26 Bộ đề tuyển sinh Toán 9 vào 10 THPT chuyên - Phần 5

Nội dung text: 26 Bộ đề tuyển sinh Toán 9 vào 10 THPT chuyên - Phần 5

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. 26 Bộ đề Tuyển sinh Toán 9 vào 10 THPT Chuyên Phần 5 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THANH HÓA Năm học: 2017 - 2018 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 1 x x + 3 x + 2 x + 2 Câu 1: ( 2 điểm ) Cho biểu thức: A = : với x 0; x 4 ; x 9. 1− − + x +1 x − 2 x − 3 x − 5 x + 6 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2 : ( 2 điểm ) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ; cho ba đường thẳng (d1): y = -5(x + 1); (d2): y = 3x – 13; (d3): y = mx + 3 (với m tham số). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường (d1) và (d2) với giá trị nào của m thì đường thẳng (d3) đi qua điểm I? x −1 + 2 y + 2 = 5 b) Giải hệ phương trình 3. y + 2 − x −1 = 5 Câu 3 : ( 2 điểm ) 2 a) Tìm m để phương trình (m – 1).x -2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 x x 5 khác 0 thỏa mãn điều kiện: 1 + 2 + = 0? x2 x1 2 b) Giải phương trình: x x − 2 = 9 5x Câu 4 : (3 điểm) Cho đường tròn (O) với tâm O có bán kính R đường kính AB cố định, M là một điểm di động trên (O) .sao cho M không trùng với các điểm A và B .Lấy C là điểm đối xứng với O qua A .Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E .các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F a / Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng và tứ giác MENF nội tiếp b/ Chứng minh: AM.AN = 2R2 c/ Xác định vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để tam giác BNF có diện tích nhỏ nhất Câu 5 : ( 1 điểm ) Cho a; b ; c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 − c 2 b 2 + c 2 − a 2 c 2 + a 2 − b 2 + + > 1 2ab 2bc 2ca Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THANH HÓA Năm học: 2008 - 2009 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 2 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1. Cho số x (x R; x 0) thoả mãn điều kiện: x2 + = 7 x2 1 1 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + và B = x5 + x3 x5 11 +22 − = x y 2. Giải hệ phương trình: 11 +22 − = y x Câu 2: (2,0 điểm) 2 Cho phương trình: ax+ bx + c = 0(a0 ) có hai nghiệm x12 ,x thoả mãn điều 2a22−+ 3ab b kiện: 0 x x 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = 12 2a2 −+ ab ac Câu 3: (2,0 điểm) 1 1. Giải phương trình: x2− + y+ 2009 + z− 2010 = (x++ y z) 2 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)) 1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Một đường thẳng quaA, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK⊥ BN. 2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 .Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: 2 2− 2 DE 1. Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P= a2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd ,trong đó ad−= bc 1. Chứng minh rằng: P3 . Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGHỆ AN Năm học: 2009 - 2010 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 3 Bài 1: (3.5 điểm) a) Giải phương trình 33xx+2 + 7 − = 3 b) Giải hệ phương trình 8 23+=x 3 y 6 x3 −=2 y Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x2 − ax + a +20 = . Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK. Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành. Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a+ b + c = 3. ab++ bc ca Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= a2 + b 2 + c 2 + a2 b++ b 2 c c 2 a Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2009 - 2010 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 4 Bài 1. (2 điểm) 2 x( x+ 1) ( x − 2) + 3 x − x Cho biểu thức P = + 1x− 1x− a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P c) Tìm x để P > 0 Bài 2. (1,5 điểm) (1+ 2) x + y = 2 Giải hệ phương trình: 2+ 2 x − y = 1 ( ) Bài 3. (2 điểm) 1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 6 và parabol y = x2 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại các điểm A , B và AOB cân ( đơn vị trên hai trục Ox và Oy bằng nhau). Bài 4. (3,5 điểm) Cho ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại diểm M và N. a) Chứng minh ACB và AMN đồng dạng b) Chứng minh KN là tiếp tuyến với đường tròn (AH) c) Tìm trực tâm của ABK Bài 5. (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn: x + y + x = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ++ 16x 4y z Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2012 - 2013 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 5 Câu 1. (1,5 điểm) 2 a 1 2 Cho biểu thức A = 1:−− với a 0 ; a 1. a1+ a+ 1 a a + a + a + 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của A khi a = 2013+ 2 2012 . Câu 2. (2,5 điểm) x(1+ y) = 5 − y 1. Giải hệ phương trình : 22 . x y=− 4 xy 2. Giải phương trình : 4x2 + 3x + 3 = 4xx + 3 + 22x − 1 . Câu 3. (1,5 điểm) 22 Tìm m để phương trình : x− (m + 2)x + m + 1 = 0 có các nghiệm x1 , x2 thoả mãn 22 hệ thức : x1+= 2x 2 3x 1 x 2 . Câu 4. (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên cạnh BC, CD lấy hai điểm E, F thay đổi sao cho EAF= 450 (E thuộc BC, F thuộc CD, E khác B và C). Đường thẳng BD cắt hai đoạn thẳng AE và AF lần lượt tại M và N. Đường thẳng đi qua A và giao điểm của EN, MF cắt EF tại H. a) Chứng minh AH vuông góc với EF. b) Chứng minh EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. c) Tìm vị trí của E, F để diện tích tam giác EFC đạt giá trị lớn nhất. Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x + y = 5. 4x + y 2x− y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + . xy 4 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2008 - 2009 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 6 Bài 1: (1,5 điểm) 2 Chứng minh rằng nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 có hai nghiệm dương x1; 2 x2 thì phương trình cx + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương x3; x4 đồng thời x1 + x2 + x3 + x4 4. Bài 2: ( 2,0 điểm) 1. Cho a;b;c là các số thực đôi một khác nhau. Rút gọn biểu thức sau: abc A = ++ (abac− )( − )( bcba − )( − )( cacb − )( − ) 2. Cho các số thực dương x; y; z; thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0. Tính giá trị của biểu thức B = ( x – y )27 + ( y – z )6 + ( z – x)2008 Bài 3: (2 điểm ) 1. Giải hệ phương trình: 2 2x− 3 x − y = 0 22 x−1 = x − 4 x + 5( y − x + 3) 2. Giải phương trình: ( x – 1 )4 + ( x – 3 )4 = 34. Bài 4: ( 3,0 điểm ) Cho đường tròn ( O;R ) và một đường thẳng d đi qua O.Lấy A và B là hai điểm thuộc d sao cho OA = OB AB2 2. Chứng minh SR là tiếp tuyến của đường tròn ( O;R ). Bài 5: ( 1,5 điểm) 1. Cho a; b là các số thực dương thoả mãn a + b = 1.Chứng minh rằng: 11 + 6 ab a22+ b 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y ; z; sao cho ( x + y + z )2 – 2x + 2y là số chính phương. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học: 2011 - 2012 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 7 Bài 1. (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 − 2( m + 2) x + 6m + 1 = 0 với x là ẩn, m là tham số. a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Tìm điều kiện của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2. Bài 2. (3,0 điểm) a/ Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a− ab − 6b = 0. ab+ Tính giá trị của biểu thức: P.= a++ ab b x2 −= 3y 2 b/ Giải hệ phương trình: 2 9y−= 8x 8 Bài 3. (1,5 điểm) 2 22 1+ ab a/ Cho các số thực a, b thỏa mãn a+ b 0. Chứng minh rằng: a+ b + 2 . ab+ b/ Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a+ b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M= a2 + abc + b 2 + abc + c 2 + abc + 9 abc. Bài 4. (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O’) tại D cắt nhau tại E. a/ Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp. b/ Chứng minh rằng BE.DC=+ CB.ED BD.CE. Bài 5. (0,5 điểm) Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao BM= CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2011 - 2012 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 8 Câu 1: (1,5 điểm) a−− a 6 1 a) Rút gọn biểu thức: A = − (với a ≥ 0 và a ≠ 4). 4a− a2− 28− 16 3 b) Cho x = . Tính giá trị của biểu thức: P= (x2 + 2x − 1) 2012 . 31− Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3(1− x) − 3 + x = 2 . 2 x+ xy − 4x = − 6 b) Giải hệ phương trình: 2 y+ xy = − 1 Câu 3: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là tham số). a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B. Tìm m để |yA − yB| = 2. Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 2 cm. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn. b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF. Tính độ dài đoạn thẳng ID. c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi S1 là diện tích tam giác CME, S2 là diện tích tam giác AMN. Xác định 3 vị trí điểm M để SS= . 122 Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b là hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2. 2+− a 1 2b 8 Chứng minh: + . 1++ a 1 2b 7 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học: 2012 - 2013 Môn: TOÁN (Chuyên Toán) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 9 Câu I (2,0 điểm) 15x− 11 3 x − 2 2 x + 3 1) Cho A = − − . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A x+2 x − 3 x − 1 x + 3 2) Cho phương trình xb2 +ax + = 0 có hai nghiệm nguyên dương biết a, b là hai số dương thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm đó. Câu II ( 2,0 điểm) 3 1) Giải phương trình: 4x2− 6 x + 1 = − 16 x 4 + 4 x 2 + 1 3 2 1 41xx− + = 2) Giải hệ phương trình: y 22 y+ y − xy = 4 a49 b c Câu III (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng: + + 4 b+ c c + a a + b Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AA’.Gọi AD là đường phân giác trong của góc BAC ()D BC .M,I lần lượt là trung điểm của BC và AH. 1) Lấy K đối xứng với H qua AD.Chứng minh K thuộc đường thẳng AA’. 2) Gọi P là giao điểm của AD với HM.Đường thẳng HK cắt AB và AC lần lượt tại Q và R. Chứng minh rằng Q và R lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên AB, AC. Câu V (3,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4+ y 4 + z 4 = 2012 2) Cho hình vuông 12x12, được chia thành lưới các hình vuông đơn vị. Mỗi đỉnh của hình vuông đơn vị này được tô bằng một trong hai màu xanh đỏ. Có tất cả 111 đỉnh màu đỏ. Hai trong số những đỉnh màu đỏ này nằm ở đỉnh hình vuông lớn, 22 đỉnh màu đỏ khác nằm trên cạnh cạnh của hình vuông lớn (không trùng với đỉnh của hình vuông lớn ) hình vuông đơn vị được tô màu theo các quy luật sau: cạnh có hai đầu mút màu đỏ được tô màu đỏ, cạnh có hai đầu mút màu xanh được tô màu xanh, cạnh có một đầu mút màu đỏ và một đầu mút màu xanh thì được tô màu vàng. Giả sứ có tất cả 66 cạnh vàng. Hỏi có bao nhiêu cạnh màu xanh. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học: 2011 - 2012 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 10 Bài 1. (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 − 2( m + 2) x + 6m + 1 = 0 với x là ẩn, m là tham số. a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Tìm điều kiện của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2. Bài 2. (3,0 điểm) a/ Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a− ab − 6b = 0. ab+ Tính giá trị của biểu thức: P.= a++ ab b x2 −= 3y 2 b/ Giải hệ phương trình: 2 9y−= 8x 8 Bài 3. (1,5 điểm) 2 22 1+ ab a/ Cho các số thực a, b thỏa mãn a+ b 0. Chứng minh rằng: a+ b + 2 . ab+ b/ Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a+ b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M= a2 + abc + b 2 + abc + c 2 + abc + 9 abc. Bài 4. (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O’) tại D cắt nhau tại E. a/ Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp. b/ Chứng minh rằng BE.DC=+ CB.ED BD.CE. Bài 5. (0,5 điểm) Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao BM= CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2010 - 2011 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 11 Bài 1: (2,5 điểm) 11 1) Giải phương trình - = 2. x2 -3 x + 2 x - 2 1 x + = 7 xy+ 2) Giải hệ phương trình: x = 12 xy+ Bài 2 (2 điểm) Cho phương trình x- 6xm -3+ 2 = 0 a) Tìm m để x = 7- 48 là nghiệm của phương trình. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x =x1, x= x2 thỏa mãn: xx+ 24 12= xx12+ 3 Bài 3 (2,0 điểm) 1) Cho phươn g trình: 2x2 + 2(2m – 6)x – 6m + 52 = 0 (với m là tham số x là ẩn số ). Tìm giá trị của m là số nguyên để phương trình có nghiệm là số hữu tỷ. 2) Tìm số abc = ( a+b)2 .4c. Bài 4 ( 3,5 điểm) Cho Δ ABC nhọn có AC . Đường tròn tâm I nội tiếp Δ ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC,CA lần lượt tại các điểm M,N,E; gọi K là giao điểm của BI và NE. C a) Chứng minh: AIB=+ 900 2 b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn. c) Gọi T là giao điểm của BI với AC. Chứng minh KT.BN = KB.ET. d) Gọi Bt là tia của đường thẳng BC và chứa điểm C. Khi hai điểm A, B và tia Bt cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thỏa mãn giả thiết, chứng minh rằng các đường thẳng NE tương ứng luôn đi qua một điểm cố định. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học: 2012 - 2013 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 12 Câu I x3 + y 3 = 1+ y − x + xy 1) Giải hệ phương trình 7xy + x − y = 7 2) Giải phương trình x + 3 + 1− x 2 = 3 x +1 + 1− x Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : 5x 2 + 8y 2 = 20412 2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y 1. Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức 1 1 2 2 P = + 1+ x y x y Câu III . Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A 1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng 2) Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC Câu IV Giả dụ dãy số thực có thứ tự x1 x2 x3 x192 Thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + x3 + + xn = 0 x1 + x2 + x3 + + x192 = 2013 2013 Chứng minh rằng x − x 192 1 96 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Năm học: 2013 - 2014 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 13 Câu 1 (3,0 điểm). xy = x + y +1 a) Giải hệ phương trình: yz = y + z + 5 (x, y, z ) zx = z + x + 2 b) Giải phương trình: x2 +3x + 2 + x2 −1+ 6 = 3 x +1+ 2 x + 2 + 2 x −1 , (x ) . Câu 2 (2,0 điểm). a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì 2(12013 + 22013 + + n2013 ) chia hết cho n(n +1) . b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện p2 − 2q2 =1. Câu 3 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc =1. Chứng minh rằng: a b c 3 + + (a +1)(b +1) (b +1)(c +1) (c +1)(a +1) 4 Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, AB AC B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BQCR nội tiếp. PB DB = và D là trung điểm của QS. b) PC DC c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. Câu 5 (1,0 điểm). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16? HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Năm học: 2013 - 2014 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 14 x3 +1 Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức P= − x:1( x − ) , với xx 1, − 1. x +1 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm tất cả các giá trị của x để Px=−2 7 . Câu 2 (2,0 điểm). 23 − = −1 xy−1 a) Giải hệ phương trình: 31 +=4 xy−1 x+1 x + 2 x + 3 x + 4 b) Giải phương trình: + = + 99 98 97 96 Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 −(2 m − 1) x + m − 2 = 0, (x là ẩn, m là tham số). a) Giải phương trình đã cho với m =1. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27. Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) . Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MC ( AC, là các tiếp điểm) tới đường tròn (O) . Từ điểm M kẻ cát tuyến MBD( B nằm giữa M và D, MBD không đi qua O ). Gọi H là giao điểm của OM và AC . Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt đường tròn (O) tại E (E khác C), gọi K là giao điểm của AE và BD. Chứng minh: a) Tứ giác OAMC nội tiếp. b) K là trung điểm của BD. c) AC là phân giác của góc BHD . Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực dương abc,, thỏa mãn abc2+ 2 + 2 =1. Chứng minh rằng: ab+2 c2 bc + 2 a 2 ca + 2 b 2 + + 2 +ab + bc + ca 111+ab − c2 + bc − a 2 + ca − b 2 HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TT. HUẾ Năm học: 2010 - 2011 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 15 Bài 1: (1,5 điểm) Xác định tham số m để phương trình (m+1) x2 − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt xx12, thoả mãn: 47( x1+= x 2) x 1 x 2 . Bài 2: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x22 + xy + y −2 x − 3 y + 2010 khi các số thực x, y thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y. Bài 3: (2,5điểm) a) Giải phương trình : 33xx+3 + 5 − = 2. 11 xy+ + + +40 = xy b) Giải hệ phương trình : 1 xy xy + + + - 4 = 0 xy y x Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. Đường trung trực của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K. a) Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Bài 5: (2,0 điểm) 65 5 a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng : = . Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b 26 2 ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức ab b = đúng. ca c b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: a+ b − c = a + b − c . Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2009 - 2010 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 16 Bài 1. (2 điểm) 2 x( x+1) ( x − 2) + 3 x − x Cho biểu thức P = + 1− x 1− x d) Tìm điều kiện xác định của P e) Rút gọn P f) Tìm x để P > 0 (1+ 2) xy + = 2 Bài 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2+ 2xy − = 1 ( ) Bài 3. (2 điểm) 3) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 6 và parabol y = x2 4) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại các điểm A , B và AOB cân ( đơn vị trên hai trục Ox và Oy bằng nhau). Bài 4. (3,0 điểm) Cho ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại diểm M và N. d) Chứng minh ACB và AMN đồng dạng e) Chứng minh KN là tiếp tuýên với đường tròn (AH) f) Tìm trực tâm của ABK Bài 5. (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: x + y + x = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ++ 16x 4 y z Bài 6: (1,0 điểm) Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: x22− 4x4 + + 4x + 4x1xm + = + hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2011 - 2012 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 17 Câu 1.(1,5 điểm): 3 x− 1 1 1 Cho biểu thức : P:=− với x 0 và x 1 x1− x−+ 1 x x 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm x để 2P – x = 3. Câu 2.(2 điểm): 1) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M có hoành độ bằng 2 và M thuộc đồ thị hàm số y=− 2x2 . Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M ( biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất). 2 2) Cho phương trình x− 5x − 1 = 0( 1) . Biết phương trình (1) có hai nghiệm x12 ;x . Lập phương trình bậc hai ẩn y ( Với các hệ số là số nguyên ) có hai nghiệm lần lượt là 11 y12= 1 + và y = 1 + xx12 3 2 17 += x−+ 2 y 1 5 Câu 3.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình: 2x−+ 2 y 2 26 += x−− 2 y 1 5 Câu 4.(3,0 điểm): Cho đường tròn (O; R). Lấy điểm M nằm ngoài (O;R) sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB của (O;R) và góc AMB nhọn ( với A, B là các tiếp điểm). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt đường tròn (O;R) tại N (khác A). Đường tròn đường kính NA cắt các đường thẳng AB và MA theo thứ tự tại I và K (khác A). 1) Chứng minh tứ giác NHBI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK. 3) Gọi C là giao điểm của NB và HI; gọi D là giao điểm của NA và KI. Đường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh CI = EA. Câu 5.(1,5 điểm) 2 1. Giải phương trình: x( x2 + 9)( x + 9) = 22( x − 1) 2311 2. Chứng minh rằng: Với mọi x 1, ta luôn có 3 x −23 2 x − . xx 5x 3. Giải phương trình: =5x + 9 − 3. 54x + HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2013 - 2014 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 18 Bài 1. (2,0 điểm) 2 a ( a + 2a − 3b ) + 3b (2 a − 3b ) − 2a 2 Cho biểu thức M = a 2 + 3ab a) Tìm điều kiện của a, b để M xác định và rút gọn M. 11 8 b) Tính giá trị của M khi a =1+ 3 2, b =10 + . 3 Bài 2. (2,0 điểm) x3 −5x2 + 2m+5 x − 4m+ 2 = 0 Cho phương trình ( ) , m là tham số. x , x , x a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3 . x2 + x2 + x2 = 11 b) Tìm giá trị của m để 1 2 3 . Bài 3. (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n và các số: A = 444 4 (A gồm 2n chữ số 4); B = 888 8 2n n (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A+2B+4 là số chính phương. Bài 4. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔCOD. c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d. MD HA 2 d) Chứng minh = . MC HC2 Bài 5. (1,0 điểm) Cho 3 số thực a, b, c 0 thoả mãn a +b+c = 2013. a b c Chứng minh rằng: + + 1. a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
19. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2013 - 2014 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 19 Câu 1: (1,5 điểm) a−− a 6 1 a) Rút gọn biểu thức: A = − (với a ≥ 0 và a ≠ 4). 4a− a2− 28− 16 3 b) Cho x = . Tính giá trị của biểu thức: P= (x2 + 2x − 1) 2012 . 31− Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3(1− x) − 3 + x = 2 . 2 x+ xy − 4x = − 6 b) Giải hệ phương trình: 2 y+ xy = − 1 Câu 3: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m tham số). a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B. Tìm m để |yA − yB| = 2. Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 2 cm. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn. b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF. Tính độ dài đoạn thẳng ID. c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi S1 là diện tích tam giác CME, S2 là diện tích tam giác AMN. Xác định 3 vị trí điểm M để SS= . 122 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
20. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2013 - 2014 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 20 Bài 1: (2 điểm) a) Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa: A= x − 2013 + 2014 − x b) Rút gọn biểu thức: A= 20 + 2 80 − 3 45 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(−− 1; 2) và song song đường thẳng y=− 3x 5. Tìm hệ số a, b. Bài 2: (1 điểm) Cho phương trình x2 − 4x + m = 0 (m tham số) (1) a) giải phương trình khi m = 3 11 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 22+=2 xx12 Bài 3: (2 điểm) Hai công nhân cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 1 trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được công việc. Hỏi mỗi công nhân 4 làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc? Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở điểm P. a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được trong đường tròn. b) Tứ giác CMPO là hình gì? c) Chứng minh tích CM.CN không đổi. d) Chứng minh khi M di đông trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 5: (1 điểm) Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh: ab2+ 2 + bc 2 + 2 + ca 2 + 2 2(abc) + + “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
21. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ Năm học: 2008 - 2009 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 21 Câu 1: (2,0 đ) 3m + 9m − 3 m − 2 1 Cho biểu thức P = − + −1 m + m − 2 m −1 m + 2 a) Rút gọn P b) tìm m để |P| =2 c) Tìm các giá trị m tự nhiên để P là số tự nhiên. Câu 2: (2,0 đ) 1. Tìm x, y biết rằng: |x-2006| + |x-2007| + |y-2008| + |x-2009| =3. 2. Cho phương trình: x 2 − 2(m −1)x − m2 + 2m − 4 = 0 (1) x1 x2 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm max của bthức p = + x2 x1 Câu 3: (2,0đ) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x2 + 2xy + 4x + y + 3 = 0 x 2 + y 2 + 2xy = 18 2 2. Giải hệ phương trình: x + y = 6 Câu 4: (1,0đ) Tìm min của bthức: a 4 b 4 A = + (b −1)3 (a −1)3 Trong đó a, b là các số lớn hơn 1 và a + b 4 Câu 5: (3,0đ) 1. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di động trên AD và Cdsao cho AM = m. CN = n (0 < m; n < 1) và MBˆN = 45 o . Chứng minh: m + n = 1- mn 2. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H vuông góc với HM cắt AB ở E và cắt AC ở F. CMR: tam giác MEF cân với đáy EF. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
22. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học: 2013 - 2014 Môn: TOÁN – Chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 22 Câu 1. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x −3 = 0. b) Với giá trị nào của x thì biểu thức x − 5 xác định? 2 + 2 2 − 2 c) Rút gọn biểu thức: A = . . 2 +1 2 −1 Câu 2. (2,0 điểm) Cho hàm số: y = mx +1 (1), trong đó m là tham số. a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1;4) . Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên ? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d: y = m2 x + m +1. Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Câu 4. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểm A (khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên cung AC lấy điểm D bất kì (khác A và C), đường thẳng BD cắt AH tại I. Chứng minh rằng: a) IHCD là tứ giác nội tiếp; b) AB2 = BI.BD; c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung AC. Câu 5. (1,5 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình: x2 + 2y2 − 3xy + 2x − 4y + 3 = 0. b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù. Chứng minh rằng AC BD. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
23. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học: 2012 - 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 23 Bài 1. (2,0 điểm) 1 1) Tính: A= − 9 + 4 5. 52+ 2(x+ 4) x 8 2) Cho biểu thức: B = + − với x ≥ 0, x ≠ 16. x− 3 x − 4 x + 1 x − 4 a. Rút gọn B. b. Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. Bài 2. (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0 (m là tham số). 1) Giải phương trình với m = 2. 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (x1 < 0 < x2). Khi đó nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? Bài 3. (2,0 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2 (m là tham số). 1) Tìm m để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất. 2) Cho hai điểm A(-2; m) và B(1; n). Tìm m, n để A thuộc (P) và B thuộc (d). 3) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến (d). Tìm m để độ dài đoạn OH lớn nhất. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), dây cung BC (BC không là đường kính). Điểm A di động trên cung nhỏ BC (A khác B và C; độ dài đoạn AB khác AC). Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hai điểm E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AA’. Chứng minh rằng: 1) Bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn. 2) BD.AC = AD.A’C. 3) DE vuông góc với AC. 4) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố định. Bài 5.(0,5 điểm): x4− x 3 + 3x 2 − 4y − 1 = 0 Giải hệ phương trình: x2+ 4y 2 x 2 + 2xy + 4y 2 . + =x + 2y 23 HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
24. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGHỆ AN Năm học: 2008 - 2009 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 24 Bài 1: ( 2 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số xy , biết rằng xxyy = xx2 + yy2 . Bài 2: ( 2 điểm) Giải phương trình : 10 x3+1 = 3(x2 + 2 ) Bài 3: ( 2 điểm) 2 Cho đa thức f(x) = ax + bx + c ( a = 0). Biết rằng phương trình f(x) = x vô nghiệm 2 Chứng minh rằng phương trình : a [f(x) ] + bf(x) + c = x vô nghiệm . Bài 4: ( 1 điểm) Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = xyz . yzx 1 1 1 Chứng minh rằng : 2+ 2 + 2 3 2 + 2 + 2 x y z x y z Bài 5 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi O là trung điểm của BC . Đường tròn (O;R) tiếp xúc với AB ở E , tiếp xúc với AC ở F . Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( H khác E, F) . Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N . a) Chứng minh : ∆MOB  ∆ONC. b) Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất . Bài 6 : ( 1 điểm ) Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng . Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là các điểm đã cho . Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ? Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
25. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học: 2010 - 2011 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 25 Câu I 3x 2 + 8y 2 +12xy = 23 1) Giải hệ phương trình: 2 2 x + y = 2. 2) Giải phương trình: 2x +1 + 3 4x 2 − 2x +1 = 3 + 8x 3 +1. Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức (1+ x 2 )(1+ y 2 )+ 4xy + 2(x + y)(1+ xy) = 25. 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. 3 7 n2 + n +1 + + = n 1.2 2.3 n(n +1) Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho ACB= 300 . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đoạn thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. 9 Câu IV: Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1+ a)(1+ b) = , hãy tìm giá trị nhỏ nhất 4 của biểu thức P = 1+ a 4 + 1+ b 4 . Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
26. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NINH Năm học: 2005 - 2006 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 26 Bài 1: 2−+ 2m m 1+ 2m 1. Cho a = và b = với m 0 8+ m m 2m+ Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa a và b không phụ thuộc vào m. x33+= y 1 2. Cho x, y thỏa mãn: . Chứng minh x + y = 1. 7 7 4 4 x+=+ y x y Bài 2: 1. Tìm các số nguyên dương n để số p = n3 - n2 + n - 1. 11 x+ y + + = 5 xy 2. Giải hệ phương trình: 2211 x+ y +22 + = 9 xy Bài 3: x2 ++ x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x) = với x R. x(x++ 1) 1 Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') (với R > R') tiếp xúc ngoài nhau tại điểm C và AB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (A (O; R); B (O'; R')). Tia BC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai E, tia AC cắt đường tròn (O'; R') tại điểm thứ hai K. 1, Chứng minh rằng AE là đường kính của đường tròn (O;R). 2, Tính tổng: AK2 + BE2 theo R và R'. 3, Một đường thẳng (d) đi qua C cắt đường tròn (O;R) tại P, cắt đường tròn (O';R') tại Q (P và Q khác C). Gọi M là trung điểm PQ. Chứng minh rằng khi đường thẳng (d) quay quanh C, điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.