18 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 9

Nội dung text: 18 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 9

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. 18 Bộ đề HSG Toán 9 các Tỉnh, TP. HCM – Hà Nội Phần 9 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BẮC GIANG Năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 1 Câu I (4,0 điểm). 2x + x −1 2x x − x + x x − x Cho biểu thức A =1+ ( − ). . 1− x 1− x x 2 x −1 6 − 6 1. Tìm các giá trị của x để A = . 5 2 1 2. Chứng minh rằng A với mọi x thoả mãn x 0, x 1, x . 3 4 Câu II (4,0 điểm). 1. Cho a, b, c, d các số nguyên dương thoả mãn: a2 + c2 = b2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số . 2. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: (x2 −3) (xy + 3) Câu III (4,0 điểm). 1. Giải phương trình: 2x +1 − 3x = x −1. 2. Cho phương trình: x4 + 2 6mx2 + 24 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm x1, x2 , x3, x4 phân biệt thỏa mãn: 4 4 4 4 x1 + x2 + x3 + x4 =144 . Câu IV (6,0 điểm). Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO. Một đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy điểm K bất kì (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt đường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D. 1. Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân. 2. Tính diện tích tam giác ABD theo R, khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu V (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 + + . c +1 a +1 b +1 4 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BẮC NINH Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 2 Câu 1. (3 điểm) Rút gọn biều thức: 2(a++ b) a a33 2 2b Pa= −  − với a 0, b>0, a 2b. 33a+ 2ab + 2b 2b + 2ab a− 2 2b Câu 2. (4 điểm) 2 1) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x + 2015x + 1 = 0; x3, x4 là nghiệm của phương trình x2+ 2016x + 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức: M = ( x1 + x3)( x2 + x3)( x1 – x4)( x2 – x4). 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD với A(6;2), B(6;17 ),C(42;17 ), D(42;2). Trên đường thẳng 3x + 5y = 68 tìm các điểm M (x; y) (x, y số nguyên) thuộc hình chữ nhật (các điểm không thuộc cạnh hình chữ nhật ). Câu 3. (4 điểm) 2 1 3 1) Cho các số dương thực a, b, c thoả mãn 2a2 + b2 3c2 . Chứng minh rằng + . a b c 65 5 2) Với bộ số (6;5;2) ta có đẳng thức đúng = . Hãy tìm tất cả các bộ số (a,b,c) gồm 26 2 ab b các chữ số trong hệ thập phân, biết rằng a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn = . ca c Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC với BC = a,CA = b, BA = c(c a;c b). Gọi M , N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC. Đường thẳng MN cắt các tia AO, BOlần lượt tại P và Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. 1) Chứng minh các tứ giác AOQM;BOPN; AQPB nội tiếp. 2) Chứng minh các điểm Q, E, F thẳng hàng. MN + NQ + PQ OM 3) Chứng minh rằng: = . a + b + c OC Câu 5. (3 điểm) 1) Trên cùng một mặt phẳng cho 4033 điểm, biết rằng 3 điểm bất kì trong 4033 điểm trên luôn chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong các điểm nói trên có ít nhất 2016 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1. 2) Cho tam giác OABvới OA = 2a,OB a . Gọi (O) là đường tròn tâm O bán kính a. Tìm điểm m thuộc (O) sao cho MA+ 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ NAM Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 3 Bài 1.(6 điểm) 6+ 2 5 − 13 + 48 1. Cho biểu thức A = 31+ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y22− A = x(A + x)(A + x ) 2. Gọi d12 ,d là các đường thẳng lần lượt có phương trình: 2 d1 :y= 2x + 3m + 2 và d2 : y= (m + m)x − 4 a) Tìm m để hai đường thẳng song song. b) Tuỳ theo giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 B=( 2x − y3m2 + +) + (m + m)x − y4 − Bài 2.(6 điểm) 1. Giải phương trình: 2(x23+ 2) = 3( x + 8 + 2x) 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4+ 3x 3 − (2m1)x − 2 −( 3m1x +) + m 2 + m = 0 Bài 3.(1 điểm) x2y1x( − −) + y2x1y( − −) = 0 Giải hệ phương trình : 33 x+= y 16 Bài 4.(6 điểm) Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O) đi qua B và C (O không thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF. 1. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi. 2. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’. Chứng minh tứ giác BCE’E hình thang. 3. Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Bài 5.(1 điểm) Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM.BC++ BM.CA CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. HCM Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 4 Bài 1: ( 4 điểm ) Thu gọn các biểu thức: (2 − a) 2 − (3 + a) 2 a. A = với a 0 2 a +1 a +1 1 b. B = : với a> 0, a 1 a a + a + a a 2 − a Bài 2: (4 điểm ) a. Chứng minh rằng: ad + bc a 2 + b 2 . c 2 + d 2 với a, b, c, d là các số thực. b. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng abc2+ 2 + 2 3 Bài 3: ( 3 điểm ) Cho phương trình: x2 – ( 3m – 2)x + 2m2 – 5m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương c. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Bài 4: ( 3 điểm ) 1 1 1 + + = 2 x y z a. Giải hệ phương trình: 21 −=2 4 xy z b. Chứng minh rằng số có dạng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. Bài 5: ( 4 điểm ) Trên hai cạnh Ox, Oy của góc vuông xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB). Từ B kẻ đường vuông góc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I. a. Chứng minh rằng: OI = OM và tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được. b. Từ O kẻ đường vuông góc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB? Bài 6: ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại B và góc ABC bằng 800. Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho IAC== 10;ICA00 30 . Tính số đo góc AIB ? “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NAM ĐỊNH Năm học 2002 - 2003 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 5 Bài 1 : Rút gọn biểu thức : Bài 2 : Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - x - 1 = 0. Chứng minh rằng các biểu thức P = a + b + a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 và R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5. Bài 3 : 2 2x − xy = 1 Cho hệ phương trình (x, y ẩn số): (1) 4x2 + 4xy − y2 = m a) Giải hệ phương trình với m = 7. b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm. Bài 4 : Cho hai vòng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt (C1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C. a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng quy. Bài 5 : Một ngũ giác có tính chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUÃNG NGÃI Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 6 Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức 22 x+2 y − 3 xy + 2 x − 4 y + 3 = 0 2b2 2c2 2a2 c) Tìm các số a, b, c biết a = ;b = ;c = 1+ b2 1+ c2 1+ a2 Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 3 xx−2 + + 1 = 3 11 +=1 22 b) Giải hệ phương trình xy 22 x−1 + y − 1 = xy + 2 Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng: x2+ y 2 + z 2 3 b) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng của a và c thì 1 1 2 += a+ b b + c c + a Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N. a) Tính CM.CE+ BD2 theo RR. OM OD b) Chứng minh rằng tích . là một hằng số AM DN OM OD c) Tìm vị trí của điểm E để tổng + đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó. AM DN Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo). Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết 3A+= 2B 1800 b) Cho tam giác nhọn ABCABC có BAC= 600 , BC= 2 3 . Bên trong tam giác này cho 2017 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 2017điểm ấy luôn tìm được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUÃNG NGÃI Năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 7 Bài 1 (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy a32 a a b) Cho biểu thức A = + + với a số tự nhiên chẵn. Chứng tỏ A có giá trị nguyên. 24 8 12 Bài 2 : (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6 b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 33 20 + 14 2 + 20 - 14 2 Bài 3 : (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x - 2 + 6 - x = x2 - 8x + 24 1 1 9 x + y + + = x y 2 b) Giải hệ phương trình: 15 xy + = xy 2 Bài 4 ( 5,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M (M B;C) . Gọi I; H; K lần lượt hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P giao điểm của MB với IK, Q giao điểm của MC với IH. a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK. b) Chứng minh PQ // BC. c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH. Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ). d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng. Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. AM BN CP Chứng minh rằng : ++ 9 OM ON OP HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học 2013 - 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 8 Bài 1. ( 6 ,0 điểm) a. Giải phương trình: xx2 −−6 + x2 – x – 18 = 0 b. Tìm hai số nguyên dương khác nhau x , y thõa mãn : x3 + 7y = y3 + 7x Bài 2. ( 2,0 điểm) 11 11 11 Tính tổng sau: S = 1++ + 1++ + + 1++ 1222 2322 201322 2014 Bài 3. ( 3,0 điểm) xx2 − 4 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: = 3x + m , trong đó m là tham số . 1− x Tìm m để biểu thức xx12− đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 4. ( 6 ,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, tam giác ACE vuông cân ở C. CD cắt AB tại M; BE cắt AC tại N. a. Tính DM biết AM = 3 cm, AC = 4 cm. b. Chứng minh rằng: AM = AN 2. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H là trực tâm của tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a. Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành. b. Với điểm M lấy bất kỳ thuộc cung nhỏ BC , gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC . Chứng minh rằng ba điểm N, H, E thẳng hàng. Bài 5. ( 3, 0 điểm) 2a ( c−+ d ) 3 d 3 Chứng minh rằng : , với 2 a, b, c, d 3 . 3b ( d−+ c ) 3 c 2 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học 2014 - 2015 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 8 Bài 1: ( 6 ,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A = (x − y)3 + 3(x − y)( xy +1), biết x = 3 2 + 3 − 3 2 − 3, và y = 3 5 + 2 − 3 5 − 2 2 2 x + y = 11 b) Giải hệ phương trình: x + xy + y = 3 + 4 2 Bài 2: ( 5,0 điểm) a) Cho phương trình: 5x2 + mx − 28 = 0 (m tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: 5x1 + 2x2 = 1. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x 2 + y 2 + 4xy + 4x + 2y − 3 = 0 . Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) tại N (khác D). Chứng minh rằng MN tiếp tuyến của đường tròn (I). Bài 5: ( 2,5 điểm) Cho 3 số x, y, z 0 thỏa điều kiện x + y + z =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z P = + + x +1 y +1 z +1 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THÁI BÌNH Năm học 2012 - 2013 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 9 Bài 1. (3 điểm) 13 Cho x =− . 2 3−+ 2 2( 3 1) 4(x1)x+2013 − 2x 2012 + 2x1 + Tính giá trị của biểu thức: A = . 2x2 + 3x Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình: 2x22+ 2x1 + = 2x + 3(x + x + 21). − ( ) Bài 3. (3 điểm) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y2x( 2+ 1) − 2x2y( 2 + 1) + 1 = xy. 3 3 Bài 4. (3 điểm) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0. 5a−+ 3b 2c Chứng minh rằng: 1. a−+ b c Bài 5. (3 điểm) Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA. Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, có BAC= 300 . Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 3BD2= 5AD 2 + 5CD 2 DC = 2DA. Bài 7. (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c < 1 và ab + bc + ca = 1. a2 (1− 2b) b 2 (1 − 2c) c 2 (1 − 2a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P.= + + b c a Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN Q. 10 - TP. HCM Năm học 2002 - 2003 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 10 Bài 1 : (3 điểm) Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x + 4. Bài 2 : (3 điểm) Chứng minh đẳng thức : (với a, b trái dấu). Bài 3 : (3 điểm) Rút gọn : Bài 4 : (3 điểm) Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích đó. Bài 5 : (4 điểm) Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ tiếp tuyến AM, AN; đường thẳng chứa đường kính song song với MN cắt AM, AN lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng : a) Chứng minh rằng: Tứ giác MNCB là hình thang cân. b) Chứng minh rằng: MA . MB = R2. c) Gọi K thuộc cung nhỏ MN. Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Chứng BC2 minh rằng: BP.CQ = . 4 Bài 6 : (4 điểm) Cho đường tròn tâm O và đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O). Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)). a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN HÀ ĐÔNG Năm học 2013 - 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 11 Câu 1: (5 điểm) Cho biểu thức: x 1 2 x P= 1 + : − x1+ x− 1 x x + x − x − 1 a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 2 1 c) Tìm giá trị của biểu thức P nếu x= 5 + 21 14 − 6 5 − 21 . 2 ( )( )( ) Câu 2 ( 3 điểm) a) Tìm x thỏa mãn: x− 2 − 3 x2 − 4 = 0 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y2 + 2xy – 7x – 12 = 0 Câu 3( 3 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương: a) Chứng minh rằng: x3 + y3 ( x+ y) xy. b) Với xyz = 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 A = + + x3+ y 3 + 1 y 3 + x 3 + 1 z 3 + x 3 + 1 Câu 4 ( 6 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn đã cho ( A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC tại H, lấy M đối xứng với điểm A qua B. Gọi I là trung điểm HC. AB AH a) Chứng minh rằng: = và tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA. AC HC b) Chứng minh rằng: MH vuông góc IA. c) Gọi K là trọng tâm tam giác BCM; Chứng minh rằng khi A chuyển động trên đường tròn (O; R) với B, C cố định thì K luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 5 ( 3 điểm) 2013.2015−+ 2014 1975.1945 1930 a) Tính nhanh: A = 2.1975.1930+ 30.1975 + 3860 2013.2013 + 2012 b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c đôi một khác nhau tỏa mãn điều kiện: 20abc < 30 ( ab + bc + ca) < 21 abc. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN TÂN BÌNH Năm học 2011 - 2012 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 12 Bài 1: a) Cho a,b,c 0 và a+ b + c = 1. Chứng minh rằng: a+ bc + b + ac + c + ab 1 + ab + bc + ac b) Giải hệ phương trình: x2 − 4x y − 4 x + 5y + 4 = 0 y2 − 4y z − 4 y + 5z + 4 = 0 z2 − 4z x − 4 z + 5x + 4 = 0 Bài 2: a) Giải phương trình: x22+ 3x + 1 = (x + 3) x + 1 5x b) Tìm các số nguyên x, y thỏa: −y = 4x − 1 − 2y + 1 − 1 3 x x−323( x − ) x + 3 x + 1 Bài 3: Cho biểu thức: M = − + − x−2 x − 3 x + 1 3 − x x + 1 a) Rút gọn M. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Bài 4: Cho tam giác ABC có a = AB, b = BC, c = AC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam bc( a2− R 2) + R 2( a 2 − bc) giác ABC thỏa mãn: a2+ b 2 + c 2 = . R2 Hỏi đó là tam giác ABC gì? Bài 5: Cho điểm M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (MA > MB). Dựng đường tròn tâm B bán kính BM. Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Trên tia đối của tia MH lấy điểm E (E khác M). Trên nửa mặt phẳng không chứa A bờ là EB, vẽ nửa đường tròn đường kính EB cắt (B) tại F. Gọi K là giao điểm của AF và BE. a) Cho AB−= AM 2 và MA−= MB 7 . Tính MH. b) Chứng minh: K luôn di động trên một đường cố định khi M di động trên nửa đường tròn (O). “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN TÂN BÌNH Năm học 2013 - 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 13 Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức : x 8 x + 8 x + 2 x + x + 3 1 P = + − : + x + 2 x + 2 x x x + 2 x x a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P 1 . b) Tìm x thoả mãn: ( x +1).P =1 Bài 2 (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x +1 − 3x = x −1. b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0 a b c Tính P = ( 2008 + ) ( 2008 + ) ( 2008 + ) b c a Bài 3 (4,0 điểm) a) Cho A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 (n N, n > 1). Chứng minh A không phải số chính phương. b) Tìm x, y thoả mãn: x- 2 x- 1= - y + 4 y- 4 . Bài 4 (6 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn (C khác A, B) . Trên cung AC lấy D (D khác A và C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB và E là giao điểm của BD và CH a) Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh rằng và AB. AC = AC.AH + CB.CH c) Trên đoạn OC lấy điểm M sao cho OM = CH .Chứng minh rằng khi C thay đổi trên nữa đường tròn đã cho thì M chạy trên một đường tròn cố định. Bài 5: (2 điểm) Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2. x2 y2 z2 Tìm GTNN của P = + + y + z z + x x + y Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN LỤC NAM Năm học 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 14 Câu 1 (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: xy++ x xy x A=x++ 1 + + 1 : 1 − − x 1 với x 0;y 0; xy 1. xy+ 1 1 − xy xy − 1 xy + 1 3 3−+ 1 . 10 6 3 2017 ( ) 2 2) Cho x = , tính giá trị biểu thức P=( x +4 x − 2) . 21++ 4 5 3 Câu 2 (5,0 điểm) 21+ 1) Cho x = là một nghiệm của phương trình: ax2 + bx + 1 = 0. Với a, b là các số 21− hữu tỉ. Tìm a và b. 2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh P20 – 1 chia hết cho 100. 3) Cho abc,, là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng: a4+ b 4 + c 4 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 Câu 3 (4,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x sao cho x3 – 3x2 + x + 2 là số chính phương. 6 2) Giải phương trình: x2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x + + 5 x Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. Gọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M. Tia BM cắt ND tại P. 1) Chứng minh IC.CN = IN.CM. 2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD. 3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất. Câu 5 (1,0 điểm) 1 1 1 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 + ++ ≥ 6. a b c HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRỰC NINH Năm học 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 15 Bài 1 (4,0 điểm). 5+− 3 3 5 1) Rút gọn biểu thức: A = + 2+ 3 + 5 2 − 3 − 5 x22−+ x x x 2) Cho A =− x+ x +11 x − x + a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình x + 3 1) Giải phương trình: x+2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 2) Giải phương trình: 2x22+ 5 x + 12 + 2 x + 3 x + 2 = x + 5 . Bài 3 (3,0 điểm). 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −25 = y ( y + 6) Bài 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH. a) Chứng minh CIJ· = CBH· b) Chứng minh D CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất. a b c Bài 5 (2,0 điểm). Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng: + + 2 . b+ c c + a a + b HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HÒA BÌNH Năm học 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 16 Câu 1 (5.0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có aa3 + 5 là số nguyên chia hết cho 6 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n – 65 là hai số chính phương. Câu 2 (5.0 điểm) a) Giải phương trình sau: 38631x+ + x − + 3863134 x + − x − = x + x+ y + z = 7 2 2 2 b) Giải hệ phương trình sau: x+ y + z = 21 2 xz= y Câu 3 (5.0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15. abc b) Cho a > 1, b > 1, c > 1. Chứng minh rằng: + + 6 abc−1 − 1 − 1 Câu 4 (5.0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. A là một điểm trên đường tròn (A khác B và C). Hai tiếp tuyến vẽ từ A và B cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. a) Chứng minh E là trung điểm của AH. b) Tính AH theo R và khoảng cách PO = d HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HÒA BÌNH Năm học 2017 - 2018 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 17 Câu 1: (5 điểm) a) Chứng minh rằng: n32++ 2013n 2n chia hết cho 6 với mọi số dương n. b) Tìm số tự nhiên n sao cho A= n2 + 10n + 136 có giá trị là số chính phương. Câu 2: ( 5 điểm ) a) Giải phương trình x − 2 + 10 − x = xx2 −+12 40 1 1 1 + + = 2 x y z b) Giải hệ phương trình sau: 21 −=2 4 xy z Câu 3: ( 5 điểm ) a) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu xyz2 2 2 thức: A = ++ y+ z z + x x + y a+1 b + 1 c + 1 b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: + + 3 b2+1 c 2 + 1 a 2 + 1 Câu 4: ( 5 điểm ) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
19. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN YÊN THẾ Năm học 2013 - 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 18 Câu 1. (5,0 điểm) 1)Tính giá trị của biểu thức A =3338 + 17 5 + 38 − 17 5 + 2010. (a+13) x − y = 2) Cho hệ phương trình: ( a là tham số). ax+= y a Tìm a nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) là các số nguyên. Câu 2. (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2 + 5x + 9 = (x + 5) x2 + 9. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :1+x+x2+x3=19y Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để P = n5 + n4 + 1 là số nguyên tố. 2) Cho hai số xy, liên hệ với nhau bởi đẳng thức x22+2 xy + 7( x + y ) + 2 y + 10 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= x + y +1. Câu 4. (6,0 điểm) Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 1) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. 3) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 S = + + (a +1) 2 + b 2 +1 (b +1) 2 + c 2 +1 (c +1) 2 + a 2 +1 2 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
20. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.