Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm

1. CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số fx( ) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số Fx( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số fx( ) trên K nếu F x' f( x ) = ( ) với mọi xK . Kí hiệu: fxdxFxC( ) =+( ) , ( C là một hằng số ). Chú ý: suy ra Fx'( ) f(x)= . 2. Tính chất 1) Nếu f(x) có đạo hàm là f’(x) thì fxdxfx'()( ) = 2) kf()() x dx= k f x dx 3) [f( x]dxf )g(x)( = xdx )dxg(x) 3. Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số f(x) liên tục trên K thì đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. 0dxC= 2. dxxC=+ +1 1 +1 3. x dxxC=+ − ( 1) 1 (ax+ b) + 1 16. (ax+ b) dx = + c , − 1 a + 1 11 11 4. dxC= −+ 17. dx= + C( 1) x 2 x x (−+ 1)x −1 1 dx 1 5. dx=+ln x C 18. =ln ax + b + c x ax+ b a 6. exx dx=+ e C 1 19. edxeCax++ bax b =+ a ax 1 akx+ b 7. ax dx=+ C 20. akx+ b dx=+ C lna kaln GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 1
2. 8. cossinxdxxC=+ 1 21. cossinaxbdxaxbC+=++ ( ) a ( ) 9. sincoxdxxC s =−+ 1 22. sincosaxbdxaxbC+=−++ ( ) a ( ) 10. tan.ln|cos|x dxxC=−+ 1 23. tandxln(axbaxbC+= cos) −++ ( ) a 11. cot.ln|sin|xdxxC=+ 1 24. cotdxlnsin(axbaxbC+=++) ( ) a 1 11 12. dxxC=+tan 25. dxaxbC=++tan 2 2 ( ) cos x cos (axb+ ) a 1 11 13. dxxC=−+cot 26. dxaxbC=−++ cot 2 2 ( ) sin x sin (axb+ ) a 2 1tantan+=+ xdxxC 2 1 14. ( ) 27. 1tantan++=++ axbdxaxbC ( ( )) a ( ) 15. (1cott+= −+2 xdxcoxC) 28. 1 1cott++= −++2 axbdxcoaxbC ( ( )) a ( ) 4. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 x 4 a. I = (2 cos)2xxdxxxC++=+++ sinln3 x 4 3ax b. I = (s35)cosx5einxadxexCxxx+++=−+++ lna 1cos 4 x1ea2xx+− 13 2 c. (s)ein(4x)2xx+− 13+++=−+−+ 2 adxC xx32243 ln a 2 d. (3)(1)(33)xxdxxxxdx232+−=−+−= . GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 2
3. Ví dụ 2. Tính Giải Tương tự tính nguyên hàm các hàm số sau 11 c) I = ()++xxdx3 = 2 sin x x GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 3
4. 1 d) I = (32) −+5 xxdx 31x + cos2 x xx32+−232 e) I = ()+ dx xx41+ II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến Ví dụ: Tính nguyên hàm của các hàm số sau 2 a) I = 2xedxx +1 Giải Đặt t = x 2 + 1 dt = 2xdx I = et dt = et + C 2 I = ex +1 + C 42x − b) I = dx (xx25−+ 1) GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 4
5. Giải Đặt t = xx2 −+1 dt = ( 2x 1) d− x 2t 2−− 2 2 I = dt = dt= + C = + C t 5 t43 t 3 3( x 2−+ x 1) 3 Tương tự tính nguyên hàm của các hàm số sau c) I = c osxe dxsinx d) I = (2x− 1)( x27 − x + 3) dx e) I = (x++ 1) x2 2 xdx GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 5
6. 2. Phương pháp nguyên hàm từng phần fx() Nhận dạng: f x( g). x ( dx ) hoặc dx gx() Trong đó f(x) và g(x) khác loại. Giải I = Đặt u = fx() du = f x'() dx dv = g x() d x v = g x() dx I = uv - v du Chú ý: thứ tự chọn u theo quy tắc log – đa – mũ – lượng. Ví dụ: Tính nguyên hàm của các hàm số sau a) I = xe dxx Giải Đặt ux= =dudx dv = ex dx ==vedxe xx I = x.ex - e dxx = xex - ex + C b) I = xxdxcos Giải Đặt dv = cos xdx ==vxdx cos sinx I = x.sinx - sinxdx = x.sinx + cosx + C c) I = xxdx2 ln Giải 1 Đặt ux= ln =dudx x x3 dv = x2 dx v = x2 dx = 3 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 6
7. x3 x3 1 I = ln x - . dx 3 3 x x3 1 xx23 I1 = . dx = d x C=+ 3 x 39 x3 I = - + C 9 Tương tự tính nguyên hàm của các hàm số d) 2xe dxx e) x2 cos xdx f) (1).lnxxdx+ g) xxdxln GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 7
8. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. (đề 101) Tìm nguyên hàm của hàm số f( x )= cos3 x . sin3x A. cos3x dx=+ 3sin3 x C B. cos3x dxC=+ 3 sin3x C. cos3x dxC=−+ D. cos3x dx=+ sin3 x C 3 Câu 2. (đề 103) Tìm nguyên hàm của hàm số fxx()2sin= . A. 2sinx dx=+ 2cos x C . B. 2sinx dx=+ sin2 x C . C. 2sinsin2x dxxC=+. D. 2sin2cosx dxxC= −+ Câu 3. (đề 103) 3 Cho Fx()là một nguyên hàm của hàm số f( x )=+ ex 2 x thỏa mãn F(0) = . Tìm Fx(). 2 3 1 A. F() x= ex + x2 + . B. F( x )= 2 ex + x2 − . 2 2 5 1 C. F() x= ex + x2 + . D. F() x= ex + x2 + . 2 2 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 8
9. Câu 4. (đề 104) Tìm nguyên hàm của hàm số fx( ) 7 = x . 7x A. 77lnxxdxC 7=+. B. 7x dx=+ C . ln 7 7x+1 C. 77xxdxC=++1 . D. 7x dxC=+. x +1 Câu 5. (đề 104) Tìm nguyên hàm Fx() của hàm số fxxx()sincos=+ thỏa mãn F = 2 . 2 A. F( x )= cos x − sin x + 3. B. F( x )= − cos x + sin x + 3. C. Fxxsx()cosin1= −+− . D. Fxxx()cossin1= −++ . Câu 6. (đề 104) Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . A. . B. . GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 9
10. C. Fxxsx()cosin1=−+− . D. Fxxx()cossin1=−++ . Câu 7. [101] Cho hàm số fx( ) thỏa mãn fxx ( ) =−35sin và f (0 10) = . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. fxxx( ) =++35cos5 . B. fxxx( ) =++35cos2 . C. fxxx( ) =−+35cos2 . D. fxxx( ) =−+35cos15 . Câu 8. [MH18] Họ nguyên hàm của hàm số fxx( ) =+312 là x3 A. xC3 + . B. ++xC. C. 6xC+ . D. xxC3 ++ . 3 Câu 9. [101] Nguyên hàm của hàm số fxxx( ) =+3 là 11 A. x42++ x C . B. 31xC2 ++ . C. xxC3 ++ . D. x42++ x C . 42 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 10
11. Câu 10. [102] Nguyên hàm của hàm số f x( x x) =+4 là 11 A. x x4 C++ . B. 41xC3 ++ . C. x x52 C++. D. x x52 C++. 52 Câu 11. [103] Nguyên hàm của hàm số f x( x x) =+42 là 11 A. 42x x3 C++. B. x x53 C++. C. x x53 C++. D. x x42 C++. 53 Câu 12. [104] Nguyên hàm của hàm số fxxx( ) =+32 là 11 A. 32xxC2 ++. B. xxC43++. C. xxC43++. D. xxC32++. 43 Câu 13. [MH2019] Họ nguyên hàm của hàm số f( x) =+ex x là 1 11 A. ex ++xC2 . B. ex ++xC2 . C. ex ++xC2 . D. e1x ++C . 2 x +12 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 11
12. Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số y =102x 10x 102x 102x A. + C B. + C C. + C D. 102x 2ln10+C 2l n1 0 l n10 2l n1 0 1cos+ 4 x Câu 15. dx là: 2 x 1 x 1 x 1 x 1 A. ++sin 4xC B. ++sin 4xC C. ++sin 4xC D. ++sin 2xC 28 24 22 28 Câu 16. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây Nguyên hàm của hàm số yxx= sin là: x A. xC2 sin + B. −+x.cos x C C. −++xxC.cossinx D. −++xxC.sinxcos 2 Câu 17. sin2 x .cos xdx là: GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 12
13. 11 11 A. co x Cs si2 n x + B. s i n .c2 x o x s C + C. sin.sinxxC−+ 3 D. cxcxCos.os3−+ 412 412 25xx++11− Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau: y = 10x 55.2xx 55.2xx A. FxC()=−+ B. FxC()=−++ 2ln 5ln 2 2ln 5ln 2 21 21 C. FxC()=−+ D. FxC()=++ 5lnxx 55.2ln 2 5lnxx 55.2ln 2 Câu 19. xxdxln là: 33 33 33 33 xxx22ln4 2ln4xxx22 2lnxxx22 2ln4xxx22 A. −+C B. −+C C. −+C D. ++C 39 39 39 39 x xx Câu 20. xdxsin = abxCsincos−+ Khi đó a+b bằng 3 33 A. -12 B.9 C.12 D. 6 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 13
14. Câu 21. x e2 dxx l=()xmxneC2 +++ x Khi đó m.n bằng A. 0 B. 4 C. 6 D. −4 Câu 22. Tìm hàm số y f= x () biết rằng fxxvf'()21à(1)5=+= A. f x( x ) 3x = + +2 B. f x( x ) 3x = − +2 C. f x( x ) 3x = + −2 D. f x( x ) 3x = − −2 7 fxxvf'()2à(2)=−= 2 Câu 23. Tìm hàm số biết rằng 3 A. fxxx()23=++3 B. fxxx()21=−+ 3 C. fxxx()23=+− 3 D. fxxx()3 =−−3 3 Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 - + 2x là: x2 x4 x3 1 x4 32x x4 3 A. −++3ln2xC2 .ln 2x B. +++ 2x C C. + + + C D. +++ 2x .ln 2 C 4 3 x3 4x ln 2 4 x GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 14
15. Câu 25. Nguyên hàm của hàm số: y = c os 2 x là: sin .c22xx os B. −tanx - cotx + A. tanx - cotx + C C. tanx + cotx + C D. cotx −tanx + C C −x x e Câu 26. Nguyên hàm của hàm số: y = e 2 + 2 là: cos x 1 1 A. 2ex −+ tan x C B. 2eCx −+ C. 2eCx ++ D. 2ex ++ tan x C cos x cos x Câu 27. Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là: 1 1 1 A. cos3 xC+ B. −+cos3 xC C. - cos3 xC+ D. sin3 xC+ . 3 3 3 Câu 28. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là: 1 1 1 1 A. F(x) = cos6xx+ cos 4 B. F(x) = sin5x.sinx 2 6 4 5 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 15
16. 111 1sin 6sin4xx C. sin 6sinxx+ 4 D. −+ 264 264 Câu 29. Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là: 1 cos6xx cos 2 1 cos6xx cos 2 A. −+ B. + 2 8 2 2 8 2 1cos6cos xx 2 1sin 6sin2xx C. − D. + . 282 282 Câu 30. sin2 2xdx = 11 1 11 11 A. xxC++sin 4 B. sin23 xC+ C. xxC−+sin 4 D. xxC−+sin 4 28 3 28 24 1 Câu 31. dx = sin.cos22xx A. 2tan 2xC+ B. -2 cot 2xC+ C. 4cot 2xC+ D. 2 cot 2xC+ 2 ( x2 −1) Câu 32. dx = x3 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 16
17. x3 1 x3 1 A. −++2ln xC B. −−+2ln xC 32x2 3 x2 x3 1 x3 1 C. −−+2ln xC D. −−+2ln xC 32x2 33x2 Câu 33. ( x x+ e2017 x ) dx = 5 e2017x 2 e2017x A. xxC2 ++ B. xxC3 ++ 22017 52017 3 e2017x 2 e2017x C. xxC2 ++ D. xxC2 ++ 52017 52017 Câu 34. dx = xx2 +−45 11x − 15x + 11x + 11x − A. ln + C B. ln + C C. ln + C D. ln + C 65x + 61x − 65x − 65x + GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 17
18. x3 Câu 35. Một nguyên hàm của hàm số: y = là: 2 − x2 1 1 1 A. Fxxx()2 =−2 B. −xx22 +42 − C. −−xx222 D. −xx22 −42 − 3 ( ) 3 3 ( ) Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số: f x( x ) x1 =+2 là: 1 1 3 A. Fxxx()1 =+22 B. Fxx()1 =+2 2 ( ) 3 ( ) x2 3 1 3 C. F( x )=+ 1 x2 D. Fxxx()1 =+22 3 ( ) 3 ( ) Câu 37. tan2 xdx = 1 1 1 A. 2 ln cos 2xC+ B. ln cos 2xC+ C. − ln cos 2xC+ D. ln sin 2xC+ 2 2 2 1 Câu 38. Nguyên hàm của hàm số: fx( ) = là: 31x + GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 18
19. 1 1 1 l n 3 1xC++ B. l n 3 1xC++ C. l n 3( 1xC++) D.ln 3xC++ 1 2 3 3 Câu 39. Nguyên hàm của hàm số: fxx( ) =−cos52( ) là: 1 A. sin 5( 2xC−+) B. 5sin 5( 2xC−+) C. 5 D.−−+5sin52( xC) Câu 40. Nguyên hàm của hàm số: fxx( ) = tan2 là: A . tan xC+ B. tanx-x + C C. 2tan xC+ D. tanx+x + C 1 Câu 41. Nguyên hàm của hàm số: fx( ) = là: (21x − )2 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 19
20. −1 −1 1 −1 A. + C B. + C C. + C D. + C 21x − 24− x 42x − (21x − )3 Câu 42. Một nguyên hàm của hàm số fxc( ) = os3x.cos2x là: A. s i n sxx i n5+ 11 B. sinsin5xx+ 210 11 11 C. coscos5xx+ D. cossin5xx− 210 210 1 Câu 43. Cho hàm số yfx= ( ) có đạo hàm là fx( ) = và f (11) = thì 21x − f (5) bằng: A. ln2 B. ln3 C. ln2 + 1 D. ln3 + 1 2 Câu 44. Nguyên hàm của hàm fx( ) = với F (13) = là: 21x − GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 20
21. A. 2 2 1 x − B. 2 1x 2−+ C. 2 2 1 1x −+ D. 2 2 1 1x −− Câu 45. Để Fxabxb( ) = .cos02 ( ) là một nguyên hàm của hàm số f( x) = sin 2 x thì a và b có giá trị lần lượt là: A. – 1 và 1 B. 1 và 1 C. 1 và -1 D. – 1 và - 1 Câu 46. Hàm số Fxeex( ) =++xx− là nguyên hàm của hàm số: −xx A. fxee =++ 1 xx− 1 2 ( ) B. fxee( ) =−+ x 2 xx− C. fxee =+− 1 xx− 1 2 ( ) D. fxee( ) =++ x 2 Câu 47. Nguyên hàm Fx( ) của hàm số f( x) =4 x32 − 3 x + 2 x − 2 thỏa mãn F (19) = là: A. fx( ) = xxx432−+− 2 B. fx( ) = xxx432−++ 10 C. fx( ) = x4− x 3 + x 2 − 2 x D. fx( ) = x4− x 3 + x 2 −2 x + 10 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 21
22. eexx− − Câu 48. Nguyên hàm của hàm số: fx( ) = là: ee−xx+ xx− 1 A.ln e e C++ B. + C eexx− − xx− 1 C. ln e e C−+ D. + C eexx+ − Câu 49. Nguyên hàm Fx( ) của hàm số fxx( ) =+sinx thỏa mãn F (019) = là: x2 x2 A. Fxc( ) =− osx+ B. Fxc( ) = −+osx+2 2 2 x2 x2 C. Fxc( ) =+osx+20 D. Fxc( ) = −+osx+20 2 2 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 22
23. Câu 50. Cho fx'35sinx( ) =− và f (0 10) = . Trong các khẳng địn sau đây, khẳng định nào đúng: A. f( x) =+3 x 5 c osx+2 3 B. f = C. f ( ) = 3 22 D. f( x) =−3 x 5 c osx+2 Câu 51. [MH2019] Họ nguyên hàm của hàm số fxxx( ) =+41ln( ) là A. 2ln3xxx22+ . B. 2lnxxx22+ . C. 2ln3xxxC22++. D. 2lnxxxC22++. GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT bài 1: Nguyên hàm 23