24 Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán

Nội dung text: 24 Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán

1. Đề số 1 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1998 – 1999) Câu I (2đ) Giải hệ phương trình: 2x 3y 5 3x 4y 2 Câu II (2,5đ) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Câu III (4,5đ) Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A). 1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông. 2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2). 3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn. 4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất. Câu IV (1đ) Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 1 2 1 2 . a b Đề số 2 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000) Câu I Cho hàm số f(x) = x2 – x + 3. 1) Tính các giá trị của hàm số tại x = 1 và x = -3 2 2) Tìm các giá trị của x khi f(x) = 3 và f(x) = 23. Câu II Cho hệ phương trình : mx y 2 x my 1 1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Câu III Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lượt là P, Q, R. 1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông. 1
2. 2) Đường thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đường tròn. 3) Đường thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lượt tại E và F. Chứng minh AE. CF = 2AI. CI. Đề số 3 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000) Câu I 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Câu II Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: 2 2 2 2 x1 (1 – x2 ) + x2 (1 – x1 ) = -8. Câu III Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đường thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q. 1) Chứng minh BP = CQ. 2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất. 3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. Tính góc AHC. Đề số 4 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001) Câu I Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Câu II Giải các phương trình : 1) x2 + x – 20 = 0 1 1 1 2) x 3 x 1 x 3) 31 x x 1 . Câu III Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD, AH là đường cao của tam giác (H BC). 1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. 2
3. 2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM vuông góc với AC. 3) Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R. Chứng minh : r + R AB.AC . Đề số 5 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001) Câu I Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phương trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Câu II Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. 4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt). Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I. 1) Chứng minh OI vuông góc với BC. 2) Chứng minh BI2 = AI.DI. 3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh rằng : Bã AH Cã AO . 4) Chứng minh : Hã AO Bà Cà . Đề số 6 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) Câu I (3,5đ) Giải các phương trình sau: 1) x2 – 9 = 0 2) x2 + x – 20 = 0 3) x2 – 23 x – 6 = 0. Câu II (2,5đ) Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Câu III (3đ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F. 3
4. 1) Chứng minh AE = AF. 2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành. Câu IV (1đ) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: 3 x 7 y 3200 . Đề số 7 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) Câu I (3,5đ) Giải các phương trình sau : 1) 2(x – 1) – 3 = 5x + 4 2) 3x – x2 = 0 x 1 x 1 3) 2 . x x 1 Câu II (2,5đ) Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P). 1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( ; 2-4) có thuộc (P) không ? 2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P). Câu III (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. 1) Chứng minh rằng MN là đường kính của đường tròn đường kính AH. 2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. 3) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC. Câu IV (1đ) 2 Chứng minh rằng 5 2 là nghiệm của phương trình: x2 + 6x + 7 = , từ đó phân tích x đa thức x3 + 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử. Đề số 8 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003) Câu I (3đ) Giải các phương trình: 1) 4x2 – 1 = 0 x 3 x 1 x2 4x 24 2) x 2 x 2 x2 4 3) 4x2 4x 1 2002 . Câu II (2,5đ) 1 Cho hàm số y = x2 . 2 1) Vẽ đồ thị của hàm số. 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB. 4
5. 3) Đường thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là 2 2 2 2 hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m để x1 + x2 + 20 = x1 x2 . Câu III (3,5đ) Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. 1) Chứng minh OI song song với BC. 2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh rằng CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ. Câu IV (1đ) 7 Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá 7 4 3 . Đề số 9 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003) Câu I (2,5đ) Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 . Câu II (3đ) 2 Cho phương trình : x – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: 2 2 1) x1 + x2 2) x1 x1 x2 x2 x2 x2 x x x x 3) 1 2 1 x 1 2 . 2 2 2 2 x1 x1 1 x2 x2 1 Câu III (3,5đ) Cho đường tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB. 1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đường tròn. 2) PQ cắt AB tại E. Chứng minh: MP2 = ME.MI. 3) Giả sử PB = b và A là trung điểm của MB. Tính PA. Câu IV (1đ) Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12. Đề số 10 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004) Câu I (1,5đ) 4 Tính giá trị của biểu thức: A = 5 2 3 8 2 18 2 5
6. 1 Câu II (2đ) Cho hàm số y = f(x) = x2 . 2 1) Với giá trị nào của x hàm số trên nhận các giá trị : 0 ; -8 ; -1 ; 2. 9 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là -2 và 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. Câu III (2đ) Cho hệ phương trình: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) 1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl. Câu IV (3,5đ) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD. 1) Chứng minh : MIC = HMK . 2) Chứng minh CM vuông góc với HK. 3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất. Câu V (1đ) Chứng minh rằng : (m 1)(m 2)(m 3)(m 4) là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m. Đề số 11 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) 3 Cho hàm số y = f(x) = x2 . 2 1) Hãy tính f(2), f(-3), f(-3 ), f(2 ). 3 3 1 3 2) Các điểm A 1; , B 2; 3 , C 2; 6 , D ; có thuộc đồ thị hàm số không ? 2 2 4 Câu II (2,5đ) Giải các phương trình sau : 1 1 1 1) x 4 x 4 3 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ) Cho phương trình: 2x2 – 5x + 1 = 0. Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Câu IV (3,5đ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đường tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự ở C và D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh: 6
7. 1) IA vuông góc với CD. 2) Tứ giác IEBF nội tiếp. 3) Đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF. Câu V (1đ) Tìm số nguyên m để m2 m 23 là số hữu tỉ. Đề số 12 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*). 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua: a) A(-1; 3) ; b) B(2 ; -52 ) ; c) C(2 ; -1). 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc vuông phần tư thứ IV. Câu II (3đ) 2 Cho phương trình 2x – 9x + 6 = 0, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. 1) Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức: a) x1 + x2 ; x1x2 3 3 b) x1 x2 c) x1 x2 . 2 2 2) Xác định phương trình bậc hai nhận x1 x2 và x2 x1 là nghiệm. Câu III (3đ) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đường tròn đường kính AB, BC. Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đường tròn đường kính AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM với CN. 1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp. 2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đường tròn đường kính AB và BC. 3) Kẻ đường kính MK của đường tròn đường kính AB. Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng. Câu IV (1đ) Xác định a, b, c thoả mãn: 5x2 2 a b c 2 . x3 3x 2 x 2 x 1 x 1 Đề số 13 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*). 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: 1 a) A(-1 ; 3) ; b) B ; 2 ; c)1 C ; 5 2 2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1. Câu II (3đ) Cho hệ phương trình: 7
8. (a 1)x y a có nghiệm duy nhất là (x; y). x (a 1)y 2 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y nhận giá trị nguyên. x y Câu III (3đ) Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP và Mã NP Pã NQ và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E. 1) Chứng minh Pã MI Qã NI . 2) Chứng minh tam giác MNE cân. 3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME. Câu IV (1đ) Tính giá trị của biểu thức: x5 3x3 10x 12 x 1 A = với . x4 7x2 15 x2 x 1 4 Đề số 14 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006) Câu I (2đ) Cho biểu thức: 2 x y 4 xy x y y x N = ;(x, y > 0) x y xy 1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm x, y để N = 2.2005 . Câu II (2đ) Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1). 3 3 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tính B = x1 + x2 . Câu III (2đ) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta được số mới bằng 4 số ban đầu. 7 Câu IV (3đ) Cho nửa đường tròn đường kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P M, P N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K. 1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ. 3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất. Câu V (1đ) Gọi x1, x2, x3, x4 là tất cả các nghiệm của phương trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1. Tính: x1x2x3x4. 8
9. Đề số 15 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006) Câu I (2đ) Cho biểu thức: a a a a 1 1 N = a 1 a 1 1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. Câu II (2đ) x 4y 6 1) Giải hệ phương trình : . 4x 3y 5 2) Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : y = 6; y x= 4 xvà 5y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. 4 3 Câu III (2đ) Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây các bạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ. Câu IV (3đ) Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đường tròn đi qua N và P. Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đường tròn (O). (Q và K là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của NP. 1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đường tròn. 2) Đường thẳng KI cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh QF song song với MP. 3) Nối QK cắt MP tại J. Chứng minh : MI. MJ = MN. MP. Câu V (1đ) 2 Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của phương trình : y + 5y + 1 = 0. Tìm a và b sao cho 2 2 2 phương trình : x + ax + b = 0 có hai nghiệm là : x1 = y1 + 3y2 và x2 = y2 + 3y1. Đề số 16 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007) Bài 1 (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2x y 3 2) Giải hệ phương trình: . 5 y 4x Bài 2 (2đ) 1) Cho biểu thức: a 3 a 1 4 a 4 P = (a 0; a 4) a 2 a 2 4 a a) Rút gọn P. 9
10. b) Tính giá trị của P với a = 9. 2) Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. 3 3 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 0. Bài 3 (1đ) Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô. Bài 4 (3đ) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a) CEFD là tứ giác nội tiếp. b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM. c) BE.DN = EN.BD. Bài 5 (1đ) Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức 2x m bằng 2. x2 1 Đề số 17 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007) Bài 1 (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 5(x - 1) - 2 = 0 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ. Bài 2 (2đ) 1) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). 2 2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để x1 x2 5 . 3) Rút gọn biểu thức: x 1 x 1 2 P = (x 0; x 1). 2 x 2 2 x 2 x 1 Bài 3 (1đ) Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu. Bài 4 (3đ) Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. 1) Chứng minh: 10
11. a) MECF là tứ giác nội tiếp. b) MF vuông góc với HK. 2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất. Bài 5 (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phương trình y = x2. Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. Đề số 18 (Đề thi của thành phố Hải Phòng năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) Cho hệ phương trình: x ay 1 (1) ax y 2 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Câu II (2đ) Cho biểu thức: x 2 x 1 x 1 : A = , với x > 0 và x 1. x x 1 x x 1 1 x 2 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. Câu III (2đ) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Giải phương trình khi m = 1. 2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Câu IV (3đ) Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB và một cát tuyến MCD (MC < MD) tới đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD, OI. 1) Chứng minh rằng: R2 = OE. OM = OI. OK. 2) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn. 3) Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh : Dã EC 2.Dã BC . Câu V (1đ) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 3 2 14 . xy yz zx x2 y2 z2 Đề số 19 (Đề thi của tỉnh Bắc Giang năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) 1) Tính : 2 1 . 2 1 11
12. x y 1 2) Giải hệ phương trình: . x y 5 Câu II (2đ) Cho biểu thức: x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 : A = . x x x x x 1 1) Rút gọn A. 2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu III (2đ) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Câu IV (3đ) Cho đường tròn (O; R), hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. Chứng minh: 1) Bã MD Bã AC , từ đó suy ra tứ giác AMHK là tứ giác nội tiếp. 2) HK song song với CD. 3) OK. OS = R2. Câu V (1đ) Cho hai số a, b 0 thoả mãn : 1 1 1 . a b 2 Chứng minh rằng phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. Đề số 20 (Đề thi của tỉnh Thái Bình năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) Cho biểu thức: x 1 x 1 x2 4x 1 x 2003 A = 2 . . x 1 x 1 x 1 x 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Với x Z ? để A Z ? Câu II (2đ) Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. 1 3) Tiếp xúc với parabol y = - x2 . 4 Câu III (3đ) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình : 12
13. Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. 2) Chứng minh bất đẳng thức: 2002 2003 2002 2003 . 2003 2002 Câu IV (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. 1) Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp. 2) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao? 3) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, 2 2 2 ADC. Chứng minh rằng: r = r1 r2 . Đề số 21 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008) Câu I (2đ). Giải các phương trình sau: 1) 2x – 3 = 0 ; 2) x2 – 4x – 5 = 0. Câu II (2đ). 2 1) Cho phương trình x – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu x x thức S 2 1 . x1 x2 1 1 3 2) Rút gọn biểu thức : A = 1 với a > 0 và a 9. a 3 a 3 a Câu III (2đ). mx y n 1) Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình có nghiệm là nx my 1 1; 3 . 2) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Câu IV (3đ). Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD. 1) Chứng minh OM // DC. 2) Chứng minh tam giác ICM cân. 3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0). Tìm m sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 13
14. Đề số 22 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008) Câu I (2đ). 2x 4 0 1) Giải hệ phương trình . 4x 2y 3 2 2) Giải phương trình x2 x 2 4 . Câu II (2đ). 1 1) Cho hàm số y = f(x) = 2x2 – x + 1. Tính f(0); f( ); f(3 ). 2 x x 1 x 1 x x 2) Rút gọn biểu thức sau : A = với x 0, x 1. x 1 x 1 Câu III (2đ) 1) Cho phương trình (ẩn x) x 2 – (m + 2)x + m2 – 4 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? 2) Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau. Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm bất kì trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Kẻ đường kính BB’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 1) Chứng minh AH // B’C. 2) Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC. 3) Khi điểm B chạy trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 và điểm A(-2 ; 3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn nhất. Đề số 23 2 5 2 x x y Câu I (2đ). Giải hệ phương trình . 3 1 1,7 x x y Câu II (2đ). 1 x Cho biểu thức P = , với x > 0 và x 1. x 1 x x 1) Rút gọn biểu thức sau P. 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1 . 2 Câu III (2đ) 14
15. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Biết rằng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = -2x + 2003. 1) Tìm a và b. 1 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và Parabol y = x2 . 2 Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ở bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đường thẳng đi qua O vuông góc với OP và cắt đường thẳng AQ tại M. 1) Chứng minh rằng MO = MA. 2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ lần lượt tại B và C. a) Chứng minh : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đường tròn thì PQ // BC. Câu V (1đ). Giải phương trình : x2 2x 3 x 2 x2 3x 2 x 3 . Đề số 24 Câu I (3đ). 1) Đơn giản biểu thức : P = 14 6 5 14 6 5 . 2) Cho biểu thức : x 2 x 2 x 1 . Q = , với x > 0 ; x 1. x 2 x 1 x 1 x a) Chứng minh rằng Q = 2 ; x 1 b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. Câu II(3đ). a 1 x y 4 Cho hệ phương trình (a là tham số). ax y 2a 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2. Câu III(3đ). Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N và P. Chứng minh : 1) Tích BM.BN không đổi. 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp. 3) BN + BP + BM + BQ > 8R. x2 2x 6 Câu IV (1đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của y = . x2 2x 5 15