2 Bài Hình học Lớp 9 khó (Có đáp án)

Nội dung text: 2 Bài Hình học Lớp 9 khó (Có đáp án)

1. Hướng dẫn giải 2 bài hình học lớp 9 khó Bài số 1:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) .Bên ngoài tam giác ABC kẻ 2 tia Ax ,Ay di động sao cho tia AB nằm giữa tia AC và Ax và góc BAx =góc CAy .Đường trung trực của BC cắt Ay tại M và cắt Ax tại N ,BN cắt CM tại I.Chứng minh :I nằm trên 1 đường tròn cố định Bài số 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DE và AH .Từ N kẻ tiếp tuyến NK đến đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác BMC với K là tiếp điểm .Chứng minh :
2. Hướng dẫn giải Bài số 1: Đường trung trực của BC cắt BC tại S .Kẻ AG vuông góc với BC tại G ,BH vuông góc với Ax tại H , CK vuông góc với Ay tại K .Gọi P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của AC,HS cắt AB tại O .Đặt góc BAx =góc CAy =a. Dễ thấy PH=PA=> góc BPH=2a ,tương tự góc KQC=2a => góc BPH= góc KQC .Lại có góc BPS = góc BAC( AC//PS ) ,góc BAC = góc SQC (AB//QS) =>Góc BPS= góc SQC .Từ đó chứng minh được :góc HPS= góc KQS Dễ thấy AB=2 HP ,AB=2QS=> QS=HP .Tương tự :KQ=PS Dễ chứng minh : (c-g-c) =>góc PHS = góc QSK Dễ thấy các tứ giác AHBG ,AKCG nội tiếp =>góc BGH=góc BAH ,góc CGH=góc KAC=> góc BGH= góc CGH =a => góc HGK= 180*-2a Dễ thấy PH=PA=>180*-2a = góc HPA= góc PHS+ góc POH=góc PHS+ BPS+ góc PSH = góc QSK(cmt)+PSQ (do PS//AC nên góc BPS=góc PSQ)+góc PSH = góc HSK => góc HGK = góc HSK =>Góc HSB +góc KSC= góc HGB+ góc KGC= 2a. Dễ thấy các tứ giác KMSC ,BSNH nội tiếp =>góc HSB=góc HNB ,góc KSC=góc KMC .Từ đó suy ra 2a =góc HSB + góc KSC= góc HNB+góc KMC =góc HAB –góc ABN+góc KAC + góc MCA =2a –góc ABN+góc MCA =>Góc ABN = góc MCA =>Tứ giác ABCI nội tiếp .Vậy I nằm trên đường tròn cố định là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
3. Bài số 2: Bài toán phụ :Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến thì ta có : AB2+AC2=2(AM2+BM2) Chứng minh :Nếu AB=AC thì H trùng với M thì ta có: AB2+AC2=2AB2=2(AH2+BH2 ) Đúng theo pitago Nếu AB AC thì chứng minh tương tự Quay trở lại bài toán chính: Cho AH cắt DE tại S ,cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại G (G và H nằm ở 2 mặt phẳng bờ BC khác nhau ) .Trên FG lấy điểm T sao cho FH=FT Dễ thấy H là trực tâm tam giác ABC=>AF_|_BC .Lại có FH=FT=>Góc BHF=góc BTF .Mà góc BHF=góc ACB =>góc BTF=góc ACB=>Tứ giác ABTC nội tiếp. Dễ thấy NA=NH=NE=ND .Dễ dàng chứng minh được : Góc NDH=góc NHD=góc BHF=góc BTF=>Tứ giác DNBT nội tiếp Dễ thấy tứ giác BEDC nội tiếp => góc ADE=góc ABC ,mà góc ABC=góc ATC(Tứ giác ABTC nội tiếp )=> góc ADE=góc ATC=>Tứ giác DSTC nội tiếp =>góc DCS=góc DTS ,góc DTS=góc NBD =>góc DCS=góc NBD .Lại có BD vuông góc với CD nên dễ dàng chứng minh được :SC_|_BN dẫn đến S là trực tâm tam giác BNC=> góc BNF=góc BCS
4. Dễ dàng chứng minh được : (g-g)=>BH/AH=BE/DE =>BH/NH=BE/ME =>: (c-g-c) =>góc BNF=góc BME => Góc BME=góc BCS=>Tứ giác BSMC nội tiếp .Vậy S thuộc đường tròn (O) Dễ thấy :góc CBG=góc CSG=góc NBF=>góc CBG=góc NBF .Lại có AG_|_BC nên FN=FG hay NG=2NF Dễ thấy các tứ giác AEFC ,AEHD nội tiếp => góc DEC=góc CAH=góc CEF=>góc DEF=2 góc CAH .Do NH=ND nên góc DNF =2 góc CAH => góc DEF=góc DNF =>Tứ giác DNEF nội tiếp => góc NFE =góc NDE ,mà góc NDE =góc NED (do NE=ND) => góc NFE=góc FED => (g-g) =>NH2=NE2=NS.NF .Theo tính chất của tiếp tuyến :dễ dàng chứng minh được :NK2=NS.NG ,mà NG=2NF =>NK2=2NH2 Áp dụng bài toán phụ ta có :HK2+AK2=2(NK2+NH2)=6NH2=3AH2/2 (a) Dễ dàng chứng minh được : (g-g) =>DE/BC=AD/AB=cos A Mà theo như trên ta có : =>DE/AH=BE/BH=sin BHA=sin A Trong đó A là góc tam giác ABC .Từ đó ta suy ra : DE2/BC2+DE2/AH2=cos2A+sin2A=1 =>1/BC2+1/AH2=1/DE2 (b) Từ (a) và (b) ta có điều cần phải chứng minh