Bài tập chuyên đề Hàm số bậc nhất Lớp 9

Nội dung text: Bài tập chuyên đề Hàm số bậc nhất Lớp 9

1. BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT I. Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hàm số ( ) = 2 + 5 ― 9 . Tìm k để hàm số là hàm số bậc nhất: a. Đồng biến. b. Nghịch biến. | + 1| + | ― 1| Bài 2: Cho hàm số = ( ) = | + 1| ― | ― 1| a. Tìm tập xác định của hàm số. b. Chứng minh rằng ( ― ) = ― ( ) với mọi x trên tập xác định. Bài 3: Cho hàm số = ( ) = ( 3 ― 5) + 5 + 3 a. Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập R. b. Tính xo biết ( 표) = 1. 2 c. Tính xo biết ( 표) = 8 + 2 15. Bài 4: Một bể nước có 1000 lít nước, có một vòi chảy ra mỗi phút 40 lít. a. Tính lượng nước y (lit) còn lại của bể sau x phút. b. Vẽ đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa x và y. Bài 5: a. Tìm điều kiện của m và k để hàm số sau là hàm số bậc nhất: = ( ) = 2 + ( 2 ― + 6 2) ― 9 2 + 5. b. Xác đinh a và b để hàm số sau là hàm số bậc nhất: = ( ) = ( 2 ― 3 + 2) 2 + ( 2 ― 2 ― 2 2) + 4 c. Xác định m để hàm số sau là hàm số bậc nhất và nghịch biến: = ( ) = 2 3 + 2 ― 12 3 ― + 5 ― 3 Bài 6: Cho đường thẳng d: ( ― 2) ― (2 ― 1) + 3 ― 5 = 0 Tìm m để đường thẳng d: a. Song song Ox b. Song song Oy. 2 Bài 7: Cho (d1): = – 2 – 2; (d2): = (2 – 3) + ― 1. a) Chứng minh rằng với mọi m thì (d) và (d) không thể trùng nhau. b) Tìm m để (d1) // (d2). c) Tìm m để (d1) vuông góc (d2). Bài 8: Cho ba điểm (4;3); ( ― 2;6) và ( ― 2; ― 9). Chứng minh tam giác ABC vuông tại C. Tính diện tích tam giác. Bài 9: Vẽ đồ thị hàm số = | | + | + 1| + | + 2| và đồ thị = 6 trên cùng một trục tọa độ. Từ đó suy ra phương trình: | | + | + 1| + | + 2| = 6 có bao nhiêu nghiệm? Bài 10: Tính chu vi và diện tích tam giác ABC biết (0;4); (3;2) và (2;0). Bài 11: Cho hai đường thẳng (d1): = 0,5 + 5 ― 2 và (d2): = 2 + 1 ― . a. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung. b. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. Bài 12: Cho hai đường thẳng: (d1): = ( + 3) và (d2): = (4 ― 5) + 3 . a. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc nhau. b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d2) luôn đi qua một điểm cố định. Bài 13: a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua ( ― 2;3) và cùng hệ số góc với đường thẳng 2 ― + 3 = 0 c. Viết phương trình đường thẳng (d’) có tung độ gốc với đường thẳng 3 + 2 ― 6 = 0 và cùng hệ số góc với đường thẳng 2 ― 3 = 9.
2. Bài 14: Cho ba đường thẳng: (d1): = + 2 ; (d2): = ― ― 2 và (d3): = ―2 + 2 cắt nhau lần lượt tại ba điểm A, B, C. Xác định tọa độ ba điểm A, B, C và tính diện tích tam giác ABC. 1 7 Bài 15: Cho ba đường thẳng: (d1): = 2 ― 3; (d2): = 3 ― 2 và (d3): = ― 6 + 1. a. Chứng minh ba đường thẳng này đồng quy tại điểm A. b. Tính chu vi và diện tích tam giác có đỉnh là A, hai đỉnh còn lại lần lượt là giao của (d1) và (d2) với trục tung. Bài 16: Cho đường thẳng (d) : = + 2 ( ≠ 0). Đường thẳng d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Tìm m sao cho: a. Tam giác AOB vuông cân tại O. b. Diện tích tam giác AOB bằng 3. c. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1. 2 Bài 17: Cho ba đường thẳng (d1): = + 2; (d2): = 2 + 1 và (d3): = ( + 1) + . Tìm m để ba đường thẳng đồng quy. Bài 18: Vẽ tứ giác ABCD có các đỉnh (1;2); ( ―4;4); ( ―1;1) và ( ―2;5). a. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành. b. Tìm tâm đối xứng của hình bình hành này. Bài 19: Cho (2; ― 1) và (0; ― 5). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB. Tìm điểm M trên 15 đường trung trực sao cho diện tích tam giác AMB là 2. Bài 20: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a. = | | + b. = | | ―2 Bài 21: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm (2;5); ( ― 1; ― 1); (4; 9). a) Viết phương trình đường thẳng BC. b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. c) Chứng minh rằng ba đường thẳng BC ; 3 ― ― 1 = 0 và ― 2 + 8 = 0 đồng quy. Bài 22: Tìm giá trị của m để hai đồ thị hàm số sau cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. (1): = 2 + ― 1 và (2): = 3 ― 5. Bài 23: Cho hai đường thẳng: (d1): = 2 và (d2): = ―0,5 . a. Gọi M là một điểm nằm trên Ox có hoành độ là 2,5. Đường vuông góc OM tại M cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại P và Q. Hãy xác định tọa độ hai điểm P và Q. b. Tính số đo 푃 푄 và diện tích tam giác POQ. Bài 24: Cho đường thẳng d: = 2 + 5. a. Đường thẳng d cắt Ox tại E và Oy tại F. Tính diện tích tam giác OEF, b. Cho điểm M (3; 3). Tìm một điểm C trên mặt phẳng tọa độ để tứ giác MEFC là hình bình hành. Bài 25: Cho đường thẳng ( ):2( ― 1) + (푛 + 1) = 2 a. Tìm m và n để (d) đi qua điểm (1;1) và vuông góc với đường thẳng ― = 0. b. Giả sử m và n thay đổi nhưng + 푛 = 1. Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm đó. Bài 26: Đồ thị hàm số = + đi qua điểm ( ― 3;4) và cắt trục tung, trục hoành tại hai điểm A và B phân biệt. Tìm các hệ số a, b và tính góc tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox, biết rằng: a. = b. = 2 . Bài 27: Cho đường thẳng (d): = ( 2 + 1) + 2. Đường thẳng (d) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B. Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Bài 28: Cho ba điểm ( ― 6;4); ( ― 3;1) và (2; ― 9). a. Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.
3. b. Viêt phương trình đường cao AD và BE của tam giác ABC. c. Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác. Bài 29: Cho ( ― 3;2), (1;4). Xác định tọa độ hai điểm C và D sao cho ABCD là hình bình hành và nhận tâm O làm tâm đối xứng. Bài 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;2). Dựng các điểm B và C đối xứng với A qua hai trục tọa độ Ox và Oy a. Chứng minh ba điểm B, C, O thẳng hàng. b. Nhận xét về tọa độ các điểm A, B, C rút ra nhận xét về tọa độ các điểm đối xứng qua hai trục tọa độ và qua gốc tọa độ O. c. Nhận xét gì về hai đường thẳng AB, AC với hai trục tọa độ, rút ra nhận xét về các điểm có cùng tung độ và hoành độ. Bài 31: Cho hàm số = ( ― 1) + a. Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số. b. Tìm a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3. c. Tìm a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ―2. Bài 32: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị: | ― 1| +2| | = . Bài 33: Cho điểm ( ;푛) và điểm ( ; ) ( ≠ ). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. Bài 34: Cho hàm số: = + 3 ― 1 a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. b. Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số. Bài 35: Cho các hàm số: = 2 (1); = 0,5 (2); = ― + 6 (3). Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của ba đồ thị hàm số. Tính các góc của tam giác ABC. Bài 36: Xác định hàm số ( ) biết rằng: ( ― 1) = 3 ― 5. Bài 37: Cho hai đường thẳng: (d1): 2 + 8 = 0 và (d2): 4 ― = 0. a. Gọi C là một điểm trên trục Ox có hoành độ là ―2. Đường vuông góc OC tại C cắt (d1) và (d2) lần lượt tại E và F. Tìm tọa độ E và F. b. Chứng minh (d1) vuông góc (d2). c. Tính chu vi tam giác OEF. Bài 38: Cho đường thẳng (d): = + . Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Chứng minh rằng hàm số có dạng: 3 + 2 = 1. 2 2 Bài 39: Cho ba đường thẳng: (d1): = ( ― 1) + ―5 ( ≠± 1); (d2): = + 1 và (d3): = ― + 3. Tìm m để ba đường thẳng đồng quy. Bài 40: Cho hàm số = (2 + 1) ― + 3. a. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( ― 2;3) b. Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số. Bài 41: Cho hàm số = ( ― 2) + + 3 với ≠ 2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. Bài 42: Cho đường thẳng (d): = + – 1. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9. Bài 43: a. Vẽ đồ thị các hàm số = | – 1 |và = | + 2| trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy. b. Chứng tỏ phương trình | – 1 | = | + 2| có một nghiệm duy nhất. Bài 44: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét hai đường thẳng : (d1): ― = 2 và (d2):(2 ― ) + = . a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d1) đi qua điểm cố định B và đường thẳng (d2) đi qua điểm cố định C.
4. b) Với = 1, gọi A là giao điểm của hai đường thẳng. Tính chu vi tam giác ABC. Bài 45: Cho hai đường thẳng (d1): = 12 + 5 ― ; (d2): = 3 + 3 + . Xác định m để giao điểm của (d1) và (d2) thoả mãn : a) Nằm trên trục tung; b) Nằm bên trái trục tung; c) Nằm trong góc phần tư thứ hai. Bài 46: a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm ( 1; 1) và điểm ( 2; 2) trên mặt phẳng tọa độ là: 2 2 = ( 1 ― 2) + ( 1 ― 2) b.Áp dụng: Xác định hình dạng và tính chu vi tam giác ABC biết (2;2); ( ― 1;1) và (3; ― 1). Bài 47: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đồ thị (d) của hàm số = ― + 2. Tìm toạ độ của những điểm nằm trên đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục Ox bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục Oy. Bài 48: Đường thẳng = + cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ là ―3 và cắt trục tung tại điểm B có tung độ là ―2. Tính diện tích tam giác OAB và tính khoảng cách từ O đến AB. Bài 49: Vẽ hai đồ thị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: 1 1 + . . = 1 ― 2 ― 2 + 1 + 1 1 ― Bài 50: Bốn đường thẳng (d1): = ; (d2): = + 2; (d3): = ― và (d4): = ― ― 3 cắt nhau tạo thành tứ giác ABCD. Hãy cho biết tứ giác này là hình gì và tính diện tích của nó. Bài 51: Cho hai điểm ( 1; 1) và điểm ( 2; 2) thuộc đường thẳng d, trong đó 1 ≠ 2. a. Tính hệ số góc của đường thẳng d biết rằng 1 = 2; 1 = 4; 2 = 5; 2 = 13. Xác định hàm số bâc nhất có đồ thị tương ứng. b. Tính hệ số góc của đường thẳng d theo 1; 1; 2; 2. c. Gọi ( ; ) là một điểm thuộc đường thẳng d. Chứng minh rằng: ― 1 2 ― 1 = ― 1 2 ― 1 Bài 52: a. Đường thẳng = đi qua điểm (3; 3). Tìm góc của đường thẳng tạo với trục Ox. b.Đường thẳng = + cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 và tạo với tia Ox một góc 60°. Tìm a. Bài 53: Tìm các giá trị của m để đường thẳng = + 3 tiếp xúc với đường tròn tâm O và có bán kính là 2. Bài 54: Cho điểm (2 ― 1;3 + 2). - Tìm tập hợp điểm E. - Tìm m để khoảng cách OE là nhỏ nhất. Bài 55: Cho hàm số = (2 ― 1) + + 1. Hãy xác định m trong mỗi một trường hợp sau: a. Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ― 1;1). b. Đồ thị hàm số cắt trục tung và trục hoành tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân. II. Bài tập nâng cao: Bài 1: 1. Cho điểm A(1;3) và điểm B(4;-3). Tìm điểm M chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn sao cho: a. = 2 b. = 5 2. Tìm công thức để tính tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB với hai điểm A, B đã biết tọa độ theo tỉ số k. Bài 2: Cho hàm số ( ) xác định với mọi ≠ 0 thỏa mãn các điều kiện sau: - (1) = 1 1 - f 1 = f(x) với mọi ≠ 0. 2 - ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2) với mọi 1, 2 ≠ 0 và 1 + 2 ≠ 0.
5. 5 5 Chứng minh rằng: 7 = 7. Bài 3: Tìm trên đường thẳng = + 1 những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức 2 ―3 +2 = 0. Bài 4: Hàm số f(x) xác định trên tập R. Biết rằng ( + ) = ( ) với mọi a, b và ( ― 1) = ―1. Tính f(1994). Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng = 2 + 1 những điểm ( ; ) thỏa mãn điều kiện: 2 ―5 +6 = 0. (Tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán tỉnh Thái Bình năm 2006) 2 2 Bài 6: Cho hai đường thẳng (d1): = (2 + 1) + 2 ― 1 và (d2): = + ― 2 với m là tham số. a. Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng theo m. b. Khi m thay đổi, chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định. (Tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội năm 2011) Bài 7: Cho hàm số = 2 ― 4 + 4 + 4 2 + 4 + 1 + . a) Xác định a để hàm số luôn đồng biến. b) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 6). Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với a vừa tìm được. c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 2 ― 4 + 4 + 4 2 + 4 + 1 = + (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Bắc Ninh, năm học 2009) Bài 8: Cho đường thẳng (d): = ( ― 3) + 3 + 2. Tìm giá trị nguyên của m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên. Bài 9: Cho hàm số = ( 2 – 2 + 3) + 6 có đồ thị (d). a) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn là hàm số bậc nhất đồng biến. b) Tìm m để (d) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho diện tích tam giác lớn nhất. Bài 10: Vẽ đồ thị hàm số 2 + 2 ―2 ― 4 = 0. Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): ( ― 4) + ( ― 3) = 1 ( m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) là lớn nhất. ( Thi HSG Toán tỉnh Phú Thọ năm 2008) Bài 12: Vẽ các đường thẳng = 6; = 2; = 42; = 17 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường trên không có bất cứ một điểm nguyên nào thuộc đường thẳng (d): 3 + 5 = 17. (Thi HSG Toán thành phố Hải Phòng năm 2004) Bài 13: Chứng minh với mọi ≤ 1 thì 2 ―2(3 ― 1) + + 3 ≥ 0 với mọi ≥ 1. Bài 14: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng : (d1): 2 – + 3 = 0; (d2): 15 + 3 + 5 = 0 (d3): 3 – 3 + 4 + 9 = 0. a) Tìm a để ba đường thẳng có một điểm chung. b) Với giá trị của a vừa tìm được, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác tạo bởi (d3) với các trục Ox, Oy. Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1); (d2) lần lượt có phương trình = 2 ― 3 ; = 4 + 5 ; gọi A là giao điểm của (d1) với trục tung, B là giao điểm của (d2) với trục tung, C là giao điểm của (d1) với (d2). Chứng minh góc ACB là góc nhọn. (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Đồng Nai, năm học 2016 – 2007) Bài 16: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét hai đường thẳng (d1): = 3 ― –1 và (d2): = 2 + ― 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của hai đường thẳng luôn nằm trên một đường thẳng cố định. (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Quảng Ninh, năm học 2016 – 2007)
6. Bài 17: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường thẳng (d) xác định bởi phương trình ( ― 1) + ( + 1) = 2( 2 + 1) với m là tham số. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d). Bài 18: Cho hàm số : = ( ) = 2 ― | ― 3|. a) Vẽ đồ thị hàm số. b) Dựa vào đô thị tìm điều kiện của x để ( ) > 0; ( ) < 1. (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, An Giang, năm học 2006 - 2007) Bài 19: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình = 2 + 1. Tìm toạ độ các điểm M ở trên đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm M đến trục tung. (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Đà Nẵng, năm học 2007 - 2008) Bài 20: Cho đường thẳng (d) có phương trình = ( ― 1) + 2. a) Chứng minh rằng họ đường thẳng (d) luôn luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Hãy tìm toạ độ điểm cố định đó. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Hoà Bình, năm học 2008 – 2009) 1 Bài 21: Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) có phương trình = ( ― 1) + 1 bằng 3. Bài 22: Xác định các số nguyên , biết rằng đường thẳng = + ( ≠ 0) đi qua điểm (4;3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên dương. (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Quảng Ninh, năm học 2008 – 2009) Bài 23: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình 2 + ( ― 1) = 2 (k là tham số). a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng = 3. ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox. b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. (Tuyển sinh lớp 10 – THPT Chu Văn An, Hà Nội - Amsterd, năm học 2014 - 2005) Bài 24: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng (d) ; (d1); (d2) lần lượt có phương trình là: = ― 4 ; + 2 = ―2 ; = ―2 + 2. Chứng minh rằng nếu M thuộc (d) thì M cách đều (d1) và (d2). Bài 25: Chứng minh rằng với mọi < ―2 thì 2 ―(2 + 1) + 3 + 2 ≤ 0 với mọi ∈ [ ―4;1]. HẾT Anh Tuấn - vp