Bài tập về điểm cố định trong Hình học Lớp 9

Nội dung text: Bài tập về điểm cố định trong Hình học Lớp 9

1. Gv: Bùi Hải Lưu ( 0984 983 574 ) Trung tâm luyenthi123 ( SĐT : 0945 066 086) TRUNG TÂM LUYỆN THI 123 Tổ TOÁN (Sưu tầm và biên soạn)  TOÁN 9 BÀI TẬP VỀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH Câu 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) AE.AF = AC2. c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B). a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ADE ACO . c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. Câu 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh: 1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) ∆ABD ~ ∆MBC 3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI. 4 cơ sở: Lí Thường kiệt- Cầu Giấy-Xuân Dỉnh – 1 Time City ( Các môn: Toán, Lí , Hóa, Văn, Anh)
2. Gv: Bùi Hải Lưu ( 0984 983 574 ) Trung tâm luyenthi123 ( SĐT : 0945 066 086) Câu 4: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và MN; MN cắt BC tại D. Chứng minh: a) AM2 = AB.AC b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp OID luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu 5 .Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. Vẽ đường kính BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng: 1. 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đoạn thẳng ME = R. 3. Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó. Câu 6: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho 2 AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN 3 (C M,N,B). Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh hiệu AE.AC – AI.IB không đổi khi C thay đổi. b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 7 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh : 1. Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. 4 cơ sở: Lí Thường kiệt- Cầu Giấy-Xuân Dỉnh – 2 Time City ( Các môn: Toán, Lí , Hóa, Văn, Anh)
3. Gv: Bùi Hải Lưu ( 0984 983 574 ) Trung tâm luyenthi123 ( SĐT : 0945 066 086) Bµi 8: Cho ®•êng trßn (O; R) vµ d©y AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®•êng trßn vµ M lµ trung ®iÓm cña AC. Chøng minh r»ng ®•êng th¼ng kÎ tõ M vu«ng gãc víi BC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC vµ hai ®iÓm M, N thø tù chuyÓn ®éng trªn hai tia BA, CA sao cho BM= CN. Chøng minh r»ng ®•êng trung trùc cña MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 10: Cho ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµnh theo thø tù ®ã vÏ ®•êng trßn (O) thay ®æi ®i qua A vµ B. Tõ ®iÓm chÝnh gi÷a P cña cung lín AB vÏ ®•êng kÝnh PQ c¾t AB t¹i D.Tia CP c¾t ®•êng trßn t¹i ®iÓm thø hai I. Chøng minh r»ng khi ®•êng trßn (O) thay ®æi th× QI lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Bài11 : Cho ®•êng trßn (O; R) cã d©y cung CD. Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy M bÊt k×. Qua M kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB víi (O; R) Chøng minh r»ng khi M thay ®æi th× AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 12: Cho ®•êng trßn t©m O vµ d©y AB, M lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®•êng trßn, tõ M kÎ MH vu«ng gãc víi AB (H thuécAB), gäi E, F lÇn l•ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn MA, MB. Chøng minh r»ng ®•êng th¼ng qua M vµ vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M thay ®æi trªn ®•êng trßn. Bµi 13: Cho ba ®iÓm th¼ng hµng A, B, C theo thø tù ®ã. Mét ®•êng trßn (O) thay ®æi nh•ng lu«n ®i qua B vµ C. Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AM, AN ®Õn ®•êng trßn (O). §•êng th¼ng MN c¾t hai ®o¹n AO, AC lÇn l•ît t¹i H vµ K. Chøng minh ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OHK lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh. 4 cơ sở: Lí Thường kiệt- Cầu Giấy-Xuân Dỉnh – 3 Time City ( Các môn: Toán, Lí , Hóa, Văn, Anh)
4. Gv: Bùi Hải Lưu ( 0984 983 574 ) Trung tâm luyenthi123 ( SĐT : 0945 066 086) HƯỚNG DẪN HD1: +AC là tiếp tuyến +AC vuông góc CB HD2: +MA=MN +IC=IH HD3: + Lấy E đối xứng B qua C. Tứ giác AKDE nội tiếp tâm O’. +O’A=O’E. Suy ra O’ thuộc trung trực của AE HD4: + Tứ giác KOID nội tiếp tâm O’ +AD.AI không đổi, suy ra D không đổi, suy ra O’ thuộc trung trực của DI. HD5: + Tam giác MBC đều. Suy ra góc KOC = 30. + Tính độ dài OK=const. HD6: +MA là tiếp tuyến và thuộc MB HD7: + Góc ODP = 90, suy ra P thuoccj đường vuông góc với CD tại D. HD8: +kẻ đường kính BD, gọi I là giao của đường vuông góc với AD. +Chỉ ra I là trung điểm của AD. HD9: + gọi I là giao của hai đường trung trực BC và MN +Tứ giác ABCI nội tiếp. (đpcm) HD10: + H= AB giao QI. Chứng minh CH không đổi. HD11: Gọi K là giao của AB và đường thẳng qua O vuông góc với CD. Chỉ ra K không đổi. HD12: Gọi I là giao của đường vuông góc và (O). chỉ ra Cung MB = 90 độ. Suy ra qua O( cố định) HD13 : + Gọi I là hình chiếu của O lên dây BC. + Chỉ ra I,K cố định. 4 cơ sở: Lí Thường kiệt- Cầu Giấy-Xuân Dỉnh – 4 Time City ( Các môn: Toán, Lí , Hóa, Văn, Anh)
5. Gv: Bùi Hải Lưu ( 0984 983 574 ) Trung tâm luyenthi123 ( SĐT : 0945 066 086) 4 cơ sở: Lí Thường kiệt- Cầu Giấy-Xuân Dỉnh – 5 Time City ( Các môn: Toán, Lí , Hóa, Văn, Anh)