Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT chuyên các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần II

Nội dung text: Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT chuyên các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần II

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT Chuyên các Tỉnh & TP HCM – Hà Nội. Phần II SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gián: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 1 Bài 1: (2,0điểm) 2 ( a−+ b) ab a−− b a33 b 1. Cho biếu thức : T:=− , với a b,a 0,b 0 a+− b a b ab− a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T > 1 2. Cho n là sô tự nhiên chẵn, chứng minh rằng số 20n− 3 n + 16 n − 1chia hết cho số 323 Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải bất phương trình: 3x+ 2 7x + 8 44 x+ y − − = 3 xy 2. Giải hệ phương trình: 6 x+ y + = − 5 xy+ Bài 3: (1,0 điểm). Cho phương trình: (m− 1)x2 − 2(2m − 3)x − 5m + 25 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ. Bài 4: (4 điểm). 1. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và AB BC; BC CA. Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC (gồm các cạnh và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất. 2. Cho tam giác ABC (AB < AC) có các goc đều nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: a) DA là phân giác của FDE b) F là trung điểm của MN c) OD= OK OE2 và BD DC = OD  DK Bài 5: (1,0 điểm) 22 1 1 1 25 Cho hai số dương a, b thỏa mãn a1+=. Chứng minh rằng: ab+ + + b a b 2 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chung) Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề. Đề số 2 Câu 1 (2,5 điểm). 3 14 2 a) Rút gọn biểu thức: A = − +( 72 − ) . 7− 2 7 b) Giải phương trình: 5xx2 + 2 5 + 1 = 0 . 3xy−= 2 16 c) Giải hệ phương trình: . xy+5 = − 23 Câu 2 (2,0 điểm). a) Tìm tất cả giá trị của hệ số a để hàm số y=+ ax 2 đồng biến và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;3) . b) Cho đường thẳng (d ) : y= (3 − 2 m ) x − m2 và parabol ():P y= x2 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12, và x1( x 2−1) + 2( x 1 − x 2) = 2 x 1 − x 2 . Câu 3 (1,5 điểm). a) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 174m. Nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 2m thì diện tích mảnh vườn đó tăng thêm 215m2. Tính chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn. b) Giải phương trình: 5x4− 2 x 2 − 3 x 2 x 2 + 2 = 4 . Câu 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A. Vẽ hai tiếp tuyến MC và MD đến (O) (tiếp điểm C thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm D thuộc cung lớn AB). a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh MD2 = MA. MB. c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm N, giao điểm của hai đường thẳng DN và MB là E. Chứng minh MCE cân tại M. 1 1 4 d) Đường thẳng ON cắt đường thẳng CD tại điểm F. Chứng minh: +=. OI. OF ME22 CD Câu 5 (0,5 điểm). ab1 Cho ab 0, 0 và ab+ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức S = + + . 11+b + a a + b HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. HCM NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 3 Câu 1 (4 điểm): 2 a) Tìm m để phương trình x + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn |x1 – x2| = 17. 2x − m 1 b) Tìm m để hệ bất phương trình có một nghiệm duy nhất. mx 1 Câu 2(4 điểm): Thu gọn các biểu thức sau: a b c a) S = ++ (a, b, c khác nhau đôi một) (a− b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) x+ 2 x − 1 + x − 2 x − 1 b) P = (x ≥ 2) x+ 2x − 1 − x − 2x − 1 Câu 3(2 điểm): Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương. b) bc ≥ ad. Câu 4 (2 điểm): a) Cho a, b là hai số thực thoả 5a + b = 22. Biết phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó. b) Cho hai số thực sao cho x + y, x2 + y2, x4 + y4 là các số nguyên. Chứng minh x3 + y3 cũng là các số nguyên. Câu 5 (3 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ một điểm C thuộc đường tròn (O) kẻ CH vuông góc với AB (C khác A và B; H thuộc AB). Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH. Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho  ABD =  CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN. Câu 7 (2 điểm): Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2. oOo “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn thi TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gia 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 4 Câu 1: Cho phương trình: x2- 2(m-1)x + 2m -3 = 0 (m tham số) a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia. Câu 2: 2008+− 2007 2008 2007 a. Rút gọn biểu thức: M =+ 2008−+ 2007 2008 2007 xx++2 1 1 b. Cho biểu thức: N = + − . Tìm x để biểu thức N có nghĩa, x x−1 x + x + 1 x − 1 1 khi đó chứng minh rằng N 3 Câu 3: a. Hai ôtô cùng xuất phát từ hai địa điểm A và B đi ngược chiều nhau trên một quãng đường. Ô tô xuất phát từ A sau khi đi được một phần ba quãng đường thì tăng vận tốc lên gấp đôi nên hai ô tô gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc ban đầu của ô tô xuất phát từ A và vận tốc của ô tô xuất phát từ B, biết rằng vận tốc của ô tô xuất phát từ B lớn hơn vận tốc ban đầu của ô tô xuất phát từ A là 10 km/h. 21 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =+ với 0 0 thoả mãn điều kiện x2+y 3 x 3 + y 4 . Chứng minh rằng: xy33+ 2. Hết “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn: TOÁN (Chuyên Toán – Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 5 Câu 1: Cho phương trình: x2 – mx + m – 1 = 0 (m tham số) a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m và tính giá trị của 23xx12+ biểu thức P = 22 theo tham số m. x1+ x 2 +2(1 + x 1 x 2 ) b. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. ax +y=b Câu 2: Cho hệ phương trình: 22 (a, b là tham số) xy−=41 a. Giải hệ phương trình khi a = -1, b = 2. b. Tìm a để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) với mọi b. Câu 3: a. Giải phương trình: x( x+ 1) + x ( x + 2) = x ( x − 3) b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: x2 – (2007 + y)x + 3 + y = 0 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC tương ứng tại P, Q. Gọi F là trung điểm AC; đường thẳng FI cắt cạnh AB tại E; đường thẳng PQ cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M; đường thẳng AI cắt đường trung trực cạnh AC tại N. 1) Chứng minh tứ giác QICN nội tiếp. 2) Chứng minh ba điểm P, Q, N thẳng hàng. 3) Chứng minh AE = AM. Câu 5: abc3 3 3 1) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng + + ab + bc + ca . b c a 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Gọi M là điểm di động trên cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2006.MB + 2007.MC đạt giá trị lớn nhất. Hết “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN —————— NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN - Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— Đề số 6 Câu 1: (3,0 điểm) 1 1 9 xy+ + + = xy2 a. Giải hệ phương trình: 15 xy += xy 2 b. Giải và biện luận phương trình: |x+ 3| + p | x − 2| = 5 (p là tham số có giá trị thực). Câu 2: (1,5 điểm) Cho ba số thực abc,, đôi một phân biệt. a2 b 2 c 2 Chứng minh rằng: + + 2 ()()()b− c2 c − a 2 a − b 2 Câu 3: (1,5 điểm) 1 22x − Cho A = và B = 4xx2 ++ 4 1 xx2 −+21 2AB+ Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho C = là một số nguyên. 3 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh: a) KM // AB. b) QD = QC. Câu 5: (1,0 điểm). Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4. — Hết — “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán, Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời giani:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 7 Bài 1. (2,0 điểm) : a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 1 2( − ) (k +1) k k k +1 1 1 1 1 88 b. Chứng minh rằng: + + + + 2 3 2 4 3 2010 2009 45 Bài 2. (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x: x2 + (m −1)x − 6 = 0 (1) (m là tham số) a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x =1+ 2 b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: 2 2 A = (x1 − 9)(x2 − 4) đạt giá trị lớn nhất. Bài 3. (2,0 điểm): x2 + y2 − xy = 3 a. Giải hệ phương trình sau : 3 3 x + y = 9 b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3 Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N. a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng. b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất. Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng 120o , trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương. === Hết === “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN (Không chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 8 Câu I (2,0 điểm) x −1 1) Giải phương trình =+x 1. 3 x 3−= 3 3 0 2) Giải hệ phương trình . 3xy+= 2 11 Câu II ( 1,0 điểm) 1 1 a + 1 Rút gọn biểu thức P = + : với a > 0và a 4 . 2 a - a 2 - a a - 2 a Câu III (1,0 điểm) Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó. Câu IV (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x -m+1; parabol (P): y= x2 . 2 1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3). 2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1 x 2( y 1 + y 2 ) += 48 0 . Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (C A). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E (E A) . 1) Chứng minh BE2 = AE.DE. 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp . 1) Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH. Câu VI ( 1,0 điểm) 11 Cho 2 số dương a, b thỏa mãn +=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab 11 Q =+. a4+ b 2 +22 ab 2 b 4 + a 2 + ba 2 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi : TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian:120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 9 aa+−1 1 1 Câu 1: (2.0 đ) Cho biểu thức: Pa= − + 4 , (Với a > 0 , a 1) a−+1 a 1 2 a a 2 1. Chứng minh rằng : P = a −1 2. Tìm giá trị của a để P = a Câu 2 (2,0 đ): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt 2. Gọi A, B các điểm chung của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 1. Giải phơng trình khi m = 4 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. CD là đờng kính của (I). Chứng minh rằng: 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng 2. Tam giác COD là tam giác cân 3. Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O) Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : abc2+ 2 + 2 = 3. Chứng a b c 1 minh rằng : + + a2+2 b + 3 b 2 + 2 c + 3 c 2 + 2 a + 3 2 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 10 Câu 1: ( 2,5 điểm) . 1/ Giải các phương trình : a/ xx42− −20 = 0 b/ xx+11 = − xy + −31 = 2/ Giải hệ phương trình : yx−=3 Câu 2 : ( 2,0 điểm) . Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số. 1/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9. 2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa hai điểm này bằng 6 Câu 3 : ( 2,0 điểm) 1 1 3− 1 1/ Tính : P =−( ). 2− 3 2 + 3 3 − 3 2/ Chứng minh : a5+ b 5 a 3 b 2 + a 2 b 3 , biết rằng ab+ 0 . Câu 4 : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH, đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E . 1/ Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp được đường tròn. 2/ Chứng minh 3 điểm D, O, E thẳng hàng. 3/ Cho biết AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tính diện tích tứ giác BDEC. HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 11 Câu 1. (1,5 điểm) Cho phương trình: xx42−16 + 32 = 0 ( với xR ) Chứng minh rằng x =6 − 3 2 + 3 − 2 + 2 + 3 là một nghiệm của phương trình đã cho. Câu 2. (2,5 điểm) 2x ( x+ 1)( y + 1) + xy = − 6 Giải hệ phương trình ( với x R, y R ). 2y ( y+ 1)( x + 1) + yx = 6 Câu 3.(1,5 điểm) Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng 2cm. Lấy n điểm thuộc các cạnh hoặc ở phía trong tam giác đều MNP sao cho khoảng cách giửa hai điểm tuỳ ý lớn hơn 1 cm (với n là số nguyên dương). Tìm n lớn nhất thoả mãn điều kiện đã cho. Câu 4. (1 điểm) Chứng minh rằng trong 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9. Câu 5. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không là tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D,E,F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn (I). Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn (I) tại điểm N (N không trùng với D), giọi K là giao điểm của AI và EF. 1) Chứng minh rằng các điểm I, D, N, K cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (I). HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 12 Câu 1: (1,5 điểm) a−− a 6 1 a) Rút gọn biểu thức: A = − (với a ≥ 0 và a ≠ 4). 4a− a2− 28− 16 3 b) Cho x = . Tính giá trị của biểu thức: P= (x2 + 2x − 1) 2012 . 31− Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3(1− x) − 3 + x = 2 . 2 x+ xy − 4x = − 6 b) Giải hệ phương trình: 2 y+ xy = − 1 Câu 3: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là tham số). a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B. Tìm m để |yA − yB| = 2. Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 2 cm. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn. b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF. Tính độ dài đoạn thẳng ID. c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi S1 là diện tích tam giác CME, S2 là diện tích tam giác AMN. Xác định vị 3 trí điểm M để SS= . 122 Câu 5: (1,0 điểm) 2+− a 1 2b 8 Cho a, b là hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2. Chứng minh: + . 1++ a 1 2b 7 Hết “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 13 Bài 1 : (1 điểm) 4+− 2 3 3 2009 Cho x = tính P=( x2 + x +1) ( 5+ 2) 3 17 5 − 38 − 2 Bài 2 : ( 1, 5 điểm) : Cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 (1) và x2 - b2 x + bc = 0 (2) biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm xx34; thoả mãn điều kiện x3− x 1 = x 4 − x 2 = 1 . Xác định b và c Bài 3 : ( 2 điểm ) 1 1 1 1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng (a+ b + c) + + 9 a b c 2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3. Chứng ming rằng 1 2009 + 670 a2+ b 2 + c 2 ab + bc + ca Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC 1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp 2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng MP++ NQ PQ OM 3. Chứng minh = a++ b c OC Bài 5 : ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1 2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 14 Câu 1.(2,75 điểm) 1) Giải phương trình: x4 -22x2 +25 =0 a a + a 4 − a 2) Cho biểu thức P = + . (Với a là số thực dương) a + 2 a + 3 a + 2 a a) Rút gọn biểu thức P b)Tìm các số thực dương a sao cho P đạt giá trị lớn nhất Câu 2.(1điểm) x2 − xy = 6 Giải hệ phương trình (với x,y ) 2 2 3x + 2xy − 3y = 30 Câu 3.(1điểm) 2 Tìm các số thực m để phương trình x − (m +1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x1 + x2 −1 x2 sao cho biểu thức P = 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 + x2 ) − 3x1x2 + 3 Câu 4.(1,5điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2x2 − 4y2 − 2xy −3x −3 = 0 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 1 1 1 2) Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh: + + + + ab(a2 + b2 ) bc(b2 + c2 ) ca(c2 + a2 ) a b c Câu 5.(0,75điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(50;100) và N(100;0).Tìm số các điểm nguyên nằm bên trong tam giác OMN (Một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên) Câu 6.(3,0điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định.Biết điểm C thuộc đường tròn (O),với C khác A và B.Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC và AD lần lượt tại hai điểm E và F 1) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường tròn 2) Gọi H là trung điểm của đoạn BF.Chứng minh OE vuông góc với AH 3) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH.Chứng minh điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF 4) Gọi I là tâm của đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ECDF .Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định và đường tròn (I) luôn đi qua hai điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn (O) thỏa điều kiện đã cho. HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NINH NĂM HỌC 2001 - 2002 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 15 1 1 1 Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = + +  + . 1 + 2 2 + 3 24 + 25 Câu 2: a) Cho các số khác không a, b, c. Tính giá trị của biểu thức: M = x2011 + y2011 + z2011 x2 + y 2 + z 2 x 2 y 2 z 2 Biết x, y, z thoả mãn điều kiện: = + + . a2 + b 2 + c 2 a 2 b 2 c 2 1 b) Chứng minh rằng với a > thì số sau đây là một số nguyên dương. 8 a + 1 8a - 1 a + 1 8a - 1 x = 33a + + a - . 3 3 3 3 Câu 3: 1 35 4c a) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: + . Tìm giá trị nhỏ nhất A = a.b.c. 1 + a 35 + 2b 4c + 57 a b c d b) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là những số dương và = = = . ABCD Chứng minh rằng: aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d) (A +B + C + D) Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi M, N, P, Q là bốn đỉnh của một hình chữ nhật (M và N nằm trên cạnh BC, P nằm trên cạnh AC và Q nằm trên cạnh AB). a) Chứng minh rằng: Diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn nhất khi PQ đi qua trung điểm của đường cao AH. b) Giả sử AH = BC. Chứng minh rằng, mọi hình chữ nhật MNPQ đều có chu vi bằng nhau. Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên tia BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2006 - 2007 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 16 Bài 1: (2đ) a) Tính biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) A =(4 + 15)( 10 − 6). 4 − 15 b) Tìm x, y, z cho biết: x2 + 5y2 + 5z2 + 1 4xy + 4yz + 2z. Bài 2: (2đ) Cho phương trình bậc hai: x2 – mx + m + 7 = 0 (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. b) Tìm m để tổng bình phương 2 nghiệm của phương trình (1) bằng 10. Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn cố định (O; R), góc BAC = 450 . Vẽ hai đường cao BE và CF (E AC, F AB) và H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của của cạnh BC và đoạn AH. a) Tính số đo góc EMF. Tính đoạn EF theo R. b) Chứng minh tứ giác MFKE là một hình vuông và gọi S là tâm của nó. c) Giả sử cạnh BC cố định trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) thì S di động trên một đường cố định. d) Chứng minh rằng 3 đường thẳng EF, KM và OH đồng quy. Bài 4: (1,5đ) a) Phân tích thành nhân tử biểu thức: T = x2 + 2y2 + 3xy – 4x – 5y + 3. x22−−4xy + 2y + 2x 3y + 2 = 0 b) Giải hệ phương trình: 22 x + 2y + 3xy −− 4x 5y + 3 = 0 HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 17 xx2 + Bài 1: ( 2đ) Cho biểu thức: Ax=−2 xx−+1 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 2:( 2,5 đ) a) Giải phương trình: 3xx33− 1 + 5 = x2 − xy −6 y − 4 = 0 b) Giải hệ phương trình: 2 4y − 3xy + 3x = 0 Bài 3: (1,0 đ) Cho tam giác ABC có ABC =−3000 , ACB = 45 , BC = 3 1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 4: (1,5 đ) x2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parapol (P): y = và đường thẳng (d): 4 x y = +1, (m 0) m a) Chứng minh rằng khi m thay đổi đường thẳng (d) luôn cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Xác định các giá trị của m để đoạn thẳng AB có độ dài bằng 8. Bài 5:(3 đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và d là tiếp tuyến của (O) tại C. Gọi AH, BK là các đường cao của tam giác ABC. a) Chứng minh: HK // d b) Gọi M, F, N, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, K, H, B lên đường thẳng d. Chứng minh: MN = EF. c) Đường kính AP của đường tròn (O). Gọi (O1), (O2) lần lượt là các đường tròn đường kính PB, PC. Hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai là I. Chứng minh: I thuộc đoạn thẳng BC. HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn thi: Toán – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 18 xx+ Bài 1: (1,5đ) Cho biểu thức: Ax = 1 − − x a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có nghĩa. Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A + x – 8 = 0. (a+ 1) x − y = 3 Bài 2: (1,5đ) Cho hệ phương trình: (a là tham số) ax += y a a) Giải hệ khi a = – 2. b) Xác định tất cả giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0. Bài 3: (1đ) Giải bất phương trình: 10− 2xx − 1 Bài 4: (2,5đ) Cho phương trình: mx2 – 5x – (m + 5) = 0 ( m là tham số, x là ẩn) a) Giải phương trình khi m = 5. b) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. c) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2, hãy tính theo m giá trị 2 2 của biểu thức B = 10x1 x 2 - 3(x 1 + x2 ). Tìm m để B = 0. Bài 5: (3,5đ) Cho hình vuông ABCD có AB = 1cm. Gọi M và N là các điểm lần lượt di động trên cạnh BC và CD của hình vuông, P là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho BP = DN. a) Chứng minh rằng tứ giác ANCP nội tiếp được trong một đường tròn. b) Giả sử DN = x cm (0 x 1). Tính theo x độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP. c) Chứng minh rằng MAN = 450 khi và chỉ khi MP = MN. d) Khi M và N di động trên các cạnh BC và CD sao cho , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MAN. HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
19. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KOM TUM NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi: Toán – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 19 x 2 x− 1 2x Câu 1. (2.0 điểm) Cho biểu thức P = + + (với x ≥ 0 và x ≠ 1) x+− 1 1 x x1− a. Rút gọn biểu thức P. b. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 + 2 3 . Câu 2. (2.0 điểm) a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1 ; - 2) và song song với đường thẳng y = 2x – 1. 23 +=12 xy b. Giải hệ phương trình 52 +=19 xy Câu 3. (1,5 điểm) Quãng đường AB dài 120 km. Một ôtô khởi hành từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy khởi hành từ B về A với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của ôtô là 24 kim/h. Ôtô đến B được 50 phút thì xe máy về tới A. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – 2(m + 2)x + 3m + 1 = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Chứng minh rằng biểu thức M = x1(3 – x2) + x2(3 – x1) không phụ thuộc vào m. Câu 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và E cắt nhau tại N, tia CN và tia AE cắt nhau tại P. Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng AB và CE. a. Chứng minh tứ giác AQPC nội tiếp một đường tròn. b. Chứng minh rằng: EN // BC. EN NC c. Chứng minh rằng: +=1 CD CP Hết “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
20. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2002 - 2003 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 20 Câu 1: a b c b3 c 3 a 3 a) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abc = 1 và + + = + + . Chứng minh b3 c 3 a 3 a b c rằng trong 3 số a, b, c luôn tồn tại một số là lập phương của một trong hai số còn lại. 84 84 b) Cho x = 3311+ + − . Chứng minh x có giá trị là một số nguyên. 99 Câu 2: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 1+ x2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 2( x + y + z ). y2 - xy + 1 = 0 (1) Câu 3: Giải hệ phương trình: 22 x + 2x + y +2y + 1 = 0 (2) Câu 4: Cho hình thang ABCD có 2 đáy BC và AD (BC AD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 AM CN cạnh AB và DC sao cho = . Đường thẳng MN cắt AC và BD tương ứng với E và F. AB CD Chứng minh EM = FN. Câu 5: Cho đường tròn tâm (O) và dây AB, điểm M chuyển động trên đường tròn. Từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D. 1) Chứng minh đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn. MA2 AH AD 2) Chứng minh: =  MB2 BD BH Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = 2x2 - xy - y2 với x, y thoả mãn điều kiện sau: x2 + 2xy + 3y2 = 4. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
21. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG NĂM HỌC 2003 - 2004 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 21 Câu 1: a) Cho x và y là 2 số thực thoả mãn x2 + y2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : xy A = . x + y + 2 b) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh rằng: 2 2 2 x3 + y 3 + z 3 + + + 3. x2 + y 2 y 2 + z 2 z 2 + x 2 2 xyz Câu 2: a) Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10 . x2 y 2 - 2x + y 2 = 0 b) Tìm x, y thoả mãn: . 23 2x - 4x + 3 = - y Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu: x2 + 33 x 4 y 2 + y 2 + x 2 y 4 = a thì 3 x2 + 3 y 2 = 3 a 2 . b) Chứng minh phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0 có nghiệm thì 5(a2 + b2) ≥ 4. Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và bán kính OC vuông góc với AB. Tìm điểm M trên nửa đường tròn sao cho 2MA2 = 15MK2, trong đó K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống OC. Câu 5: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ABC có H là trực tâm. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. Gọi N, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a) Ba điểm K, N, I thẳng hàng. AB AC BC b) + = . MK MI MN c) NK đi qua trung điểm của HM. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.