Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 7

Nội dung text: Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 7

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. Bộ đề HSG Toán 9 các Tỉnh, TP. HCM – Hà Nội. Phần 7 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học: 2014 - 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Đề số 1 Bài 1: ( 6 ,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A = (x − y)3 + 3(x − y)( xy +1), biết x = 3 2 + 3 − 3 2 − 3, y = 3 5 + 2 − 3 5 − 2 2 2 x + y = 11 b) Giải hệ phương trình: x + xy + y = 3 + 4 2 Bài 2: ( 5,0 điểm) a) Cho phương trình: 5x2 + mx − 28 = 0 (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: 5x1 + 2x2 = 1. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x 2 + y 2 + 4xy + 4x + 2y − 3 = 0 . Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) tại N (khác D). Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (I). Bài 5: ( 2,5 điểm) Cho 3 số x, y, z 0 thỏa điều kiện x + y + z =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z P = + + x +1 y +1 z +1 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BẮC GIANG Năm học: 2015-2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 2 Câu 1 (6,0 điểm) 1 −−a 2 aa−−2.2 4 1) Cho biểu thức A=a + 2 : +aa2 − 1,( 2) . 11 − (a+2) a − 2 −( a − 2) a + 2 aa−+22 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình xx−2 − 5 = 0. Không giải phương trình, 32 hãy tính giá trị của biểu thức B=x1 − 2 x 2 − 5 x 1 + 8 x 2 + 2008. Câu 2 ( 4, 0 điểm) 1) Giải phương trình: 6x22+ 10 x − 92 +( x + 70)( 2 x + 4 x + 16) = 0. 2 y+ x( x +1)( x + 2)( x + 3) = 121 2) Giải hệ phương trình:  2 yx+=1 Câu 3 ( 3,0 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( xy, ) sao cho 5xx+= 12y2 . 2016 2016 2) Chứng minh số (2+ 3) +( 2 − 3) là số chẵn. Câu 4 (6,0 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD. Gọi MN, là hai điểm nằm trên đoạn AC sao cho AC==3 AN 4 AM . Hai đường thẳng DM và DN cắt AB lần lượt tại P và Q . Chứng minh: a) Hai tam giác AMP, AQN đồng dạng, từ đó chỉ ra MNQP là tứ giác nội tiếp. b) Đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và DC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN . 2) Cho hai đường tròn (OR; ) và ( Ir; ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm P , ( Rr ) . Hai tiếp tuyến chung ngoài AE, BD của hai đường tròn cắt nhau tại C ( AE, BD không đi qua ; AB, thuộc (O) và DE, thuộc (I ) ). Tính số đo góc ACB biết DE==2 cm ; AB 6 cm . 3) Trong hình chữ nhật có chiều dài và rộng lần lượt bằng 4 và 3 cho 49 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh thuộc 1 49 điểm trên mà diện tích nhỏ hơn  2 Câu 5 (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn 12 x . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 36+−xx của biểu thức T = +  xx3− HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2012-1013 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 3 Bài 1 (5 điểm) a) Tìm các số thực a, b sao cho đa thức 4x4 – 11x3 – 2ax2+5bx – 6 chia hết cho đa thức x2 – 2x – 3. b) Cho biểu thức P = (a2013- 8a2012 + 11a2011) + ( b2013 - 8b2012 + 11b2011). Tính giá trị của P với a = 4 + 5 và b = 4 - 5 . Bài 2 (5 điểm) a) Giải hệ phương trình: b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 10y2 + 2xy – x - 28y + 18 = 0 Bài 3 (2 điểm) Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh Bài 4 (7 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A). a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng. c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC. Bài 5 (1 điểm) Cho 2013 điểm A1, A2, , A2013 và đường tròn ( O;1) tùy ý cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O;1) đó, ta luôn có thể tìm được một điểm M sao cho MA1 + MA2 + + MA2013 ≥ 2013. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 Đề chính thức Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 4 Câu 1. (3 điểm). a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó). b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2. Câu 2. (6 điểm). a. Giải phương trình: x22+6 x + 1 =( 2 x + 1) x + 2 x + 3 4x22+ 1 = y − 4 x b. Giải hệ phương trình: 22 x+ xy + y =1 Câu 3. (3 điểm). a+1 b + 1 c + 1 Cho abc, , 0 thỏa mãnabc+ + = 3. Chứng minh rằng: + + 3 b2+1 c 2 + 1 a 2 + 1 Câu 4. (6 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB. a. Chứng minh: HPO= HQO 11 b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng + có giá trị nhỏ nhất. EA EB Câu 5. (2 điểm). Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016 - 1017 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 5 1+ 3a x Bài 1. Cho phương trình: =1 4x a++ 2 x 1 a) Tìm a để phương trình có nghiệm x = 4 b) Giải phương trình với giá trị a vừa tìm được ở trên. a b c b c a Bài 2. Ba số a, b, c ( 0) thoả mãn : + + = + + . Chứng minh rằng có ít nhất 2 số b c a a b c bằng nhau. 33 Bài 3. Gọi (xoo , y ) là một nghiệm của phương trình : x+ y + 1 = 3xy . 1 yo Tính giá trị của biểu thức: A= (1 + xo )(1 + )(1 + ) yxoo Bài 4. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) R R’ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B (O và O’ nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng AB). Vẽ tiếp tuyến chung CD thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ là đường thẳng OO’, trong đó C, thuộc đường tròn (O, R), D thuộc đường tròn (O’, R’). Từ C và D vẽ lần lượt các đường thẳng song song với AD và AC chúng cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCED nội tiếp. b) Ba điểm A, B, E thẳng hàng. c) BE < R + R’ Bài 5 . Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn xy+ yz + zx 3xyz . Chứng minh : 33x2+3 y 2 + z 2 x + y + z “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 6 12 xy+ + + = 5 xy Bài 1: a) Giải hệ phương trình: 2214 xy+ +22 + = 7 xy xx+−1 2 b) Giải phương trình: =1 12− x2 Bài 2: a) Các cạnh a, b, c của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức : 1 1 1 1 abc++ = − −; p = . p p− a p − b p − c 2 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? x+ y + z = 2 b) Các số dương x, y, z thoả mãn x+ y + z = 2 xzy Tính giá trị biểu thức: P=(1 + x )(1 + y )(1 + z ) + + 1+x 1 + y 1 + z Bài 3: Ba đường tròn (O;R), (O1;R1), (O2;R2) với R < R1 < R2 tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một đồng thời tiếp xúc với một đường thẳng. Gọi S, S1, S2 lần lượt là diện tích các đường tròn tâm O, O1, O2 . 1 1 1 Chứng minh: =+ 4 44 SSS12 Bài 4: Cho đường tròn (O, R) và đường tròn (O’ , R’) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’). Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn tâm O’ lần lượt tại M và N (M và N khác A). Tia DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a) MIB đồng dạng với AEB b) O'I⊥ MN Bài 5: Tam giác ABC có góc A không nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 1 + 1 + 1 + b c a “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2005 - 2006 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 7 Câu 1. a) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn đẳng thức: a + b − c = a + b − c. Chứng minh rằng: 2006 a + 2006 b − 2006 c = 2006 a + b − c 3 b) Cho x > 0 ; y > 0 ; z > 0 thoả mãn : x 1− y 2 + y 1− z 2 + z 1− x2 = . 2 3 Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 = 2 Câu 2. Tìm nghiệm dương (x, y, z) thoả mãn hệ phương trình: 1 2 3 + + = 12 (1) x y z x + 2y + 3z = 3 (2) Câu 3. Cho tam giác ABC dựng hình chữ nhật MNPQ trong đó M,N thuộc BC, P thuộc AB, Q thuộc AC. a) Tìm vị trí của P,Q để diện tích của hình chữ nhật MNPQ lớn nhất. b) Giao điểm của hai đường chéo MP và NQ là O tìm quỹ tích O. Câu 4. Cho đường tròn đường kính BC. A thuộc đường tròn, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi M, N theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung AB và AC. Kẻ phân giác của các góc AHB và AHC các phân giác của các góc này theo thứ tự cắt BN tại E và CM tại F. Gọi giao điểm của BN với CM là K. a) Chứng minh AK vuông góc với EF. b) Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn. xy Câu 5. Cho x xy +1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = . x 2 + y 2 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN LỤC NAM NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 8 Câu 1 (4,0 điểm) xy++ x xy x 1) Rút gọn biểu thức: A=x++ 1 + + 1 : 1 − − x 1 với x 0;y 0; xy 1. xy+ 1 1 − xy xy − 1 xy + 1 3 3−+ 1 . 10 6 3 2017 ( ) 2 2) Cho x = , tính giá trị biểu thức P=( x +4 x − 2) . 21++ 4 5 3 Câu 2 (5,0 điểm) 21+ 1) Cho x = là một nghiệm của phương trình: ax2 + bx + 1 = 0. Với a, b là các số 21− hữu tỉ. Tìm a và b. 2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh P20 – 1 chia hết cho 100. 3) Cho abc,, là độ dài của 3 cạnh một tam giác, Chứng minh rằng: a4+ b 4 + c 4 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 Câu 3 (4,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x sao cho x3 – 3x2 + x + 2 là số chính phương. 6 2) Giải phương trình: x2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x + + 5 x Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. Gọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M. Tia BM cắt ND tại P. 1) Chứng minh IC.CN = IN.CM. 2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD. 3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất. Câu 5 (1,0 điểm) 1 1 1 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + ++ ≥ 6. a b c HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 8 Bài 1: (5,0đ) 1 1 2x+ x12xxx − + − x Cho biểu thức A:= − + 1−+ x x 1x− 1 x x 1. Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của A khi x=− 17 12 2 3. So sánh A với A . Bài 2 : ( 4,0 đ) 1. Giải phương trình: 8x+ 1 + 46 − 10 x = − x32 + 5 x + 4 x + 1 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 8x22+ 23 y + 16 x − 44 y + 16 xy − 1180 = 0 Bài 3 : ( 4,0 đ) 1 1 1 1 1. T ính tổng S = + + + + 2 1+ 1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 2013 2012 + 2012 2013 1 1 1 2. Cho ba số dương x,, y z thoả mãn + + =1. Chứng minh rằng: x y z x+ yz + y + zx + z + xy xyz + x + y + z. Bài 4 : ( 5,0 đ) Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB. 1.Tính sin2MBA+ sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC 2.Chứng minh: OK2 =− AH(2 R AH ) 3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Bài 5: ( 2,0đ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, góc ACB bằng α, góc AMB bằng . sin +c os = 1 + sin  Chứng minh rằng: “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÙ NINH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 9 2 a 1 2 a Bài 1: Cho biểu thức: A = 1− : − , với a ≥ 0 a +1 1+ a a a + a + a +1 1. Rút gon biểu thức A. 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 . Bài 2 1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x3 − y3 = 3(x − y) 2. Giải hệ phương trình: x + y = −1 Bài 3 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD. Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN. 1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL. 2. Chứng minh ∆LMN vuông cân 3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP. Bài 5 (2 điểm). a 2 + b 2 Cho a b và ab = 6. Chứng minh: 4 3 a − b Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN YÊN THÀNH NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 10 2x + x - 1 2x x + x − x 2 x −1 Bài 1: (2,5đ) Cho biểu thức A = + : 1- x 1+ x x x − x a) Rút gọn biểu thức A. 2 b) Tính giá trị x để giá trị của biểu thức A = . 3 c) Biểu thức A có giá trị lớn nhất không ? Vì sao? Bài 2: (2,0đ) Chứng minh rằng: 1 a) 2( a− b) 2( b − c ) b Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 và c >0. 2014 2 2014 b) Biểu thức B = 1+ 2014 2 + + có giá trị là một số nguyên. 2015 2 2015 Bài 3: (2đ) Giải phương trình a) x3x222− + + x3 + = x2 − + x + 2x3 − x3+ b) 4x+ 1 − 3x − 2 = . 5 Bài 4( 3,5đ) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1 1 1 1. Chứng minh : + = AM 2 AK 2 AB2 2. Biết số đo MAN= 450 , CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm.Tính số đo AMN= ? 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI (P IK, Q AK, R AI). Xác định vị trí điểm O để OP 2 + OQ 2 + OR 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÙ MỸ NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 11 Bài 1: ( 3,5đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5đ) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương 22 11 Bài 3: ( 3,0đ) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng : ab+ + + 12,5 ab Bài 4: ( 3,0đ) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4. 2 2 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E= x + + y + yx Bài 5: ( 4,0đ) Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng: PQ // IK. Bài 6: ( 4,0đ) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z . x y z Tính M = + + ha hb hc “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NAM ĐÀN NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 12 Câu 1: (5,0 điểm) 1. Tính 6+ 4 2 − (1 − 2)2 x22−+ x x x 2. cho biểu thức A = − x+ x +11 x − x + a, Rút gọn B = 1 - A ++x 1 B b, Với x 1; Tìm x để P = nhận giá trị nguyên x +1 Câu 2: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 và n - 4 đều là : a, Số chính phương b, Số nguyên tố Câu 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau : a, 2x − 2013 + 2 = 3 b, 1−x = x + 4 − 1 − 2 x Câu 4: (3,0 điểm) a, Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 4(1 - a)(1 - b)(1 - c) a + 2b + c. b, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2yz = 26 - 2xz 32− x c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 1− x2 Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Hãy tìm điểm D trên cạnh AB sao cho từ điểm D đó ta vẽ được một đường thẳng chia tam giác ABC thành hai hình có diện tích bằng nhau. Có bao nhiêu vị trí của điểm D như thế ? Câu 6:(4,0 điểm) Cho tam giác ABC cả 3 góc đều nhọn. Vẽ đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. a, Chứng minh AF.BD.CE = AE.CD.BF b, Gọi K là giao điểm của AD với EF và G là giao điểm của BE và DF. Chứng minh DEF là tam giác vuông khi DK.EG = 2DH.EH. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 13 x+4 x − 4 + x − 4 x − 4 Bài 1 (2,0 đ) Cho biểu thức; A = 8 16 1−+ xx2 Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (2,0 đ): Giải các phương trình: a. x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 b. (4x+ 2) x + 8 = 3 x2 + 7 x + 8 Bài 3 (1,5 đ) a. Cho f( x )= ( x3 + 12 x − 31) 2013 . Tính f (a) với a=33 16 − 8 5 + 16 + 8 5 b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y2 +2 xy − 3 x − 2 = 0 Bài 4 (1,5 đ) a b c a2 b 2 c 2 a. Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và + + = + + . b2 c 2 a 2 c a b Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ. b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3. a b c 3 Chứng minh rằng: + + 1+b2 1 + c 2 1 + a 2 2 Bài 5 (3,0 đ) Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất. BE3 CE c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và = . BF3 DF d. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (K EF; M BE và N BF) sao cho tỉ số giữa cạnh hình vuông với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BEF là 22+ . Hãy tính các góc nhọn của tam giác BEF? 2 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP THANH SƠN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 14 Câu 1(4,0 điểm). a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 −2 xy + 4 x − 8 y − 5 = 0. b) Chứng minh rằng A = n3 +11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. 2 x1 x−+ 1 x 1 B = −  − Câu 2(3,0 điểm). Cho biểu thức 2 2x x+− 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị của B khi x =−625 ; c) Tìm giá trị của x để B < 0. Câu 3 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) x32+3 x + 3 x − 4 = 0 . b) 3xx+ 1 + 2 − = 1. Câu 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC có góc B bằng 1200, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. a) Tính độ dài đường phân giác BD; b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD. 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cosMAN ? Câu 5 (2,0 điểm). a + 27 a) Cho a 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =  a +3 b) Chứng minh rằng nếu a, b, c dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 thì a2+1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 2( a + b + c) . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN GIA LỘC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 15 2 6 Câu 1: (2đ) Cho x = và y = 23 2 + 2 + 4 3 23 2 − 2 + 4 3 a. Rút gọn biểu thức x và y b. Tính : - x3y + xy3 Câu 2 : ( 2đ) Cho phương trình : 2x2 + (2m - 1)x + m – 1 = 0 Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 và 3x1 - 4x2 = 11 Câu 3( 2đ ) 1 1 + = 0 x −1 y Giải hệ phương trình 2 1 − = 3 x −1 y Câu 4( 2đ) Giải phương trình 2 2 3x + 6x + 7 + 5x +10x +14 = 4 - 2x - x2 Câu 5 (2đ) Cho hàm số y = ax + b a) Tìm a,b sao cho đồ thịhàm số qua A(0;1) và B(-1;0) b) Vẽ trên 1 hệ tọa độ hai đồ thị : Y = x2 - 1 và đồ thị hàm số trên .Qua đó giải phương trình : x2 - x - 2 = 0 Câu 7 ( 6đ) Cho đoạn thẳng AB, C ở giữa A và B . Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy I , Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K . Nửa đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a) Chứng minh CPKB nội tiếp và AI.BK = AC.CB. b) Tam giác APB vuông. c) Giả sử A,I,B cố định .Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.