Bài tập Hình học 9 - Lưu Văn Chung

43 trang dichphong 10500

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học 9 - Lưu Văn Chung", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_hinh_hoc_9_luu_van_chung.pdf

Nội dung text: Bài tập Hình học 9 - Lưu Văn Chung

Bài tập luyện thi vào lớp 10 Biên soạn : Lưu Văn Chung Biên soạn : Lưu Văn Chung TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 2 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 4. Gọi E là trung điểm IH và F là trung điểm AB. Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp . Suy ra ME EF  ĐỀ BÀI Bài 4 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với Bài 1 đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm ).Vẽ CD AB tại D cắt (O) tại Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B. Vẽ đường  E. Vẽ EF BC tại F; EH AC tại H. kính AC và AD của (O) và (O’). Tia CA cắt đường tròn (O’) tại F ,   1. Chứng minh các tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp tia DA cắt đường tròn (O) tại E. . 2 2. Chứng minh EF = ED. EH 1. Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp 3. Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp 2. Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) và (O’) lần lượt tại M và N. Chứng 4. Chứng minh MN  EF minh tỉ số MC không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A Bài 5 NF Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn .Vẽ tiếp tuyến AM 3. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN và cát tuyến ACD ( tia AO nằm giữa hai tia AM và AD). Gọi I là 4. Gọi K là giao điểm của NF và ME. Chứng minh đường thẳng KI trung điểm CD. luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng MN quay quanh A 1. Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn. Xác định tâm K. 5. Khi MN // EF. Chứng minh MN = BE + BF 2. Gọi H là giao điểm của MN và OA .Chứng minh CHOD nội tiếp Bài 2 3. Đường tròn đường kính OA cắt (O) tại N. Vẽ dây CB MO cắt Cho hình vuông ABCD cố định . E là điểm di động trên cạnh CD  MN tại F. Chứng minh CFIN nội tiếp (E C và D ). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F. Tia Ax vuông góc 4. Tia DF cắt AM tại K. Chứng minh KE AM với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K.  Bài 6 1. Chứng minh CAF CKF . Cho OM = 3R , MA , MB là hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O) 3. Chứng minh KAF vuông cân tại C , BC cắt MA tại F , AC cắt MB tại E. 4. Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF 1. Chứng minh MAOB nội tiếp 5. Gọi M là giao điểm của BD và AE. Chứng minh IMCF nội tiếp 2 2. Chứng minh EB = EC.EA 6. Chứng minh khi điểm E thay đổi vị trí trên cạnh CD thì tỉ số ID 3. Chứng minh E là trung điểm MB CF 4. Chứng minh BC.BM = MC.AB không đổi. Tính tỉ số đó? 5. Tia CF là phân giác của MCA Bài 3 6. Tính S theo R Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M là điểm BAD Bài 7 thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH BC tại H , vẽ MI AC tại I   Cho MA , MB là hai tiếp tuyến của (O). C là điểm thuộc cung nhỏ 1. Chứng minh IHM ICM AB. Vẽ CD  AB . CE  MA , CF MB 2. Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K.Ch/ minh MK BK VIETMATHS.NET  1. Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC 3. DF cắt EB tại M, HF cắt EC tại N.Chứng minh MIH ~ MAB 2 2. Chứng minh CE.CF = CD 3 Gv : Lưu Văn Chung 4 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 3. AC cắt ED tại H, BC cắt DF tại K. Chứng minh CHDK nội tiếp 2. Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp 4. Chứng minh HK // AB 3. Tính ON theo a và R 5. Chứng minh HK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại 4. Tia DE cắt (O) tại F. Chứng minh ABCF là hình thang cân tiếp CKF và CEH Bài 11 6. Gọi I là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (CKF) và (CEH). Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB . C là điểm chính giữa Chứng minh đường thẳng CI đi qua trung điểm của AB AB , K là trung điểm BC. AK cắt (O) tại M . Vẽ CI vuông góc với Bài 8 AM tại I cắt AB tại D. Cho đường thẳng d cắt (O;R) tại C và D. M là điểm di động trên d 1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy ra số đo góc OID (M ngoài đường tròn và MC AB và 0 ). Gọi I , K lần lượt là trung Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai BAC 90 điểm AB và AC. Các đường tròn (I ) đường kính AB và (K ) đường đường cao AD và BE cắt nhau tại H ( D BC ; E AC ; AB < AC ) kính AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D . Tia BA cắt (K) tại E ; tia CA 1. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp cắt (I) tại F . 2. Chứng minh OC vuông góc với DE 1. Chứng minh B,C, D thẳng hàng 3. CH cắt AB tại F. Chứng minh : 2. Chứng minh BFEC nội tiếp 2 2 2 AH.AD + BH.BE + CH.CF = AB AC BC 3. Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với với đường tròn ngoại 2 tiếp AEF. So sánh DH và DE 4. Đường phân giác trong AN của BAC cắt BC tại N , cắt đường Bài 13 tròn (O) tại K.(K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài CAN. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường đường tròn . Từ điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EF tròn (O). cắt dây AB tại D. Tia CE cắt (O) tại điêm I. Các tia AB và FI cắt Bài 10 nhau tại K Cho (O;R) và dây BC = 2a cố định. M tia đối tia BC. Vẽ đường 1. Chứng minh EDKI nội tiếp tròn đường kính MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D (A cung lớn VIETMATHS.NET2. Chứng minh CI.CE =CK.CD 3. Chứng minh IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của AIB BC ). AD cắt MO tại H , cắt OE tại N. 2 4. Cho A , B , C cố định. Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổi 1. Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) và MA = MB.MC 5 Gv : Lưu Văn Chung 6 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 nhưng vẫn đi qua A , B thì đường thẳng FI luôn đi qua một điểm Bài 17 cố định Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với Bài 14 (O). Vẽ dây BD // AC. AD cắt (O) tại K. Tia BK cắt AC tại I. 2 Cho ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D . Vẽ đường tròn 1. Chứng minh IC = IK.IB (O) đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) tại E. AE 2. Chứng minh BAI ~ AKI cắt (O) tại F. 3. Chứng minh I là trung điểm AC 1. Chứng minh ABCE nội tiếp 4. Tìm vị trí điểm A để CK  AB Bài 18 2. Chứng minh BCA = ACF Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố định với OA = 2R. BC là đường 3. Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đường thẳng BC. Chứng minh BMCN nội tiếp kính quay quanh O. Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳng AO tại I. 4. Xác định vị trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ nhất 1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy ra I là điểm cố định Bài 15 2. Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E. DE cắt OA tại K. a. Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp Cho ABC có B và C nhọn . các đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại H. Một đường thẳng d tùy ý đi qua A lần lượt cắt hai b. Tính AK theo R đường tròn tại M và N. c. Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ADE 1. Chứng minh H BC với OA. Chứng minh tứ giác BOND nội tiếp . Suy ra N là điểm cố định 2. Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao? 3. Gọi I và K là trung điểm của BC và MN. Chứng minh bốn điểm A 3. Tìm vị trí của BC để diện tích ABC lớn nhất 4. Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ nhất. , H, I , K một đường tròn .Từ đó suy ra quỹ tích của I khi d quay quanh A Bài 19 Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định. M là điểm di chuyển trên 1. Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất Bài 16 cung lớn AB . Vẽ hình bình hành MABC. Vẽ MH  BC tại H cắt (O) Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại K. BK cắt MC tại F. tại A và B. Vẽ cát tuyến qua B cắt (O) tại E , cắt (O’) tại F. 1. Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp . Suy ra K là trực tâm của MBC 1. Chứng minh AE = AF 2. Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB (C (O) ; D (O’) ), Gọi 2. Tia phân giác của AMB cắt (O) tại E và cắt tia CB tại N.Chứng K là giao điểm của CE và FD. Chứng minh AEKF và ACKD là minh MBN cân. Suy ra N thuộc một cung tròn cố định tâm O’ các tứ giác nội tiếp khi M di chuyển trên cung lớn AB 3. Chứng minh EKF cân 3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O’) 4. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh I , A , K thẳng hàng VIETMATHS.NET4. Khi AB = R 3 . Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R 5. Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào? 7 Gv : Lưu Văn Chung 8 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 20 nhất , tính giá trị lớn nhất đó theo a Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố định ( AB < 2R ) . Một Bài 23 điểm M tùy ý trên cung lớn AB ( M A , B ) . Gọi I là trung điểm Cho ABC có ba góc nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A. BHCD. Đường thẳng qua D và // BC cắt đường thẳng AH tại E. Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N 1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn , P. 2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , chứng minh 1. Chứng minh IA2 = IP.IM BAE OAC và BE = CD 2. Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành 3. Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng AM cắt OH tại G. 3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP) Chứng minh G là trọng tâm của ABC 4. Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố Bài 24 định Cho ba điểm cố định A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự đó ). Một Bài 21 đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B, C . Từ điểm A kẻ các Cho ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O). Đường thẳng MN cắt AO và tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng AC lần lượt tại H và K d quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N sao 1. Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định cho A nằm giữa M và N. 2. Gọi I là trung điểm BC. Vẽ dây MD // BC. Chứng minh DN đi 1. Chứng minh H BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông qua điểm cố định HM 3. Chứng minh đường tròn (OHI) luôn đi qua 2 điểm cố định 2. Chứng minh tỉ số không đổi HN Bài 25 3. Gọi I là trung điểm MN , K là trung điểm BC. Chứng minh 4 Cho ABC có  0 , BC = a . O là tâm đường tròn ngoại tiếp điểm A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn và I di chuyển trên A 45 ABC B’ và C’ là chân các đường cao hạ từ B và C xuống các cạnh một cung tròn cố định tương ứng .Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’. 4. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích MHN lớn nhất 1. Chứng minh A , B’ , O’ , C’ cùng thuộc một đường tròn tâm I Bài 22 2. Tính B’C’ theo a Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng một nửa mặt 3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng Bài 26 2 d thay đổi cắt Ax tại M , cắt By tại N sao cho AM.BN = a . Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp 1. Chứng minh AOM ~ BON và MON vuông tuyến MA và MB với (O) 2. Gọi H là hình chiếu của O trên MN. Chứng minh đường thẳng d 1. Chứng minh AMB đều và tính MA theo R luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H. 2. Qua điểm C thuộc cung nhỏ vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tại 3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp MON chạy trên AB VIETMATHS.NET E và cắt MB tại F. Chứng minh chu vi MEF không đổi khi C một tia cố định chạy trên cung nhỏ AB 4. Tìm vị trí của đường thẳng d sao cho chu vi AHB đạt giá trị lớn 9 Gv : Lưu Văn Chung 10 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 3. OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H. Chứng minh EK  OF. Bài 30 0 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến 4. Khi sđ BC = 90 . Tính EF và diện tích OHK theo R Bài 27 chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định. Điểm A di chuyển trên C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường cung lớn BC .Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 1. Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn thẳng MN tại P và Q; các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Chứng minh : 2. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộc 1. Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD một đường tròn 2. EPQ cân Bài 31 3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua một điểm cố định Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ). Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với hai cạnh 4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi qua một điểm cố định O’ AB và AC tại I và K . Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với (O). 1. Chứng minh ME là tia phân giác AMC 5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O) Bài 28 2. Tia phân giác Mx của BMC cắt IK tại F . Chứng minh tứ giác Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R 3 .Vẽ đường tròn (M) đường FKCM và FIBM nội tiếp 3. Chứng minh BIF ~ FKC kính BC. Lấy điểm A (M) (A ở ngoài (O) ). AB , AC cắt (O) tại D 4. Chứng minh FM2 = MB.MC và E. Đường cao AH của ABC cắt DE tại I. 1. Chứng minh AD.AB = AE.AC 5. Chứng minh tia CF là phân giác BCA 2. Chứng minh I là trung điểm DE Bài 32 3. AM cắt ED tại K. Chứng minh IKMH nội tiếp Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB và CD vuông góc với AH nhau . I là điểm di động trên bán kính OB ( I B và O ).Tia CI cắt 4. Tính DE và tỉ số theo R AK đường tròn tại E. 5. Tìm vị trí điểm A để diện tích ADE lớn nhất 1. Chứng minh OIED nội tiếp Bài 29 2. Chứng minh CI.CE = 2R2 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến 3. DB cắt CE tại H. AE cắt CD tại K. Chứng minh HK // AB chung gần P của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với 4. Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi khi I di động (O’) tại B. Tiếp tuyến cỏa (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ hai là D (D trên OB ( I O và B ) P), đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại K. Chứng minh : Bài 33 1. Bốn điểm A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB cố định . Gọi M là điểm 2. BPK cân chính giữa cung nhỏ . Lấy điểm C tùy ý trên trên cung nhỏ , 3. Đường tròn ngoại tiếp PQK tiếp xúc với PB và KB VIETMATHS.NETAB MB kẻ tia Ax vuông góc với tia CM tại H , cắt đường thẳng BC tại K. 11 Gv : Lưu Văn Chung 12 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 1. Chứng minh CM là tia phân giác của ACK 4. Cho a = 5, AM = 2 . Tính EF. 2. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABK và sđ không phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài 37 AKB Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định trên đường tròn . Một 3. Tia KM cắt tia AB tại E và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh tích ME.MF không đổi khi C di động và tính góc nhọn xAy có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn tại B và C.Vẽ hình bình hành ABDC. Gọi E là trực tâm BDC. tích đó theo R và MAB Bài 34 1. Chứng minh E thuộc đường tròn (O;R) Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp 2. Gọi H là trực tâm của ABC. Chứng minh EH , BC và AD tuyến MA và MB với (O) đồng quy tại một điểm I 1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO  AB 3. Khi góc xAy quay quanh A sao cho Ax và Ay vẫn cắt (O;R) thì 2. Chứng minh AMB đều và tính MA theo R H di chuyển trên đường cố định nào ? 3. Qua điểm C thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA Bài 38 tại E và cắt MB tại F. OF cắt AB tại K .OE cắt AB tại H. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một đường thẳng d qua tâm O của Chứng minh EK  OF hình vuông cắt AD và BC tại E và F. Từ E kẻ đường thẳng song song 4. Chứng minh EF = 2HK với BD , từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt nhau tại I. Bài 35 1. Chứng minh A , I , B thẳng hàng Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ). 2. Kẻ IH  EF tại H. Chứng minh H luôn thuộc một đường tròn Đường cao BE của tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) tại K . Kẻ cố định khi d quay quanh O KD vuông góc với BC tại D . 3. Đường thẳng IH cắt đường trung trực của AB tại K. Chứng 1. Chứng minh 4 điểm K ; E ; D ; C cùng thuộc một đường tròn . minh AKBH nội tiếp . Suy ra K cố định Xác định tâm của đường tròn này 4. Tìm vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn nhất 2. Chứng minh KB là phân giác của AKD Bài 39 3. Tia DE cắt đường thẳng AB tại I . Chứng minh KI  AB Cho đường tròn (O;R) và dây AB cố định . I là điểm chính giữa cung 4. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB tại H . Chứng minh CH // KI lớn AB . M là điểm di động trên cung lớn AB . K là trung điểm AB. Bài 36 Vẽ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H cắt đường thẳng MB Cho hình vuông ABCD cạnh a. M , N là hai điểm di động trên AD và tại C. 1. Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp DC sao cho MBN 450 . BM , BN cắt AC lần lượt tại E và F. 2. Chứng minh AMC là các tam giác cân 1. Chứng minh NE  BM 3. Chứng minh khi M di động thì C luôn thuộc một đường cố định 2. Gọi H là giao điểm của ME và NF. Chứng minh HF.HM =HE.HN VIETMATHS.NET4. Gọi E là điểm đối xứng với A qua I và F là điểm đối xứng với B qua đường thẳng MI. Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp 3. Tia BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. Suy ra đường thẳng MN 13 Gv : Lưu Văn Chung 14 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 5. Tìm vị trí M để chu vi ABM lớn nhất Bài 43 6. Tìm vị trí M để chu vi ACM lớn nhất Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d không cắt đường tròn . Bài 40 Vẽ OH  d tại H. M là điểm thuộc d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm AO. MB với (O) ( A , B là các tiếp điểm ). Vẽ đường thẳng Cx  AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di 1. Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp động trên đoạn CI ( K C và I), Tia AK cắt (O) tại M. Đường thẳng 2. Đường thẳng AB cắt OH tại I. Chứng minh IH.IO = IA.IB Cx cắt đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N 3. Chứng minh I cố định khi M chạy trên đường thẳng d. 2 1. Chứng minh AK.AM = R 4. Cho OM = 2R , OH = a. Tính diện tích MAI theo a và R 2. Chứng minh NMK cân Bài 44 3. Khi K là trung điểm CI. Tính diện tích ABD theo R Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài đường tròn . Vẽ đường 4. Chứng minh khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn thẳng d  OA tại A. Lấy điểm M d . Vẽ tiếp tuyến MC với (O) C ngoại tiếp ADK thuộc một đường thẳng cố định. là tiếp điểm ). Bài 41 1. Chứng minh 4 điểm M , A , O , C cùng thuộc một đường tròn. Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB. I là điểm thuộc AO sao cho 2. AC cắt (O) tại B, Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại E , cắt AO = 3IO. Qua I vẽ dây CD  AB. Trên CD lấy K tùy ý . Tia AK cắt đường thẳng d tại D. Chứng minh M, E, O, D cùng thuộc một (O) tại M. đường tròn 1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp 3. Chứng minh A là trung điểm MD 2. Chứng minh đường thẳng AM tiếp xúc với đường tròn ngoại 4. Chứng minh EOD ~ COA. tiếp MKC 5. Cho OM = 2R và OA = a. Tính DE theo a và R 3. Chứng minh tâm P của đường tròn ngoại tiếp CMK thuộc Bài 45 một đường cố định Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)( AB < AC ). 4. Tính khoảng cách nhỏ nhất của DP Kẻ đường cao AH và đường kính AD của đường tròn (O). Phân giác Bài 42 của BAC cắt (O) tại E. Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm thuộc 1. Chứng minh AE là phân giác của cung nhỏ AC. Tia AM cắt tia BC tại D. HAD 2. Chứng minh AB.AC = AH.AD 1. Chứng minh ADC ACM 3. Chứng minh 2 HAD ABC ACB 2. Chứng minh AC = AM. AD 4. EO cắt AC tại F , BF cắt AH tại M. Chứng minh AFM cân 3. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 5. Cho AB = 4 , AC = 5 , R = 3. Tính BC (lấy 1 chữ số thập phân ) MCD Bài 46 4. Lấy E là điểm thuộc tia đối của tia MB sao cho ME = MC. Cho ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm trên cung nhỏ . Trên Chứng minh ABDE nội tiếp . BC dây AM lấy điểm E sao cho ME = MB . 5. Chứng minh C luôn thuộc một cung tròn cố định . Xác định VIETMATHS.NET 1. Chứng minh MBE đều tâm của cung tròn này. 15 Gv : Lưu Văn Chung 16 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 2. Chứng minh CBM = ABE NEN lớn nhất 3. Tìm vị trí điểm M sao cho tổng MA + MB + MC lớn nhất 4. Biết AM = 3BM. Tính DN và EB theo R Bài 50 4. Khi M chạy trên BC nhỏ thì E chạy trên đường cố định nào Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC. 5. Gọi F là giao điểm của AM và BC. Chứng minh 1 1 1 Phân giác của BAC cắt BC tại E và cắt (O) tại D. Tia OD cắt BC MF MB MC tại K.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M . 6. Chứng minh MA2 MB 2 MC 2 6 R 2 1. Chứng minh tứ giác MAOK nội tiếp 2 Bài 47 2. Chứng minh MA = MB.MC Cho đường tròn (O;R) và dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với 3. Chứng minh MA = ME 4. Kẻ tiếp tuyến MF của (O) ( F là tiếp điểm ). Chứng minh tia AB tại K.( D thuộc cung nhỏ AB ). M là điểm thuộc cung nhỏ BC . DM cắt AB tại F. FE v đường thẳng DO cắt nhau tại điểm thuộc (O). 5. Biết BE = a và EC = b. Tính AM theo a và b. 1. Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp 2 Bài 51 2. Chứng minh DF. DM = AD Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Phân giác 3. Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AF tại I. Chứng minh IE = IF của góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E. Vẽ DK AB và DM AC tại K và M. 4. Chứng minh FB KF   1. Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp và KM AE EB KA  2. Chứng minh AD.AE = AB.AC Hd : d) Chú ý F là trực tâm của CDE . Suy ra : KE.KF = KC.KD 3. Chứng minh MK = AD. sin BAC Bài 48 4. So sánh diện tích tứ giác AKEM và diện tích ABC Bài 52 Cho ABC vuông tại A ( AB < AC ). Tia phân giác của ABC cắt AC tại M. Đường tròn (O) đường kính MC cắt tia BM tại H, cắt BC tại N. Cho điểm A đoạn BC sao cho AB = 2AC . Vẽ đường tròn (O;R) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC. 1. Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp 2 1. Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau 2. Chứng minh HC = HM.HB 3. HO cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm NC 1 2. Lấy điểm H đoạn OB sao cho OH = OB. Vẽ tia Hx 4. Cho AB = 5 cm , HC = 3 2 cm. Tính độ dài cạnh BC. 5 Bài 49 vuông góc AB cắt (O) tại D. Tia DA cắt (O’) tại M. Vẽ đường Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với kính MN của (O’). OD cắt BN tại K. Chứng minh OD // MN và tính OK theo R nhau E là điểm thuộc nhỏ. AE cắt DC tại N , CE cắt AB tại M. DB 3. Chứng minh BN là tiếp tuyến của (O’) 1. Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp 2. Chứng minh AN. AE = 2R2 VIETMATHS.NET4. DA cắt BN tại E. Tính diện tích BEA theo R 3. Chứng minh ANC ~ MAC. Tìm vị trí của E để diện tích 17 Gv : Lưu Văn Chung 18 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 53 2. CM và DN cắt nhau tại E. Ch. minh tứ giác AMEN nội tiếp 3. Chứng minh điểm E thuộc một đường cố định khi M thay đổi Cho AOB cân tại O ( AOB 900 ). Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ MC // OB và MD // OA. Vẽ đường tròn (C;CM) và đường tròn 4. Chứng minh AMB ~ AED (D;DM) cắt nhau tại điểm thứ hai là N. Bài 57 Cho ABC có ba góc nhọn (AB r) cắt nhau tại Avà B. Vẽ 3. Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất . đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O’). M là điểm thuộc Bài 60 cung nhỏ BC. MB cắt (O’) tại N. Cho hai điểm A và B thuộc đường tròn (O) ( AB không đi qua O ) và AN VIETMATHS.NETcó hai điểm C và D lưu động trên cung lớn AB sao cho AD // BC ( C 1. Chứng minh C , B , D thẳng hàng. Tính tỉ số theo R và r AM 19 Gv : Lưu Văn Chung 20 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 và D khác A và B ; AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC. Bài 64 Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I. Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). Một đường thẳng d thay 1. Chứng minh ba điểm I , O , M thẳng hàng đổi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của (O) ở M và N. Giả sử d 2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp MCD không đổi cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của MC Bài 61 và NB. 1. Chứng minh MBA ~ CAN Cho (O;R) và dây MN cố định P là điểm chính giữa cung lớn MN . Lấy điểm I thuộc nhỏ, kẻ tia Mx PI tại K cắt tia NI tại E. 2. Chứng minh tích MB.CN không đổi PN  3. Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp 1. Chứng minh IP là tia phân giác của MIE 4. Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua điểm cố định 2. Chứng minh E luôn chạy trên một cung tròn cố định khi I di Bài 65 chuyển trên cung nhỏ PN . Xác định tâm của cung tròn này. Cho đường tròn (O;R) và đường kính AB cố định. MN là đường kính 3. Tia EP cắt MN tại F, cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh thay đổi của (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BM và BN lần lượt tại PM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MFG E và F. Gọi I là trung điểm EA và K là trung điểm AF. 4. Tính tích PF.PG theo R và PMN 1. Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp Bài 62 2. Chứng minh IMNK là hình thang vuông. Tính EF theo R để Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định thuộc (O). Vẽ tiếp IMNK là hình chữ nhật tuyến Ax, trên tia Ax lấy điểm Q. Vẽ tiếp tuyến QB với đường tròn 3. Chứng minh tích AI.AK không đổi khi MN thay đổi (O) ( B là tiếp điểm ). 4. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp IBK luôn đi qua điểm cố 1. Chứng minh QBOA nội tiếp và OQ  AB định ( khác điểm B ) 2. Gọi E là trung điểm OQ. Tìm quỹ tích của E khi Q di chuyển Bài 66 trên tia Ax Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm M tùy ý thuộc bán kính 3. Vẽ BK  Ax tại K cắt OQ tại H. Tìm quỹ tích của H OC . Qua M vẽ dây AE vuông góc với BC. Từ A vẽ tiếp tuyến của (O) 4. Cho AQ = 2R. Tính HK theo R cắt đường thẳng BC tại D. Bài 63 1. Chứng minh EC là phân giác của Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao AED 2. Vẽ đường cao AK của BAE . Gọi I là trung điểm của AK. AD , BE , CF cắt nhau tại H . AH cắt (O) tại K. Đường thẳng AO cắt Tia BI cắt đường tròn (O) tại H. Chứng minh MH  AH đường tròn (O) tại M. 3. Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp 1. Chứng minh MK // BC và DH = DK 4. Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến của đường tròn 2. Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC ngoại tiếp AHD HD HE HF 5. Khi M là trung điểm OC. Tính diện tích MHC theo R 3. Chứng minh : 1 AD BE CF Bài 67 AD BE CF VIETMATHS.NETTừ điểm A ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với 4. Chứng minh 9 HD HE HF 21 Gv : Lưu Văn Chung 22 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 đường tròn (B và C là hai tiếp điểm ). Vẽ cát tuyến AEF với đường M , H, I , N cùng thuộc một đường tròn tròn (O). Vẽ dây ED OB cắt BC tại M và cắt BF tại N. Gọi K là  d. Nếu IA là phân giác của EIF . Tính số đo BCE trung điểm EF. Bài 71 1. Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp và KCE BNE Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chạy 2. Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp trên cung nhỏ BC . Gọi E và F là hình chiếu của A lên đường thẳng 3. Chứng minh tia FM đi qua trung điểm của AB MB và MC. AH là đường cao của ABC. Bài 68 1. Chứng minh 4 điểm A , E , M , F cùng thuộc một đường tròn Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) 2. Chứng minh khi M thay đổi thì tỉ số AE không đổi (AB CB ). Kẻ CH AB tại H. Đường tròn tâm K đường kính  ; C’. CH cắt AC tại D và BC tại E , cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ AA''' BB CC hai là F. a. Chứng minh AD BD CD 1. Chứng minh CH = DE b. Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD 2. Chứng minh CA.CD = CB.CE c. Gọi AA1 , BB1 , CC1 là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt vẽ từ 3. Chứng minh ABED nội tiếp A , B , C ( A1 , B1 , C1 là các tiếp điểm ). Chứng minh : 4. CF cắt AB tại Q. Hỏi K là điểm đặc biệt gì của OCQ. AA1.BC = BB1.AC = CC1.AB 5. Chứng tỏ Q là một giao điểm của DE và đường tròn ngoại tiếp OKF Bài 73 Cho đuờng tròn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy điểm M (O; R) Bài 70 sao cho MA < MB. Phân giác góc AMB cắt đuờng tròn tại D , cắt AB Cho đường tròn (O, R) và dây BC . A là điểm thuộc cung lớn sao BC tại K. cho 0 .Kẻ đường cao AH, BE , CF của ABC. BAC 60 a. Chứng minh OD  AB và ADB cân 1. Chứng minh BEFC nội tiếp đường tròn . Xác định tâm I b. Trên cạnh MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Chứng minh tứ 2. Chứng minh đường thẳng kẻ từ A và vuông góc với EF đi qua giác DKCB nội tiếp một điểm cố định khi A chạy trên AB VIETMATHS.NETc. Vẽ phân giác BI của MKB. Chứng minh D là tâm đuờng 3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm EB và FC. Chứng minh tròn ngoại tiếp tứ giác AICB 23 Gv : Lưu Văn Chung 24 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 d. Vẽ đường kính DF của đuờng tròn (O;R), MF cắt AI tại N. Biết AM = R tính khoảng cách từ N đến đường thẳng AM HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 74 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đuờng tròn (O;R). (AC < AC) Bài 1 Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C của đuờng tròn (O) cắt nhau tại K D. Tia OD cắt BC tại H 1. Chứng minh EFO’O nội tiếp E a. Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp và OD BC tại H cm F  EOA FO' A N BC 2 A 2. Chứng minh MC không đổi I b. Chứng minh HO.HD = 4 NF M cm MCE ~ NFD c. Vẽ cát tuyến DMN với đuờng tròn (O) song song với Abcắt O O’ AC tại K. Chứng minh DM.DN = DB.DC và CEA ~ DFA D d. Chứng minh OK MN MC EC AC C P B  không đổi e. Cho BAC 600 và AOB 900 . Tính diện tích BKC theo R NF DF AD 3. Quỹ tích trung điểm I của MN Bài 75 Gọi P là trung điểm CD P cố định và IP là đường trung bình của hình Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đuờng tròn (O;R) (AB < AC).Phân thang CMND PIA vuông tại I I thuộc đường tròn đường kính giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt (O;R) tại M. AP cố định a. Chứng minh OM  BC tại I b. Tiếp tuyến tại A cắt BC tại S. Chứng minh SA = SD 4. Chứng minh đường thẳng KI đi qua điểm cố định Chứng minh MKN cân K , I , P thẳng hàng KI đi qua P cố định c. Vẽ đường kính MN của (O;R) cắt AC tại F , BN cắt AM tại E. Chứng minh EF // BC 5. Khi MM // EF Chứng minh MN = BE + BF Trước hết cần chứng minh C , B , D thẳng hàng d. Vẽ tiếp tuyến SK của (O) (K là tiếp điểm , K A). Chứng minh K , N , D thẳng hàng MN // EF EFA FAN e. Cho AB = 3 , BC = 5 , AC = 6. Chứng minh SAB cân Mà EFA ADB FAN ADB E M F AB FN BF AN A BF = AN Tương tự chứng minh BE = AM N MN = BE + BF O O’ C D B VIETMATHS.NET Bài 2 25 Gv : Lưu Văn Chung 26 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1. Chứng minh CAF CKF Chứng minh AKFC nội tiếp Bài 4 2. Chứng minh KAF vuông cân B Chú ý 0 D AFK ACD 45 3. Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF M Chứng minh AIBF nội tiếp 0 E ABI AFI 45 F Mà 0 B , D , I thẳng hàng ABD 45 A 4. Chứng minh IMCF nội tiếp O A B N Chứng minh ABM = CBM BAM BCM Mà BAM BIF BCM BIF H Do đó tứ giác IMCF nội tiếp M ID E C 5. Tính tỉ số K D C CF 1. Chứng minh EFCH và EFBD nội tiếp Chứng minh ADI ~ ACF Học sinh tự chứng minh I 2. Chứng minh EF2 = ED.EH ID AD 2 F Chứng minh EFD ~ EHF (g-g) CF AC 2 3. Chứng minh EMFN nội tiếp Bài 3 Ta có DEB EBC ECB ( góc ngoài BEC ) K Mà EBC ECH EFH và ECB DBE DFE 1. Chứng minh M IHM ICM A Suy ra : DEB DFE EFN MFN tứ giác EMFN nội tiếp Chứng minh tứ giác MIHC nội tiếp 4. Chứng minh MN EF 2. Chứng minh MK BK   Ta có : ( EMFN nội tiếp ) Chứng minh tứ giác BHMK nội tiếp I ENM EFM F Mà : 3. Chứng minh MIH ~ MAB EFM DBE BEC ENM BCE MN // BC MN EF Chứng minh E  IMH AMB() ACB Và IHM ABM Bài 5 B H C 4. Chứng minh ME  EF IH AB IF AE 1. Chứng minh AMOI nội tiếp . Xác định tâm K của đường tròn Ta có MIH MAB và ( MIH ~ MAB ) IM AM IM AM Học sinh tự chứng minh VIETMATHS.NET2. Chứng minh CHOD nội tiếp MAE ~ MIF ( c-g-c) KFM KEM KMFE nội tiếp MFE MKE 900 MF  EF 27 28 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh AC.AD = AH.AO ( = AM2 ) AC AH Mà ADC MAC ( cùng chắn cung AC ) CME MAC 2 AO AD Xét MEA và CEM đồng dạng EM = EC.EA AHC ~ ADO CHOD nội tiếp Từ đó suy ra : EM = EB A AHC ADO 3. Chứng minh CFIN nội tiếp 4. Chứng minh BC.BM =MC.AB F Chứng minh MCB ~ BCA D Ta có AM // CB ( cùng MO ) C  BCD MAI ( g – g ) M O Mà (cùng chắn cung ) H MAI MNI MI BCD MNI Suy ra tứ giác CFIN nội tiếp E 4. Chứng minh KE  AM 5. Chứng minh tia CF là phân giác của MCA MD cắt CB tại G. Ta có ( = ) FI // MD B MDC FIC MNC Ta có AD // MB CED có I là trung điểm CD và FI // GD F là trung điểm CG AB DB ADB DCB Mà ( ACBD nội tiếp ) và ( đ đ ) Xét MDA có CG // AM và F là trung điểm CG E là trung điểm FCA ADB FCM DCB AM Suy ra : FCM FCA tia CF là phân giác của MCA Suy ra : KE  AM ( tính chất đường kính – dây cung ) 6. Tính diện tích BAD theo R Tính diện tích MAB theo R ( tính MA và tính AH ) Chứng minh ADB ~ ABM với tỉ số đồng dạng k = AB = ? M AM Suy ra : S = k2. S = ? E ABD AMB B A H O Bài 7 K G A C F 1. Chứng minh DAEC và DBFC nội tiếp E I ( Học sinh tự chứng minh ) D 2. Chứng minh CE.CF = CD2 H N D C Chứng minh CED ~ CDK O 3. Chứng minh CHDK nội tiếp M Bài 6 K Chứng minh tương tự bài 4 1. Chứng minh MAOB nội tiếp 4. Chứng minh HK // AB F Học sinh tự chứng minh Chứng minh tương tự bài 4 2. Chứng minh EB2 = EC.EA 5. Chứng minh HK là tiếp tuyến chung B EB EA 2 Chứng minh EBC ~ EAB EB = EC. EA Chứng minh CHK CEH HK là tiếp tuyến của đường tròn (CEH) EC EB Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (CKF) 3. Chứng minh E là trung điểm MB CKH CFK VIETMATHS.NET6. Chứng minh CI đi qua trung điểm AB Ta có : AD // MB ADC CME Chứng minh đường thẳng CI đi qua trung điểm của HK 29 Gv : Lưu Văn Chung 30 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 đường thẳng CI đi qua trung điểm của AB Đường thẳng CI cắt (I) tại Q , đường thẳng KO cắt CQ tại M ( do AB // HK trong ACB ) NQ BC NQ // KM F  KMC NQC Mà ta có : ( cùng chắn trong (I) ) Bài 8 NQC KAC NC Suy ra : tứ giác KAMC nội tiếp M thuộc đường KAC KMC 1. Chứng minh MIHF và OHEI nội tiếp A tròn ngoại tiếp AKC M thuộc đường tròn (O). ( Học sinh tự chứng minh ) 2 2. Chứng minh MA = MC.MD d M C E H D Bài 10 ( Học sinh tự chứng minh ) A 3. Chứng minh CIOD nội tiếp I O 1. Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) F Tương tự câu 2 bài 5 và MA2 = MB.MC 2 4. Chứng minh 4IF.IE = AB Chứng minh MAO vuông tại A M I H O 2 Chứng minh MAB ~ MCA Chứng minh IF.IE = IO.IM = IA.IB = AB B 2. Chứng minh MHEN nội tiếp E 4 B C Học sinh tự chứng minh 5. Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định 3. Tính ON theo a và R 2 Chứng minh OH.OF = OI.OM = OA2 = R2 OF = R không đổi 2 2 D Chứng minh OE.ON = OH.OM = OA = R OH 2 2 2 Từ đó F là điểm cố định ( OF không đổi và đường thẳng OH cố định ) ON = R = R = 2R Q OE 2 2 2 2 a 4R a Bài 9 M R A 4 N 4. Chứng minh ABCF là hình thang cân 1. Chứng minh AEDB và CDHE nội tiếp E I y MED MAD AFD (cùng chắn MD trong (I) và chắn AD trong (O) ( Học sinh tự chứng minh ) AF // BC ABCF là hình thang 2. Chứng minh OC DE  F Mà ABCF nội tiếp (O) ABCF là hình thang cân Vẽ tiếp tuyến tại C của (O) , H O chứng minh xy // DE OC DE  N 3. Chứng minh B D C Bài 11 2 2 2 AH.AD + BH.BE + CH.CF = AB AC BC K 1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy ra số đo OID 2 C là điểm chính giữa CO AB tại O Chứng minh : AH.AD = AF.AB và BH.BE = BF.BA x AB  Suy ra : AH.AD + BH.BE = AB2 Ta có AOC AIC 900 tứ giác ACIO nội tiếp 2 2 Tương tự chứng minh : AH.AD + CH.CF = AC và BH.BE + CH.CF = BC Suy ra : OID ACB 450 Từ đó suy ra điều phải chứng minh . VIETMATHS.NET2. Chứng minh OI là tia phân giác của 4. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn (O) COM Ta có AIO ACO 450 AIO OID đpcm 31 Gv : Lưu Văn Chung 32 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 2 2 2 3. Chứng minh CIO ~ CMB. Tính tỉ số IO S = S – S = RR2 ( 2 1) = R ( 2 1) ACIO ACD OID BM 2 4 4 Chứng minh OCI OAI MCB và COI CAM CBM Bài 12 IO CO 2 Suy ra CIO ~ CMB ( g-g ) MB CB 2 1. Chứng minh B , C , D thẳng hàng ( do COB vuông cân ) Chứng minh AD  BD và AD  DC 4. Tính tỉ số AM và tính MA và MB theo R 2. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp MB ( học sinh tự chứng minh ) GO 1 OG 1 Chứng minh G là trọng tâm của ABC 3. So sánh DH và DE OC 3 OA 3 Gọi G là giao điểm BF và CE . Chứng minh được A , D , G thẳng hàng . MB OG 1 AM Từ đó suy ra H thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác AEGF Chứng minh AOG ~ AMB 3 MA OA 3 BM Chứng minh : HDO EDO Đặt BM = x ( x > 0) . Vẽ OM DE tại M , vẽ ON DH tại N. 2 2 2 2   G Suy ra AM = 3x . Ta có AM + BM = AB = 4R Suy ra : OM = ON (3x)2 + x2 = 4R2 10x2 = 4R2 x = R 10 MOD NOD E C H O 5 Chứng minh HON = EOM N M Vậy : MB = R 10 và AM = 3R 10 HON EOM F A 5 5 K M HOD EOD 5. Khi M là điểm chính giữa . BC G I HOD = EOD I K Tính diện tích tứ giác ACIO theo R DH = DE M là điểm chính giữa BC B C A O H D B AI là phân giác của CAD D CAD cân tại A AD = AC = R 2 Bài 13 OD = AD – AO = R 2 R E 2 x Ta có : S = 1 1R 2 1. Chứng minh EDKI nội tiếp ACD CO. AD R . R 2 I 2 2 2 ( Học sinh tự chứng minh ) 1 R 2. Chứng minh CI.CE = CK.CD Kẻ đường cao IH của OID IH = OC O 2 2 Chứng minh CIK ~ CDE (g-g) 2 3. Chứng minh IC là tia phân giác  Ta có : S = 1 1RR ( 2 1) xIB OID IH. OD . . R ( 2 1) A D K B C 2 2 2 4 VIETMATHS.NET xIC EIA (đ đ ) F CIB EAB ( EIBA nội tiếp ) 33 Gv : Lưu Văn Chung 34 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 EIA EAB ( EA EB ) 1. Chứng minh H BC xIC CIB Chứng minh 0 và 0 B , H , C thẳng hàng Tia IC là phân giác của  AHB 90 AHC 90 xIB 2. Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao ? 4. Đường thẳng FI luôn đi qua điểm cố định ( Học sinh tự chứng minh ) CA. CB Chứng minh CK.CD = CI.CE = CB.CA CK = 4. Chứng minh A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn. CD Suy ra quỹ tích của I Do D là trung điểm AB D cố định CD không đổi N Chứng minh 0 CK không đổi K là điểm cố định . AHK AIK 90 A I AHKI nội tiếp Vậy đường thẳng FI luôn đi qua điểm K cố định . M I đường tròn đường kính AK O’ D cố định khi d quay quanh A. O Bài 14 4. Xác định vị trí của d để MN lớn nhất Vẽ BD NC tại D.  B H K C N Suy ra MN = BD BC . 1. Chứng minh ABCE nội tiếp Vậy MN lớn nhất khi khi MN = BC . 0 ABEC nội tiếp B BAC BEC 90 Khi đó D  C MN // BC hay d // BC 2. Chứng minh BCA ACF K CED 900 ; CEB 900 Bài 16 Suy ra E ,D , B thẳng hàng I P 1. Chứng minh AE = AF BCA BEA ( chắn BA ) M C A D O Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau trong hai đường tròn bằng BEA ACF ( DCFE nội tiếp ) nhau BCA ACF E 2. Chứng minh AEKF và ACKD nội tiếp 3. Chứng minh BMCN nội tiếp AB CD AC và AD là hai đường kính của (O) và (O’) F  Chứng minh MBD cân tại B 0 BMC BDM Suy ra : AEK AFK 90 AEKF nội tiếp D và N đối xứng nhau qua BC BNC BDC Do AE = AF AE AF ACE ADF ACKD nội tiếp Suy ra BNC BMC BDM BDC 900 BMCN nội tiếp 3. Chứng minh EKF cân 4. Xác định vị trí của D để đường tròn (BMCN) có bán kính nhỏ nhất FEK CAB ( ABEC nội tiếp ) Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC P thuộc đường EFK DAB ( ABDF nội tiếp FEK EFK EKF cân tại K trung trực của BC. Ta có BP BI ( BI không đổi ) . Vậy PB nhỏ 4. Chứng minh I , A , K thẳng hàng nhất khi P trùng với I . Mà IB = IA và IB = IM IM = IA EAF cân AI EF và EKF cân M A D A    VIETMATHS.NET KI  EF . Suy ra A , I , K thẳng hàng Bài 15 5. Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào ? 35 Gv : Lưu Văn Chung 36 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 AIB vuông tại I I đường tròn đường kính AB OI = OB. OC = R . Do đường thẳng OA cố định , A cố định ACKD nội tiếp K đường tròn ngoại tiếp ACD cố định. OA 2 mà I đường thẳng OA và OI không đổi suy ra I cố định. A 2. a. Chứng minh KECI nội tiếp B ( BDEC nội tiếp ) E DEA DBC O O’ ( BACI nội tiếp ) F D DBC AIC B K KECI nội tiếp I O DEA AIC A b. Tính AK theo R D D C B I AI = AO + OI = 2R + RR5 F E 2 2 O Q C Chứng minh : I A N K K AK.AI = AE.AD = OA2 – R2 M Bài 17 ( vẽ tiếp tuyến từ A của (O) ) H 2 2 2 OA R 3RR 6 E 1. Chứng minh IC2 = IK.IB AK = = AI 5R 5 C Chứng minh IKC ~ ICB 2. Chứng minh BAI ~ AKI 2 c. Chứng minh BOND nội tiếp. Suy ra N là điểm cố định BD // AC KAI BDK DNA DEA ( ADNE nội tiếp ) và DEA ABC ( DBCE nội tiếp ) Mà ( chắn ) BDK ABI BK ABK KAI DNA DBC BOND nội tiếp Và chung AKI ~ BAI AIK Chứng minh : AND ~ AOB ( g-g) 3. Chứng minh I là trung điểm AC 2 2 2 3R Chứng minh AI2 = IK.IB và IC2 = IK.IB ( cmt) AI = IC AN.AO = AD.AB = OA – R = 3R AN = N cố định 2 4. Tìm vị trí của A để CK AB  3. Tìm vị trí của BC để diện tích ABC lớn nhất Giả sử CK AB tại E 0  EBC ECB 90 Kẻ AH BC tại H. Ta có S = 1 = R.AH  ABC AH. BC Mà ECB BDK DAC và EBC BCA DAC BCA 900 2 Do đó S lớn nhất AH lớn nhất AH = OA H O Suy ra : AD  BC K là trực tâm ABC BI  AC ABC  BC OA Mà I là trung điểm AC ABC cân tại B ABC đều  4. Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn (ABC) nhỏ nhất AO = R 3 . Vậy để CK  AB thì OA = R 3 Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và Q là trung điểm AI Bài 18 Ta có IQ = 1 AI = 5R VIETMATHS.NET2 4 1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy ra O là điểm cố định Bán kính đường tròn (ABC ) là IF IQ . IF nhỏ nhất IF = IQ F Q . Mà F trung trực của BC OF BC hay OQ BC Chứng minh AOB ~ COI OI.OA = OC.OB    37 Gv : Lưu Văn Chung 38 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 OA BC . Vậy để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ  1 ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) nhất thì BC phải vuông góc với AO. BMN BOE 2 Suy ra : ( do hai tam giác cân có hai Bài 19 BOE BO ' E EBO' OEB góc ở đỉnh bằng nhau ) Suy ra : OE // O’B . Mà OE AB ( t/c đường kính – dây- cung ) 1. Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp. Suy ra K là trực tâm của MBC  Nên : AB  O’B AB là tiếp tuyến của (O’). Tứ giác AMKB nội tiếp HKB MAB 4. Khi AB = R 3 . Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R Mà ( ABCM là hình bình hành ) MAB MCB AB = R 3 sđ AB 1200 EOB 600 và EB = R Suy ra : HKB MCB FKHC là tứ giác nội tiếp EO ' B 600 EO’B đều O’B = O’E = R Ta lại có : 0 0 BF MC tại F CHK 90 CFK 90  2 K là trực tâm của MBC Từ đó ta có S = 2S = 2. 1 3R 3 EOBO’ EOB RR 2. Chứng minh AMB cân. Suy ra N thuộc một cung tròn cố định 2 2 2 Ta có : AM // BN M F C Bài 20 AMN MNB K Do MN là phân giác 2 AMB 1. Chứng minh IA = IP.IM Ch ng minh IAN ~ IMA Nên : AMN BMN ứ O 2. Ch ng minh ANBP là hình bình hành Từ đó : BMN MNB H ứ Ta có ( chắn trong (O’) ) MBN cân tại B AMP PAB AP ( chắn trong (O)) AP // A AMP ABN BN PAB ABN B BN Chứng minh API = BNI ( g-c-g) AP = BN APBN là hình bình Suy ra : 1 không đổi MNB AMB E hành 2 Ta lại có E là điểm chính giữa cố định 3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP) AB Chứng minh IB2 = IP.IM nên E cố định. EB cố định O' N Từ đó ta có N nhìn đoạn EB cố định dưới IBP ~ IMB IBP IMB Vẽ đường kính BD của đường tròn (K) ngoại tiếp MPB 1 một góc không đổi bằng AMB 2 Ta có IMB PDB và PBD PBD 900 1 0 0 Vậy N thuộc cung chứa góc = AMB dựng trên đoạn EB cố định . IBP PBD 90 IBD 90 2 IB là tiếp tuyến của (K) 3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 4. Chứng minh P chạy trên một đường cố định 1 VIETMATHS.NET Ta có ( hình bình hành ) Ta có : ENB EO ' B ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) APB ANB 2 0 Mà AMB ANB 90 39 Gv : Lưu Văn Chung 40 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Vậy S lớn nhất HM.HN lớn nhất HM và HN là đường kính APB 1800 AMB (= ) MHN D Thật vậy : Vẽ đường kính HM’ của (O) và đường kính HN’ của (O’) ta không đổi APB chứng minh được M’AN’ thẳng hàng . Do đó Khi MH lớn nhất thì NH Do AB cố định cũng lớn nhất . Suy ra khi đó diện tích MHN lớn nhất. P cung chưá góc dựng trên đoạn AB cố định . Bài 22 K 1. Chứng minh AOM ~ BON và MON vuông M Từ giả thiết AM.BN = a2 AM.BN = OA.OB AOM ~ BON (c-g-c) Suy ra : 0 0 O' P O MOA ONB MOA NOB 90 MON 90 2. Chứng minh MN tiếp xúc với nửa đường tròn cố định tại H Chứng minh MNO ABH và NMO BAH AHB MON 900 A Suy ra H đường tròn đường kính AB cố định . Mà MN OH tại H Bài 21 I B  MN tiếp xúc với nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định. N 3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp MON thuộc tia cố định 1. Chứng minh H BC và BCNM là hình thang vuông N Gọi I là trung điểm MN , ta chứng minh OI  AB tại O. Chứng minh AH HB và AH HC   1 C , B , H thẳng hàng Ta có OI = ()BN AM ( OI là đường trung bình hình thang ABNM ) A 2 Chứng minh BM  MN và CN  MN I Mà NH = NB và MH = MA ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) BCNM là hình thang vuông O' Suy ra OI = 1 hay IO = IM = IN I là tâm đường tròn (MON) M O MN 2. Chứng minh tỉ số HM không đổi 2 HN Vậy I tia OI cố định Chứng minh MHN ~ BAC 4. Tìm vị trí đường thẳng d sao cho chu vi AHB lớn nhất. B Hj K C Tính giá trị lớn nhất đó theo a. MH AB không đổi y D NH AC N 3. Chứng minh A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn . Suy ra I di x E chuyển trên một đường cố định. I IK là đường trung bình của hình thang BCNM IK  MN Suy ra tứ giác AIKH nội tiếp . H K H Ta có AIK 900 mà K và A cố định I đường tròn đường kính AK. M 4. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích MNH lớn nhất A VIETMATHS.NET A O B Ta có S = 1 = 1 O B MNH HM. HN .sin MHN HM. HN .sin BAC 2 2 41 Gv : Lưu Văn Chung 42 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Trên tia AH lấy D sao cho HD = HB . Gọi E là điểm đối xứng với A qua Suy ra M và N thuộc đường tròn tâm A bán kính r = AB.AC điểm chính giữa K của . Ta có DHB vuông cân 0 và 2. Chứng minh DN đi qua điểm cố định AB ADB 45 M D Gọi I là giao điểm của DN và BC . Ta có EKB vuông cân AEB 450 . Từ đó suy ra tứ giác ADEB nội tiếp . ( AI // MD ) Ta lại có ABE vuông ( hs tự chứng minh ) AE là đường kính của AIN MDN đường tròn (ADEB) AD AE AD lớn nhất khi AD = AE Mà ( chắn  ) AMN MDN MN O D E H K H   AIN AMN Mà AD = AH + HD = AH + HB . A Ta có : 1 Vậy chu vi ABH = AH + HB + AB = AD + AB lớn nhất khi AD lớn AON MON B K I C 2 nhất ( do AB không đổi ) H K H là điểm chính giữa  AB Và 1 N đường thẳng d // AB. AMN MON AON AMN AIN 2 Bài 23 A, M , O , I , N cùng thuộc một đường tròn đường kính OA OI  BC I là trung điểm BC I là điểm cố định Vậy đường thẳng DN luôn đi qua điểm I cố định 1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn 3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OHI luôn đi qua 2 điểm cố định Chứng minh 0 ABD ACD AED 90 A Chứng minh tứ giác HOIK nội tiếp đường tròn (OHI) đi qua I cố định Suy ra tứ giác A, B, C, D, E cùng thuộc Ta chứng minh thêm điểm K cố định : đường tròn (O) đường kính AD. Ta có AK.AI = AH.AO = AM2 = AB.AC ( hs tự chứng minh ) 2. Chứng minh BAE = OAC và BE = CD AK = AB. AC ( không đổi , do I là điểm cố định ) Tứ giác BEDC là hình thang nội tiếp (O) G O AI K là điểm cố định . BEDC là hình thang cân BE = CD H Vậy đường tròn ngoại tiếp HIO đi qua 2 điểm cố định là I và K. M BE CD BAE OAC 3. Chứng minh G là trọng tâm của ABC C B Bài 25 Chứng minh AH = 2 OM A E D 1. Chứng minh A , B’ , C’ , O’cùng thuộc 45 Chứng minh OM // AH AG AH GM 1 một đường tròn 2 I GM OM AM 3 Chứng minh 5 điểm B , C , B’ , C’ , O Vậy G là trọng tâm của ABC O cùng thuộc đường tròn (K) đường kính BC B' C' AC’C vuông tại C’ có CAC ' 450 O' Bài 24 0 B K B' CC ' 45 a 0 C BC'' nhỏ của (K) có số đo 90 1. Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định VIETMATHS.NET số đo  lớn là 270 0 Chứng minh AM2 = AN2 = AB.AC ( không đổi ) BC'' C ' OB ' 1350 COB ' ' ' 1350 C ' O ' B ' C ' AB ' 1800 43 Gv : Lưu Văn Chung 44 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 tứ giác AC’O’B’ nội tiếp đường tròn có tâm là I . OE = 2 OK 2. Tính B’C’ theo a Ta có S = 1 2 OEF OC. EF R . R 3(31) R 3(31) Trong (K) có C ' KB ' 900 ( sđ BC' ' 900 ) B’KC’ vuông cân 2 C’B’ = KC’ OK 1 2 a 2 Chứng minh OHK ~ OFE với tỉ số đồng dạng k = 3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a OE 2 Ta có 0 ( 0 ) B’IC’ vuông cân 2 B' IC ' 90 B' AC ' 45 Suy ra : S OHK 1 1 S = 1 1 2 OHK SR . 3( 3 1) Mà B’C’ = a IB’ = a OEF 2 S OFE 2 4 4 4 Bài 26 Bài 27 1. Chứng minh AMB đều và tính MA theo R A 1. Chứng minh BEDC nội tiếp E ( Học sinh tự chứng minh ) OA = R , OM = 2R AOM 600 2. Chứng minh MN // DE và B , C M , N cùng thuộc đường tròn AOB 1200 AMB 600 H C Vẽ đường kính AK của (H) Mà AMB cân tại A A Ta có KN AC và KM AB AMB là tam giác đều   M O l Mà HD  AC và HE  AB Tính được AM = K D R 3 KN // HD và KM // HE 2. Chứng minh chu vi MEF không đổi F AD AH AE Gọi p là chu vi MEF , ta có : O E p = ME + EF + MF AN AK AM H N B MN // ED ( đl Thales đảo ) = ME + EC + CF + MF I B C AMN AED = ME + EA + FB + MF = MA + MB = 2 MA = 2 R 3 ( không đổi ) 3. Chứng minh EK OF Mà  AED ACB O' M Ta có EAK 600 . Ta chứng minh : EOF 600 EAOK nội tiếp AMN ACB K tứ giác MBNC nội tiếp Mà EAO 900 EKO 900 EK  OE 0 3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua điểm cố 4. Khi sđ BC = 90 . Tính EF và diện tích OHK theo R định A Khi sđ 0 COBF là hình vuông Chứng minh AO ED ( học sinh tự chứng minh ) OA MN BC 90 E   BF = R MF = MB – FB Hay đường thẳng qua A vuông góc với MN đi qua O cố định . C H 4. Chứng minh đường thẳng kẻ từ H , vuông góc với M đi qua điểm cố = RRR3 ( 3 1) định MFE vuông tại F có 0 M O EMF 60 l K Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua BC . EF = MF. 3 = R 3( 3 1) VIETMATHS.NET Ta chứng minh AOO’H là hình bình hành . HO’ MN F  0 Suy ra điều phải chứng minh Ta có EOK vuông tại K có EOF 60 B 45 Gv : Lưu Văn Chung 46 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O) Do đó : S = 1 1 AH lớn nhất AH lớn nhất ADE DE AK R R Để O’ (O) thì OO’ = R OI = ( I là trung điểm OO’) 2 2 3 2 H  M A là điểm chính giữa BC Suy ra : BI = R 3 BC = R 3 Bài 29 2 Bài 28 1. Chứng minh A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn QPD QBD ( chắn BD trong (O’) ) 1. Chứng minh AD.AB = AE.AC ( chắn trong (O) )  QAK QPK Chứng minh AED ~ ABC ( g-g ) QPD PAQ PQ 2. Chứng minh I là trung điểm DE Suy ra tứ giác ABKQ nội tiếp 2. Chứng minh BPK cân Ta có BA  CA và AH  BC O ( góc ngoài ) HCA HAB BPK BAP ABP Mà ( BDEC nội tiếp ) Mà BAP AQP và ABP PQB BPK AQB EDA HCA H C DIA cân tại I B M Mà ( ABKQ nội tiếp ) EDA HAB I AQB BKP D Tương tự chứng minh AIE cân tại I K x E ID = IA = IE I là trung điểm ED BPK BKP PBK cân tại B A 3. Chứng minh IKMH nội tiếp A Chứng minh MA  DE tại K HMKI nội tiếp B P y 4. Tính DE theo R và tỉ số AH AK Ta có OI DE ( I là trung điểm DE ) và AM DE ( cmt) OI // MA   K O O' Ta có OM  BC và AH  BC IA // OM OIAM là hình bình hành I Suy ra : AI = OM . Mà BC = OM = R IA = R DE = R R 3 M 2 2 Q D Chứng minh AKE ~ AHB AH AB 3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp PQK tiếp xúc với PB và KB AK AE Chứng minh ( hs tự chứng minh ) Mà AB BC R 3 . Vậy AH BPK PQK 3 3 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp PQK . vẽ đường kính PM của (I) AE DE R AK 5. Tìm vị trí điểm A để diện tích ADE lớn nhất Ta có PMK PQK PMK BPK AH AH Mà 0 0 0 Ta có : 3 AK = VIETMATHS.NETPMK MPK 90 BPK MPK 90 BPM 90 AK 3 Suy ra PB  PM BP là tiếp tuyến của (I) Tương tự chứng minh BK là tiếp tuyến của (I) 47 Gv : Lưu Văn Chung 48 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 2. Chứng minh tứ giác FKCM và FIBM nội tiếp A Bài 30 Tứ giác AIO’K nội tiếp E IAK IO ' K 1800 Tứ giác ABMC nội tiếp 1. Chứng minh AE CD  0 IAK BMC 180 K Ta có : ( chắn cung ) ADC AND AD F O IO' K BMC I AND CDE ( đv) ADC CDE Mà 1 O’ j Tương tự ta chứng minh được : AKI IO' K ACD DCE 2 ADC = EDC ( g - c - g) B C Và 1 ( MF là phân giác ) CD là trung trực của AE CD  AE FMC BMC b. Chứng minh EPQ cân 2 FKCM nội tiếp M Chứng minh : ID2 = IB.IA và IC2 = IB.IA IC = ID AKI FMC Tương tự ta chứng minh được tứ giác IFMB nội tiếp IC ID PQ // CD AP = AQ EPQ cân 3. Chứng minh BIF ~ FKC AP AQ P Ta có ( chắn cung trong (O’) ) AKI IMK IK N Mà AKI KFC KCF ( góc ngoài ) A Và KCF FMK ( tứ giác FKCM nội tiếp ) KFC IMF Mà IMF IBF ( tứ giác IFMB nội tiếp ) IBF KFC M O O' Q Ta có ( do ). Vậy BIF ~ FKC ( g – g ) BIF FKC AIK AKI 4. Chứng minh FM2 = MB.MC y Ta có ( tứ giác IFMB nội tiếp ) B KFM IBM D IBF KFC (cmt) FBM CFM C Mà BMF CMF ( MF là phân giác BMC ) 2 x Suy ra : BFM ~ FCM ( g-g) MF = BM.CM 5. Chứng minh CF là phân giác của ACB E ABC BAC Ta có : KFC KMC và AKF 900 2 2 Bài 31 Suy ra : 0 BAC ABC BCA KCF AKF KFC 90 2 2 2 1. Chứng minh ME là tia phân giác AMC VIETMATHS.NET Vậy CF là phân giác của ACB Chứng minh OE // O’K ( hai góc đồng vị bằng nhau) OE  AC AE EC ME là phân giác AMC 49 Gv : Lưu Văn Chung 50 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 32 3. Chứng minh tích ME.MF không đổi. Tính tích đó theo R và MAB = a 2 2 Chứng minh MEB ~ MBF ( g-g ) ME.MF = MB = MA Vẽ đường cao ON của AOM ta có ( = 1 ) 1. Chứng minh tứ giác OIED nội tiếp C AON ABM AOM ( Học sinh tự chứng minh ) 2 2 2 2. Chứng minh CI.CE = 2R2 AM = 2AN = 2OA.sin AON = 2R.sin ME.MF = 4R sin Chứng minh COI ~ CED CI.CE = CO.CD = 2R2 Bài 34 ( Xem bài 26) O I 3. Chứng minh KH // AB A B Chứng minh tứ giác KHED nội tiếp K H Bài 35 E KHD KED 1. Chứng minh K , E , D , C cùng thuộc một đường tròn y Mà KED ABD ( chắn cung AD ) ( học sinh tự chứng minh ) I D HK // AB K KHD ABD 2. Chứng minh KB là phân giác của AKD A 4. Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi AKB ACB BKD Xét CAK và AIC ta có : 0 ACK CAI 45 3. Chứng minh KI  AB x E Chứng minh tứ giác BDKI nội tiếp và CIA CAK (sđ AC + sđ BE = sđ BC + sđ BE ) Suy ra CAK ~ AIC AI.CK = AC2 = 2R2 H BIK 900 BI  IK O 1 2 4. Chứng minh CH // KI Mà SAKCI = AI.CK = R không đổi 2 Vẽ tiếp tuyến xy tại A của (O) B C xAB AHE ( xy // HE ) D Bài 33 Mà xAB ACB AHE ACB tứ giác HECB nội tiếp 0 CH AB CH // IK 1. Chứng minh CM là tia phân giác của BHC 90  ACK Ta có : ( ABCM nội tiếp ) F KCM MAB Bài 36 O A B ACM ABM = MAB ( MA MB ) 2. Chứng minh M là tâm đường tròn (ABK) E E và sđ AKB không đổi 1. Chứng minh NE  BM M A B ACK có CH là đường cao và là phân giác 0 NEBC nội tiếp N MBN NCE 45 I H ACK cân tại C C Mà BC NC NE MB M   F CH là trung trực của AK H 2. Chứng minh HF.HM = HE.HN MA = MK ( M CH ) VIETMATHS.NET Chứng minh MF  BN Mà MA = MB MEFN nội tiếp HNF ~ HME D C K N MA = MB = MK M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABK đpcm 51 Gv : Lưu Văn Chung 52 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 3. Tính BI. Suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Ta có ABDC là hình bình hành . Gọi K là giao điểm của AD và BC Suy ra K là trung điểm của BC và AD. ABM AFM ; AFM ENM ; ENM MBI ABM MBI Chứng minh BECH là hình bình hành . Mà K là trung điểm BC Ta có BI  MN ( H là trực tâm của MBN ) K là trung điểm của HE Chứng minh ABM = IBM ( cạnh huyền – góc nhọn ) BI = BA = a Từ đó suy ra I thuộc cung tròn (B; a) cố định . Vậy BC , AD và HE đồng quy tại K 4. Tính EF biết a = 5 và AM = 2 3. Khi góc xAy quay quanh A sao cho sđ xAy không đổi và Ax và Ay vẫn Ta có DM = AD – AM = 5 – 2 = 3 ; IM = AM = 2 cắt đường tròn (O) thì H di chuyển trê đường cố định nào ? Đặt DN = x ( 0 < x < 5 ). Ta có NC = 5 – x IN = 5 – x Ta có OK là đường trung bình của EAH AH = 2OK Suy ra MN = IN + IM = 5 – x + 2 = 7 – x Mà sđ xAy không đổi sđ AB không đổi AB không đổi Aùp dụng đl Pitago trong MDN ta có : BK không đổi OK = 2 2 không đổi AH không đổi 2 2 2 2 2 2 20 R BK MN = DM + DN (7 – x) = 3 + x 14x = 40 x = Vậy H di chuyển trên đường tròn (A ; AH ) cố định. 7 Suy ra MN = 7 – x = 7 – 20 = 29 Bài 38 7 7 K EF EB 2 Ta chứng minh BEF ~ BNM MN NB 2 1. Chứng minh A, I , B thẳng hàng Chứng minh EIF vuông có IO là trung tuyến EF = MN. 2 = 29 2 29 2 ( thõa mãn điều kiện ) . IOF cân tại O . Mà OB IF  I 2 7 2 14 A B OB là trung trực của IF IB = IF Bài 37 0 IBF cân FIB BFI = 45 F Tuơng tự chứng minh 0 1. Chứng minh E (O;R) AIE 45 H 0 Chứng minh tứ giác IEFD nội tiếp. Suy ra AIE EIF FIB 180 BEI BDCx A , I , B thẳng hàng O Mà BAC BDC (hình bình hành ) B I E D BEI BAC 2. Chứng minh H thuộc đường tròn cố định tứ giác BACE nội tiếp Chứng minh IBFH và IAEH nội tiếp D Mà A, B , C (O) E C IHB IFB 450 và IHA IEA 450 E (O) K O 0 H đường tròn đường kính AB cố định F AHB 90 H 3. Chứng minh tứ giác AKBH nội tiếp . Suy ra K là điểm cố định Chứng minh AOHK nội tiếp ( 0 ) A C y AOK AHK 45 VIETMATHS.NET Chứng minh AOHB nội tiếp ( AOB AHB 900 ) 2. Chứng minh EH , BC , AD đồng quy Suy ra AKBH nội tiếp K đường tròn đường kính AB . 53 Gv : Lưu Văn Chung 54 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 6. Tìm vị trí M để chu vi ACM lớn nhất Mà KA = KB K là điểm chính giữa cung AB K cố định . 4. Tìm vị trí đường thẳng d để diện tích tứ giác AKBH lớn nhất Ta có chu vi ACM = CM + MA + AC = 2( MA + HA ) Ta có dt AKBH = dt AKB + dt AHB . Mà dt AKB không đổi Mà AHM vuông tại H HA = MA.sin HMA MA.sin AMB Dó đó dt AKBH lớn nhất dt AHB lớn nhất H O  Chu vi ACM = 2( MA + MA.sin AMB ) = 2MA.( 1 + sin AMB ) Khi đó đường thẳng d OK đường thẳng d // AB .  Do không đổi nên chu vi ACM lớn nhất AM lớn nhất AMB E AM là đường kính của đường tròn (O) Bài 39 M là điểm đối xứng của A qua O. F 1. Chứng minh AHIK nội tiếp Bài 40 ( học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh AMC cân 2 I 1. Chứng minh AK.AM = R Ta có : CMH IMB ( đ đ ) Chứng minh AKC ~ ABM x (   ) C AK.AM = AC.AB D IMB IAB IBA IA IB M ( AMIB nội tiếp ) R AHM IBA O = .2RR 2 Suy ra : H N CMH AMH 2 E M Suy ra MH là phân giác vừa là đường cao 2. Chứng minh NMK cân A B K Chứng minh CKMB nội tiếp F I của CMA CMA cân tại M. 3. Chứng minh C luôn thuộc một đường cố định NKM MBA K Ta có ACB 900 CMH 90 0 IBA không đổi 0 Mà ( chắn  ) B C cung chứa góc = 90 – IBA dựng trên đoạn AB cố định KMN MBA AM A C O 4. Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp NMK NKM KNM cân tại N FMB cân tại M ( t/ c đối xứng ) AMB 2 AFB ( góc ngoài ) 3. Khi K là trung điểm CI .Tính diện tích ABD theo R AEB có IB = IA = IE IBE cân tại I ( góc ngoài ) 1 1 1RR2 3 AIB 2 AEB Ta có CK = CI OI2 OC 2 R 2 Mà AMB AIB AFB AEB tứ giác AFEB nội tiếp . 2 2 2 4 4 5. Tìm vị trí M để chu vi AMB lớn nhất RR3 . ABE vuông tại B ( đường trung tuyến bằng nửa cạnh tưong ứng ) CA. CB Chứng minh CK.CD = CA.CB CD = 2 2 R 3 tứ giác AFEB nội tiếp đường tròn (I) đường kính AE CK R 3 dây AF AE AM + MF AE AM + MB AE 4 Dấu = xảy ra khi F E M I . Vậy AM + MB lớn nhất khi M I    S = 1 1 2 Chu vi AMB = AM + MB + AB lớn nhất khi AM + MB lớn nhất ABD CD. AB R 3.2 R R 3 VIETMATHS.NET2 2 (vì AB không đổi ) tức là khi M  I là điểm chính giữa cung lớn AB ) 4. Chứng minh khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn (ADK) thuộc một đường cố định 55 Gv : Lưu Văn Chung 56 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Gọi E là tâm đường tròn (ADK) ta có EN // AB ( cùng  CD ) 2 CB2 = BI.BA = 4RR 8 CB = 2R 6 FN // AK ( FN là đường trung bình của DAK .2R EF // BK ( cùng AD ) 3 3 3  Vẽ DH  CB tại H DH không đổi . EN FN 1 1 Ta có : DF nhỏ nhất DF = DH . Suy ra ENF ~ BAK EN = AB R AB AK 2 2 Ta chứng minh DH.CB = BI.CD Do đó E thuộc đường thẳng d song song với đường thẳng CD cố định và 4RR 4 2 cách đường thẳng này một khoảng bằng R.Vậy E luôn thuộc đường thẳng . BI. CD 8 R 2 8 R 3 cố định. DH = 3 3 CB 2R 6 3 6 9 Bài 41 3 1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp Bài 42 ( Học sinh tự chứng minh ) 1. Chứng minh ADC = ACM 2. Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp Ta có : ( góc ngoài BMD ) CMK AMB ADC MBC Mà ( ) A Vẽ đường kính CE của đường tròn (F) ngoại tiếp CMK. AMB ABC AB AC Ta có : AD AC ( đường kính AB  dây CD ). AMB ABM MBC C ADC ABM ACM E CMK ACD M 2. Chứng minh AC2 = AM.AD M Mà ( chắn ) O CMK CEK CK F Chứng minh AMC ~ ACD ( g-g) E K K H 2 ACD CEK AC = AM.AD Mà 0 ( CKE vuông ) A B I CEK KCE 90 I O D B C ACD KCE 900 AC  CE AC tiếp xúc với (F) tại C 3. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MCD 3. Chứng minh F luôn thuộc đường thẳng cố định D Gọi I là tâm đường tròn (MCD) . Vẽ đường kính CK của đường tròn (I) Ta có KE // AB ( cùng DC ) ( đv )  MKE MAB Chứng minh CK  AC ( tương tự câu 2 bài 41 ) Mà MCE MKE ( chắn ME trong (F) ) 4. Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp. Suy ra E và D luôn thuộc một cung tròn cố định. và MAB MCB ( chắn MB trong (O) ) Ta có ( hs tự chứng minh ) MCE MCB C, B , E thẳng hàng EMD AMB ACB ABC CMD F đường thẳng CB cố định AME AMC AME = AMC AEB ACM ADB 4. Tính khoảng cách nhỏ nhất của đoạn DF tứ giác ABDE nội tiếp 5. Chứng minh E thuộc cung tròn cố định . Xác định tâm cung tròn này. RR2 2 2 4R 2 VIETMATHS.NET Ta có : CI = CO2 IO 2 R 2 CD = Chứng minh AE = AB = AC E cung tròn tâm A , bán kính AB 9 3 3 57 Gv : Lưu Văn Chung 58 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 S = 1 Bài 43 IMA AI. MD 2 1(34R a R2 a 2 )3 R R 2 3(34 a R 2 a 2 ) 1. Chứng minh MAOH nội tiếp = ( hs tự chứng minh ) 2 2a 2 8 a 2. Chứng minh IH.IO =IA.IB Bài 44 Chứng minh AMBO nội tiếp A OBA OMA O 1. Chứng minh M , C , O , A cùng thuộc một đường tròn D Mà OHA OMA ( AMHO nội tiếp ) ( học sinh tự chứng minh ) I 2. Chứng minh M , E , O , D cùng thuộc một đường tròn OHA OBA AIH ~ OIB (g-g) Chứng minh B BCO BEO IO.IH = IA.IB d Mà BCO OMD BEO OMD MDOE nội tiếp M H B 3. Chứng minh A là trung điểm MD O 3. Chứng minh I là điểm cố địnhkhi M chạy trên đường thẳng d Ta có : Gọi D là giao điểm của OM và AB . Ta chứng minh DMHI nội tiếp ( BOAD nội tiếp ) E 2 DBA DOA Suy ra OI.OH = OD.OM = OA2 = R2 OI = R không đổi DBA ECB ( EB = EC ) OH C ( đ đ ) Mà O cố định và I OH cố định I là điểm cố định. ECB ACM 4. Cho OH = a, OM = 2R. Tính diện tích IAM theo a và R. ACM AOM ( ACOM nội tiếp ) d OA là phân giác củaD DOM A M Khi OM = 2R ta tính được : MA = AB = AD = R 3 DOA MOA R 3 Mà OA là đường cao DOM cân tại A A là trung điểm DM. 2 4. Chứng minh EOD ~ COA 3RR2 3 Và MD = MA2 AD 2 3 R 2 ( Học sinh tự chứng minh ) 4 2 5. Cho OM = 2R và OA = a. Tính DE theo a và R. Ta có : MH = 2 2 2 2 OM OH 4 R a 2 Chứng minh OBE ~ OAM OB OE OB. OM 2 R DI OI OE Ta có : ODI ~ OHM OA OM OA a MH OM 2 2 OBE vuông EB = 2 24RR 2 2 R 2 2 OE OB 2 R 4 a . 4R a 2 2 a a DI = OI. MHa R 4 R a OBD vuông DB = 2 2 2 2 OM2 R 2 a OD OB 4 R R R 3 2 2 2 2 VIETMATHS.NET 2 R3 R 4 R a R ( a 3 4 R a ) Suy ra ED = BD – BE = R2 R( a 3 4 a ) AI = AD + DI = R3 4 a 2 2a 2 a a a 59 Gv : Lưu Văn Chung 60 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 45 Bài 46 1. Chứng minh AE là phân giác của AHD 1. Chứng minh MBE đều Ta có : OE BC ( dk – dc ) A  A Ta có MB = ME (gt) MBE cân OE // AH AEO EAH Mà 0 ( chắn ) Mà ( do AEO cân ) BME ACB 60 AB AEO DAE F MBE là tam giác đều HAE EAD 2. Chứng minh CBM = ABE O O AE là phân giác của E AHD M Ta có : 0 MBC EBM EBC 60 EBC B 2. Chứng minh AB.AC = AH.AD F C C 0 Chứng minh AHB ~ ACD ( g – g ) B H ABE ABC EBC 60 EBC Do đó : M 3. Chứng minh HAD = ABC - ACB MBC ABE D D Từ đó chứng minh : ABE = CBM ( c-g-c ) E 3. Tìm vị trí M để tổng MA + MB + MC lớn nhất Ta có : ; ( AHB ~ ACD ) ABC ADC BAH DAC Từ ABE = CBM AE = MC và ME = MB ABC 900 BAH Suy ra : MA + MB + MC = MA + ME + EA = MA + MA = 2MA Vậy tổng MA + MB + MC lớn nhất MA lớn nhất ACB 900 HAC 90 0 ( HADDAC ) AM là đường kính M là điểm chính giữa cung nhỏ ABC ACB (900 BAH ) 90 0 ( HAD DAC ) = HAD BC 4. Khi M chạy trên cung nhỏ thì E chạy trên đường cố định nào ? 4. Chứng minh AFM cân BC Tính được 0 E thuộc cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn EFC HAC ( đ v ) và MFE FMA ( slt ) BEA 120 Mà ( F trung trực của BC ) AC cố định BFE CFE 1 1 1 Suy ra : AMF cân tại F 5. Chứng minh = + FAM AMF MF MB MC 5. Cho AB = 4 , AC = 5 ; R = 3. Tính BC (lấy 1 chữ số thập phân) 1 1 1 Ta có : = + MF MF Ta có AH = AB. AC 4.5 10 1 MF MB MC MB MC AD 2.3 3 Ta chứng minh : MF FC FC ( MFC ~ MBA ) 2 HC = 2 2 2 10 125 5 5 MB AB BC AC AH 5 3 9 3 MF BF BF ( MFC ~ BFA ) MC AB BC BH = 2 2 100 2 11 AB AH 16 MF MF FB FC BC 9 3 Suy ra : 1 đpcm MB MC BC BC BC 2 11 5 5 (2 11 5 5) 2 2 2 2 BC = BH + HC = = = 5, 9 VIETMATHS.NET6. Chứng minh MA + MB + MC = 6R 3 3 3 Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MB. MA = CD 61 Gv : Lưu Văn Chung 62 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 (KB + BE )KF = KC.KD KF.EB = KB2 – KF.KB Ta chứng minh được BMD đều BDM 600 2 2 2 FB KF 2 2 MB MC MA KF. EB = KB.(KB – KF) KF.EB = KA. BF Ta có (MB + MC ) = MA – MB. MC = 2 EB KA Aùp dụng định lý hàm số cosin trong BDC ta có : Bài 48 BC2 = BD2 + DC2 – 2DB.DC.cos BDC 3R2 = BM2 + AM2 – 2BM.MA.cos600 1. Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp 2 2 2 1 2 2 2 ( học sinh tự chứng minh ) B 3R = BM + AM – 2BM.MA. 3R = BM + AM – BM.AM 2 2. Chứng minh HC2 = HM.HB 5 3R2 = BM2 + AM2 – BM(BM + MC) Chm HMC ~ HCB ( g-g ) N 2 2 2 2 3R = BM + AM – BM – BM.MC 3. Chứng minh K là trung điểm NC 5 K 2 2 2 2 2 MB MC MA Ta có : ( = ) 3R = AM + MCH MBC MBA 2 Mà : ( HOC cân ) M C 6R2 = 2AM2 + MB2 + MC2 – MA2 MCH KHC A O 2 2 2 2 MBC KHC 3 2 MA + MB + MC = 6R Do : MBC BCH 900 ( BHC vuông ) H Bài 47 KHC BCH 900 HKC vuông tại K HK  NC K là trung điểm NC ( tính chất đường kính – dây cung ) 1. Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp C 4. Cho AB = 5 cm , HC = 3 2 cm . Tính độ dài cạnh BC. ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh BN = AB = 5 cm ( BAM = BNM ) 2. Chứng minh DF.DM = AD2 Ta có BN.BC = BM. BH ( hs tự chứng minh ) Chứng minh DF.DM = DK.DC M 5.BC = (BH – MH ).BH 5BC = BH2 – BH.MH 2 và DK.DC = AD 5BC = BH2 – HC2 5BC = BC2 – HC2 – HC2 Suy ra : DF.DM = AD2 O 5BC = BC2 – 2HC2 BC2 – 5BC – 36 = 0 ( HC = 3 ) 3. Chứng minh IE = IF 2 Giải ra ta được : BC = 9 cm Ta có : K A F E MFI DCM DMI B I MIF cân tại I MI = FI Bài 49 Ta có IME IMF EMF 900 D 1. Chứng minh NOBE nội tiếp 0 ( FME vuông tại M ) MFI MEI 90 ( Học sinh tự chứng minh ) Mà : ( cmt ) MIE cân tại I IMF MFI IME IEM 2. Chứng minh AN.AE = 2R2 IE = IM . Vậy IF = IE . Chứng minh AN.AE = AO.AB = R.2R = 2R2 FB KF 4. Chứng minh = VIETMATHS.NET3. Chứng minh ANC ~ MCA EB KA 2 Ta có : F là trực tâm của CDE KE.KF = KC.KD = KB 63 Gv : Lưu Văn Chung 64 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 4. Chứng minh đường thẳng FE và đường thẳng DO cắt nhau tại một Ta có : = 1 (sđ + sđ ) và = 1 (sđ + sđ ) EAC EB BC AMC EB AC điểm thuộc đường tròn (O) 2 2 Ta có : EMF cân tại M Mà : AC BC EAC AMC MEF MFE ANC~ MCA ( g g ) ( chắn ) Ta lại có : ACD BAC ( AD BC )  BCF BFM BF AM.NC = AC2 = 2R2 S = R2 ANMC Mà : EFC MEF BCF ( góc ngoài EFC ) S = S – S = S – R2 ENM EAC ANMC EAC Do đó : Do đó : EFB EFM BFM EFC EFB Tia FE là phân giác S lớn nhất S lớn nhất E là điểm chính giữa BFC ENM EAC DB Tia FE đi qua điểm chính giữa lớn 4. Biết AM = 3BM. Tính DN và EB theo R BC Mặt khác : D là điểm chính giữa nhỏ Từ AM = 3BM và AM + BM = 2R AM = R và AM = 3R BC MB tia DO đi qua điểm chính giữa lớn I 2 2 BC A Ta có : NC.MA = AC2 = 2R2 ( cmt ) D Vậy đường thẳng FE và đường thẳng DO E 2 2 cắt nhau tại điểm chính giữa cung lớn. NC = 2RRR 2 4 BC N MA 3R 3 2 O 4RR 2 A O M B DN = 2R – C 3 3 E K M B 5. Cho BE = a và EC = b. Tính AM theo a và b 2 2 RRR3 3 Đặt MA = x ME = x F D MC = OC2 OM 2 R 2 C 4 4 2 MB = ME – EB = x – a và MC = ME + EC = x + b 2 2 2 2 RR 3 Ta có : MA = MB.MC x = (x – a)(x + b) x = x + (b – a)x – ab . MB. MC R 6 ab ab Ta có : MBE ~ MCA EB = 2 2 x = ( do AB < AC a < b ) . Vậy MA = AC R 2 8 b a b a Bài 51 Bài 50 A 1. Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp và KM AE 1. Chứng minh tứ giác MAKO nội tiếp  F ( Học sinh tự chứng minh ) ( học sinh tự chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp ) 2. Chứng minh MA2 = MB.MC M Ta có AD là phân giác của BAC O ( Học sinh tự chứng minh ) Mà DK  AB và DM  AC K 3. Chứng minh MA = ME AKD = AMD VIETMATHS.NET B D C Chứng minh : MEA MAE AME cân tại M MA = ME DK = DM và AK = AM E 65 Gv : Lưu Văn Chung 66 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 AD là trung trực của KM AE KM  40R2 2. Chứng minh AD.AE = AB.AC 2 BE = BD25 4 R 2 R 6 Chứng minh ABD ~ AEC ( g-g ) BK 2R 6 6 3 3. Chứng minh MK = AD .sin BAC 5 Vẽ KF AC tại F. Chứng minh KFM ~ AKD (g-g)  Ta có DK = BH = 4R ( hs tự chứng minh ) KF KM KF MK = AD. = AD. sin BAC 5 AK AD AK 2 S = 1 1 2RRR 6 4 4 6 4. So sánh diện tích tứ giác AKEM và diện tích ABC BDE BE DK Ta có : 2S = AB.AC.sin ( hs tự chứng minh ) 2 2 3 5 15 ABC BAC 1 1 2RR 6 22 6 và 2S = AE.MK = AE.AD.sin ( MK = AD.sin ) S BDA = AKEM BAC BAC AB. DH .2 R . 2 2 5 5 Mà AE.AD = AB.AC (cmt) 2S = AB.AC.sin = 2S AKEM BAC ABC 2 2 2 Vậy S = S S = S – S = 2RRR 6 4 6 2 6 AKEM ABC BAE BDA BDE 5 15 15 Bài 52 Bài 53 1. Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau ( Học sinh tự chứng minh ) 1. Chứng minh A (C) và B (D) 2. Chứng minh OD // MN và tính OK theo R Chứng minh ACM và BDM cân Chứng minh ODA OAD MAO'' AMO CA = CM A (C) OD // MN M DB = DM B (D) Ta có : OK // O’N OK BO 2. Chứng minh ANB ~ CMD H O O'' N BO A O' Chứng minh DC là phân giác của B C NDM O BO. O ' N R .0,5 R R OK = K N E NBM CDM OBR' 2,5 5 N Tương tự : D 3. Chứng minh BN là tiếp tuyến của (O’) NAM DCM D ANB ~ CMD ( g-g ) Chứng minh BOK = DOH ( c- g- c ) C 0 BN O’N BN là tiếp tuyến của (O’) OKB 90  A B 4. Tính diện tích BEA theo R M Tính BK = DH = 2R 6 và BD = 2R 10 3. Chứng minh khi M di động trên AB thì N chạy trên một đường cố định 5 5 Ta có : ( hình bình hành ) 2 CMD AOB Ta có : ADB vuông tại D DB = BK.BE VIETMATHS.NET CMD ANB ( ANB ~ CMD ) ANB AOB không đổi , mà A , B cố định nên 67 Gv : Lưu Văn Chung 68 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 N cung chứa góc AOB dựng trên đoạn AB cố định Do : MHF BAO ( tứ giác ABHF nội tiếp ) 4. Chứng minh ONM vuông Và AOB cân BOD 2 BAO 2 BAO MFH BAO Chứng minh : ON // CD NOC NBA MDC OCD MFH BAO MFH MHF MHF cân tại M Mà CD MN ON MN ONM vuông tại N.   MH = MF (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh . Bài 54 Bài 55 A A 1. Ch ng minh ABHF và BMFO nội tiếp ứ 1. Chứng minh AFE = ACB ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp 2. Chứng minh HE // BD E 2. Chứng minh AB.NC = AN.BD Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp O Chứng minh ABD ~ ANC ( g-g ) O CHE CAD 3. Chứng minh BC.AK = AB.CK + AC.BK F F Mà CAD CBD ( chắn CD ) Vẽ đường kính AI của (O). H M Chứng minh BKIC là hình thang cân CHE CBD B D M C B C S = S và BI = CK ; BK = CI HE // DB ( 2 góc đồng vị bằng nhau) H E BKC BCI K I D Mà S = S + AB.AC.BC ABKC ABC BKC N 3. Chứng minh S ABC = S = S + 4R ABIC ABC BCI S = S ABKC ABIC Ta chứng minh : ABH ~ ADC ( g-g ) AH = AB. AC 2SABKC = 2SABI + 2SACI T AD AK.BC = AB.BI + AC.CI G Ta có : S = 1 AH.BC = 1AB . AC = AB AC BC AK.BC = AB.KC + AC.BK đpcm A ABC BC 2 2 AD 4R 4. Chứng minh tâm Q của đường tròn ngoại tiếp 4. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp EFH ADC luôn thuộc một đường cố định khi A Ta cần chứng minh ME = MF = MH Q di chuyển trên cung lớn Ta có tứ giác OM BC ( M là trung điểm BC ) BC  Gọi Q là tâm đường tròn (ADC ) . O OMEC nội tiếp ( hs tự chứng minh ) F OEM OCB OBC Vẽ đường kính CT của (Q) cắt tia NO tại G . H Mà BOFM nội tiếp ( cmt ) Ta có : TD DC mà NO DC NG // DTB D C OBC MFE MFE OEM   M EMF cân tại M ME = MF (1) K DTC NGC N Ta lại có ( góc ngoài MFH ) FMC MFH MHF Mà DTC DAC ( chắn DC trong (Q) ) Mà ( tứ giác BOFM nội tiếp ) VIETMATHS.NET FMC BOD NGC NAC tứ giác NAGC nội tiếp G (O) BOD MFH MHF 69 Gv : Lưu Văn Chung 70 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Mà NG  BC G là điểm chính giữa cung lớn BC của (O) G cố Chứng minh AOKN nội tiếp AON AKN định, Do đó Q đường thẳng CG cố định khi A chạy trên cung lớn Mà AOM AON AKN AKM . Do đó KA là phân giác MKN BC . 4. Chứng minh M , N , H thẳng hàng Bài 56 Chứng minh KHDC nội tiếp AD.AC = AH.AK 2 2 Chứng minh AM = AD.AC AM = AH.AK 1. Chứng minh C , B , D thẳng hàng. Tính tỉ số AN theo R và r AHM ~ AMK ( c-g-c ) AKM AMH AM Mà 1 1 Chứng minh 0 AKM AOM MON AMH MON ABC ABD 90 2 2 C , D , B thẳng hàng A Mặt khác : 1 Chứng minh ACM ~ AND AMN MON AMH AMN 2 AN AD r O M , H , N thẳng hàng O' AM AC R Bài 58 2. Chứng minh AMEN nội tiếp N ( hs tự chứng minh ) C B D 3. Chứng minh điểm E thuộc đường cố định 1. Chứng minh K thuộc đường tròn (O) Chứng minh tứ giác ACED nội tiếp M Chứng minh EKFM nội tiếp FKB AMB x E đường tròn ngoại tiếp ACD cố định Mà : AMB APB ( PAMB là hình bình hành ) 4. Chứng minh AMB ~ AED A Chứng minh FKB APB E MAB BCM EAD APBK nội tiếp M K AMB ACD AED K đường tròn (APB ) Từ đó AMB ~ AED E Hay K (O) I A O H F Bài 57 D 2. Chứng minh H , I , K , thẳng hàngP B y M Ta có BH  AP ( H là trực tâm APB ) 1. Chứng minh AD.AC = AE.AB AK BM ( K là trực tâm AMB ) E  Chứng minh ABD ~ ACE H Mà : AP // BM BH // AK N 2. Chứng minh BHK = AED Ta chứng minh : AH // BK ( cùng  Ay ) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp B C K O Suy ra : AKBH là hình bình hành . Mà I là trung điểm AB I là trung điểm HK K , H , I thẳng hàng . AED AHD = BHK VIETMATHS.NET3. Chứng minh H thuộc một đường cố định 3. Chứng minh KA là phân giác của NKM Ta có BK  PB PK là đường kính của (O) O là trung điểm PK Chứng minh AKOM nội tiếp AKM AOM 71 Gv : Lưu Văn Chung 72 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Mà I là trung điểm KH OI là đường trung bình của KPH 2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp DMC không đổi PH = 2OI 1 1 Ta có : DOI DOA và DCM DOA Do APB không đổi AB không đổi OI không đổi PH không đổi 2 2 Vậy H chạy trên đường tròn tâm P cố định có bán kính PH không đổi . DOI DCM DOMC nội tiếp Gọi K là tâm đường tròn (DCM) Bài 59 K là tâm đường tròn (DOC) Vẽ KH  OD tại H H là trung điểm OD D K R 1. Chứng minh BMC ~ HMK Ta có DO = R HO = A 2 Chứng minh AKMH nội tiếp Lại có CD = AB không đổi I H C HKM HAM và KHM KAM sđ của (K) không đổi CD O Mà : và M HAM BCM KAM CBM sđ  = 1 sđ không đổi và DO CD KHM CBM HKM BCM K 2 A Do đó BCM ~ HKM (g-g ) O B HKO không đổi 2. Chứng minh MD BC D  B HO Học sinh tự chứng minh C KO = không đổi . H sin HKO E Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp DCM không đổi 3. Tìm vị trí M để KH lớn nhất M HK HM Ta có : = sin HBM HK = BC.sin HBM Bài 61 BC BM Do BC cố định HK lớn nhất sin HBM lớn nhất HBM = 1. Chứng minh IP là phân giác của 900 EIM Tứ giác MPIN nội tiếp EIP PMN K 0 AM là đường kính của (O) P ACM 90 Mà ( do  ) PMN PIM PM PN I Bài 60 EIP PIM IP là phân giác của EIM H 2. Chứng minh E luôn thuộc một cung tròn 1. Chứng minh I , O , M thẳng hàng cố định O Tứ giác ABCD là hình thang nội tiếp (O) ABCD là thẳng hàng cân Chứng minh PI = PM = PM F M là giao điểm hai đường chéo MA = MD E thuộc cung tròn tâm P có M D N Mà IA = ID ( hai tiếp tuyến cắt nhau ) bán kính là PM L G Và OA = OD ( bán kính ) VIETMATHS.NET3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MFG M , O , I thuộc đường trung trực của AD M , I , O thẳng hàng Chứng minh PMF PGM 73 Gv : Lưu Văn Chung 74 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Vẽ đường kính ML của đường tròn (MFG) 5x2 – 8Rx + 3R2 = 0 x = R ( loại ) và x = 3R . Vậy HK = 3R Chứng minh PM ML  5 5 PM là tiếp tuyến của đường tròn (MFG) Bài 63 4. Tính tích PF.PG theo R và = PMN 2 Chứng minh PMF ~ PGM (g-g ) PF.PG = PM Vẽ OH  PM POH PNM PH = OP.sin = R.sin PM = 2R.sin PF.PG = 4R2.sin2 1. Chứng minh MK // BC và DH = DK A Chứng minh MK và BC cùng vuông góc với AK MK // BC Bài 62 E Chứng minh CB là tia phân giác của HCK HCK cân tại C O 1. Chứng minh QBOA nội tiếp và OQ AB F  CB là trung trực của HK H ( Học sinh tự chứng minh ) 2. Tìm quỹ tích của E khi Q di chuyển trên tia Ax DH = DK I B C Gọi I là trung điểm OA 2. Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC D B Chứng minh BHCM là hình bình hành I cố định và IA = R K M HM và BC cắt nhau tại trung điểm I của BC 2 HD HE HF Ta có IE // Ax 3. Chứng minh + + = 1 O ( đường trung bình ) H AD BE CF E y 2S = HD.BC ; 2S = HE.AC ; 2S = HF.AB ; I BHC AHC AHB 2S ABC = AD.BC = BE.AC = CF.AB x Từ đó ta có : 2S BHC + 2S AHC + 2S AHB = 2S ABC K Q A 2SS 2 2S HD HE HF Vậy E chạy trên tia Ay // Ax cố định và cách tia Ax một đoạn bằng R BHC AHC AHB 1 1 2 2SSS ABC 2 ABC 2 ABC AD BE CF 3. Tìm quỹ tích của H AD BE CF 4. Chứng minh + + 9 Chứng minh AH // OB và BH // OA BOAH là hình bình hành HD HE HF Mà OA = OB BOAH là hình thoi AH = OA = R Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : Vậy H di chuiyển trên đường tròn tâm A cố định và có bán kính R (x + y + z) 1 1 1 9 ( với x ; y ; z 0 ) 4. Cho AQ = 2R. Tính KH theo R x y z OAQ có KH // OA KQ AQ2 R KQ = 2HK 2 Thật vậy theo BĐT Cauchy ta có : x + y + z 3 3 xyz HK AO R Đặt : HK = x ( 0 < x < R vì HK < AH = R) . Và : 1 1 1 1 QK = 2x AK = 2(R – x) 3 3 x y z xyz 2 2 2 2 2 2 AHK vuông tại K AH = HK + AK R = x + 4(R – x) VIETMATHS.NET 75 Gv : Lưu Văn Chung 76 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Do ( góc ngoài FBC ) 0 Nhân hai BĐT trên theo từng vế ta có : (x + y + z) 1 1 1 9 MFB FBC FCB MFB 60 x y z Ta có MEB ACB 600 ( BEAC nội tiếp ) MFB MEB 600 AD BE CF tứ giác BMEF nội tiếp Aùp dụng ta có : HD HE HF + + 9 HD HE HF 4. Chứng minh đường thẳng EF đi qua điểm cố định AD BE CF AD BE CF Ta có : và là góc chung HD HE HF + + 9 BEK BMF FBK EKB Mà : 1 EBK ~ BFK KB2 = KF.KE ( 1 ) AD BE CF HD HE HF N Tương tự ta có : FKC EFM MBE ECB và EKC là góc chung Bài 64 2 FKC ~ CKE CK = CF.CE ( 2 ) Từ (1) và (2) KC = KB K là trung điểm BC . d Vậy đường thẳng EF luôn đi qua trung điểm K của BC cố định. A Bài 65 E M 1. Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp Chứng minh BMN BFA O 2. Chứng minh IMNA là hình thang vuông. Tìm độ dài EF theo R để F IMNA là hình chữ nhật B K C Chứng minh 0 B BNM KNF 90 N MNK 900 KN  NM O Tương tự : IM MN 1. Chứng minh MBA ~ ACN  IMNA là hình thang vuông M Ta có : MBA ACN ( do AB AC )  Để IMNA là hình chữ nhật Ta có : ACN BAC 600 AB // CN MAB ANC ( đv ) thì IK = MN E I A K F Do đó : MBA ~ ACN ( g-g ) EF = 2MN EF = 4R 2. Chứng minh tích MB.CN không đổi 3. Chứng minh tích AI.AK không đổi khi MN thayD đổi MB AC MB BC Chứng minh KO // BF và IO // BE IO OK IOK vuông Từ MBA ~ ACN  2 2 AB CN BC CN Mà OA là đường cao AI.AK = OA = R MB.CN = BC2 không đổi 4. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp IBK đi qua điểm cố định khác B 3. Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp Gọi D là giao điểm của đường tròn (BIK) và đường thẳng BA ( D B ) Ta chứng minh : 0 và MB BC ( cmt ) 2 R MBC BCN 120 Ta chứng minh AB.AD = AI.AK = R AD = . BC CN 2 MBC ~ BCN FBC FMB VIETMATHS.NET R Vậy D là điểm cố định ( vì D đường thẳng AB cố định và AD = ) Mà FCB FMB 1800 MBC 60 0 FBC FCB 600 2 77 Gv : Lưu Văn Chung 78 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1 FND HND Bài 66 2 1 Mà DAH HND ( góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (N) ) 2 1. Chứng minh DE là tiếp tuyến của (O) ( hs tự chứng minh ) FND DAH 2. Chứng minh EC là phân giác của AED ( hs tự chứng minh ) Ta lại có : DAH AEH ( cùng chắn cung AH trong (O) ) 3. Chứng minh MH  AH Và : ( tứ giác EMHD nội tiếp ) Ta có M là trung điểm AE ; I là trung điểm AK IM // BE AEH HDM IMA BEA FND HDM Mà 0 0 0 Mà BEA AHI ( cùng chắn AB ) IHA IMA FND FDN 90 HDM FDN 90 MDN 90 Suy ra tứ giác IMHA nội tiếp . Suy ra : BD  ND tại D BD là tiếp tuyến của đường tròn ( AHD ) 6. Khi M là trung điểm OC. Tính diện tích MHC theo R Ta lại có : IM  AK ( do IM // BE và AK  BE ) AH  MH N Khi M là trung điểm OC. Chứng minh được ABE đều cạnh là R 4. Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp 3 Ta có : AMH AIH BIK ( tứ giác IMHA nội tiếp ) R 3 R 3 Chứng minh AK đi qua O và KE = BK = IM = Do : HBE BIK 900 ( BIK vuông tại K ) 2 4 Và : 0 3R 3R HMC AMH 90 HMC HBE Ta lại có : AK = BM = IK = mà HEC HBE ( cùng chắn HE ) 2 4 suy ra : 9RRR2 3 2 21 HMC HEC BI = IK2 BK 2 tứ giác EMHC nội tiếp 16 4 4 A Chứng minh BIM ~ BMH (g – g ) IM BI IM. BM 3 R MH H MH BM BI 2 7 I Chứng minh AHM ~ MGH ( HG là đường cao của MHD ) F 2 B C 2 D MH = GH.AM HG = MH = 9R O M F C AM 14 3 K 1 9R2 3 Vậy diện tích MHD = GH. MD 2 56 E 5. Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AHD Gọi N là tâm đường tròn (AHD) NHD cân tại N VIETMATHS.NET Bài 67 Vẽ đường cao NF của NHD NF là phân giác của HND 79 Gv : Lưu Văn Chung 80 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1. Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp và KCE BNE Chứng minh 5 điểm O , B , A , E , K cùng thuộc một đường tròn đường 1. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. Xác định tâm I. (học sinh tự chứng minh ) kính OA CKE CBA 2. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Mà ME // AB ( cùng  OB ) CME CBA Chứng minh KF.KE = KB.KC ( Học sinh tự chứng minh ) CKE CME tứ giác CKME nội tiếp 3. AK cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh MFEA nội tiếp Chứng minh KM.KA = KB. KC KM. KA = KF. KE Ta có BNE = BFE DEF ( góc ngoài tam giác FEN ) Chứng minh KFA ~ KME ( c-g-c) = BCE MCK ( vì BCE BFE và DEF MCK ) MAF MEF Suy ra tứ giác AMFE nội tiếp = KCE 2. Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp 4. Chứng minh M , H , I thẳng hàng. Chứng minh 5 điểm A , M , F , H , E cùng thuộc đường tròn đường kính 2 AE AO Chứng minh AE.AF = AH.AO = AB AH HM  AM ( 1 ) AH AF Vẽ đường kính AN của (O) NM  AM ( 2 ) Với EAH là góc chung AEH ~ AOF EHA AFO Từ (1) và (2) N , H , M thẳng hàng (3) Suy ra tứ giác EHOF nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối diện góc trong ) Chứng minh BHCN là hình bình hành H , I , N thẳng hàng (4) 3. Chứng minh tia FM đi qua trung điểm của AB Từ (3) và (4) M , H , I thẳng hàng Ta có KCE BNE ( cmt ) Mà DMK KCE ( tứ giác KMEC nội tiếp ) DMK BNE Suy ra : KM // FB A FEN có K là trung điểm EF và KM // FN M là trung điểm EN B D N E F M K M O E F H A O H D K B I C N C VIETMATHS.NET Bài 69 Bài 68 81 Gv : Lưu Văn Chung 82 Gv : Lưu Văn Chung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1. Chứng minh CH = DE ( học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh CA.CD = CB.CE ( học sinh tự chứng minh ) a. Chứng minh AA''' BB CC 3. Chứng minh ABED nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) AD BD CD 4. CF cắt AB tại Q. Hỏi K là điểm đặc biệt gì của OCQ. Vẽ tiếp tuyến chung trong xy của Ta có (O) và (K) cắt nhau tại hai điểm C và F OK  CF tại hai đường tròn . Ta có : trung điểm I của CF ( tính chất hai đường tròn cắt nhau ) BAD BDx B ''' Dy DA B OI và AH là hai đường cao của OCQ AB // A’B’ K là trực tâm của OCQ ADBD'' 5. Chứng tỏ Q là một giao điểm của DE và đường tròn (OKF) Ta cần chứng minh Q , D , E thẳng hàng và tứ giác OKFQ nội tiếp AD BD Vẽ tiếp tuyến xy của (O) tại C , ta chứng minh được xy // DE A'' D AD B D BD DE  OC AD BD mà OK OC nên Q , D , E thẳng hàng ( chú ý K DE ) AA'' BB  Hay Q thuộc đường thẳng DE (1) AD BD Ta có KI là phân giác của AA'' CC AA''' BB CC CKF IKF IKC OKH Tương tự ta chứng minh : Chứng minh HKIQ nội tiếp AD CD AD BD CD OKH FQH Từ đó tứ giác OKFQ nội tiếp OKH FQH b. Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD Hay là Q thuộc đường tròn ngoại tiếp OKF (2) Trên BC lấy điểm M sao cho BMD ACD Từ (1) và (2) Q là giao điểm của đường thẳng DE và đường tròn A Ta chứng minh : BMD ~ ACD (g-g) ngoại tiếp OKF x BM.AD = AC.BC (1) C Ta lại có : 0 ( kề bù ) BMD DMC 180 0 ( ABDC nội tiếp ) O y ACD ABD 180 D I F DMC ABD ( vì BMD ACD ) DMC ~ DBA ( g-g) K M MC.AD = AB.DC (2) B C E Cộng (1) và (2) theo từng vế ta có : A Q D O H B AD.BC = AC.BD + AB.CD c. Chứng minh : AA .BC = BB .AC = CC .AB 1 1 1 Ta chứng minh được : 2 2 2 AA1 = AD. AA’ ; BB1 = BD.BB’ ; CC1 = CD.CC’ VIETMATHS.NET Từ : AA''' BB CC AA'. AD BB '. BD CC '. CD Bài 70 2 2 2 A AD BD CD AD BD CD 83 Gv : Lưu Văn Chung 84 Gv : Lưu Văn Chung O
Bài tập luyện thi vào lớp 10 AA2 BB 2 CC 2 AA BB CC 1 1 1 1 1 1 AD2 BD 2 CD 2 AD BD CD AABC BBAC CCAB BBAC CCAB 1 1 1 1 1 ADBC BDAC CDAB BDAC CDAB Mà : AD.BC = AC.BD + AB.CD AA .BC = BB .AC = CC .AB 1 1 1 VIETMATHS.NET 85 Gv : Lưu Văn Chung