Các bài toán về rút gọn biểu thức trong chương trình Toán 9

Nội dung text: Các bài toán về rút gọn biểu thức trong chương trình Toán 9

1. CÁC BÀI TOÁN VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC b ab a b a b Bài 1: Cho biểu thức: A a : a b ab b ab a ab a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết : a 6 2 5 và b 5 . 2x 1 x 2x x x x x x 1 x Bài 2: Cho biểu thức M 1 . 1 x 1 x x 2 x 1 a) Tìm các giá trị của x để biểu thức có nghĩa. Rút gọn M. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2010 - M ) khi x 4. c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên. x 2 x 2 Bài 3: . Cho biểu thức: P x x x 2 x ( x 1)(x 2 x) a. Rút gọn P . b. Tính P khi x 3 2 2 . c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. x 2 x 2 x( x 2) 2( x 1) x 2 x x 2x 2 x 2 x 2 P x( x 1) x( x 2) x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) x x 2x 2 x x x( x 1)( x 2) ( x 1) x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) ( x 1) ( x 1) 2 1 1 2 2 x 3 2 2 x 2 2 2 1 ( 2 1)2 2 1; P 1 2 ( x 1) 2 1 1 2 ( x 1) x 1 2 2 ĐK: x 0; x 1 : P 1 HS lập luận để tìm ra x 4 hoặc x 9 ( x 1) x 1 x 1 Bài 4: a. Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 S 1 1 1 12 22 22 32 20132 20142 1 1 1 1 1 1 Tính: S 1 1 1 12 22 22 32 20132 20142 1 1 a2 (a 1)2 (a 1)2 a2 a4 2a2 (a 1) (a 1)2 Ta có: 1 a2 (a 1)2 a2 (a 1)2 a2 (a 1)2 a4 2a2 (a 1) (a 1)2 (a2 a 1)2 a2 a 1 1 1 1 a2 (a 1)2 a2 (a 1)2 a(a 1) a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy: S (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) S = 2013 - 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014
2. 2014 2015 b. Không dùng máy tính hãy so sánh : và 2014 2015 . 2015 2014 2014 2015 2015 1 2014 1 1 1 2015 2014 2015 2014 2015 2014 2015 2014 2014 2015 2014 2015 Vậy > 2014 2015 . 2015 2014 x x 26 x 19 2 x x 3 Bài 5: 1. Cho biểu thức: P x 2 x 3 x 1 x 3 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2. Tính giá trị của biểu thức: A x2012 2x2013 3x2014 5 2 5 2 Với x 3 2 2 5 1 1.Tìm đúng điều kiện: x 0, x 1 x 16 a) Rút gọn P x 3 x 16 x 9 25 25 25 b) P x 3 x 3 6 x 3 x 3 x 3 x 3 25 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương: x 3 và x 3 25 Ta được: x 3 10 P 10 x 3 25 Chỉ ra dấu bằng xảy ra x 3 x 4 x 3 5 2 5 2 2. Đặt m 3 2 2 n 5 1 Tính m2 ta được m2 2 nên m 2 . Tính n ta được n 2 1 . Từ đó ta tính được x 1 . Thay x 1 vào biểu thức A ta được A 12011 2.12012 3.12013 6 Bài 6: 1. Giải phương trình: x 5 x 2 x2 7x 10 1 3 2. Cho a,b,c khác không và a b c 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 Q a2 b2 c2 b2 c2 a2 a2 c2 b2 1 2 3. Cho x 0, y 0 và thỏa mãn x y 1 . Tìm GTNN của: A 4xy x2 y2 xy 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5 x2 xy y2 7 x 2y
3. HD: 1. Giải phương trình: x 5 x 2 x2 7x 10 1 3 (1) ĐK x 2 Đặt x 5 a a 0 (2) x 5 a2 x 2 b . b 0 (3) x 2 b2 a2 b2 x 5 x 2 3 (4) Theo cách đặt ta có: a b ab 1 3 (5) Thay (4)vào (5) ta được: a b ab 1 a2 b2 a b a b ab 1 a b 0 a b a 1 b 1 0 a 1 b 1 x 5 x 2 0x 3 VN x 5 1 x 4 K 0TM Vậy PT có nghiệm x = -1 x 2 1 x 1 TM 1 1 1 xy yz zx 2. Từ x y z x y z xy yz xz ( vì xyz 1 ) x y z xyz Xét tích x 1 y 1 z 1 xy x y 1 z 1 xyz xy xz yz x y z 1 1 xy xz yz x y z 1 0 x 1 0 x 1 y 1 0 y 1 z 1 0 z 1 Lần lượt thay x 1 hoặc y 1 hoặc z 1 vào biểu thức P ta đều được P 0 1 2 1 1 1 5 3. Tách A 2 2 4xy 2 2 4xy x y xy x y 2xy 4xy 4xy 1 1 4 Áp dụng BĐT với a,b 0 thì Dấu bằng xảy ra a b vào bài toán trên a b a b ta có: 1 1 4 4 (1) x2 y2 2xy x y 2 1 Áp dụng BĐT Cô Si ta có 4xy 2 (2) 4xy 2 2 1 1 5 Vì x y 0 x y 4xy 5 (3) 4xy x y 2 4xy 1 Từ (1);(2);(3) A 4 2 5 11.Vậy MinA 11 x y 2
4. 4. 1. Ta có: 5 x2 xy y2 7 x 2y Vì 5 và 7 là nguyên tố cùng nhau. Nên: x 2y 5m m Z 2 2 với x xy y 7m Từ x 2y 5m x 5m 2y Thay vào x2 xy y2 7m và rút gọn ta được: 5m 2y 2 5m 2y y y2 7m 3y2 15my 25m2 7m 0 (1) 2 2 2 2 5m 75m 2 3 y 5my 25m 7m 0 3 y 7m 25m 2 4 2 5m 1 2 3 y 25m 28m 2 4 2 5m Vì 3 y 0m, y 2 1 2 2 28 28 25m 28m 0 25m 28m 0 m m 0 0 m 4 25 25 Mà m Z nên m 0;1 *Với m = 0 thay vào (1) ta được: y = 0. Từ đó tính được x = 0 2 2 y 2 *Với m = 1 thay vào (1) ta được: 3y 15y 18 0 y 5y 6 0 y 3 Với y = 2 , m = 1 ta tính được x = 1 Với y = 3 , m = 1 ta tính được x = -1 Vậy x, y 0;0 ; 1;2 ; 1;3  Bài 7: Cho các số thực dươnga,b,c thỏa mãn a b c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu a b c thức P 9a3 3b2 c 9b3 3c2 a 9c3 3a2 b (Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015) Lời giải: 3a 3b 3c Ta có: P 27a3 9b2 3c 27b3 9c2 3a 27c3 9a2 3b x y z 3 Đặt x 3a, y 3b, z 3c x, y, z 0 x y z Khi đó: P x3 y2 z y3 z2 x z3 x2 y Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
5. 1 1 z 3 2 1 2 1 x x y z 1 z x y z 3 2 2 x x y z x y z x 1 x zx 1 x zx x3 y2 z x y z 2 9 vì x y z 3 y 1 y xy y 1 z yz Làm tương tự thu được: ; y3 z2 x 9 z3 x2 y 9 3 x y z xy yz zx 6 xy yz zx Từ đó suy ra: P 9 9 1 2 Không khó khăn ta chứng minh được: xy yz zx x y z 3 vì x y z 3 3 6 xy yz zx 6 3 Do đó P 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi 9 9 1 1 1 1 1 1 x y z 1 a,b,c ; ; Vậy max P 1 a,b,c ; ; 3 3 3 3 3 3 x 2 x 1 1 Bài 8: Cho biểu thức: A với x 0, x 1 x x 1 x x 1 1 x 1. Rút gọn biểu thức A 2. Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x > 0, x 1. x Rút gọn được A x x 1 Chứng minh được 0 < A < 1 nên A không nguyên x 2 x 1 1 Bài 9: Cho biểu thức: A với x 0, x 1 x x 1 x x 1 1 x 1) Rút gọn A 1 2) Chứng tỏ rằng: A 3 x 2 x 1 1 x 2 x 1 x x 1 x x A x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x A , với x 0, x 1 x 1 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 1 Xét A Dox 0, x 1 3 3 x x 1 3(x x 1)
6. 2 2 1 3 1 1 x 1 0 và x x 1 x 0 A 0 A 2 4 3 3 x y xy Bài 10 Cho biểu thức: P ( x y)(1 y) ( x y)( x 1) ( x 1)(1 y) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ : x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 . x(1 x) y(1 y ) xy x y (x y) x x y y xy x y P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x x 1 y x 1 y 1 x 1 x x y 1 x 1 y 1 x 1 y x y y y x x 1 y 1 y y 1 y 1 y 1 y x xy y P = 2 x xy y = 2 với x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 x 1 y y 1 1 x 1 1 y 1 Ta cã: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vµo P ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n Bài 11: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 3 . Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 1 b2 1 c2 1 a2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 b2 2b nên: a 1 b2 (a 1) b2 (a 1) ab b a 1 ab b (a 1) (a 1) a 1 a 1 1 b2 b2 1 2b 2 1 b2 2 b 1 bc c c 1 ca a Tương tự ta có: b 1 (2) c 1 (3) 1 c2 2 1 a2 2 Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 (*) 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 a b c ab bc ca Mặt khác: 3(ab bc ca) a b c 9 0 2 a 1 b 1 c 1 Nên (*) 3 (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 1 b2 1 c2 1 a2 Bài 12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc . Tìm
7. 4ab 9ac 4bc giá trị nhỏ nhất của biểu thức C . a 2b a 4c b c 2 6 2 Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc và a,b,c > 0 Chia cả hai vế cho abc > 0 7 c a b 1 1 1 x, y, z 0 đặt x , y , z a b c 2z 6x 2y 7 4ab 9ac 4bc 4 9 4 Khi đó C a 2b a 4c b c 2x y 4x z y z 4 9 4 C 2x y 4x z y z (2x y 4x z y z) 2x y 4x z y z 2 2 2 2 3 2 x 2y 4x z y z 17 17 x 2y 4x z y z 1 Khi x ,y z 1 thì C = 17 Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1 2 * Bài 13: Kí hiệu an là số nguyên gần n nhất (n N ), ví dụ : 1 1 a1 1 ; 2 1,4 a 2 1 ; 3 1,7 a3 2 ; 4 2 a 4 2 1 1 1 1 Tính : . a1 a 2 a3 a1980 1 1 1 Đặt A . 2 3 n a) Chứng minh A 2 n 3 : Làm giảm mỗi số hạng của A : 1 2 2 2 k 1 k . k k k k 1 k Do đó A 2 2 3 3 4 n n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 2 2 n 1 3 2 n 3. b) Chứng minh A 2 n 2 : Làm trội mỗi số hạng của A : 1 2 2 2 k k 1 k k k k k 1 Do đó : A 2 n n 1 3 2 2 1 2 n 2 . Bài 14: . Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) : a) a n 2 2 2 2 b) a n 4 4 4 4 c) a n 1996 1996 1996 1996 HD Kí hiệu a n 6 6 6 6 có n dấu căn. Ta có :
8. a1 6 3 ; a 2 6 a1 6 3 3 ; a3 6 a 2 6 3 3 a100 6 a99 6 3 3 Hiển nhiên a100 > 6 > 2. Như vậy 2 x > 9 hoặc x = 0 thì A 0 a 2 2 Bài 16: Cho C a 16 a 4 a 4 1/ T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó biÓu thøc C cã ngÜa, rót gän C. 2/ TÝnh gi¸ trÞ cña C , khi a 9 4 5 + BiÓu thøc C cã nghÜa khi a 0 a 0 a 16 0 a 16 a 0,a 16 a 4 0 a 16 a 4 0 moi a 0 + Rót gän biÓu thøc C
9. a 2 2 a 2 2 C a 16 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 2 a 4 2 a 4 a 2 a 8 2 a 8 a 4 a C a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a a a 4 a C a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 2/ TÝnh gi¸ trÞ cña C , khi a 9 4 5 2 2 Ta cã : a 9 4 5 4 4 5 5 2 5 => a 2 5 2 5 a 2 5 2 5 VËy : C a 4 2 5 4 6 5 Bài 17: Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b 3 c;c b 1;a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2ab a b c(ab 1) Q (a 1)(b 1)(c 1) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa m·n : a b 3 c;c b 1;a b c . 2ab a b c(ab 1) Q Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (a 1)(b 1)(c 1) H­íng dÉn Ta cã : a + b c => a + b –c 0 (1) Tõ a + b c b + 1 => a 1 mµ b a ab a b 1 ab c 1 => ((2)a 1)(b 1) 0 a b ab 1 a b ab 1 Sö dông (1) vµ (2) ta cã 2ab a b c(ab 1) 2ab a b c abc 2ab abc Q (a 1)(b 1)(c 1) (a 1)(b 1)(c 1) (a 1)(b 1)(c 1) ab(2 c) ab(2 c) ab(2 c) Q (ab a b 1)(c 1) (ab ab 1 1)(c 1) 2(ab 1)(c 1) ab c 2 1 c 2 1 c 2 (c 1)(c 2) Q . . . 2(ab 1) c 1 1 c 1 1 c 1 2c(c 1) 2 1 2 1 ab c 1 (c 1)(c 2) c2 c 2 1 1 1 1 5 Q V× c 3 2c(c 1) 2 c2 c 2 c2 c 2 32 3 12
10. a b c a 1 5 Vậy Q(min) = khi ab a b 1 b 2 12 c 3 c 3 Bài 18: Cho biểu thức a b a b a2 b2 P với a > b > 0 2 2 2 2 a b a b a b a b a b 1/ Rút gọn biểu thức P 2/ Biết a – b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 1/ Rút gọn biểu thức P a b a b a2 b2 P 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a2 b2 P a b a b a b a b a b a2 b2 a b a b a b a b a b a b a2 b2 P a b a b a b a b a b a2 b2 2 a b a b a2 b2 a2 b2 P 2b a b a2 b2 b 2/ Biết a – b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P Từ a – b = 1 => a = b + 1. Khi đó 2b2 2b 1 P 2b2 2 P b 1 0 (1).Coi (1) là phương trình bậc hai của b, Ta có b (2 P)2 8 P2 4P 4 P 2 2 2 Để có b, thì 0 P2 4P 4 0 P 2 2 2 Do P > 0 => P 2 2 2 => P(min) = 2 2 2 (2 P) 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó b => a = 4 4 2 2 Bài 20: Cho biểu thức 1 1 2x x 1 2x x x x 1 A : Với x 0; x ; x 1 1 x x 1 x 1 x x 4
11. a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2 c) So sánh A với A . a) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 1 1 2x x 1 2x x x x 1 A : x 0;x ;x 1 1 x x 1 x 1 x x 4 x 1 x 2x 2 x x 1 x 2x x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 x 1 x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 : x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 x 1 1 x 2 x 1 1 x x x 1 x : 2 x 1 : 2 x 1 : x x 1 1 x 1 x x x x 1 1 x 1 x x 1 1 1 x x : x x 1 1 x 1 x x x b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2 (1 điểm). 2 2 Tính x 17 12 2 3 2 2 x 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 3 2 2 17 12 2 15 10 2 5 3 2 2 A 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 x x 1 c) So sánh A với A : Biến đổi A x 1 x x 1 1 Chứng minh được x 2 với mọi x 0;x ;x 1 x 4 1 A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0 A A 0 A A x xy x xy x Cho biểu thức A x 1 1 : 1 x 1 . Bài 21: xy 1 1 xy xy 1 xy 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Cho 1 1 6 . Tìm giá trị lớn nhất của A. Điều kiện: xy 1 . x y x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy A : xy 1 1 xy xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy xy 1 1 xy
12. x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy 1 x 1 . x y xy xy Theo Côsi, ta có: 6 1 1 2 1 1 9 . x y xy xy 1 Dấu bằng xảy ra 1 1 x = y = . x y 9 1 Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = . 9 x2 x 2x x 2 x 1 P . Bài 22: Cho biểu thức: x x 1 x x 1 a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x Q , c. Xét biểu thức: P chứng tỏ 0 0. (1) 2 2 x 2 x 1 2 0 Xét x x 1 x x 1 Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x 1 . suy ra Q < 2.(2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2. 2 x 9 2 x 1 x 3 A (x 0, x 4, x 9) Bài 1: (4,0 điểm) Cho x 5 x 6 x 3 2 x a) Rút gọn biểu thức A. 1 b) Tìm giá trị của x để A = 2 .
13. 2 x 9 2 x 1 x 3 A a(2,0đ) ( x 3)( x 2) x 3 x 2 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 2) 2 x 9 2x 4 x x 2 x 9 x x 2 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 2)( x 1) x 1 ( x 3)( x 2) x 3 x 1 A Vậy x 3 với (x 0, x 4, x 9) . b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta có: 1 x 1 1 1 A 2 x 2 x 3 3 x 1 x (t / m) 2 x 3 2 9 1 1 Vậy A = 2 x = 9 . a(1,5đ) Ta có 8 2 15 8 2 15 5 2 15 3 5 2 15 3 ( 5 3)2 ( 5 3)2 5 3 5 3 2 3 a 3 3 a 6 a Câu 23: Cho biểu thức T =  với a 0,a 4, a 9 a 9 a 4 a 2 a) Rút gọn T b) Xác định các giá trị của a để T > 0 a 3 3 a 6 a Cho biểu thức T  với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9 a 9 a 4 a 2 a 3 3 a 6 a a) Rút gọn: T  a 9 a 4 a 2 1 3 a 1 3 a 1   a 3 a 2 a 2 a 3 a 2 a 2 1 b) T > 0 0 a 2 0 (vì 1 > 0) a > 4 ; K hợp ĐK ta được a > 4 và a a 2 ≠ 9. Vậy: khi a > 4 và a ≠ 9 thì T > 0 x 2 x x 1 1 2x 2 x Bài 24: 1. Cho biểu thức P , với x x 1 x x x x x2 x x 0, x 1. Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
14. 4(x 1)x2018 2x2017 2x 1 2. Tính giá trị của biểu thức P tại 2x2 3x 1 3 x . 2 3 2 2 3 2 x 2 x x 1 1 2x 2 x 1. Cho biểu thức P , với x 0, x 1. x x 1 x x x x x2 x Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên x 2 x x 1 2x 2 x 1 Với điều kiện x 0, x 1 , ta có: P x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x x 2 x x 1 x 1 2x 2 x 1 x x 1 x x 1 x x x 2 x x 1 x x 1 x 1 x 2 x 2 . x 1 x x 1 x x 1 Ta có với điều kiện x 0, x 1 x x 1 x 1 1 x 2 x 2 1 0 P 1 2 x x 1 x 1 x 1 x 2 DoP nguyên nên suy ra P 1 1 x 1 (loại). x x 1 Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. Chú ý 1:Có thể làm theo cách sau x 2 P Px P 1 x P 2 0 , coi đây là phương trình bậc hai của x . x x 1 2 Nếu P 0 x 2 0 vô lí, suy ra P 0 nên để tồn tại x thì phương trình trên có P 1 4P P 2 0 4 2 4 3P2 6P 1 0 P2 2P 1 P 1 3 3 2 Do P nguyên nên P 1 bằng 0 hoặc 1 2 +) Nếu P 1 0 P 1 x 1 không thỏa mãn. 2 P 2 +) Nếu P 1 1 P 2 2x x 0 x 0 không thỏa mãn P 0 Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn. 4 x 1 x2018 2x2017 2x 1 1 3 2. Tính giá trị của biểu thức P tại x . 2x2 3x 2 3 2 2 3 2 1 3 3 1 Vì x 2 3 2 2 3 2 2
15. 3 1 nên x là nghiệm của đa thức 2x2 2x 1. 2 2017 2 2x 2x 2x 1 2x 1 2x 1 Do đó P 3 3. 2x2 2x 1 x 1 x 1 2x 1 x 2x x x x x x 1 x Câu 25:Cho biểu thức A . 1 1 x 1 x x 2 x 1 1. Rút gọn biểu thức A 1 2. Tìm x để A 7 1 Điều kiện: x 0; x ; x 1 Đặt x a;a 0 x a2 , ta có: 4 2 2a2 1 a 2a3 a2 a a a 1 a A 2 3 . 1 1 a 1 a 2a 1 a 1 2a 1 a a 1 2a 1 a a 1 1 a A . 1 1 a a 1 2 2a 1 a 1 a a 1 2a 1 a 2a 1 a a 1 1 a A 2 . 1 1 a a a 1 2a 1 1 a a a 1 1 a A .(2a 1). 1 1 a 2 2a 1 a a 1 1 1 A . Vậy: A . a 2 a 1 x x 1 1 1 1 1 A x x 1 7 x x 1 7 2 1 3 x x 1 7 (do x x 1 x 0 ) 2 4 x x 6 0 x 3 x 2 0 x 3 0 0 x 9 0 x 9 Đối chiếu với điều kiện ta được: 1 x , x 1 4 a b a b Câu 26: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 2 c 2 2 6 .Tìm b a b a bc ca 4ab giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . a(2b c) b(2a c) c(a b)
16. a b a b c(a b)(a2 ab b2 ) 2(a2 b2 ) Từ: 2 c 2 2 6 6 2 2 b a b a a b ab c(a b)(a2 ab b2 ) 2(a2 b2 ) c(a b) c(a b) ta có: a2 b2 2ab 6 4 0 2. a2b2 ab ab ab 2 bc ac (bc)2 (ac)2 (bc ac)2 c(a b) Lại có a(2b c) b(2a c) abc(2b c) abc(2a c) 2abc(a b c) 2abc(a b c) (ab bc ca)2 và abc(a b c) ab.bc bc.ca ab.ca 3 2 c(a b) 2 bc ac 3 c(a b) 3 ab c(a b) a(2b c) b(2a c) 2 ab bc ca 2 1 ab c(a b) 3t 2 4 Đặt t P (với 0 t 2 ). ab 2(1 t)2 t 3t 2 4 3t 2 4 8 8 7t3 8t 2 32t 24 8 Có 2 2 2 2(1 t) t 2(1 t) t 3 3 6t(1 t) 3 (t 2)( 7t 2 22t 12) 8 6t(1 t)2 3 (t 2)( 7t 2 22t 12) (t 2)( 7t 2 22t 12) 8 8 mà 0 t (0;2] t (0;2] . 6t(1 t)2 6t(1 t)2 3 3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay a b c. 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a b c. 3