18 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Năm học 2017 – 2018

Nội dung text: 18 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Năm học 2017 – 2018

1. 18 Bộ HSG Toỏn 9 Cấp Tỉnh, TP HCM – Hà Nội Năm học: 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HểA Năm học: 2017- 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 1 Cõu I x-2 x x + 1 1 + 2 x - 2 x 1/ Cho biểu thức: P = + + , với xx 0, 1. Rỳt gọn x x-1 x x + x + x x2 - x P và tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x sao cho giỏ trị của P là một số nguyờn. 4(x+ 1 )x2018 - 2 x 2017 + 2 x + 1 13 2/ Tớnh giỏ trị biểu thức: P = tại x.=- 23xx2 + 2 3-+ 2 2 3 2 Cõu II 1/ Biết phương trỡnh (m-2 )x2 - 2 (m - 1 )x + m = 0 cú hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng. Tỡm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của 2 tam giỏc vuụng đú bằng . 5 ỡ 2 2 2 ù (x+ y) (8 x + 8 y + 4 xy - 13 ) + 5 = 0 ù 2. Giải hệ phương trỡnh ớ 1 ù 21x += ợù xy+ Cõu III 1/ Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh y2-5 y + 62 = (y - 2 )x 2 + (y 2 - 6 y + 8 )x. 2/ Cho a, b là cỏc số nguyờn dương thỏa món p=+ a22 b là số nguyờn tố và p5- chia hết cho 8. Giả sử x,y là cỏc số nguyờn thỏa món ax22- by chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x,y chia hết cho p. Cõu IV Cho tam giỏc ABC cú (O),(I),(Ia ) theo thứ tự là cỏc đường trũn ngoại tiếp, đường trũn nội tiếp và đường trũn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giỏc với cỏc tõm tương ứng là O, I, Ia . Gọi ẳ D là tiếp điểm của (I) với BC , P là điểm chớnh giữa cung BAC của (O) , PIa cắt (O) tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O. 1. Chứng minh IBIa C là tứ giỏc nội tiếp. 2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc Ia MP. ã ã 3. Chứng minh DAI= KAIa . Cõu V : Cho x,y,z là cỏc số thực dương thỏa món x³ z. Chứng minh rằng: xz y2 x+ 25 z 2 + + ³ . y+ yz xz + yz x + z 2 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NAM ĐỊNH Năm học: 2017- 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 2 Bài 1 1/ Rỳt gọn biểu thức: P= 109 - 36 7 + 109 + 36 7 ùỡ a3+ b 3 + c 3 = abc 2/ Xột 3 số thực a, b, c thay đổi và thừa món điều kiện ớù . Chứng minh 2 2 2 ù a++ 3b 5c ợù a+ b + c ạ 0 biểu thức Q = cú giỏ trị khụng đổi. (a++ b c)2 Bài 2 1/ Giải phương trỡnh: x2 - 3x + 3 - x - 2 - 7 - x = 0 ỡ ù x+ 3 = 2 (3y - x)(y + 1) 2/ Giải hệ pt: ớù ù ợù 2y- 3 - x - y = x - 3 Bài 3 4 3 2 1/ Cho đa thức P (x) = x + ax + bx - cx + d với (a,b,c,d ẻ Ă ) thừa món P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11. Tớnh S = 10P(4) + P(-2). 2/ Phõn tớch số 16032018 thành tổng của một số hạng nguyờn dương. Gọi S là tổng cỏc lập phương của tất cả cỏc số hạng đú. Hỏi S chia cho 6 dư bao nhiờu? Bài 4: Cho D ABC nhọn, cú AB < AC. Gọi I là trung điểm của BC. Hai đường cao BD và CE của tam giỏc cắt nhau tại H. Đường trũn tõm O ngoại tiếp tam giỏc BEI và đường trũn tõm O’ ngoại tiếp tam giỏc CDI cắt nhau tại K khỏc I, DE cắt BC tại M. 1/ CMR: Tứ giỏc AEKD nội tiếp đường trũn và ba điểm A, K, I thẳng hàng. 2/ CMR: EMKã = ECKã 3/ Chứng minh ba đường thẳng EC, DB, MK đồng quy. Bài 5 1/ Xột 3 số thực khụng õm a, b, c thừa món a + b + c = 1 và khụng cú hai số nào đồng thời 22 bằng 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P= + + (c + 2)(3 + a + b) (a+ b)(b + c) (c + a)(a + b) 2/ Một hỡnh trũn được chia thành 10 ụ hỡnh quạt như hỡnh vẽ. Trờn mỗi ụ người ta đặt một viờn bi. Nếu ta thực hện liờn tục thao tỏc lấy ở hai ụ bất kỳ mỗi ụ một viờn bi rồi chuyển sang ụ liền kề thỡ cú thể chuyển tất cả cỏc viờn bi về cựng một ụ hay khụng? Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THÁI BèNH Năm học: 2017- 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 3 ( 5-+ 1)3 16 8 5 Bài 1: Cho x = . Tớnh giỏ trị biểu thức A= (77x2 + 35x + 646) 2017 3 10+- 6 3 3 2 Bài 2: Cho cỏc đa thức P(x) và Q(x) thừa món P(x) = Q(x) + (x – x + 1)Q(1-x) với "ẻ x Ă . Biết rằng cỏc hệ số của P(x) là cỏc số nguyờn khụng õm và P(0) = 0. Tớnh giỏ trị Q(2017) Bài 3: Tỡm nghiệm nguyờn (x;y) của phương trỡnh (2x – y - 2)2 = 7(x – 2y – y2 – 1) Bài 4 1/ Giải pt sau: 3x- 1 + x22 + 17x + 1 = x + 3 ùỡ x3- 3xy 2 - x + 1 = x 2 - 2xy - y 2 2/ Giải hệ pt sau: ớù ù y3- 3xy 2 + y1 - = y 2 - 2xy - x 2 ợù Bài 5 Cho tam D ABC và M là một điểm nằm bờn trong tam giỏc. Gọi D là điểm trờn AB sao cho MD // BC. E là điểm trờn BC sao cho ME // AC, F là điểm trờn AC sao cho MF // AB. Kớ hiệu SABC và SDEF lần lượt là diện tớch của ABC và DEF. Chứng minh rằng: SABC ³ 3SDEF. Bài 6 Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp trong đường trũn tõm O cú đường cao AH = OA. Gọi E và F theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ H đến AB và AC. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn OA. Bài 7 12 20 15 Cho cỏc số thực dương x, y, z thừa món + + Ê 1 . Tỡm GTLN của biểu thức : xy yz zx 3 4 5 P = + + x2+ 9 y 2 + 16 z 2 + 25 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH TP. ĐÀ NẴNG Năm học: 2017- 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 4 1+ 11 2 Bài 1: Tớnh A =+ 2+- 11 18 5 11 ổửx+- 2 x 1 x 1 ỗ ữ Bài 2: Cho biểu thức A:=ỗ + + ữ với x > 0; x ạ 1. ốứỗx x- 1 x + x + 1 1 - ữ 2 x 2 Hóy rỳt gọn biểu thức A và Chứng minh A < 3 Bài 3 Cho đường thẳng dm cú phương trỡnh y = mx + 2m – 1, với m tham số. a/ Chứng minh rằng khi tham số m thay đổi thỡ đường thẳng dm luụn đi qua một điểm H cố định. Tỡm tọa độ điểm H. b/ Tỡm giỏ trị của m sao cho khoảng cỏch từ điểm A(1;2) đến dm lớn nhất. Bài 4 a/ Tỡm tất cả cỏc số x thừa món: x4x22- - + + x6x277 + - + = ùỡ x2 -= 2x y ù ù 2 b/ Tỡm tất cả bộ cỏc số x, y, z thừa: ớ y+= 2y z ù ù ợù x+ y + z + 1 + x - 1 = 0 Bài 5 Một thửa ruộng hỡnh chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thờm 2m thỡ diện tớch khụng đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng 3m ta được thửa ruộng hỡnh vuụng. Tớnh diện tớch thửa ruộng ban đầu. Bài 6 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú độ dài đường chộo AC bằng 4, ABCã = 1500 . Gọi E, F lần lượt là chõn đường cao hạ từ C đến đường thẳng AB và AD. Tớnh độ dài đoạn FE. Bài 7 Cho tam giỏc ABC nhọn, nội tiếp đường trũn tõm O. Tiếp tuyến tại B của đường trũn (O) cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D. a/ CMR: BC2 = AB.CD b/ Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC; E là giao điểm của CG và BD. Tiếp tuyến tại C của đường trũn (O) cắt BG tại F Chứng minh rằng: EABã = FACã Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HƯNG YấN Năm học: 2017- 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 5 Bài 1 1 1 1 a/ Cho hai số thực a, b thừa món += . CMR: a+ b = a - 2018 + b - 2018. a b 2018 b/ Cho a là nghiệm dương của phương trỡnh 6x2 + 3 x - = 0. Tớnh giỏ trị biểu thức a2+ A = a42+ a + 2 - a Bài 2 1/ Giải phương trỡnh: (1- 1 - x)3 2 - x = x 2/ Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x;y) thừa món: (x – 2018)2 = y4 – 6y3 + 11y2 – 6y Bài 3 ùỡ (x- y)2 ù 2x+ 1 + 2y + 1 = a/ Giải hệ phương trỡnh: ớù 2 ù ù 2 ợù (3x+ 2y)(y + 1) = 4 - x 1 3yz 4zx 5xy b/ Cho ba số thực dương x, y, z thừa món 2 y+= z . CMR: + + ³ 4 x x y z Bài 4 Cho đường trũn (O; R) và điểm A cố định với OA = 2R; đường kớnh BC quay quanh O sao cho tam giỏc ABC nhọn. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I. Cỏc đường thẳng AB, AC cắt (O; R) lần lượt tại điểm thứ hai D và E. Gọi K là giao điểm của DE và OA. a/ CMR: AK.AI = AE.AC b/ Tớnh độ dài AK theo R c/ Chứng minh tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADE luụn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 5 Từ 625 số tự nhiờn liờn tiếp 1; 2; 3; ; 625 chọn ra 311 số sao cho khụng cú hai số nào cú tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cungxcos ớt nhất một số chớnh phương. Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BèNH ĐỊNH Năm học: 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 6 Bài 1 1/ Chứng minh n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyờn dương. 2/ Cho ba số a, b, c phõn biệt. Đặt : x = (a + b + c)2 – 9ab, y = (a + b + c)2 – 9bc, z = (a + b + c)2 – 9ac. Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z cú ớt nhất một số dương. Bài 2 1/ Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: (x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13 2/ Giải phương trỡnh: x2 + x + 2018 = 2018 Bài 3 1/ Cho a, b, c là ba số khụng õm thỏa món điều kiện : a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca) và p, q, r là ba số thỏa món : p + q + r = 0. Chứng minh rằng : apq + bqr + crp 0. 2/ Cho cỏc số dương a, b thỏa món điều kiện ab = 1. 4 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : M = (a+ b + 1)( a22 + b ) + ab+ Bài 4 1/ Cho tam giỏc nhọn ABC cú cỏc đường cao AD, BE, CF và trực tõm là H. a/ Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH; b/ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường trũn đường kớnh AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường trũn ngoại tiếp ABC tại Q. Chứng minh tứ giỏc AQDP là tứ giỏc nội tiếp. 2/ Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Cỏc điểm D, E theo thứ tự di chuyển trờn cỏc cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xỏc định vị trớ cỏc điểm D, E sao cho: a/ DE cú độ dài nhỏ nhất. b/ Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất. Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BẮC GIANG Năm học: 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 7 Bài 1 ổx+ 1 x - 1 3 x + 1 ử ổ x 2 ử ỗỗữữ 1/ Cho biểu thức A:=ỗỗ + +ữữ - với x³ạ 0;x 1 ốỗỗx- 1 x + 11 x ứữữ ố x - 1 x 1 ứ a/ Rỳt gọn biểu thức A b/ Tỡm x để biểu thức A đạt giỏ trị nhỏ nhất. 2 c/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh x – 2(m + 1)x + m = 0 cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 2x12 1 2x 1 3 thừa món + =xx12 + . x2 x 1 x 1 x 2 Bài 2 4 1/ Giải phương trỡnh: 2x22+ x + 6 + x 2 + x + = x + x ùỡ x3 + x + 2 = 2y 2/ Giải hệ pt: ớù (x,yẻ Ă ) ù 23 ợù 3(x+ x) = y - y Bài 3 1/ Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x;y) sao cho 3(x4 – y2) = 2(x2 – y) + 7 1 2 3 2018 2/ Cho biểu thức B= + + + + . So sỏnh: B2017 và B2018 16 162 16 3 16 2018 Bài 4 1/ Cho hai đường trũn(O; 4cm) và (I; 2cm) cắt nhau tai hai điểm phõn biệt A, B sao cho OAIã ạ 900 . Tiếp tuyến của đường trũn (O) tại A cắt đường (I) tại C khỏc A. Tiếp tuyến của đường trũn (I) tại A cắt đường trũn (O) tại D khỏc A. Gọi E là giao điểm của AB và CD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD, CD. Chứng minh rằng: a/ D APQ và ABC đồng dạng. b/ ED = 4EC. 2/ Cho hỡnh vuụng ABCD nội tiếp đường trũn (O). Điểm E thuộc cung nhỏ CD của đường trũn (O), E khỏc C và D. Cú EA cắt DB, DC lần lượt tại M và N; EB cắt CA, CD lần lượt tại P và Q. Gọi G là giao điểm của CM và DP. GM GP NQ Chứng minh rằng: + + = 1 EM EP CD Bài 5 (x3+ y 3 ) - (x 2 + y 2 ) Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = , trong đú x, y là cỏc số thực lớn (x 1)(y 1) hơn 1. Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HS GIỎI CẤP TP LỚP 9 TP. BẮC GIANG Năm học: 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề 8 Bài 1: x+2 x + 4 x + 2 x + 1 3 x − 5 2 x + 10 a/ Cho biểu thức M = + : + x x−8x −1 x − 2 x + 6 x + 5 Rỳt gọn M và tỡm x để M > 1 a− b b − c c − a b/ Cho a, b, c >0 thỏa món ab+ bc + ca =1. Tớnh H = ++ 1+c 1 + a 1 + b Bài 2: 55 a/ Giải phương trỡnh 30− + 6xx22 − = 6 xx22 2 b/ Tỡm số thực x để 3 số x−3; x2 + 2 3; x − là số nguyờn x Bài 3: a/ Tỡm x nguyờn dương để 4x32+ 14 x + 9 x − 6 là số chớnh phương b/ Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x+ y + z = xyz. 1+ 1 +xz2211++y2 1 + 1 + Chứng minh rằng: + + xyz x y z Bài 4: Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường trũn (O;R). Trờn đường trũn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xỳc với đường trũn (O;R). Trờn đường thẳng a lấy B và C sao cho H nằm giữa B và C và AB = AC = R. Vẽ HM vuụng gúc với OB (M OB), vẽ HN ^ OC (N OC) a/ Chứng minh OM  OB = ON OC và MN luụn đi qua 1 điểm cố định b/ Chứng minh OB OC = 2R2 c/ Tỡm giỏ trị lớn nhất của diện tớch tam giỏc OMN khi H thay đổi Bài 5: Cho dóy số n, n + 1, n + 2, , 2n với n nguyờn dương. Chứng minh trong dóy cú ớt nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiờn. Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. Đề 9 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. Đề 10 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. Đề 11 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. Đề 12 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. Đề 13 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. Đề 14 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. Đề 15 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. Đề 16 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. Đề 17 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. Đề 18 Khỳc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.