Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn Toán học

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn Toán học

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐH SP HÀ NỘIV2 NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. 15 1.Câu 1 Cho 2 a.Tìm 1 đa thức bậc 2 Q(x) sao cho là nghiệm Q(x). b.Cho P( x ) x54 x x 1tính P() Lời giải. 15 a.Có 2 10 .Phƣơng trình xx2 10 có hệ số nguyên và có 2 2 1 5 1 5 nghiệm  ; .Vậy Q( x ) x2 x 1 thỏa yêu cầu bài. 22 b.Ta có P( x ) x5 x 4 x 1 ( x 2 x 1)( x 3 x ) x 2 1 ( 2 1)( 3 ) 2 1;()0P 2 1 (Do α là nghiệm của phƣơng trình: xx2 1). Mà 55 2 12 nên P( ) 2 1 2 2 1.Câu 2 .Cho A B là hai điểm cố định nằm trên đƣờng tròn tâm O, bán kính R. Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA. Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đƣờng tròn (O) tại D và E (D nằm giữa C E). Các đƣờng tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M. Biết rằng bốn điểm OBME tạo thành tứ giác OBME. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp. b) CDCE. CO22 R . c) M luôn di chuyển trên một đƣờng tròn cố định. Lời giải. a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp  EOB =2 BAE=2  BDC =2 BMC =2( EMC +  EMB )= 2(180°- EAB-  EMB)=360 °-  EOB -2 EMB suy ra  EOB +  EMB =180° hay tứ giác OBME nội tiếp.
2. b)Gọi T là trung điểm DE .Có CD. CE =(CT –TD)( CT +TE) ,TD =TE . =CT2 -TD2 =CO2-OT2- TD2 =CO2- OD2= CO2- R2 c) Chứng minh M luôn di chuyển trên một đƣờng tròn cố định.  OMC + OMB = BMC + OEB = EAB = 90° hay M luôn di chuyển trên đƣờng tròn đƣờng kính OC cố định. 3.Câu 3.Tìm tất cả các số nguyên dƣơng N sao cho N có thể biểu diễn một cách 2 duy nhất ở dạng xy 1 với x, y là hai số nguyên dƣơng. xy 1 Lời giải. xy2 1 Ta có N x() Ny x y N (1).Với N =1 dễ thấy có vô số cách biểu diễn N xy 1 theo x ,y là các bộ số dạng ( x,y) =( a;a+1) ;a∈N* .Với N 2. Nếu y=N thì x=N2.Nếu y ≠ N thì (1) ⇒y-N chia hết cho x thì |y-N| x suy ra trong hai số y; N có ít nhất một số lớn hơn x ⇒ Ny-x > 0 ⇒y−N >0⇒y >N ⇒y >x. Từ (1) ⇒ yNNyx yNNyx 2 yxy ( yx ) y N 0 ( loại). Vậy với N 2 thì ta có một biểu diễn duy nhất ở dạng 4.Câu 4.Cho a, b, c là ba số nguyên dƣơng sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn đƣợc dƣới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phƣơng trình bậc hai ax2 bx c 0(1)có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phƣơng trình (1) bằng nhau. Lời giải. Đặt a 2n ; b 2 m ; c 2 p ; m , n , p . Xét phƣơng trình có b2 4 ac 2 2m 2 n p 2 ; m , n , p . Để phƣơng trình (1) có nghiệm nguyên thì ∆ là số chính phƣơng.Lúc đó 222m n p 2 k 2 ;;,, k m n p 2 n p 2 (2 m k )(2 m k ) mu uv 22 k m22 u 1 v u vu mv(uv ) 2 2 (1 2 ) . Nếu u ≠ vthì 12 là số lẻ và khác 22 k 2 1 (vô lý). Suy ra u =v ⇒ k=0 ⇒∆= 0 . Do đó, phƣơng trình (1) có hai nghiệm bằng nhau.