MO và MD=OD. 3. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME. MF 4. Xác định vị trì của điểm M trên d để MAB là tam giác đều. Tình tìch tìch phần tạio bởi hai tia tiếp tuyến với đường tròn trong tröđường hợp này. B d E O F D C A H
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 55: Cho nửa (O) đường kình AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phìa với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chình giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. 1. C/m: AMN BMC . 2. C/m: ANM = BMC. 3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F. C/m FEAx. 4. Chứng tỏ M củng là trung điểm DC. x D y M E C F A B N O Bài 56: Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 1. C/m AECD nội tiếp. 2. C/m: CD2 = CE. CF 3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE. 4. C/m: IK//AB. A F K x C M D O I E B
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 57: Cho (O; R) đường kình AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P > R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn. 1. C/m BM/ / OP. 2. Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hính bính hành. 3. AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng. N P J Q I K M A B O Bài 58: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kình AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I. 1. C/m ABI vuông cân 2. Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC. AI=AD. AJ. 3. C/m JDCI nội tiếp. 4. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DHAB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán I C D J K N A B O H Bài 59: Cho (O) và hai đường kình AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn ở M. 1. Chứng minh: NMBO nội tiếp. 2. CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB 3. C/m hệ thức: AM. DN=AC. DM 4. Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều. E C M N A B O D
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 60: Cho (O) đường kình AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hính chiêu của A và B lên đường thẳng d. 1. C/m: CD=CE. 2. Cmr: AD+BE=AB. 3. Vẽ đường cao CH của ABC. Chứng minh AH=AD và BH=BE. 4. Chứng tỏ:CH2=AD. BE. 5. Chứng minh:DH//CB. d D C E A B O H Bài 61: Cho ABC có: A=1v. D là một điểm nằm trên cạnh AB. Đường tròn đường kình BD cắt BC tại E. các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G. 1. C/m CAFB nội tiếp. 2. C/m AB. ED = AC. EB K 3. Chứng tỏ AC//FG. 4. Chứng minh rằng AC;DE;BF đồng quy. A F D O G B E C H×nh 61
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 62: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O). M là điểm di động trên d. Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. . Hạ OHd tại H và dây cung PQ cắt OH tại I;cắt OM tại K. 1. C/m: MHIK nội tiếp. 2. C/m OJ. OH=OK. OM=R2. 3. CMR khi M di động trên d thí vị trì của I luôn cố định. P d O K I M H Q Bài 63: Cho vuông ABC ( A = 1v) và AB < AC. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia HB lấy HD = HB rồi từ C vẽ đường thẳng CEAD tại E. 1. C/m AHEC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CB là phân giác của góc ACE và AHE cân. 3. C/m HE2 = HD. HC. 4. Gọi I là trung điểm AC. HI cắt AE tại J. Chứng minh: DC. HJ=2IJ. BH. 5. EC kéo dài cắt AH ở K. Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hính thoi. A I J C B H D E K
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 64: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE Bx tại E. Hai đường thẳng AB và CE cắt nhau ở F. 1. C/m FDBC,tính góc BFD 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ EA là phân giác của góc DEF Nếu Bx quay xung quanh điểm B thí E di động trên đường nào? A E D B C O Bài 65: Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM. 1 . cm: ACMP nội tiếp. x y 2 . Chứng tỏ AB//DE Q 3. C/m: M; P; Q thẳng hàng. M P D E A B C O H×nh 65
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 66: Cho nửa đường tròn (O), đường kình AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. x 1. C/m: IA2=IM. IB . I 2. C/m: BAF cân. H×nh 66 3. C/m AKFH là hình thoi. 4. Xác định vị trì của M để AKFI nội F tiếp được. M H E K A B Bài 67: O Cho (O; R) có hai đường kình AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khaùc A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh: 1. COMNP nội tiếp. 2. CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trì của M. 4. Khi M di động trên AB thí P chạy trên đoạn thẳng cố định. C K A B O M N x y D P H×nh 67
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 68: Cho ABC có A = 1v và AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kình BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và A AH là O. Chứng minh: 1. AFHE là hính chữ nhật. E 2. BEFC nội tiếp O 3. AE.AB = AF. AC F 4. FE là tiếp tuyến chung của C hai nửa đường tròn. B I H K 5. Chứng tỏ: BH. HC = 4.OE. H×nh 68 OF. Bài 69: Cho ABC có A=1v AHBC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E. 1. Tính góc DOE. 2. Chứng tỏ DE = BD + CE. 3. Chứng minh: DB. CE = R2. (R là bán kình của đường tròn tâm O) 4. C/m: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kình DE. E I A D 2 1 2 3 1 4 B H O C H×nh 69
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 70: Cho ABC ( A =1v); đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kình AH. Gọi HD là đường kình của đường tròn (A;AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA tại E. 1. Chứng minh BEC cân. 2. Gọi I là hính chiêu của A trên BE. C/m: AI = AH. 3. C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn 4. C/m: BE = BH + DE. 5. Gọi đường tròn đường kình AH có Tâm là K. Và AH = 2R. Tình tìch tìch của hính được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K. D E I A K C B H H×nh 70 Bài 71: Trên cạnh CD của hính vuông ABCD,lấy một điểm M bất kỳ. Đường tròn đường kình AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kình CD tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt cạnh BC tại P. 1. C/m:Q;N;C thẳng hàng. 2. CP. CB = CN. CQ. 3. C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kình AM Bài 72: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. D và E theo thứ tự là điểm chình giữa các cung AB;AC. Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K. 1. C/m: AHK cân. 2. Gọi I là giao điểm của BE với CD. C/m:AIDE 3. C/m CEKI nội tiếp.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 4. C/m:IK//AB. 5. ABC phải có thêm điều kiện gí để AI//EC. Bài 73: Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA‟ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA‟,đường này cắt BA‟ tại E. 1. C/m: DA'C DA'E 2. C/m: A'DC= A'DE 3. Chứng tỏ: AC = AE. Khi AA' quay xung quanh A thí E chạy trên đường nào? 4. C/m: BAC 2. CEB Bài 74: Cho ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kình AB. O là trung điểm AB;M là điểm chình giữa cung AC. H là giao điểm OM với AC 1. C/m: OM//BC. 2. Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D. Cmr: MBCD là hính bính hành. 3. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Cmr: KPAB. 4. C/m: AP. AB = AC. AH. 5. Gọi I là giao điểm của KB với (O). Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng. Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm O đường kình EF. Từ O vẽ tia Ot EF, noù cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA = IO. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm). 1. Cmr: ABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp. 2. Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ. vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K. Tình sđ của góc HOK 3. Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp. 4. Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp HOK.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 76: Cho hính thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E. Các cạnh beân AD;BC kéo dài cắt nhau ở F. 1. C/m: ABCD là thang cân. 2. Chứng tỏ FD. FA = FB. FC. 3. C/m: Góc AED = AOD. 4. C/m AOCF nội tiếp. Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn. Kẻ OAxy rồi từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E. Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M;OE cắt AC ở N. 1. C/m OBAD nội tiếp. 2. Cmr: AB. EN = AF. EC 3. So sánh góc AOD và COM. 4. Chứng tỏ A là trung điểm DE. Bài 78: Cho (O;R) và A là một điểm ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. OB kéo dài cắt AC ở D và cắt đường tròn ở E. 1 . Chứng tỏ EC // với OA. 2 . Chứng minh raèng: 2AB. R = AO. CB. 3. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J . Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. 4 . Xác định vị trì của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng nằm trên một đường tròn. Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D. 1 . Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn. 2 . Chứng minh: COD = AOB. 3. Chứng minh: Tam giác COD cân.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 4 . Vẽ đường kình BK của đường tròn,hạ AH BK. Gọi I là giao điểm của AH với PK. Chứng minh AI = IH. Bài 80: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H. 1 . Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. 2 . Chứng minh : AD. AB = AE. AC. 3. Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE. 4 . Gọi I; J là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//JI. Bài 81: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC tại I(Enằm trên cung nhỏ BC) 1 . Chứng minh BDCO nội tiếp. 2 . Chứng minh: DC2 = DE. DF 3. Chứng minh DOCI nội tiếp được trong đường tròn. 4 . Chứng tỏ I là trung điểm EF. Bài 82: Cho đường tròn tâm O,đường kình AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC,lấy điểm M. AM cắt CD tại E. 1 . Chứng minh AM là phân giác của góc CMD. 2 . Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Chứng tỏ AC2 = AE. AM 4 . Gọi giao điểm của CB với AM là N;MD với AB là I. Chứng minh NI//CD. Bài 83: Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC. Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt đường thẳng AC tại G. Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D. 1. C/m: AEHF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: HG. HA = HD. HC 3. Chứng minh EFDG và FHC = AFE. 4. Tím điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén nhất.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 84: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC ở N,cắt (O) ở I. 1. Chứng minh A;O;I thẳng hàng. 2. Kẻ AK với đường thẳng MC. AI cắt BC ở J. Chứng minh AKCJ nội tiếp. 3. C/m: KM. JA = KA. JB. Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Một đường tròn (O‟) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự tại D và E. Đường thẳng EC cắt By tại F. 1. Chứng minh BDCF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: CD2 = CE. CF và FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. AC cắt DE ở I;CB cắt DF ở J. Chứng minh IJ//AB 4. Xác định vị trì của D để EF là tiếp tuyến của (O) Bài 86: Cho (O;R và (O‟;r) trong đó R>r, cắt nhau tại Avà B. Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O‟). Đường thẳng OC và O‟D cắt nhau ở K. 1. Chứng minh ICKD nội tiếp. 2. Chứng tỏ: IC2 = IA. IB. 3. Chứng minh IK nằm trên đường trung trực của CD. 4. IK cắt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh: IE. IF = IM. IN. b/ E; F; M; N nằm trên một đường tròn. Bài 87: Cho ABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kình BC. (O) cắt AB;AC lần lượt ở D và E. BE và CD cắt nhau ở H. 1. Chứng minh: ADHE nội tiếp. 2. C/m: AE. AC = AB. AD. 3. AH kéo dài cắt BC ở F. Cmr: H là tâm đường tròn nội tiếp DFE. 4. Gọi I là trung điểm AH. Cmr IE là tiếp tuyến của (O)
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 88: Cho(O;R) và (O‟;r) cắt nhau ở Avà B. Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C (O)) và cát tuyến EBF bất kỳ(E (O)). 1. Chứng minh AOC và AO‟D thẳng hàng. 2. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF. Cmr: AEKF nội tiếp. 3. Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD. 4. Chứng tỏ FA. EC = FD. EA. Bài 89: Cho ABC có A = 1v. Qua A dựng đường tròn tâm O bán kình R tiếp xúc với BC tại B và dựng (O‟;r) tiếp xúc với BC tại C. Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt nhau ở K. 1. Chứng minh: OAO‟ thẳng hàng 2. CM: AMKN nội tiếp. 3. Cm AK là tiếp tuyến của caû hai đường tròn và K nằm trên BC. 4. Chứng tỏ 4MI2 = Rr. Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp trong (O) đường kình AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F. 1. Cm: BDEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DA. DF = DC. DE 3. Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF. Cmr: DIMF nội tiếp. 4. Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI. AM = AC. AH. Bài 91: Cho (O) và (O‟) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng OO‟ cắt (O) và (O‟) tại B và C (khaùc A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(D (O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M. 1. Cmr: ADEM nội tiếp. 2. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 3. ADEM là hình gì? 4. Chứng tỏ: MD. MB = ME. MC.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 92: Cho hính vuông ABCD. Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK với đường thẳng AM. 1. Cm: ABKC nội tiếp. 2. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N. Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD. KN = BE. KA 3. Cm: MN//DB. 4. Cm: BMEN là hình vuông. Bài 93: Cho hính chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. 1. Cm: QPCB nội tiếp. 2. Cm: AN//DB. 3. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. 4. Cm: PEN là tam giác cân. Bài 94: Từ đỉnh A của hính vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạio với nhau 1 góc bằng 45o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. 1. Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. Cm: AB. PE = EB. PF. 3. Cm: S AEF = 2S APQ. 4. Gọi M là trung điểm AE. Cmr: MC = MD. Bài 95: Cho hính chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O. Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I. Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC. Từ E dụng đường thẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. 1. C/m: OHIK nội tiếp. 2. Chứng tỏ KHOI.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 3. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. Chứng tỏ: HJ. KC = HE. KB 4. Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn. Bài 96: Cho ABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gaëp nhau theo thứ tự ở I và J. Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC. 1. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. 2. Chứng minh: BICJ nội tiếp. 3. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr: AEAJ. 4. C/m: AI. AJ = AB. AC. Bài 97: Từ đỉnh A của hính vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q. Kẻ BKAx;BIAy và DMAx,DNAy . 1. Chứng tỏ BKIA nội tiếp 2. Chứng minh AD2 = AP. MD. 3. Chứng minh MN = KI. 4. Chứng tỏ KIAN. Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o. Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I và K. Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. 1. Chứng minh KHDM nội tiếp. 2. Chứng minh: AB = CK + AM. Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF. Đường thẳng CE và CF gaëp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N. Dựng hính bính hành AECD. 1. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. 2. Chứng minh AFCD nội tiếp. 3. Chứng minh: CN. CF = 4BE. BF 4. Chứng minh MN//AC. Bài 100:
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C. Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chình giữa cung AB;BC;AC . AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I. MN cắt AB ở E. 1. Chứng minh BNI cân. 2. PKEN nội tiếp. 3. Chứng minh AN. BD = AB. BN 4. Chứng minh I là trực tâm của MPN và IE//BC. Dạng 2: Mở đầu về hình học không gian Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD). Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD. Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g× ? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD. LÊy ®iÓm E AB, F 11 BC sao cho: AE AB;CF CB . 44 a) Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD). CMR: F, H, I th¼ng hµng. Bµi 3: Chøng minh r»ng: NÕu mét mÆt ph¼ng song song víi ®•êng th¼ng a cña mp(Q) mµ (P) vµ (Q) c¾t nhau th× giao tuyÕn cña chóng song song víi a. Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t nhau theo giao tuyÕn d. Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b. CMR: a) NÕu a c¾t d t¹i M th× a, b, d ®ång qui. b) NÕu a // d th× a, b, d ®«i mét song song. 1 1 Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D SA sao cho SD SA,E AB sao cho BE BA . Gäi M lµ 4 4 trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC. Chøng minh r»ng: a) SB // (IDE). b) N lµ trung ®iÓm cña BC. Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®•êng cao AH. Mét ®•êng th¼ng d  (ABC) t¹i A. Trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a) Chøng minh BC  SH. b) KÎ AI lµ ®•êng cao cña tam gi¸c SAH. Chøng minh AI  (SBC). c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cña h×nh chãp S . ABC. Bµi 7: Cho tam gi¸c ABC ®Òu vµ trung tuyÕn AM, ®iÓm I AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vÏ ®•êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABC), trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a) Chøng minh SA = SB = SC. b) Gäi IH lµ ®•êng cao cña tam gi¸c SIM. CMR: IH  (SBC).
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán c) TÝnh Sxq vµ V cña h×nh chãp S . ABC biÕt AB 3 3cm; SA = 5 cm. 11 Bµi 8: Cho tø diÖn S . ABC. §iÓm E SA, F AB sao cho SE SA;BF BA . Gäi G, H theo 33 thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC. CMR: a) EF // GH. b) EG, FH, AC ®ång qui. Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Mét ®•êng th¼ng d vu«ng gãc vãi mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S sao cho SA = 10 cm. a) Chøng minh r»ng: SB  AC. b) TÝnh SB, BC, SC. c) Chøng minh tam gi¸c SAC vu«ng. d) TÝnh Stp, V. Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh 3 cm. Trªn ®•êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABCD) t¹i A lÊy ®iÓm S sao cho SA = 4 cm. CMR: a) (SAB)  (SAD). b) SC  BD. c) C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng. d) TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp SABCD. Bµi 11: Cho l¨ng trô ®øng ABCD . A’B’C’D’ cã ®¸y lµ h×nh thoi. BiÐt ®êng cao AA’ = 5 cm, c¸c ®êng chÐo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm. a) TÝnh AB ? b) TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD A’B’C’D’. c) TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp B’ ABCD. 0 Bµi 12: Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC . A’B’C’ cã AA’ = 4 cm , gãc BAB’ = 45 . TÝnh Sxq vµ V. Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13 cm. TÝnh Sxq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm. a) CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt. 2 2 2 2 b) CM: AC’ = AB + AD + AA’ . TÝnh Stp , V ? 0 Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 30 . TÝnh Stp vµ V ? Bµi 16: Cho h×nh lËp ph•¬ng ABCD . A’B’C’D’ cã ®é dµi c¹nh lµ 6 cm . a) TÝnh ®êng chÐo BD’. b) TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’. ABD. c) TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D. Bµi 17: Mét thïng h×nh trô cã diÖn tÝch xung quanh b»ng tæng diÖn tÝch hai ®¸y, ®•êng cao cña h×nh trô b»ng 6 dm. Hái thïng chøa ®•îc bao nhiªu lÝt n•íc ? ( biÕt r»ng 1 dm3 = 1 lÝt ).
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( cßn gäi lµ thiÕt diÖn) lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch b»ng 72 cm2. TÝnh b¸n kÝnh ®¸y, ®•êng cao cña h×nh trô biÕt r»ng ®•êng kÝnh ®¸y b»ng mét nöa chiÒu cao. Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 4 cm, chiÒu réng 3 cm. TÝnh Sxq vµ V cña h×nh trô ®ã. Bµi 20: Cho h×nh nãn ®Ønh A, ®•êng sinh AB = 5 cm, b¸n kÝnh ®¸y OB = 3 cm. a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn. b) TÝnh V cña h×nh nãn. c) Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB. CMR: CD  (AOB). Bµi 21: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A quay mét vßng quanh AB. TÝnh b¸n kÝnh ®¸y, ®•êng cao 0 cña h×nh nãn t¹o thµnh. Tõ ®ã tÝnh Sxq , vµ V cña h×nh nãn biÕt r»ng BC = 6 cm, gãc ACB = 60 . Bµi 22: Mét h×nh nãn cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh b»ng 4 cm. TÝnh Sxq vµ V . Bµi 23: Mét h×nh nãn côt cã ®•êng cao 12 cm, c¸c b¸n kÝnh ®¸y lµ 10 cm vµ 15 cm. a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt. b) TÝnh V cña h×nh nãn sinh ra h×nh nãn côt ®ã.  0  0 Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ D = 90 , AB = BC = a , C = 60 . TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh khi quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a) C¹nh AD. b) C¹nh DC. Bài 24: Cho hính chữ nhật MNPQ có MN = 3NP; NP = 5 . Tình thể tìch hính tạo thành khi quay hính chữ nhật MNPQ một vòng quanh MN . 256π Bài 26: Một hính nón có đường sinh bằng 16cm. Diện tìch xung quanh bằng cm2 . 3 Tính bán kình đường tròn đáy của hính nón. Bài 27: Tình diện tìch toàn phần và thể tìch của hính trụ có bán kình đáy là r = 3,1 cm và chiều cao h = 2,4 cm ? Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A quay quanh cạnh BC. Tình thể tìch hính sinh ra bởi tam giác , biết BC = 5cm. Bài 29: Một hính trụ có chu vi đáy bằng 20cm, diện tìch xung quanh bằng 140cm2. tính chiều cao của hính trụ Bài 30: Cho hính hộp chữ nhật ABCDA‟B‟C‟D‟. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A‟C = 13 cm. Tình thể tìch và diện tìch xung quanh của hính hộp chữ nhật đó. Bài 31: Cho hính lập phương ABCDA‟B‟C‟D‟ có diện tìch mặt chéo ACC‟A‟ bằng 25 2 cm2. Tình thể tìch và diện tìch toàn phần của hính lập phương đó. Bài 32: Cho hính hộp chứ nhật ABCDA‟B‟C‟D‟. Biết AB = 15 cm, AC‟ = 20 cm và góc A‟AC‟ bằng 600. Tình thể tìch và diện tìch toàn phần của hính hộp chữ nhật đó. Bài 33: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA‟B‟C‟. Tình diện tìch xung quanh và thể tìch của nó biết cạnh đáy dài 6 cm và góc AA‟B bằng 300.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 34: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chứng minh rằng SA = SB = SC. b) Tình diện tìch toàn phần và thể tìch của hính chóp S.ABC, cho biết SG = 2a. Bài 35: a 2 Cho hính chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là . 2 a) Chứng minh các mặt bên của hính chóp là các tam giác đều. b) Tình thể tìch và diện tìch xung quanh của hính chóp. Bài 37: Cho hính chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. a) Tình diện tìch toán phần của hính chóp. b) Tình thể tìch của hính chóp. Bài 38: Cho hính chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tìch là 1280 cm3. a) Tình độ dài cạnh đáy. b) Tình diện tìch xung quanh của hính chóp. Bài 39: Một hính chóp cụt diện tìch đáy nhỏ là 75 cm2, diện tìch đáy lớn gấp 4 lần diện tìch đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tình thể tìch của hính chóp cụt đó. Bài 40: Cho hính chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) Tình thể tìch hính chóp. b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuông. a) Tình diện tìch xung quanh của hính chóp. Bài 41: Một hính trụ có đường cao bằng đường kình đáy. Biết thể tìch hính trụ là 128 cm3, tình diện tìch xung quanh của nó. Bài 42: Một hính nón có bán kình đáy bằng 5 cm và diện tìch xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tìch của hính nón đó. Bài 43: Cho hính nón cụt, bán kình đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12 cm và đường sinh bằng 13 cm. a) Tình bán kình đáy nhỏ. b) Tình diện tìch xung quanh và thể tìch của hính nón cụt đó. Bài 44: Một hính cầu có diện tìch bề mặt là 36 cm2. Tình thể tìch của hính cầu đó.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Chủ Đề 7: Bất Đẳng Thức
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b, kì hiệu a b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b, kì hiệu a b, + a lớn hơn hoặc bằng b, kì hiệu a b , 2, Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1, Tình chất 1: a > b b b và b > c => a > c 3, Tình chất 3: Tình chất đơn điệu của phép cộng. a > b a + c > b + c Hệ quả : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c 4, Tình chất 4: Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. a > c và b > d => a + b > c + d 5, Tình chất 5: Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều a > b và c a - c > b - d 6, Tình chất 6: Tình chất đơn điệu của phép nhân. a > b và c > 0 => ac > bc a > b và c ac ac bd 8, Tình chất 8: Nâng lên lũy thừa. a > b > 0 => an > bn a > b an > bn với n lẻ n n |a| > |b| a > b với n chẵn 9, Tình chất 9: So sánh nghịch đảo. 1 1 a > b; ab > 0 => n >0 thí m n a > 1 a > a m n a =1 a = a m n 0 < a < 1 a < a 3, Một số hằng bất đẳng thức thông dụng : 1, Bất đẳng thức A2 0 với mọi A; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 2, Bất đẳng thức Côsi: - Dạng không chứa dấu căn: a+b a2 + b2 2ab (a + b)2 4ab ( )2 ab 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b - Dạng chứa dấu căn: a b Với 2 số không âm a, b ta có: ab 2
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b a+b+c 3 - Mở rộng: với a, b, c không âm thí abc 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =c. 3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a; b; x; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) a b Dấu đẳng thức xảy ra x y 4, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : +) a b a b Dấu đẳng thức xảy ra khi: ab 0 +) |a-b| |a| - |b| Dấu đẳng thức xảy ra khi: a b 0 hoặc a b 0 II : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.Phƣơng pháp 1: Dùng định nghĩa - Phương pháp: Để chứng minh A B, ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B 0 . - Vì dụ : VD 1.1: 2 2 2 2 Chứng minh rằng: 3(a + b + c ) (a + b + c) với mọi số thực a, b, c. Giải : 2 2 2 2 Ta xét hiệu: H = 3(a + b + c ) - (a + b + c) 2 2 2 = 2a + 2b + 2c - 2ab - 2ac - 2bc 2 2 2 = (a - b) + (b - c) + (c - a) 2 Do (a -b) 0 với mọi a, b 2 (b - c) 0 với mọi b, c 2 (c - a) 0 với mọi a, c H 0 với mọi a, b, c. 2 2 2 2 Hay 3(a + b + c ) (a + b + c) với mọi a, b, c. Dấu “ = “ xảy ra a = b = c. VD 1.2: a3 Với mọi số a, b > 0, chứng minh rằng: a2 + ab - b2 b Giải : a3 a3-a2b-ab2+b3 (a-b)2(a+b) Ta xét hiệu: H = - (a2 + ab - b2) = = b b b Do a, b > 0 và (a - b)2 0 => H 0 với mọi a, b a3 Hay a2 + ab - b2 với mọi a, b > 0. b Dấu bằng xảy ra a = b. VD 1.3 : Cho a, b, c, d, e là các số thực a a a a Do ( b )2 0; ( c )2 0; ( d )2 0; ( e )2 0 với mọi a, b, c, d, e. 2 2 2 2 => H 0 với mọi a, b, c, d, e
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán a Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = 2 VD 1.4 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 a 2 b 2 a b 2 2 Giải : 2 a 2 b2 a b 2(a 2 b2 ) (a 2 2ab b2 ) Xét hiệu : H = = 2 2 4 1 2 2 2 2 1 2 = (2a 2b a b 2ab) (a b) 0 với mọi a, b. 4 4 => H 0 với mọi a, b => Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . Bài tập đề nghị: 5 5 4 4 Bài 1: Cho a > b, chứng minh rằng x - y x y - x y 1 1 4 Bài 2: Chứng minh rằng + với a; b > 0 a b a+b Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 2 2 a, a + b + c + 3 2(a + b + c) 10 10 2 2 8 8 4 4 b, (a + b )(a + b ) (a + b )(a + b ) 2. Phƣơng pháp 2: Dùng các tính chất của bất đẳng thức: - Phương pháp: Vận dụng hợp lì các tình chất của bất đẳng thức đã được học (10 tình chất) để suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh. - Vì dụ : VD 2.1: Cho a 2; b 2. Chứng minh rằng ab a + b. Giải: Do a 2 và b > 0 nên ab 2b (1) Do b 2 và a > 0 nên ab 2a (2) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (1) và (2), ta được 2ab 2(a +b) Chia hai vế cho 2 ta được ab a + b. VD 2.2: Cho 0 1 - a - b - c - d . Giải : Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do 0 0; ac + bc > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd Do ad + bd + cd > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán VD 2.3 : Cho 0 a3 0 => 1 + a2b > a2 + b => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 2a3 + 2b3 + 2c3 (a + b + c) = a b c 4 a b c => 16 4(a + b)c (vì a + b + c = 4 ) => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc Tương tự : b + c abc c + a abc Ví a, b, c > 0 nên nhân từng vế của ba bất đẳng thức trên => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hai số x và y thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 1 x2 + y2 2 Bài 2: Cho 3 số x, y, z không âm sao cho x + y + z = a CMR: (a - x)(a - y)(a - z) 8xyz 3. Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng . - Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Giả sử phải chứng minh A > B (1), ta biến đổi tương đương A > B A1 > B1 A2 B2 C > D. Nếu bất đẳng thức cuối đúng thí bất đẳng thức đầu tiên (1) là đúng. 1 a2 + b2 - 0 . 2 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(a -1)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) 4a2 - 4a + 1 0 (2a - 1)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = VD 3.4 :
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Với a > 0, b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b a b b a Giải : Dùng phép biến đổi tương đương :  ( a a b b) ab( a b) 0  ( a)3 ( b)3  ab( a b) 0  ( a b)(a ab b) ab( a b) 0  ( a b)(a 2 ab b) 0  (a b )( a b )2 0 Bất đẳng thức cuối đúng với a, b > 0, suy ra : Dấu “ = “ xảy ra  a = b Bài tập đề nghị: 1 Bài 1: Cho hai số x và y mà x + y = 1 CMR : x2 + y2 . 2 1 1 2 Bài 2: Cho hai số a, b thỏa mãn ab 1, CMR: 1 a22 1 b 1 ab ab2014 2014 ab2013 2013 Bài 3: Cho a>b>0 CMR: > (*) ab2014 2014 ab2013 2013 Hƣớng dẫn: Để chứng minh bất đẳng thức (*) , ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau: am b m a n b n Nếu a > b > 0 và m, n là hai số tự nhiên mà m > n thì (1) am b m a n b n Thật vậy ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh am b m 22 b m a n b n b n (1) am b m a n b n 2bm 2 b n 2 b m 2 b n 1- 1 am b m a n b n a m b m a n b n bbmn mn bb bbmn11aamn m m n n m m n n 11 a b a b a b a b aamnbbmn 11 bm b m b n b n bbmn amn a a a ()()mn (2) bmn b b b a Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a > b > 0 nên 1 và m > n b bất đẳng thức (1) luôn đúng
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán ab2014 2014 ab2013 2013 bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng > ab2014 2014 ab2013 2013 * Nhận xét: Có thể biến đổi tương đương trực tiếp trên bất đẳng thức cần chứng minh. 4. Phƣơng pháp 4: Dùng một số hằng bất đẳng thức thông dụng. - Phương pháp: Dùng một số hằng bất đẳng thức thông dụng như: Côsi, Bunhiacôpxki, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh bài toán. - Nhắc lại: * Bất đẳng thức Côsi: - Dạng không chứa dấu căn: a+b a2 + b2 2ab (a + b)2 4ab ( )2 ab 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b - Dạng chứa dấu căn: a b Với 2 số không âm a, b ta có: ab 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b a+b+c 3 - Mở rộng: với a, b, c không âm thí abc 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =c. * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a; b; x; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) a b Dấu đẳng thức xảy ra x y * Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : +) a b a b Dấu đẳng thức xảy ra khi: ab 0 - Các vì dụ : VD 4.1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng: a b c 2 b c c a a b Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương a và b+c, ta có : a 2a a + (b + c) 2 a(b c)  . Dấu “ = “ xảy ra  a = b+c b c a b c Tương tự ta thu được : b 2b Dấu “ = “ xảy ra  b = c+a c a a b c c 2c Dấu “ = “ xảy ra  c = a+b a b a b c Dấu “ = “ của ba bất đẳng thức trên không thể đồng thời xảy ra, ví khi đó nếu có a = b+c; b = c+a; c = a+b thí suy ra a+b+c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ). Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán a b c 2 b c c a a b VD 4.2: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = x 1 y 2 y 1 x 2 (1) Chứng minh rằng: 3x + 4y 5 Giải : Điều kiện: x 1 ; y 1 Bính phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( )2 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) x2 + y2 1 (2) Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) Kết hợp với (2) suy ra : (3x + 4y)2 25 => 3x + 4y 5 22 xy 1 3 x Đẳng thức xảy ra  xy 0; 0  5 4 xy y 5 34 VD 4. 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a, a b b c c a 6 b, a 1 b 1 c 1 3,5 Giải a, Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 2 2 2 2 abbcca .1 .1 .1 1 1 1 ab bc ca Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương a và b+c, ta có : a 2a a + (b + c) 2 a(b c)  . Dấu “ = “ xảy ra  a = b+c b c a b c Tương tự ta thu được : b 2b Dấu “ = “ xảy ra  b = c+a c a a b c c 2c Dấu “ = “ xảy ra  c = a+b a b a b c Dấu “ = “ của ba bất đẳng thức trên không thể đồng thời xảy ra, ví khi đó nếu có a = b+c; b = c+a; c = a+b thí suy ra a+b+c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ). Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được: VD 4.2:
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Cho x, y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = x 1 y 2 y 1 x 2 (1) Chứng minh rằng: 3x + 4y 5 Giải : Điều kiện: x 1 ; y 1 Bính phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( )2 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) x2 + y2 1 (2) Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) Kết hợp với (2) suy ra : (3x + 4y)2 25 => 3x + 4y 5 22 xy 1 3 x Đẳng thức xảy ra  xy 0; 0  5 4 xy y 5 34 VD 4. 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a, a b b c c a 6 b, a 1 b 1 c 1 3,5 Giải a, Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 2 2 2 2 abbcca .1 .1 .1 1 1 1 ab bc ca 2 => a b b c c a 3.(2a 2b ac) 6 vì a+b+c = 1 => . 1 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 3 b, Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a+1 và 1, ta có: (a 1) 1 a (a+1)+1 2 a+1  a 1 1 2 2 b c Tương tự : b 1 1 ; c 1 1 2 2 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : a b c a 1 b 1 c 1 3 3,5 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : VD 4.4 1 1 4 Cho x, y > 0 . Chứng minh rằng : x y x y
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Giải: 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho từng bộ hai số dương x và y; và ta có: x y x y 2 xy 1 1 2 x y xy 11 => (x + y) 4 xy 4 => x y Dấu “ = “ xảy ra  x = y VD 4.5 a b c Cho a, b ,c > 0. Chứng minh rằng + + 3 b c a Giải a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bộ ba số dương ; và ta được: b c a 3 a b c b c a a b c a b c . . 1 suy ra + + 3 3 b c a b c a Dấu “ = “ xảy ra  a = b = c 5. Phƣơng pháp 5: Chứng minh phản chứng . - Phương pháp: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta giả sử bất dẳng thức đó sai, rồi vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . Điều vô lý có thể là trái với giả thiết hoặc là những điều trái ngược nhau hoặc là trái với các điều đã được chứng minh là đúng. Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng . Một số hính thức chứng minh phản chứng: + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau . - Các vì dụ : VD 5. 1: Cho 0 ; 3b(1 - c) > 2;12c(1 - a) > 1 4 Giải: Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng . Nhân từng vế ta có: 1 36abc (1 - a)(1- b)(1 - c) > 2 1 a(1 a ) b (1 b ) c (1 c ) (1) 64
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp số dương a và 1- a; b và 1- b; c và 1- c ta có : a 1 a 1 1 a(1 a) => a(1 - a) 2 2 4 Tương tự : b(1 - b) c(1 - c) Nhân từng vế các bất đẳng thức được 1 a(1 a ) b (1 b ) c (1 c ) (2) 64 Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn nhau suy ra điều giả sử là sai. Điều này chứng tỏ ìt nhất một trong ba bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai . VD 5.2 : Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức 1 1 1 a 2 ; b 2 ; c 2 b c a Giải Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : ; ; Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : 1 1 1 a b c 6 b c a 1 1 1  (a ) (b ) (c ) 6 (1) a b c Ví a, b, c > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1 1 1 (a ) 2 ; (b ) 2 ; (c ) 2 a b c 1 1 1 => (a ) (b ) (c ) 6 Điều này mâu thuẫn với (1) a b c Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . VD 5.3 : Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng: a + b 2 . Giải : Giả sử : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì a3 + b3 = 2 ) Chia cả hai vế cho số dương a+b ta được : ab > a2 - ab + b2 => (a - b)2 < 0 Điều này là vô lý Vậy điều giả sử là sai, do đó a + b 2 Bài tập đề nghị : Bài 1. a) Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức 1 1 1 a 1 ; b 2 ; c 3 b c a
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán b) Chứng minh rằng không có 3 số a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : |a-b| > |c| ; |b-c| > |a| ; |c-a| > |b| Hướng dẫn : Giả sử tồn tại 3 số a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức 2 2 => (a - b) > c => (a-b-c)(a-b+c) > 0 Tương tự : (b-c-a)(b-c+a) > 0 (c-a-b)(c-a+b) > 0 Nhân từng vế của các bất đẳng thức sẽ dẫn đến mâu thuẫn 6. Phƣơng pháp 6. Phƣơng pháp xét các khoảng giá trị của biến. - Phương pháp: Chia các giá trị của biến thành nhiều khoảng thìch hợp và chứng minh ở trường hợp nào bất đẳng thức cũng được thỏa mãn. Vậy bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến. - Các vì dụ : VD 6.1 : 14 11 4 3 Cho M = x - x + x - x + 1. Chứng minh rằng M > 0 với mọi x. Giải * Xét trường hợp x 1, ta có 11 3 3 M = x (x - 1) + x (x - 1) + 1 3 3 11 Vì x 1 nên x 1 => x - 1 0 và x - 1 0, còn x > 0 do đó M > 0. * Xét trường hợp x x và 1 > x => 1 - x > 0 và 1 - x , còn x > 0 ; x > 0 Do đó M > 0. * Vậy M > 0 với mọi x. VD 6.2 : 8 7 4 Cho A = x - x + x - x + 1. Chứng minh rằng A > 0 với mọi x. Hƣớng dẫn: 7 3 * Xét trường hợp x 1, ta có A = x (x - 1) + x(x - 1) + 1 > 0 8 4 3 * Xét trường hợp x 0 Vậy A > 0 với mọi x. Bài tập đề nghị : Bài 1. Chứng minh rằng: 4 A = 31x - 6x + 17 > 0 mọi x 8 5 2 B = x - x + x - x + 1 > 0 mọi x * Chú ý: Ngoài phương pháp trên ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách đưa biểu thức về dạng tổng của các bình phương với một số dương. 8 5 2 8 5 2 VD: B = x - x + x - x + 1 => 2B = 2x - 2x - 2x - 2x + 2 4 2 2 8 = (x - x) + (x - 1) + x + 1 > 0 7. Phƣơng pháp 7 : Đổi biến số - Phương pháp: Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn, gọn hơn hoặc dạng những bài toán đã biết cách giải - Các vì dụ : VD 7. 1 : a b c 3 Chứng minh rằng : Nếu a, b, c > 0 thí : b c c a b a 2 Hƣớng dẫn: Đặt : b + c = x , c + a = y , a + b = z
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán x y z => a + b + c = 2 y z x z x y x y z và a = , b = , c = 2 2 2 Khi đó : a b c y z x z x y x y z VT = = b c c a b a 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z VD 7.2 : Cho a, b, c > 0; a + b + c 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 9 a 2 2bc b2 2ca c 2 2ab Hƣớng dẫn: Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành: Cho x, y, z > 0; x + y + z 1 . 1 1 1 Chứng minh rằng : 9 x y z 1 1 1 Ta chứng minh được : (x + y + z)( ) 9 với x ; y ; z > 0 (VD 4.4) x y z Mà x + y + z 1 nên suy ra => điều cần chứng minh. 8. Phƣơng pháp 8: Phƣơng pháp quy nạp toán học . - Phương pháp: Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n 1 (n n0 ) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n 1 (n n0) - Các vì dụ : VD 8.1 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì 2n > 2n + 1 (*) Giải : + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 . + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 4), tức là ta có 2k > 2k + 1 ta phải chứng minh: 2k+1 > 2(k + 1) + 1 hay 2k+1 > 2k + 3 ( ) + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 (vì 2k - 1 > 0 với k N ; k 4 ) Vậy ( ) đúng với mọi k 4 . + Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3 . VD 8.2 :.
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Chứng minh rằng : 1 3 5 2n 1 1 . . (*) (n là số nguyên dương ) 2 4 6 2n 3n 1 Giải : + Với n = 1 , ta có : VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 . 2k 1 1 + Giả sử (*) đúng với n = k 2 ta có : . . 2k 3k 1 2k 1 2k 1 => . . . . (1) 2(k 1) 2(k 1) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh: 1 . . (2) 3(k 1) 1 Từ (1) và (2), áp dụng tình chất bắc cầu ta cần chứng minh được (3) Dùng phép biến đổi tương đương, ta có : (3)  (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4  k 0. Bất đẳng thức này đúng ví k 2 => (3) đúng => (*) đúng với mọi k 2 . Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n Bài tập đề nghị: n 2 Chứng minh rằng: 2 > n với mọi số tự nhiên n 5 9, Ph¬ng ph¸p 9: Dùng tính chất của tỉ số. - Phương pháp: Dùng các tình chất của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lì để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. a a a c Nhắc lại: * Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng: a, NÕu 1 th× b b b c a a a c b, NÕu 1 th× b b b c a c a a c c * NÕu a, b, c, d > 0 vµ th× b d b b d d - C¸c vÝ dô VD 9.1: Cho a, b, c, d > 0, chøng minh r»ng a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Gi¶i: Với a, b, c, d > 0 theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a d 1 (1) a b c a b c a b c d a a MÆt kh¸c (2) a b c a b c d
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán a a a d Tõ (1) vµ (2) => (3) a b c d a b c a b c d b b b a T¬ng tù ta cã (4) bcdabcdbcda c c c b (5) a b c d c d a a b c d d d d c (6) a b c d d a b a b c d Céng vÕ víi vÕ cña (3), (4), (5),(6) ta cã a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b VD 9. 2: a c a ab cd c Cho vµ b, d > 0. Chøng minh r»ng b d b b2 d 2 d Gi¶i: ab cd ab ab cd cd Tõ b2 d 2 b2 b 2 d 2 d 2 Hay §ã lµ ®iÒu cÇn chøng minh. Ngoài 9 phƣơng pháp vừa nêu ở trên còn một số phƣơng pháp khác có thể chứng minh bất đẳng thức nhƣ: phƣơng pháp làm trội, phƣơng pháp dùng tam thức bậc hai nhƣng trong phạm vi nhỏ của đề tài, tôi không nêu ra những phƣơng pháp đó. III : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC : 1- Ứng dụng 1: Giải bài toán tìm cực trị : - Phương pháp: Nếu f(x) m thí f(x) có giá trị nhỏ nhất là m . Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M . Khi tím cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Nhắc lại một số tình chất: + |A| = |-A| với mọi A + A 0 với mọi A. Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 + A B A B . Dấu '' = '' xảy ra khi AB 0 - Các bài tập: Bài 1.1: Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = |x-2| + |x-3| Giải Áp dụng tình chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có: P = |x-2| + |3-x| |x-2+3-x| = 1 Dấu “ = “ xảy ra khi (x - 2)(3 - x) 0  2 x 3 Vậy min P = 1  2 x 3
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 1.2 : Cho a A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 Dấu „„ = ‟‟ xảy ra khi t = 0  x2 + x - 2 = 0  (x - 1)(x + 2) = 0  x = -2; x = 1 . Vậy min A = - 4 khi x = -2 hoặc x = 1 ; Bài 1.4: Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a3 + b3 + ab, biết a và b là hai số thoả mãn: a + b = 1 . Giải B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 vì a+b = 1 1 Ta lại có: a2 + b 2 2ab => 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 2 Vậy min B = khi a = b = 2 x -x+1 Bài 1.5: Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 x +x+1 Giải 2 Dễ thấy x +x+1 > 0 với mọi x. 2 2 2 2 Ta có 2(x - 1) 0 => 2x - 4x + 2 0 => 3(x - x + 1 ) x + x + 1 2 x -x+1 1 = > 2 . Dấu “ = “ xảy ra khi x = 1 x +x+1 3 2 2 2 2 Ta có 2(x + 1) 0 => 2x + 4x + 2 0 => 3(x + x + 1 ) x - x + 1 2 x -x+1 = > 2 ≤ 3 . Dấu “ = “ xảy ra khi x = -1 x +x+1 1 1 Vậy A 3. Do đó min A = x = 1; Max A = 3  x = -1. 3 3 1 1 1 Bài 1.6 : Cho ba số dương x, y, z thoả mãn : + + 2 1 x 1 y 1 z Tím giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz Hƣớng dẫn: y z yz Từ giả thiết suy ra (1- )+( 1- ) = + 2 1 y 1 z (1 y)(1 z) zx Tương tự : 2 (1 x)(1 z) xy 2 (1 x)(1 y) 1 Nhân từng vế của các bất đẳng thức được P = xyz 8 1 => Max P = khi x = y = z = 2
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Bài 1.7 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn: a + b + c = 1. Tím giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức: F = (a )2 (b )2 (c )2 a b c Lƣợc giải: 1 1 1 Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( ) + 6 a 2 b 2 c 2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) 1 => a2 + b2 + c2 3 1 1 1 1 1 1 Tương tự : ( )2 3 ( ) (1) a b c a 2 b2 c 2 1 1 1 Mặt khác ta chứng minh được ( )(a + b + c) 9 a b c => 9 do a + b + c = 1 => 81 (2) Từ (1) và (2) => 27 1 => F + 27 + 6 = 33 3 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 1 Vậy Min F = 33 khi a = b = c = . 3 Bài 1.8. Tím giá trị lớn nhất của P = 2x 3 + 5 2x Giải. 3 5 TXĐ : x 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: (1. + 1. )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4  + 2 hay P 2. Dấu “=” xảy ra  =  x = 2 (thỏa mãn TXĐ) Vậy Max P = 2  x = 2 2 - Ứng dụng 2: Giải phƣơng trình: - Phương pháp: Biến đổi hai vế ( VT, VP ) của phương trính, sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trính. + Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn (thoả mãn TXĐ) => phương trính có nghiệm là số đó hoặc những số đó . + Nếu VT > VP hoặc VT phương trính vô nghiệm - Các vì dụ : Bài 2.1: Giải phương trính : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Giải : 3 5 TXĐ : x 2 2 (*)  2x 3 + 5 2x = x2 - 4x + 6 Ta có VP = (x - 2)2 + 2 2, dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) . VT 2 (Bài 8 - Ứng dụng 1) => VT = VP = 2  x = 2. Vậy phương trính (*) có nghiệm x = 2 . Bài 2.2 : Giải phương trính : 6 x + x 2 = x2 - 6x + 13 Hƣớng dẫn: Với cách giải tương tự Bài 1, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được: VP 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 . VT 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi =  x = 2 . => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trính vô nghiệm Bài 2.3: Giải các phương trính sau bằng phương pháp dùng bất đẳng thức. 2 2 2 2 a, (x - 3x + 4) = (x - 2x + 3)(x - 4x + 5) (1) xx2 4 12 b, = x2 - 4x + 8 (2) xx2 46 Lƣợc giải. 2 2 a, Dễ nhận thấy (x - 2x + 3) > 0 và (x - 4x + 5) > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương trên ta có: 222 (x 2 x 3) ( x 4 x 5) 22 (x 2 x 3)( x 4 x 5) 2 2 2 2 2 Hay (x - 3x + 4) (x - 2x + 3) (x - 4x + 5) 2 2 Dấu “=” xảy ra  x - 2x + 3 = x - 4x + 5  x = 1 Vậy phương trính (1) có nghiệm x = 1. 6 2 b, (2)  1 + (x 2) 4 (x 2)2 2 Ta thấy VT 1 + 3 = 4 (dấu “=” xảy ra  x = 2) VP 4 (dấu “=” xảy ra  x = 2) Vậy VT = VP (= 4) x = 2 hay phương trính có nghiệm x = 2. Bài 2.4 : Giải phương trính : 3x 2 12x 16 + y 2 4y 13 = 5 Hƣớng dẫn : 2 ; 3 => VT 5 . x 2 0 x 2 Dấu '' = '' xảy ra khi :  y 2 0 y 2 => phương trính có nghiệm: (x = 2; y = 2) . 3- Ứng dụng 3: Giải hệ phƣơng trình - Phương pháp: Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trính của hệ, suy luận và kết luận nghiệm .
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán - Các vì dụ : Bài 3.1 : 3 2 x 2y 4y 3 0 (1) 2 2 2 Giải hệ phương trính x x y 2y 0 (2) Lƣợc giải : (1)  x3 = - 1 - 2(y - 1)2  x3 - 1  x - 1 . (*) 2y 2 2 (2)  x = 2 1 (vì 1+ y 2y)  -1 x 1 ( ) 1 y Từ (*) và ( ) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 . => Hệ phương trính có nghiệm duy nhất : (x = -1; y = 1) Bài 3.2 : x y z 1 Giải hệ phương trính : 4 4 4 x y z xyz Lƣợc giải : Áp dụng bất đẳng thức: A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 . => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) 2 2 2 2 2 Mặt khác : x y + y z 2xy z 2 2 2 2 2 y z + z x 2xyz 2 2 2 2 2 x y + z x 2x yz => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz . => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz . ( ) Từ (*) và ( ) => x4 + y4 + z4 xyz 1 Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = 3 Vậy hệ phương trính có nghiệm : x = y = z = 4. Ứng dụng 4: Giải phƣơng trình nghiệm nguyên - Phương pháp: Sử dụng hợp lì các tình chất của bất đẳng thức và bài toán nghiệm nguyên để tím nghiệm của phương trính. - Các vì dụ : 1 1 1 Bài 4.1 : Tím nghiệm nguyên dương của phương trính : = 2 x y z Giải : 1 1 1 Không mất tình tổng quát , ta giả sử x y z 1 => , ta có : x y z 3 2 = => 2z 3 , mà z nguyên dương z 1 1 Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trính ta được : 1 x y 1 1 2 Theo giả sử x y, nên 1 = x y y y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 . Với y = 1 không thìch hợp Với y = 2 ta có : x = 2 .
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trính . Hoán vị các số trên, ta được nghiệm của phương trính là : (x; y; z) = (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2) Bài 4.2. Tím nghiệm nguyên dương của phương trính : 3(x + y) = xy (1) 1 1 1 Hướng dẫn: (1)  + = . Giải tương tự Bài 1 x y 3 Bài 4.3. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tìch của chúng. Giải Gọi các số nguyên dương phải tím là x, y, z. Ta có: x + y + z = xyz (1) Không mất tình tổng quát , ta giả sử 1 x y z => xyz = x + y + z 3z. Chia hai vế của bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta có : xy 3 Suy ra xy 1;2;3 + Với xy = 1 thí x = 1 ; y = 1. Thay vào (1) ta có z = -2 (loại) + Với xy = 2 thí x = 1 ; y = 2. Thay vào (1) ta có z = 3 + Với xy = 3 thí x = 1 ; y = 3. Thay vào (1) ta có z = 2 (loại ví trái với giả sử y z) Vậy ba số cần tím là 1; 2; 3. 5. Ứng dụng 5: Chứng minh các bài toán có nội dung hình học. - Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác: với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thí a 0; p - c > 0 ; 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức + (với x; y > 0), ta được: x y x+y 1 1 4 4 p a p b ( p a) ( p b) c 1 1 4 Tương tự : p b p c a 1 1 4 p a p c b 1 1 1 1 1 1 => 2( ) 4( ) => điều phải chứng minh . p a p c p c a b c
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c . Khi đó tam giác ABC là tam giác đều . Bài 5.2: Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR: (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) abc Giải: Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết b c a 0 a2 ( b c ) 2 a 2 c a b 0 b2 ( c a ) 2 b 2 a b c 0 c2 ( a b ) 2 c 2 Từ đó => a2 ()()() bcb 2 2 cac 2 2 ab 2 abc 2 2 2 (a+b-c) (a-b+c) (b-c+a) (b+c-a) (c-a+b) (c+a-b) abc2 2 2 (a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Ví a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên a + b - c > 0; b + c a > 0; c + a - b > 0 và abc > 0 ) Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 5.3 : CMR trong một tam giác nhọn, tổng độ dài các đường trung tuyến luôn lớn hơn 4 lần bán kình đường tròn ngoại tiếp. Giải: Gọi ma , mb , mc là độ dài ba đường trung tuyến và R là bán kình đường tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma + mb +mc > 4R Vì ABC là một tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O nằm trong tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thí tâm O nằm ở một trong ba tam giác GAB, GAC, GBC . Giả sử tâm O nằm trong GAB thì OA + OB = 2R và GA+ GB > 2R 2 2 mà GA= ma , GB = mb (tình chất đường trung tuyến) 3 3 2 Nên GA + GB > 2R (ma + mb ) > 2R ma + mb > 3R 3 Trong OCF có CF > OC mc > R Do đó ma + mb + mc > 3R + R = 4R. IV:BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1 Bài 1: Cho hai số x và y mà x + y = 1. CMR : x4 + y4 8
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Chinh Phục Điểm 10-Môn Toán 3 3 2 2 Bài 2: Cho hai số dương x,y và x + y = x - y. CMR: x + y 0 tho¶ m·n a 2 + b 2 + c 2 = . Chøng minh 3 a b c abc Bài 7: CMR: Nếu ab 1; 1 thì a b 1 ab Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức Cô si tổng quát với n số không âm bằng phương pháp quy nạp toán học : a a a (12 n )n a a a n 12 n Bài 9: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác . 2 2 2 CMR: a) a + b + c 0 a b c c) + + 3 b+c-a c+a-b a+b-c Bài 10: Giải các phương trính sau bằng phương pháp bất đẳng thức: 2 a) 5x-2 + 7-5x = x - 10x + 35 2 xx 65 2 b) 2xx 6 7 xx2 69