Bài tập luyện thi THPT môn Hình học Lớp 9

Nội dung text: Bài tập luyện thi THPT môn Hình học Lớp 9

1. BÀI TẬP CHỦ ĐỀ: TÌM VỊ TRÍ ĐIỂM ĐỂ: * TAM GIÁC, TỨ GIÁC CÓ DIỆN TÍCH, CHU VI LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) * ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG (TỔNG – TÍCH ĐỘ DÀI) LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) hoặc KHÔNG ĐỔI. BÀI 1: Cho (O ; R) , đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp. b) Tính tích AH.AK theo R 1 c) Chứng minh sin A· BM và từ đó suy ra ∆BMN đều. 2 d) Xác định vị trí của K để tổng KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Bài : Cho (O ; R) , đường kính AB = 2R, trên đoạn OA lấy điểm I (I khác A và O). Từ I vẽ Ix vuông góc với AB cắt (O ; R) tại C. Lấy điểm E tùy ý trên cung nhỏ BC (E khác B và C), nối AE cắt CI tại F. Gọi D là giao điểm của BC với tiếp tuyến tại A của (O;R). a) Chứng minh tứ giác BEFI nội tiếp. b) Chứng minh AF.AE = CB.CD c) Tia BE cắt IC tại K, Giả sử I và F lần lượt là trung điểm các đoạn OA và IC. Chứng minh ∆AIF ~ ∆KIB, từ đó tính độ dài IK theo R. d) Khi I là trung điểm của đoạn OA và E chạy trên cung nhỏ BC. Tìm vị trí điểm E để EB + EC đạt giá trị lớn nhất. Bài 2: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD. M là trung điểm của BC. a) Chứng minh các điểm A, B , H , K cùng thuộc một đường tròn. Các điểm B, M, F, O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh HE // BD. R c) Khi OM = , hãy tính diện tích hình quạt tròn được giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC. 2 d) Cho BC cố định và A chạy trên cung lớn BC; đặt AB = c , BC = a , AC = b. Tìm vị trí của A để tích a.b.c đạt giá trị lớn nhất. Bài 3: Cho (O ; R) có dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC; I là trung điểm của BC. a) Chứng minh các điểm A, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn; các điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Khi cung nhỏ BC có số đo bằng 90o. Tính độ dài dây cung BC và diện tích ∆OBC. c) Cho đường thẳng qua E và vuông góc với EI cắt BC tại P. Chứng minh PE2 = PB.PC d) Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để ∆AEH có diện tích lớn nhất.
2. Bài 4: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. a) Chứng minh các điểm A, E , D , B cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn đó. b) Chứng minh MN // DE. c) Cho (O) và một dây AB cố định. Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆CDE không đổi khi C di động trên cung lớn AB. d) Tìm vị trí của C trên cung lớn AB để diện tích ∆CDE lớn nhất. Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) (AB < CD). Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Hai dây DI và CI lần lượt cắt dây AB tại M và N. Các tia DA và CI cắt nhau tại E. Các tia CB và DI cắt nhau tại F. a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp b) Chứng minh EF // MN c) Chứng minh AI2 = IM.ID và IA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆AMD. d) Cho AB cố định; C, D chuyển động. Gọi R1 là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆AMD và R2 là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆BMD. Chứng minh R1 + R2 không đổi. Bài 6: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Ax và By là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh các tứ giác AOMC và BOMD nội tiếp. b) Giả sử BD = R3 , tính diện tích tứ giác ABDC. c) Nối OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F, kẻ MN vuông góc với AB tại N. Chứng minh ONEF là hình thang cân. d) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để chu vi đường tròn ngoại tiếp ∆CEF nhỏ nhất. Bài 7: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tiaAx, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a) Chứng minh CPKB nội tiếp. b) Chứng minh AI.BK = AC.CB c) Chứng minh ∆APB vuông. d) Giả sử A, B, I cố định. Xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài 8: Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O;R) (M khác A, B). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN lần lượt tại Q và P. a) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật. b) Chứng minh M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF. d) Khi MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài. Xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất. Bài 9: Cho (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với dduowgf tròn (B, C, M, N cùng thuộc đường tròn; AM < AN). Gọi I là giao điểm thứ hai CE với đường tròn (E là trung điểm của MN)
3. a) Chứng minh A, E, O, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh A· OC B· IC c) Chứng minh BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bài 10: Cho (O;R), đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B. Từ một điểm c trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn (M, N là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt CN tại K. a) Chứng minh C, O, H, N thuộc một đường tròn. b) Chứng minh KN. KC = KH. KO. c) Đoạn CO cắt (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN, MN d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho ∆CEF có diện tích nhỏ nhất. BÀI 1: Cho (O ; R) , đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E khác M và I). Tia AE cắt (O) tại điểm thứ hai K. a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp. b) Chứng minh ∆AME ~ ∆AKM và AM2 = AE.AK c) Chứng minh: AE.AK + BI.BA = 4R2 d) Xác định vị trí của I để chu vi ∆MIO đạt giá trị lớn nhất. Bài : Cho (O), đường kính BC. A là điểm bất kì trên đường tròn (A khác B và C). H là hình chiếu của A trên BC; M , N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC; MN cắt AH tại I. a) Chứng minh AMHN là hình chữ nhật. b) Chứng minh B, N, M, C cùng thuộc một đường tròn. c) MN cắt AO tại K. Chứng minh 2AK.AO = BH.CH d) Xác định vị trí của A trên đường tròn (O) để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC có diện tích lớn nhất.