Bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn

Nội dung text: Bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. BÀI TẬP VỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Bài 1: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần. a. Cotg 40o, sin 50o, tg 70o, cos 55o. b. Sin 49o, cotg 15o, tg 65o, cos 50o, cotg 41o. Bài 2: 5 a) Biết sin = , hãy tính cos , tg , cotg . 13 12 b) Biết tg = , hãy tính sin , cos , cotg . 35 c) Tìm x biết tg x + cotg x = 2. 3 d) Biết cos = , hãy tính sin , tg , cotg . 4 8 e) Biết cotg = , hãy tính sin , cos , tg . 15 Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau: a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o. b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o. 1 c) A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 2 Bài 4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn . a) (cos - sin )2 + (cos + sin )2. (cos sin )2 (cos sin )2 b) cos .sin Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: 1 1 S = .a.c. sin B = .AB.BC. sin B ∆ABC 2 2 Áp dụng để tính diện tích tam giác ABC biết AC = 10, BC = 15, = 60표 Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB. a b c a) Chứng minh răng: sin A sin B sin C b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? Bài 7: Cho biểu thức 1 2sin cos sin cos A với 45o. a) Chứng minh rằng A sin2 cos2 sin cos 1 b) Tính giá trị của A biết tg . 3
2. Bài 8: Hãy đơn giản các biểu thức . 1 ― 푠푖푛2 . (1 ― 표푠 )(1 + 표푠 ) . 푠푖푛 ― 푠푖푛 . 표푠2 . 푠푖푛4 + 표푠4 + 2푠푖푛2 . 표푠2 푒. 푡 푛2 ― 푠푖푛2 .푡 푛2 . 표푠2 + 푡 푛2 . 표푠2 Bài 9: Chứng minh các đẳng thức sau : 1 1 a) 1+ tg2x = b) 1+ cotg2x = cos 2 x sin 2 x c) cos4x – sin4x = 2cos2x -1 d) sin6x + cos6x = 1- 3.sin2x.cos2x Bài 10: Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi 0표 < 훼 < 90표. 표푡 2훼 ― 표푠2훼 푠푖푛훼. 표푠훼 + = 1 표푡 2훼 표푡 훼 Bài 11: Cho tam giác ABC có = 90표, = không đổi, = 훼(0표 < 훼 < 90표). a. Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và 훼. b. Tìm góc 훼 để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy và vẽ hình minh họa. Bài 12: Cho tam giác ABC, = 90표, < , trung tuyến AM, = 훼, = 훽. Chứng minh rằng: (푠푖푛훼 + 표푠훼)2 = 1 + 푠푖푛훽. Bài 13: Cho hình thang có độ dài hai đường chéo lần lượt là 9 cm và 12 cm. a. Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 15 cm. b. Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 16 cm. Bài 14: Chứng minh rằng sin < tg ; và cos < cotg . Bài 15: Tìm x: a. 3 표푠 + 2 sin(90표 ― ) = 4,15 b. 2푠푖푛2 + 표푠2 = 1,8281 c. 표푠2 ― 푠푖푛2 = 0,5 Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt BC = a; AC = b; AB = c. Chứng minh rằng : a) AH = a.sinB.cosB b) BH = a.cos2B c) CH = a.sin2B Bài 17: Tam giác ABC có góc B= 300 ; góc A= 450 ; AB= a. Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB . Bài 18: Một tam giác cân có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy. Tính các góc của tam giác đó. Bài 19: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, = 50표 Biết AB = 2; AD = 1,2. Tính diện tích hình thang. Bài 20: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB = AC = a ). Phân giác của góc B cắt AC tại D .
3. a) Tính DA ; DC theo a. b) Tính tg22030’. Bài 21: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp: a) = 40표 b) = 140표 Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13 cm ; BC = 10 cm. Tính cos A . Bài 23: a. Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6, AC = 9 và = 68표. Tính độ dài AD. b. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và góc C. c. Tam giác ABC cân tại A, = 65표, đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC. Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại C, phân giác CD. Cho BC = a; AC = b. Chứng minh : ab CD = . (a b)sin 450 Bài 25*: Cho tam giác ABC có các góc nhọn A và B. Biết = 표, = 표, > . Chứng minh rằng: . sin( + ) = 푠푖푛 . 표푠 + 푠푖푛 . 표푠 . sin( ― ) = 푠푖푛 . 표푠 ― 푠푖푛 . 표푠 . cos( + ) = 표푠 . 표푠 ― 푠푖푛 .푠푖푛 . cos( ― ) = 표푠 . 표푠 + 푠푖푛 .푠푖푛 Từ đó suy ra: 1 ― 푡 2 2푡 . 표푠2 = 1 ― 2푠푖푛2 = 2 표푠2 ― 1 = . 푠푖푛2 = 2푠푖푛 . 표푠 = 1 + 푡 2 1 + 푡 2 2푡 푛 . 푡 푛2 = 1 ― 푡 푛2 Bài 26: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;  ADC = 700. Bài 27: Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết = 2 5, = 3. Tính AB. Bài 28: Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp và các góc thỏa mãn: = +2 . Tính độ dài các cạnh của tam giác. Bài 29: Tứ giác lồi ABCD có các đường chéo không vuông góc nhau và cắt nhau ở O. Gọi H và K lần lượt là trực tâm hai tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm hai tam giác BOC và AOD. a. Gọi E là trọng tâm tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các tam giác IEG và HFK đồng dạng. b. Chứng minh IG vuông góc HK. Bài 30: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
4. 푠푖푛 ≤ 2 2 Từ đó duy ra: 1 푠푖푛 푠푖푛 푠푖푛 ≤ . 2 2 2 8 Bài 31: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc nhau. Chứng minh rằng: 2 표푡 + 표푡 ≥ . 3 Bài 32: Cho góc nhọn 훼. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 = + . 푠푖푛4훼 표푠4훼