Bài tập Đại số Lớp 9: Hàm số và đồ thị hàm số

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 9: Hàm số và đồ thị hàm số

1. CÁC BÀI TỐN VỀ HÀM SƠ VÀ ĐỒ THỊ HS 1 Câu 1: Cho hai hàm số y x2 và y x 4 cĩ đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d ) 2 1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ). HD 1 Cho hai hàm số y x2 và y x 4 cĩ đồ thị lần 2 lượt là ( P ) và ( d ) 1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 ) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ) là: M( 2; –2 ) và N(–4 ; –8 ) Câu 2: Trong mp(Oxy) 1 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 4 3 b) Cho đường thẳng (D): y = x m đi qua điểm C(6; 7). 2 Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P). Lập bảng giá trị: x – 4 – 2 0 2 4 1 y x2 4 1 0 1 4 4 (P) là parabol đi qua các điểm: (–4;4), (–2;1), (0; 0), (2; 1), (4; 4). y a) 4 2 1 -4 -2 O 2 4 x b) Vì (D) đi qua điểm C(6; 7) nên ta cĩ:
2. 3 6 m 7 m 2 2 3 (D) : y x 2 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D): 1 3 x2 x 2 x2 6x 8 0 4 2 Giải được x1 = 4; x2 = 2 Với x1 = 4 thì y1 = 4 Với x2 = 2 thì y2 = 1 Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (4; 4) và (2; 1). 1 Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) cĩ phương trình y x2 và hai điểm 2 A, B thuộc (P) cĩ hồnh độ lần lượt là xA 1; xB 2 . a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B. c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d). Vì A, B thuộc (P) nên: 1 1 x 1 y ( 1)2 a) A A 2 2 1 Vậy A 1; , B(2;2) . 1 2 2 xB 2 yB  2 2 2 Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b. Ta cĩ hệ phương trình: b) 1 3 1 a b 3a a 1 2 2 2 Vậy (d): y x 1 . 2 2a b 2 2a b 2 b 1 (d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0) OC = 1 và OD = 2 Gọi h là khoảng cách từ O tới (d). Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào vuơng OCD, ta cĩ: c) 1 1 1 1 1 5 2 5 h h2 OC2 OD2 12 22 4 5 2 5 Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là . 5 Câu 4Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y 2x n 3 và parabol (P): y x2. 1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0). 2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ lần 2 lượt là x1, x2 thỏa mãn: x1 2x2 x1x2 16 .
3. HD: 1. Đường thẳng (d) đi qua A 2;0 2.2 n 3 0 n 7 . 2. Hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x2 2x n 3 x2 2x n 3 0 Ta cĩ ' 1 (n 3) 4 n . Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt ' 0 4 n 0 n 4 (*) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta cĩ: x1 x2 2 (1) x1.x2 n 3 (2) 2 x1 2x2 x1x2 16 (3) Cách 1: Thay x2 2 x1 ở (1) vào (3) ta cĩ: 2 2 2 x1 2 2 x1 x1 2 x1 16 x1 4 2x1 2x1 x1 16 4x1 20 x1 5. x2 2 5 3 Thay x1 5; x2 3 vào (2) ta cĩ: 5.( 3) n 3 n 12 Cách 2: Thay 2 ở (3) bằng x1 x2 Ta cĩ: 2 2 2 x1 x1 x2 x2 x1x2 16 x1 x1x2 x2 x1x2 16 2 2 x1 x2 16 x1 x2 x1 x2 16 x1 x2 8 x1 5 (x1 x2 ).2 16 x1 x2 8 x1 x2 2 x2 3 Thay x1 5; x2 3 vào (2) ta cĩ: 5.( 3) n 3 n 12 (thỏa mãn điều kiện (*) Vậy n 12 . Câu 5: Cho hai hàm số y = x2 và y = mx + 4 ,với m là tham số a) Khi m = 3 ,tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số trên. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đồ thị của hai hàm số đã cho luơn cắt nhau 2 tại hai điểm phân biệt A1(x1 ;y1) và A2(x2 ;y2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1) 2 2 + (y2) = 7 Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y x 2và đường thẳng (d): y 2x 2m 8 (với m là tham số). a) Khi m = – 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) . b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luơn cắt nhau tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2.
4. Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d): x2 2mx 2m 8 x2 2mx 2m 8 0 (*) Khi m = – 4, phương trình (*) trở thành: 2 x 0 x 8x 0 x 8 a) Với x = 0 thì y = 0; với x = – 8 thì y = 64 Vậy khi m = – 4 thì tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (0; 0) và (– 8; 64). (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt cĩ các hồnh độ dương Phương trình (*) cĩ hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 ' m2 2m 8 (m 1)2 7 0 m Phương trình (*) luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x1 x2 2m (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta cĩ: x1x2 2m 8 (2) Theo đề bài: x1 2x2 2 (3) Từ (1) và (3), ta cĩ hệ: b) x1 x2 2m x1 2 2m x1 2x2 2 x2 4m 2 Thay vào (2) được: (2 2m)(4m 2) 2m 8 4m2 7m 2 0 1 Giải phương trình được m 2;m 4 1  Vậy m 2;  là các giá trị cần tìm. 4 Câu 7: a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y m2 1 x 2m (m là tham số) và (d2): y 3x 4 . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau b/ Cho phương trình: x2 2 m 1 x 2m 5 0 (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để 2 phương trình đĩ cĩ hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 2mx1 2m 1 x2 2 0 a/ Để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau thì 2 2 m 2 a a ' m 1 3 m 4 m 2 m 2 b b' 2m 4 m 2 m 2 Vậy với m = - 2 thì đường thẳng (d1) song song vi đường thẳng (d2)
5. b/ x2 2 m 1 x 2m 5 0 Ta cĩ: ' m 1 2 2m 5 m2 4m 6 m 2 2 2 0 với mọi m, nên phương trình luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m Theo vi ét ta cĩ x1 x2 2m 2 2 Để x1 2mx1 2m 1 x2 2 0 x x 2m 5 1 2 2 => x1 2 m 1 x1 2m 5 2x1 4 x2 2 0 => 4 2x1 x2 2 0 => 2 x1 x2 2 0 => 2x2 4 x1x2 2x1 0 => 2 x2 x1 x1x2 4 0 3 Thay vào ta cĩ : 2 2m 2 2m 5 4 0 =>4m 4 2m 5 4 0 => 2m 3 0 m 2 3 Vậy m 2 Câu 8: Cho các hàm số y = x2 cĩ đồ thị là (P) và y = x + 2 cĩ đồ thị là (d). a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng (đơn vị trên các trục bằng nhau). b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính. 3 3 c) Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A ( 1 ; 0) và B (0; 1) . 2 2 HD: a)Bảng một số giá trị tương ứng của (P): x -2 -1 0 1 2 y 4 2 0 2 4 Vẽ (d): y = x + 2: Cho x = 0 y = 2 (0; 2) (d) Cho x = 1 y = 3 (1; 3) (d) Đồ thị: b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d): x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0 x 2 y 4 (2;4) x 1 y 1 ( 1;1) Vậy:(d) cắt (P) tại hai điểm (2; 4) và (-1; 1). c) Gọi M(xM; yM) (P) và cách đều hai điểm A, B
6. 2 3 Ta cĩ: yM =x và MA = MB. Đặt xM = x, a = 1 M 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 MA = (xA – xM ) + (yA – yM ) = (a – x) + (0 – x ) = a – 2ax + x + x . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 MB = (xB – xM ) + (yB – yM ) = (0 – x) + (a – x ) = x + a – 2ax + x . MA = MB MA2 = MB2 a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4. 2 2 x 0 y 0 (0;0) 2ax – 2ax = 0 x – x = 0 x 1 y 1 (1; 1) Vậy cĩ hai điểm thỏa đề bài: O(0; 0) và M(1; 1) Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y k 1 x 4(k là tham số) và parabol (P): y x2 . 1. Khi k 2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P); 2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luơn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt; 3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho: y1 y2 y1 y2 . HD: Với k = 2 ta cĩ đường thẳng (d): y = 3x + 4 Khi đĩ phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 = 3x + 4 x 2 + 3x 4 = 0 Do a + b + c = 1 + 3 4 = 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm: x = 1; x = 4 Với x = 1 cĩ y = 1 Với x = 4 cĩ y = 16 Vậy khi k= 2 : (d) cắt (P) tại 2 điểm cĩ toạ độ là (1; 1); ( 4; 16) Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 = (k 1)x + 4 x 2 (k 1)x 4 = 0 Ta cĩ ac = 4 < 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k. Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luơn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân x1 x2 k 1 2 2 biệt cĩ hồnh độ x1, x2 thoả mãn: Khi đĩ: y1 x1 ; y2 x2 x1x2 4 2 2 2 2 2 2 Vậy y1 + y2 = y1y2 x1 x2 x1 x2 (x1 + x2) 2x1x2 = (x1 x2)
7. 2 2 (k 1) + 8 = 16 (k 1) = 8 k 1 2 2 hoặc k 1 2 2 Vậy k 1 2 2 hoặc k 1 2 2 thoả mãn đầu bài. Câu 10: Cho hàm số y = ax2 a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M ( -2 ; 8) b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị ( P) của hàm số đã cho với giá trị a vừa tìm được và đường thẳng (d) đi qua M (-2;8) cĩ hệ số gĩc bằng - 2 .Tìm tọa độ giao điểm khác M của (P) và ( d). HD: + Đồ thị (P) của hàm số y = ax2 đi qua điểm M -2;8 , nên: 8 = a x (-2)2 suy ra a = 2 Vậy: a = 2 và hàm số đã cho là: y = 2x2 + Đường thẳng (d) cĩ hệ số gĩc bằng -2, nên cĩ phương trình dạng: y = -2x + b + (d) đi qua điểm M -2;8 , nên 8 = 2 x(-2) + b suy ra b = 4 và (d) : y = -2x + 4 + Vẽ (P); Vẽ (d) + Hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: 2x2 = -2x + 4 x2 + x - 2 = 0 + Phương trình cĩ hai nghiệm: x1 = 1;x2 = -2 Do đĩ hồnh độ giao điểm thứ hai của (P) và (d) là x = 1 y = 2 12 = 2 Vậy giao điểm khác M của (P) và (d) cĩ tọa độ: N(1;2) Câu 11: Cho hàm số y = mx – m + 2 cĩ đồ thị là đường thẳng (dm). 1.Khi m = 1 , hay x vẽ (d1). 2.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luơn đi qua với mọi giá trị của m. Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay đổi. HD: Cho hàm số y = mx – m + 2 (dm) 1.Khi m = 1 thì (d1) : y = x + 1. Bảng giá trị : x -1 0 y = x + 1 0 1 Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + 1 là 1 đường thẳng đi qua hai điểm (-1 ; 0) và (0 ; 1). 2. Gọi A(xA ; yA) là điểm cố định mà (dm) luơn đi qua khi m thay đổi. Ta cĩ : yA = mxA – m + 2. yA – 2 = m(xA – 1) (*) Xét phương trình (*) ẩn m , tham số xA , yA : xA 1 0 xA 1 Pt(*) vơ số nghiệm m khi yA 2 0 yA 2 Vậy (dm) luơn đi qua 1 điểm A(1 ; 2) cố định khi m thay đổi. Ta cĩ : AM = (6 1)2 (1 2)2 26 Từ M kẻ MH  (dm) tại H.
8. +Nếu H  A thì MH = 26 .(1) +Nếu H khơng trùng A thì ta cĩ tam giác AMH vuơng tại H => HM 0 nên đồ thị cĩ bề lõm quay lên trên. Nhận trục Oy làm trục đối xứng. Điểm thấp nhất O(0;0) ĐỒ THỊ: y b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d). Khi m = 3 thì (d) : y = 3x – 2 y=x2 Phương trình tìm hồnh độ giao điểm: x2 = 3x – 2 x2 - 3x + 2 = 0 4 (a+b+c=0) 1 -2 -1 0 1 2 x
9. =>x1 = 1 ; y1 = 1 và x2 = 2; y2 = 4 Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm (1; 1) và (2; 4). c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giá trị của m sao choyA + yB = 2(xA + xB) – 1(*) yA = mxA 2 Vì A(xA; yA), B(xB; yB) là giao điểm của (d) và (P) nên: yB = mxB 2 yA yB =m xA xB 4 Thay vào (*) ta có: m x A x B 4 2 x A x B 1 m x A x B 2 x A x B 3 2 x A x B 3 3 m m 2 x A x B x A x B x A x B Câu 14: a) Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểm A(-2; 5) và B(1; -4). b)Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2 - tìm điều kiện của m để hàm số luơn nghịch biến. 2 -Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng 3 HD: 1.Ta cĩ a, b là nghiệm của hệ phương trình 5 = -2a + b -3a = 9 a = - 3 -4 = a + b -4 = a + b b = - 1 Vậy a = - 3 vào ta cĩ b = - 1 2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2 - Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0 m < . 2 -Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng . Hay đồ thị hàm số 3 2 đi qua điểm cĩ toạ độ ( ;0). Ta phải cĩ pt 0 = (2m– 1).(- ) +m +2 m = 8 3 Câu 15: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2 a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB HD: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2 a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy Lập bảng : x 0 - 2 x - 2 - 1 0 1 2 y = x + 2 2 0 y = x2 4 1 0 1 4 y B A C x K O H
10. b)Tìm toạ độ giao điểm A,B : 2 Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x cĩ đồ thị (P) và y = x + 2 cĩ đồ thị (d) Viết phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d) x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0 ( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) cĩ a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0 c 2 x 1 ; x 2 1 2 a 1 2 2 thay x1 = -1 y1 = x = (-1) = 1 ; x2 = 2 y2 = 4 Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1 ) , B( 2 ; 4 ) c)Tính diện tích tam giác OAB : OC =|xC | =| -2|= 2 ; BH = |yB | = |4| = 4 ; AK = | yA | = |1| = 1 1 1 - SOAB = SCOH - SOAC = (OC.BH - OC.AK)= = (8 - 2)= 3đvdt 2 2 1 Câu 16: Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m . Hãy xác đ 2 ịnh m trong mỗi trường hơp sau : a)Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 ) b)Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hồnh lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB cân. HD: a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 (1) Thay x = -1 ; y = 1 vào (1) ta cĩ: 1 = -(2m -1 ) + m + 1 1 = 1 – 2m + m + 1 1 = 2 – m m = 1 Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + 1 đi qua điểm M ( -1; 1) c)ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1)  OA = m 1
11. Đt h/s cắt truc hồnh tại B => y = 0 ; x = m 1 => B ( m 1 ; 0 ) 2m 1 2m 1 => OB = m 1 Tam giác OAB cân => OA = OB 2m 1 m 1 m 1 = Giải PT ta cĩ : m = 0 ; m = -1 2m 1 Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y k 1 x 4 (k là tham số) và parabol (P): y x2 . 1. Khi k 2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P); 2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luơn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt; 3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho: y1 y2 y1 y2 . HD: Với k = 2 ta cĩ đường thẳng (d): y = 3x + 4 Khi đĩ phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 = 3x + 4 x 2 + 3x 4 = 0 Do a + b + c = 1 + 3 4 = 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm: x = 1; x = 4 Với x = 1 cĩ y = 1Với x = 4 cĩ y = 16 Vậy khi k = 2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2điểm cĩ toạ độ là (1; 1); ( 4; 16) Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 = (k 1)x + 4 x 2 (k 1)x 4 = 0 Ta cĩ ac = 4 < 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k. Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luơn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1, x2 thoả mãn: x1 x2 k 1 2 2 Khi đĩ: y1 x1 ; y2 x2 x1x2 4 2 2 2 2 Vậy y1 + y2 = y1y2 x1 x2 x1 x2 2 2 2 (x1 + x2) 2x1x2 = (x1 x2) (k 1) + 8 = 16 2 (k 1) = 8 k 1 2 2 hoặc k 1 2 2 Vậy k 1 2 2 hoặc k 1 2 2 thoả mãn đầu bài. Câu 18: Cho 3 đường thẳng cĩ phương trình: 2 (d1): y 3x 1 (d2): y 2x 1 (d3): y (3 m) x m 5 với m 3
12. a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d1) và (d2). b) Tìm giá trị m để (d1), (d2), (d3) đồng quy. c) Gọi C là giao điểm (d 1) với trục hồnh, B là giao điểm của (d 2) với trục hồnh. Tính đoạn BC. HD: a) Toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ y 3x 1 x 2 Vậy A(-2;-5) y 2x 1 y 5 b) Để (d1), (d2), (d3) đồng quy thì (d3) đi qua A 9 Khi đĩ cĩ: 2(3 m)2 m 5 5 m ; m 2 (t/m) 1 2 2 9 Kết luận: m 2 hoặc m 2 1 1 1 1 5 c) Toạ độ C( ;0) Toạ độ B( ;0) ; BC x x 3 2 B C 2 3 6 Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 1. Chứng minh rằng (d) và (P) cĩ hai điểm chung phân biệt 2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Giải 1. Chứng minh rằng (d) và (P) cĩ hai điểm chung phân biệt Hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình x2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 cĩ a – b + c = 0 Nên phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt c 3 3 x1 = -1 và x2 = a 1 2 Với x1 = -1 => y1 = (-1) = 1 => A (-1; 1) 2 Với x2 = 3 => y2 = 3 = 9 => B (3; 9) Vậy (d) và (P) cĩ hai điểm chung phân biệt A và B 2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ
13. AD BC 1 9 S .DC .4 20 9 B ABCD 2 2 BC.CO 9.3 S 13,5 BOC 2 2 AD.DO 1.1 S 0,5 AOD 2 2 Theo cơng thức cộng diện tích ta cĩ: A 1 S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) D C -1 0 3 = 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt) Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = 0 và Parabol (P): y = ax2 (a là tham số dương) a) Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đĩ A và B nằm bên phải trục tung. b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hồnh độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 1 M x1 x2 x1x2 HD : a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 = 2x – a2 ax2 - 2x + a2 = 0 ∆/ = 1 – a3 Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là : ∆/ = 1 – a3 > 0 a 0 và a 0 và a 0 và x1x2 = a > 0 => x1 > 0 và x2 > 0 => hai điểm A và B đều cĩ hồnh độ dương nên chúng nằm bên phải trục tung. b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hồnh độ của A và B. 4 1 1 Để cĩ x1 ; x2 thì a ≤ 1 ; M = 2 + x1 x2 x1x2 a minM = 3 khi và chỉ khi a lớn nhất khi đĩ a = 1 và khi đĩ A và B trùng nhau Vậy minM = 3 a = 1. 1 Câu 21 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y x2 và 2 đường thẳng (d) cĩ hệ số gĩc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ). a) Viết phương trình đường thẳng (d). b) Chứng minh rằng (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. c) Gọi x1 , x2 là hồnh độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m 3 3 để x1 x2 32
14. HD: a) Phương trình đường thẳng (d) cĩ dạng : y = ax + b Vì đường thẳng (d) cĩ hệ số gĩc m nên ta cĩ: y = mx + b. Vì: (d): y = mx + b qua điểm I(0; 2): Nên: 2 = m.0 + b => b = 2. Vậy phương trình đường thẳng (d)là : y = mx +2. 1 b)Ta cĩ: (P): y x2 2 (d): y = mx +2. 1 PT hồnh độ giao điểm của (P) và (d): x2 mx 2 x2 2mx 4 0 1 2 Vì: a = 1 > 0 và c = - 4 0 với mọi m 2 4 4 2 4 Nên : m – 1 = 0 m = 1 3 3 Vây: m = 1 thì x1 x2 32 Câu 22: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số. 1/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm cĩ tung độ bằng 9. 2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa hai điểm này bằng 6 2 x1 0 HD : 1/ P.trình hồnh độ giao điểm (P) và (d) : x mx 0 x(x m) 0 x2 m Vì giao điểm (P) : y x2 y m2 . Với y = 9 => m2 = 9  (m = 3 v m = -3) Vậy với m 3 thì (P) và (d) cắt nhau tại điểm cĩ tung độ bằng 9. 2/ Từ câu 1 => (P) và (d) luơn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi m 0 . Khi đĩ giao điểm thứ nhất là gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ 2 là điểm A cĩ ( x = m; y = m2). Khoảng cách giữa hai giao điểm : AO = m2 m4 6 m4 m2 6 0 (1) 2 2 Đặt t m ;(t 0) khi đĩ (1) t t 6 0 => (t1 = 3 ( nhận ) v t2 = - 2 ( loại)) 2 Với t1 = 3  m = 3 => m 3 ( nhận)
15. Vậy với m 3 thì (P) cắt (d) tại hai điểm cĩ khoảng cách bằng 6 . Câu 23: a.Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M cĩ hồnh độ bằng 2 và M thuộc đồ thị hàm số y 2x2 . Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M ( biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất). 2 b.Cho phương trình x 5x 1 0 1 . Biết phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1;x .2 Lập phương trình bậc hai ẩn y ( Với các hệ số là số nguyên ) cĩ hai nghiệm lần lượt 1 1 là y1 1 và y2 1 x1 x2 1 Câu 24: Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 (với m là 2 tham số). a) Vẽ (P). b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm cĩ hồnh độ dương. c) Với m tìm được ở câu b), hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (d). a)+ Lập bảng giá trị đúng (chọn tối thiểu 3 giá trị của x trong đĩ phải cĩ giá trị x = 0). + Vẽ đúng dạng của (P). 1 b, + Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d): x2 (m 1)x 2 2 x2 – 2(m – 1)x +4 = 0 ' 0 2 m 1 4 0 m 1 hoỈc m 3 + Lập luận được: b' + Kết luận được: m 0 m 1 0 m 1 a = 3 b' m 1 3 1 c,+ Tìm được hồnh độ tiếp điểm: x 2 a 1 1 +Tính được tung độ tiếp điểm: y = 2 và kết luận đúng tọa độ tiếp điểm là (2; 2). Bài 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax 2 a 0 và đường thẳng (d): y = bx + 1 1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) cịn cĩ một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) HD: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax 2 a 0 và đường thẳng (d): y = bx + 1 1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) M (P) a = 2 y = 2x2 M (d) b = 1 y = x + 1
16. 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) cịn cĩ một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) .Xét pt hồnh độ gđ: 2x2 = x + 1 2x2 - x - 1 = 0 x 1 y 2 1 1 1 1 M 1;2 ; N ; x y 2 2 2 2 S M O N S th a n g S 1 S 2 0, 7 5(d vd t) Bài 26: Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y = (2m – 1)x – m + 2 (m là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm các giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) ; B(x2 ; y2 ) thỏa mãn x1y1 x2 y2 0 a) Phương trình hồnh độ giao điểm (nếu cĩ) của (d) và (P) là: x2 (2m 1)x m 2 0 x2 (2m 1)x m 2 0 (*) Vì  (2m 1)2 41(m 2) 4m2 8m 9 4 m 1 2 5 0 với mọi m nên (*) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m. Vậy với mọi m (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) ; B(x2 ; y2 ) 2 2 b) Ta cĩ: y1 x1 ; y2 x2 (vì hai điểm A và B thuộc (P) ), nên: 3 3 3 x1y1 x2 y2 0 x1 x2 0 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) 0 (1) x1 x2 2m 1 mà hồnh độ các giao điểm A và B là nghiệm của (*) nên: x1x2 m 2 (Vi-et) 3 2 Do đĩ: (1) (2m 1) 3(m 2)(2m 1) 0 (2m 1) (2m 1) 3(m 2) 0 2 2 7 63 (2m 1)(4m 7m 7) 0 (2m 1) 2m 0 2m 1 0 4 16 Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x ; y ) ; B(x ; y ) thỏa mãn khi m = 0,5. 1 1 2 2