Các bài tập kiểm tra học kì 1 môn Hình học Lớp 9

Nội dung text: Các bài tập kiểm tra học kì 1 môn Hình học Lớp 9

1. CÁC BÀI TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ 1- LỚP 9 Bài 1. Cho đường tròn (O), dây AB = 24 cm, dây AC = 20 cm, < 900 và O nằm trong góc BAC . Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm. a) Chứng minh tam giác ABC cân. b) Tính bán kính của đường tròn. HD: A 10cm M H 8cm 6cm N O C 12cm P B a) Gọi N là trung điểm AB ⇒ = = 12 . Dựa vào tam giác AHM tính AH=6cm suy ra HN = 6cm nên H là trung điểm AN. Xét tam giác ANC có HM là đường trung bình nên HM//NC hay NC vuông góc AB suy ra tam giác ABC cân tại C ( đường cao là trung trực) b) Ta có: NC=2HM=16cm mà ∆ ∽ ∆ (𝑔. 𝑔) ⇒ = ⇒ = 12,5 Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). I là điểm tùy ý trên cung BC không chứa điểm A. Gọi M và N là điểm đối xứng của I qua AB và AC. a) Xác định tâm đường tròn đi qua M,N,I. b) Chứng minh MN=2AI.sinBAC. c) Xác định vị trí I trên cung BC để chu vi tam giác AMN lớn nhất. HD: A M N C D E B I a) Vì AC là trung trực NI, AB là trung trực IM nên A là tâm đường tròn đi qua 3 điểm M,N,I. b) Từ A kẻ AK vuông góc MN; tam giác AMN cân ( vì AM=AN=AI) nên K là trung điểm MN và = 2 퐾 (1) Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
2. Mặt khác = ; = nên = 2 (2) Từ (1)(2) suy ra 퐾 = 퐾. Tính KM rồi suy ra MN=2AI.sinBAC c) Ta có: AM=AN=AI nên = + + = 2 + 2 Mà AEID cùng nằm trên đường tròn đường kính AI nên ≤ ⇒ ≤ 4 mà ≤ 2푅 ⇒ ≤ 8푅 . Dấu bằng xảy ra khi AI là đường kính. Bài 3. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M. a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? b) Giả sử R 6,5 cm , MA 4 cm . Tính CD. MC3 c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh: MH. MK . 2R HD: C K H A B M O E D a) AE vuông góc DC tại trung điểm mỗi đường nên ACED là hình thoi b) MA=4cm mà R =6,5cm nên OM =2,5cm. OC=5,6cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông OMC suy ra OC=6cm, CD= 2MC =12cm c) ∆MHA ∽ ∆CMA (g.g) ; ∆MBC ∽ ∆KMC (g.g) nên: MA MC MB MC MH , MK AC BC Với MA.MB=MC2 ( đường cao trong tam giác vuông); AC.BC=CM.AB ( hệ thức trong tam giác vuông) Bài 4. Cho xOy = 600 . Lấy E trên phân giác góc đó. Vẽ (E) cắt Ox tại A và B, cắt Oy tại C và D sao cho AO<OB; OC<OD. Vẽ (F) đi qua 3 điểm A,E,D. Chứng minh: 1. AB=CD. 2. AED = 1200 3. F thuộc (E) HD: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
3. x B K E A H y O C D F a) Kẻ EK và EH lần lượt vuông góc AB và CD. Ta có: ∆EKO = ∆EHO(ch-gn) nên KE=HE suy ra AB=CD b) Xét tứ giác KOHE có HEK = 1200 . Ta có: ∆EKA = ∆EHD(ch-cgv) suy ra KEA = HED nên AED = AEH + HED = AEH + KEA = 1200 c) Ta có: ∆AEF = ∆DEF(c.c.c) nên AEF = DEF = 600 suy ra tam giác AEF đều nên EA=EF. Vậy F thuộc (E). Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O). Gọi D là trung điểm AB, trung tuyến CM và DN của tam giác ACD cắt nhau tại E, G là gia điểm CD và AO. Chứng minh: 1. OG vuông góc DE. 2. EG//AB. 3. OE vuông CD. HD: A M E N O D G C B K 1) Ta có OG vuông góc BC ( vì tam giác ABC cân, OG là trung trực BC) ND là đường trung bình của tam giác ABC nên ND//BC. Suy ra OG vuông góc ED. CE 2 CG 2 2) E là trọng tâm tam giác ACD suy ra = . G là trọng tâm tam giác ABC suy ra = CM 3 CD 3 CE CG nên = ⇒ EG//AB ( talet đảo) CM CD 3) Tam giác ABK vuông tại B, có DO là đường trung bình nên OD vuông góc AB. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
4. suy ra OD vuông góc EG ( vì EG//AB), mà GO vuông góc ED nên O là trực tâm tam giác EDG. Suy ra EO vuông góc DC. Bài 6. Cho ABC nhọn có ba đỉnh thuộc đường tròn (O; R). Gọi H là trực tâm của . Vẽ đường kính AD. a) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao? b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OI. c) Gọi G là trọng tâm của . Chứng minh O, H, G thẳng hàng. d) So sánh diện tích của hai tam giác AHG và AOG. HD: A H G O C B I D a) AD là đường kính nên AC vuông góc CD ( HS tự cm) Mà BH vuông góc AC nên BH//DC. Tương tự CH//DB nên BHCD là hình bình hành. b) Vì BHCD là hình hình hành mà I là trung điểm BC nên I là trung điểm AH, Suy ra OI là đường trung bình tam giác ADH nên AH=2OI. = 2 (푡 푡 푛𝑔 푡 ế푛) c) G là trọng tâm tam giác nên A,G,I thẳng hàng. Xét tam giác AHG và IOG có: = 2 ( 푡) = (푠표푙푒 푡 표푛𝑔) ⇒ ∆ ∽ ∆ ( . 𝑔. ) ⇒ = nên O, H, G thẳng hàng. d) Theo b suy ra = 2 ⇒ 푆 = 2푆 Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R. Qua điểm I thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến xy . Gọi C, D là hình chiếu của A và B lên xy. a) So sánh IC, ID. b) Chứng minh khi I di chuyển thì AC+BD không đổi. c) Chứng minh AI là phân giác của góc OAC, BI là phân giác góc OBD. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
5. HD: D I C A B O a) Chỉ ra ACDB là hình thang vuông, IO//AC mà O là trung điểm AB nên I là trung điểm DC. b) AC+BD = 2IO=2R không đổi. c) AC//OI nên = (sole trong) mà = ( vì OA=OI=R) nên = nên AI là phân giác góc CAO. Chứng minh tương tự ý còn lại. Bài 8. Cho tam giác ABC, đường tròn (I;r) nội tiếp tam giác. M và N là tiếp điểm trên AB, AC. a) Tính AM, AN theo các cạnh của tam giác ABC. b) Gọi P là nửa chu vi tam giác. Chứng minh 푆 = . c) Một tiếp tuyến với (I) cắt AB, AC tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE biết: AB=5cm, AC=8cm, BC=9cm. HD: B M D A Q r P I E N C a) Các em chú ý rằng, AB; AC ; BC là tiếp tuyến của (I) nên AM=AN; BM=BP; CP=CN Đặt AM= x; BM=y; CN=z ta có: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
6. + = + = . Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được: 2( + + ) = + + + = + + + + + − ⇒ + + = ; mà + = ⇒ = − = 2 2 2 + − Vậy = = 2 + + b) Ta có: = ; 2 1 1 1 1 푆 = 푆 + 푆 + 푆 = . . + . 푃. + . . = . ( + + ) = . 2 2 2 2 c) Chu vi AED = AE+EQ+QD+AD= (AE+EN)+(DM+AD) =AN+AM=2AM. Các em thay số vào biểu thức ở câu a để tính chu vi. Bài 9. Cho (O;R) điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây BC vuông góc OM tại H. a) Chứng minh MB=MC. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn. c) Tính OH biết OM=2R. HD: M B H C O a) Vì OH vuông góc với dây BC nên H là trung điểm BC, suy ra B và C đối xứng nhau qua OM nên MB=MC. b) Vì B đối xứng C qua OM nên OB=OC=R và = = 900 nên MC là tiếp tuyến của (O). c) Trong tam giác vuông OBM có BH là đường cao nên: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
7. 푅 2 = . ⇒ = 2 Bài 10. Cho (O;R). Từ điểm A ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). a) Chứng minh BC vuông góc OA. b) OA cắt (O) tại I. Chứng minh BI là phân giác góc ABC c) Vẽ đường kính COK. Chứng minh BK//AO d) Cho R=3cm, OA=5cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. HD: A B I H K C O a) Ta có: AB=AC ( tính chất tt cắt nhau) nên A nằm trên trung trực BC. (1) OB=OC=R nên O nằm trên trung trực BC (2) Từ (1)(2) suy ra OA là trung trực BC nên OA vuông góc BC tại H. b) Vì = nên cung BI = cung CI ⇒ = ( tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) Cách khác: + = 900; + = 900 mà = ( do OB=OI) nên = . Vậy BI là phân giác góc HBA. c) Vì CK là đường kính nên 퐾 = 900 ⇒ KB//OA ( cùng vuông BC) d) Pytago cho tam giác ABO tính được = = 4 9 Dùng ct: 2 = . ⇒ = 5 12 24 Pytago tam giác BOH ⇒ = ⇒ = 2 = 5 5 Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A, BC=12cm, AH=8cm. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
8. a) Tính bán kính đường tròn tâm I nội tiếp tam giác. b) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến của (I) song song BC bị chắn bởi hai cạnh AB,AC. HD: A D E F C H B a) BH= 6cm ⇒ = = 10 ⇒ 푃 = 16 ( nửa chu vi) 1 푆 = . . = . ⇒ = 3 2 b) Bài toán yêu cầu tính DF.Ta có: DF//BC nên DF vuông góc AH và DE=EF. HE=6cm ⇒ = 2 3 Dựa vào Talet có tỉ số: = ⇒ = ⇒ 퐹 = 3 2 Bài 12. Cho (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A, tiếp tuyến chung BC ( B thuộc (O) ). Tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại M. Gọi E là giao OM và AB. F là giao O’M và AC. a) AEMF là hình gì? b) Chứng minh ME.MO=MF.MO’ c) Tìm điều kiện để EF//OO’. HD: B M C E F O A O' Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
9. a) BM=MC=MA ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tam giác BAC vuông tại A( tính chất đường trung tuyến) (1) MB và MA là tiếp tuyến của (O) nên OM vuông BA ( chứng minh như các bài trên) (2) Tương tự O’M vuông AC (3). Từ (1)(2)(3) suy ra AEMF là hcn. b) . = 2; 퐹. ′ = 2 mà MB=MC nên . = 퐹. ′ c) AM vuông góc OO’ nên EF//OO’ thì EF vuông góc AM ⇒ 퐹 là hình vuông nên = = 450 ⇒ OBCO’ là hình chữ nhật ⇒ = ′ Vậy hai đường tròn có cùng bán kính thì EF//OO’. Bài 13. Cho (O) và đường thẳng d tiếp xúc (O) tại A. Gọi BC là đường kính của đường tròn, H và K là hình chiếu của B và C lên d. Chứng minh rằng: a) BA là phân giác góc OBH. b) Các đường tròn (B;BH) và (C;CK) tiếp xúc ngoài nhau. c) BC là tiếp tuyến của (A;AH) HD: K A H B M O C a) = = ( tự cm) nên BA là phân giác góc HBO. b) Từ A kẻ AM vuông góc BC. ⇒ ∆ = ∆ ( ℎ − 𝑔푛) ⇒ = . Chứng minh tương tự thì CK=CM Suy ra các đường tròn (B;BH) và (C;CK) tiếp xúc ngoài nhau tại M. c) Theo cmt, AH=HM=AK và AM vuông góc BC nên BC là tt của (A;AH) Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
10. Bài 14. Cho AB=20cm, C thuộc AB sao cho AC=5cm. Vẽ (C;3cm) và (B;12cm) a) Xác định vị trí tương đối của (C;3cm) và (B;12cm) b) Gọi AI là tiếp tuyến của (C), I là tiếp điểm. Tính AI. c) Chứng minh AI cũng là tiếp tuyến của (B) HD: K I A B E C D a) Gọi (C;3cm) cắt AB tại D và E. AC > CD nên D nằm giữa A và C và AE = 8cm suy ra BE= 20cm-8cm=12cm ⇒ ( ; 3 ) và (12 ) tiếp xúc nhau tại E. b) AC= 5cm; IC= 3cm từ đó tính AI = 4cm. c) Từ B kẻ BK vuông AI kéo dài. Ta có: = ⇒ 퐾 = 12 nên K nằm trên (B;12cm). Vậy AI cùng là tiếp tuyến của (B;12cm) 퐾 Bài 15. Cho nửa (O) đường kính CD=2R. Kẻ tiếp tuyến Cx và Dy về cùng phía nửa đường tròn . Tiếp tuyến tại E thuộc nửa đường tròn cắt Cx và Dy tại A và B. a) Tính AOB. b) Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh CD là tiếp tuyến (M;MA) c) E duy chuyển trên nửa đường tròn thì M duy chuyển trên đường nào. d) Xác định vị trí E để diện tích ACDB nhỏ nhất. e) Tìm vị trí E để diện tích ECD lớn nhất. HD: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
11. B M E A C D O a) ∆ = ∆ ( ℎ − 𝑔푣); ∆ = ∆ ( ℎ − 𝑔푣) ⇒ = ; = mà + + + = 1800 ⇒ + = 900 ⇒ = 900 b) M là trung điểm AB nên AM=MB=MO ( tính chất trung tuyến) (1) Mà MO là đường trung bình của hình thang ACDB nên MO vuông góc CD (2) Từ (1)(2) suy ra CD là tiếp tuyến (M;MA) c) Vì MO vuông góc CD mà O là trung điểm CD nên M chạy trên trung trực CD. ( + ). d) 푆 = = 푅( + ) 2 Cách 1: AC+BD = AE+EB = AB ≥ DC . Dấu bằng xảy ra khi ACDB là hình chữ nhật nên E nằm chính giữa cung CD. ( + ). Cách 2: 푆 = = 푅( + ) 2 Mà + = + ≥ 2 . = 2 2 = 2푅 . Dấu bằng xảy ra khi AE=EB hay AC=BD nên ACDB là hình chữ nhật ⇒ E nằm chính giữa cung CD. 1 e) Kẻ CH vuông góc CD. Ta có 푆 = . . = 푅. 2 Để diện tích tam giác lớn nhất thì EH lớn nhất suy ra E nằm chính giữa cung CD. Bài 16. Cho (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R>R’) . BC là tiếp tuyến chung ngoài ( B thuộc O) . M là trung điểm OO’, H là hình chiếu của M lên BC. a) Tính góc OHO’. b) Chứng minh OH là phân giác AOB. c) Chứng minh AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) . d) Cho R=4cm, R’=1cm. Tính BC và AM. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
12. HD: B H C O M A O' a) OBCO’ là hình thang vuông, M là trung điểm OO’ nên H là trung điểm BC. nên AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A. Giải như bài 23a. b) Theo a thì tam giác OBH= tam giác OAH. d) Từ tam giác vuông OHO’: 2 = 푅. 푅′ ⇒ ⇒ = 2 + ′ 푅+푅′ Biết AH, Tính = = . Dựa vào tam giác AHM để tính AM. 2 2 Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, trên nửa mp chứa A bờ BC kẻ các tia Bx và Cy vuông góc với BC. Qua M là trung điểm BC,kẻ đường thẳng vuông góc AB cắt Bx tại D. Kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt Cy tại E. a) Chứng minh A,D,E thẳng hàng. b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE tâm O. c) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại D và E cắt BC tại F và G. Chứng minh OF//AB và OG//AC. HD: y x D O A E K I C B F G M Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122
13. a) Nối AM. Vì M là trung điểm BC mà ME//AB nên ME là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra ME đi qua trung điểm AC. ⇒ C và A đối xứng qua EM ⇒ = = 900 . Chứng minh tương tự: = 900 ⇒ + = 1800 nên E, A, D thẳng hàng. b) AIMK là hình chữ nhật nên tam giác EMD vuông tại M⇒ = = (1) (tính chất trung tuyến) Vì O là trung điểm ED nên MO là đường trung bình của hình thang vuông CEDB ⇒ OM vuông góc CB tại M (2) Từ (1)(2) ⇒ BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE tâm O. c) ∆ = ∆ ( 𝑔푣 − ℎ) ⇒ là đường trung trực EM nên OG vuông góc EM mà AC vuông góc EM nên OG//AC. Chứng minh tương tự: OF//AB. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122