Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 từ Internet - Hồ Khắc Vũ

457 trang dichphong 4620

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 từ Internet - Hồ Khắc Vũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_500_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_tu_interne.pdf

Nội dung text: Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 từ Internet - Hồ Khắc Vũ

"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ x3 3 x y 3 b) Giải hệ phương trình: y 3 y z . 3 z 34 z x Bài 3: (1,0 điểm). ab 1 Cho các số hữu tỉ a, b thỏa mãn ab2 2 ( ) 2 2 ab Chứng minh rằng ab 1 cũng là một số hữu tỉ. Bài 4: (1.5 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E; các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F. Phân giác trong của DFC cắt AB tại P, cắt CD tại Q. Chứng minh rằng: a) PQE cân. b) EF2 FA FD EA EB Bài 5: (2,5 điểm). Cho tam giác ABC ( AB<AC ) ngoại tiếp đường tròn (O); I, J lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC. Gọi (K) là đường tròn bàng tiếp trong BAC của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại F, G. Các đường thẳng IJ và BO cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng BHC 900 b) Gọi M là giao điểm của KC và GF; N là giao điểm của IJ và CO. Chứng minh rằng MN song song với AC. Bài 6:(1,0 điểm). xz yz 31 x y Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và giá 2xz yz 5 x 1 trị nhỏ nhất của biểu thức P=xy(z+2) ĐỀ SỐ 431 Câu 1: Tìm hai số x,y nguyên thoả mãn x2 xy 7 x 2 y 15 Câu 2: xy2 22 xy 1 1 3 Giải hệ phương trình: 1 (xy )(1 ) 6 xy Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với các đỉnh. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳng này cắt hai cạch BC, AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Gọi H là trung điểm của IJ. a. Chứng minh rằng: FH = HE b. Cho AB = 2CD. Chứng minh rằng: EJ = JI = IF Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 393
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Câu 4: Cho đường tròn O và một dây cung AB(O  AB ). Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Kẻ dây cung CD của đường tròn đường kính OC( DAB , ). Dây cung CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D). a. Chứng minh: BED DAE b. Chứng minh: DE2 DA. DB Câu 5: 1 1 1 1 Cho S ,( k ;1 k 2012) 1.2012 2.2011kk (2012 1) 2012.1 4024 So sánh S và 2013 Câu 6: x2 y 2 z 2 3 Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng: y 1 z 1 x 1 2 ĐỀ SỐ 431 Câu 1: (3,0 điểm) Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó. Câu 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức: P 1 x (1 x ) 1 x22 1 x (1 x ) 1 x với x [ 1;1]. Tính giá 1 trị biểu thức P với x . 2012 Câu 3: (3,0 điểm) Tìm số thực x, y thỏa mãn: (x2 1) 2 y 2 16 x 2 x 2 2 x y 3 9 8 x 3 y 8 xy Câu 4: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): yx 2 và hai điểm A(-1;1). B(3;9) nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m (-1< m< 3). Tìm m để diện tích tam giác ABM lớn nhất. Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Gọi I là điểm bất kì trong tam giác ABC (I Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 394
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI cắt lần lượt BC, CA, AB tại M, N và P. AI BI CI a) Chứng minh: 2 . AN BN CN 1 1 1 4 b) Chứng minh: . AM. BN BN . CP CP . AM 3( R OI )2 Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp (O;R). Gọi x, y, z là khoảng cách từ O đến các cạnh BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh y z x R r. Câu 7: (2,0 điểm) 1 x y 22 Cho x, y thỏa mãn x, y R và0, xy . Chứng minh rằng . 2 1 yx 1 3 ĐỀ SỐ 432 Câu 1 (2,5 điểm). x22 5 x 6 3 x 6 x 8 g) Rút gọn biểu thức: A 3x 12 ( x 3) x2 6 x 8 h) Phân tích thành nhân tử: a3 b 3 c 3 a b c 3 3 Tìm x biết: x26 x 2 x 1 3 x 1 Câu 2 (2,0 điểm). x22 xy 2 y 0 g) Giải hệ phương trình: 2 xy 3 y x 3 3 x 3 3 h) Giải phương trình: x 3 16 x 2 Câu 3 (2,0 điểm). d) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 8x22 23 y 16 x 44 y 16 xy 1180 0. b) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương. Câu 4 (3,0 điểm). Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 395
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON R2 . d) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn. b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định. c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (0,5 điểm). Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 433 Bài 1: x3 2 x 2 3 x x 2 4 x 2 6 x 2 ( x 2 2 x ) 3 x 2 1) Cho A : với 2 x 2 x 33 2x 3 3 x 2 x2 5 x 6 6 a) Rút gọn A b) Tìm GTLN của A 1 1 1 2) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thỏa mãn ax3 by 3 cz 3 và 1. Chứng minh x y z rằng 3 ax2 by 2 cz 2 3 a 3 b 3 c Bài 2: x22 x 22 y xy y c) Giải hệ phương trình 2 x x 2 x 3 2 y 2 5 2 5 x 16 x (5 x ) d) Giải phương trình x 16 0 xx 11 Bài 3: c) Giải phương trình nghiệm nguyên x33 y xy 3 d) Chứng minh rằng với mọi số nguyên k, đa thức sau không thể có hai nghiệm nguyên phân biệt P( x ) x4 21 x 3 (2016 k ) x 2 2017 x 3 k Bài 4: 1) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Điểm C cố định trên đoạn AB (C ≠ A, C ≠ B). Một dây cung PQ thay đổi luôn đi qua điểm C và không trùng với AB. Các đường thẳng BP, BQ cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lần lượt ở H và K. Chứng minh rằng a) Tích AH. AK không đổi b) Tứ giác PHKQ nội tiếp một đường tròn có tâm nằm trên một đường thẳng cố định Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 396
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 2) Cho tam giác ABC vuông tại B có đường cao BH. Trên đoạn BH lấy điểm D (D ≠ B, D ≠ H). Trên tia AD lấy điểm M sao cho CM = CB, trên tia CD lấy điểm N sao cho AN = AB, biết cả M, N đều nằm ngoài tam giác ABC. Gọi P là chân dường vuông góc hạ từ A trên CN, Q là chân đường vuông góc hạ từ C trên AM. Hai đường thẳng AP, CQ cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KM = KN Bài 5: x1 x 2 x 2016 0 Cho dãy số thực có thứ tự x1 x 2 x 2016 thỏa mãn x1 x 2 x 2016 2017 2017 Chứng minh rằng xx 2016 1 1008 ĐỀ SỐ 434 Bài 1: 2 1 2 1 Cho ab ; . Tính ab77 22 Bài 2: c) Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0) có đồ thị (d). Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) đi qua điểm A(1; 2) và cắt trục hoành tại điểm B có hoàng độ dương, cắt trục tung tại điểm C có tung độ dương thỏa mãn OB + OC nhỏ nhất (O là gốc tọa độ) d) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 3x 16 y 24 9 x2 16 x 32 Bài 3: c) Giải phương trình 4x32 5 x 1 3 x 1 3 x y222 x 1 3 5 y 6 x 3 d) Giải hệ phương trình 42 2y (5 x 17 x 6) 6 15 x Bài 4: Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB (M khác A, M khác B, MA < MB). Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM thứ tự ở D, H d) Chứng minh rằng CA = CH Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 397
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ e) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của (O), F là hình chiếu vuông góc của D trên tiếp tuyến tại B của (O). Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng f) Gọi S1, S2 thứ tự là diện tích tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh 2 rằng CM S12 S Bài 5: Cho a, b, c ≥ 1 thỏa mãn 32abc = 18(a + b + c) + 27. Tìm GTLN của abc2 1 2 1 2 1 P abc ĐỀ SỐ 435 Câu 1 (5 điểm) nn32 21 Cho phân thức P ( n ; n 1) n32 2 n 2 n 1 c) Rút gọn P. d) Chứng minh giá trị của phân thức trong câu a) tại n là một phân số tối giản. Câu 2 (5 điểm) c) Giải phương trình: 2x 3 x 2 x 6 d) Chứng minh x 339 4 5 9 4 5 là nghiệm của phương trình xx3 3 18 0 . Từ đó tính giá trị của x ở dạng thập phân. Câu 3 (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x22 4 y 6 x 3 y 4 0 Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác ABC.Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại ABC1,, 1 1 . Xác định vị trí của điểm M để AMBMCM biểu thức 1 1 1 đạt giá trị nhỏ nhất. AM BM CM Câu 5 (4 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 398
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BC. Hai đường phân giác của các ABD, ACE cắt nhau tại K. c) Chứng minh KE = KD d) chứng minh ba điểm M, N, K thẳng hàng. ĐỀ SỐ 436 Câu 1. (3,0 điểm) 6 12 8 24 Rút gọn biểu thức : A 2 3 1 Câu 2. (4,0 điểm) 23xx Giải phương trình : 1 x22 4 x 7 2( x 5 x 7) 1 x 6 y m 14 Câu 3. (5,0 điểm) Cho hệ phương trình: 6 x 1 y m 14 c) Chứng minh rằng nếu hệ phương trình có nghiệm xy00; thì 5 xy00 ;5 cũng là nghiệm. d) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A(A 90o ), có BH là đường cao, BD là phân giác của BH ABH(,) H D AC . Chứng minh rằng: 1 CD Câu 5. (5,0 điểm) a b c 3 c) Cho 3 số dương a, b, c .Chứng minh rằng: b c c a a b 2 d) Cho ABC có AD là phân giác trong của góc A ( D BC ). Gọi ka là khỏang cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B ( E AC ) và gọi kb là khỏang cách từ E đến BA (hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C ( F AB ) và kc là khỏang cách từ F đến CA (hoặc CB). Gọi habc,, h h tương ứng là 3 chiều Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 399
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ cao kẻ từ các đỉnh A;B;C của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu k k k thức abc habc h h ĐỀ SỐ 437 Bài 1. (5,0 điểm) a. Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ab22 7 . Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 7. b. Cho A n2012 n 2011 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố. Bài 2. (4,5 điểm) 4 1 5 a. Giải phương trình: x x 2 x x x x b. Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn xy yz zx 0. Tính giá trị của biểu thức: yz zx xy M x2 y 2 z 2 Bài 3. (4,5 điểm) a) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng: x2 y 2 z 2 3 b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất a3 b 3 c 3 của biểu thức: P a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Bài 4. ( ,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một dây BC cố định không đi qua O. Từ một điểm A bất kì trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 400
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a. Chứng minh rằng NP//BC. b. Gọi giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng OI là K. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất. ĐỀ SỐ 438 Bài 1 1 1 1 1 a) Cho các số thực khác 0 thỏa mãn a+b+c=2014 và Tính giá trị abc 2014 1 1 1 M abc2013 2013 2014 2 b) Tìm số tự nhiên n để 52nn 6 2 12 là số nguyên tố Bài 2 d) Giải phương trình x2 2 x 2 2 x 1 2 0 x22 y 4 z 5 2 xy e) Giải hệ phương trình 4 4 2 2 2 x y 9 z 5 4 z 2 x y Bài 3 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=6 và 0 abc , , 4. Tìm giá trị lớn nhất của P a2 b 2 c 2 ab bc ac Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) , tâm đường tròn nội tiếp (I) , tia AI cắt (O) ở M , kẻ đường kính MN , cắt BC tại P . d) Chứng minh các tam giác MIB và MIC là tam giác cân . BAC IP e) Chứng minh sin 2 IN f) Giả sử ID và IE vuông góc với AB,AC sao cho D,E nằm lần lượt trên AB,AC . Gọi H,K lần lượt đối xứng với D,E qua I . Chứng minh rằng nếu AB+AC=3BC thì bốn điểm B, C, H, K nằm trên một đường tròn. Bài 5 : c) Giải phương trình nghiệm tự nhiên 5xy 2 1 d) Cho lục giác đều ABCDEF và điểm P nằm trong lục giác này . Các tia AP, BP, CP, DP, EP, FP cắt các cạnh đa giác ở MMMMMM1,,,,, 2 3 4 5 6 . Biết rằng cạnh lục giác Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 401
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ABCDEF là 1.Chứng minh lục giác MMMMMM1 2 3 4 5 6 có ít nhất một cạnh không nhỏ hơn 1 ĐỀ SỐ 439 Bài 1. (2,5 điểm) n 1 1 n 1 3 n n 1 7 Cho biểu thức P với nn ,8 n 1 1 n 1 3 n 2 n 1 2 P a/ Rút gọn biểu thức Q với (nn , 8) nn 3 1 1 b/ Tìm tất cả các giá trị n (nn , 8) sao cho P là một số nguyên tố. Bài 2. (2,0 điểm) a/ Tìm x, biết: 2x 4 4 2 x 6 x 7 xy 6 4 4 b/ Giải hệ phương trình yz 10 6 9 . zx 16 2 1 Bài 3. (2,0 điểm) a/ Cho hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị đi qua điểm M(1;4). Biết rằng đồ thị của hàm số đã cho cắt trục Ox tại điểm P có hoành độ dương và cắt trục Oy tại điểm Q có tung độ dương. Tìm a và b sao cho OP + OQ nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ ) b/ Tìm số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng nếu lấy tổng của 2 chữ số ấy cộng với 3 lần tích của 2 chữ số ấy thì bằng 17. Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CI, đường thẳng này cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại M và N. a/ Chứng minh rằng hai tam giác IAM và BAI đồng dạng. 2 AM AI b/ Chứng minh rằng . BN BI Bài 5. (1,5 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 402
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho tam giác ABC có BAC là góc tù. Vẽ các đường cao CD và BE của tam giác ABC ( D nằm trên đường thẳng AB, E nằm trên đường thẳng AC). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc của các điểm B và C trên đường thẳng DE. Biết rằng S1 là diện tích tam giác ADE, S2 là diện tích tam giác BEM và S3 là diện tích tam giác CDN. Tính diện tích tam giác ABC theo SSS1,, 2 3 . ĐỀ SỐ 440 Bài 1:(2.5đ) 1 1x 1 f) Cho xx 0; 1. Chứng minh rằng: :1 x x x 1 x 2 x 1 2 3 4x 1 g) Cho Ax :23 3 với x 0; 2 . Tìm x nguyên sao cho A3 32 3 xx 2 x nguyên. Bài 2:(2đ) a) Giải phương trình: 2x2 3 x 1 2 2 x 1 2 1 x x 4 y2 ( x 1) 2 b) Giải hệ phương trình: y 4 z ( y 1) 2 z 4 x ( z 1) Bài 3:(2đ) Trên cùng mặt phẳng toạ độ, cho 2 hàm số y=-2x+4 và y=mx+n có đồ thị là d và a) Tìm tất cả giá trị m,n để 2 đồ thị trên cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung. b) Khi d, và Oy đồng quy, tìm m,n để là phân giác của góc nhọn tạo bởi d và Oy Bài 4:(2đ) Cho ABC cân tại A nội tiếp (O), BAC 900 . K là điểm chính giữa cung AC. Trên cung KC nhỏ lấy D tuỳ ý(D khác C), vẽ đường kính DD'. BC cắt AD, AD' tại M,N. Gọi P là giao điểm AC và BD. a) Tìm hệ thức liên hệ giữa ABC,, APB CMD b) Khi D thay đổi, chứng minh MNDD' luôn nội tiếp đường tròn. Bài 5:(1.5đ) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 403
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho ABC nhọn nội tiếp (O), tiếp tuyến tại C cắt AB tại G. Qua A vẽ đường thẳng song song với CG cắt (O) tại điểm thứ hai M. Trên cung nhỏ BM lấy D tuỳ ý. Gọi E là điểm trên (O) sao cho CE//AD, Gọi F là giao điểm CD và BE. a) Chứng minh: GF//AD b) Khi D thay đổi, tìm quỹ tích điểm F. ĐỀ SỐ 441 x x 26 x 19 2 x x 3 Câu 1:(2.0 điểm) Cho biểu thức: P x 2 x 3 x 1 x 3 h) Rút gọn P. i) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2:(2.0 điểm) Cho phương trình x2 2 mx m 4 0 33 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa mãn x12 x26 m d) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên. Câu 3:(3,5 điểm) Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E ( EA ). Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N; MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng: a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN. b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A. Câu 4:(1,5 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =6. Chứng minh rằng: b c 5 c a 4 a b 3 6 . 1 a 2 b 3 c Dấu "=" xảy ra khi nào? Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 404
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Câu 5:(1,0 điểm) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n là hợp số. ĐỀ SỐ 442 Câu I (2đ): 4 322. 21 3 (x 12) x 6 x 8 Thực hiện phép tính: xx 2 1.4 3 2 2 x 1 Câu II (4đ): a) Chứng minh rằng: 2139 39 21 45 1 1 2 b) Tìm a, b thuộc N * sao cho: ab27 Câu 3 (6đ): 1 a) Giải phương trình: x 2 y 1 z ( x y z ) 2 2 b) Tìm k để phương trình x (2 k ) x 3 k 0 có hai nghiệm phân biệt xx12; , sao cho xx12; là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10 c) Cho biểu thức A x33 y y x , với x, y 0; x y 2012. Tìm GTNN của A Câu 4 (5đ): Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác cắt nhau tại I. a) Chứng minh tâm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF b) Giả sử BAC 60o . Tính diện tích tứ giác AEOF theo R Câu 5 (3đ): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt các cạnh AB,AC của tam giác theo thứ tự ở P,Q. CMR: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 405
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a) PQ2 AP. AQ AP 2 AQ 2 AP AQ b) 1 BP CQ ĐỀ SỐ 443 Bài 1: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng nếu a+b+c+d = 0 thì a3 b 3 c 3 d 3 3( ac bd )( b d ) 2) Tìm một số gồm hai chữ số sao cho tỷ số giữa số đó với tổng hai chữ số của nó là lớn nhất. Bài 2: (4 điểm) 1) Giải phương trình xx 1 3 2 5 2) Trong một lớp học chỉ có hai loại học sinh là giỏi và khá. Nếu có 1 học sinh giỏi chuyển đi thì 1 số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có 1 học sinh khá chuyển đi thì 6 1 số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp. 5 Bài 3:(4 điểm) 1) Cặp số (x, y) là nghiệm phương trình: x^2 y +2xy - 4x + y = 0. Tìm giá trị lớn nhất của y. 1 1 1 1 2) Cho ba số thực abc, ,  0 thỏa abc  0 và .Chứng minh rằng a b c a b c trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Bài 4: (5 điểm) Cho (O; R) có đường kính AB cố định; một đường kính CD thay đổi không vuông góc và không trùng AB. Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B. Các đướng thẳng AC, AD lần lượt cắt (d) tại E và F. 1) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được trong đường tròn. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 406
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE. Chứng minh rằng I di động trên một đường thẳng cố định. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh rằng nếu GD =GE thì tam giác ABC cân tại A hoặc góc A bằng 60o ĐỀ SỐ 444 Câu 1.(4,0 điểm) 2 3 2 3 1. Rút gọn biểu thức: 2 2 3 2 2 3 2. Cho hai số dương ab, thỏa mãn ab 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11 P ab Câu 2.(5,0 điểm) 5. Giải phương trình: xx 4 20 4 (x 4) y 3 (y 1) x 2 7 6 6. Giải hệ phương trình: 12x y 4 4 2y x 2 5xy Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A ( n 2010)( n 2011)( n 2012) là một số chính phương. Câu 4.(6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ABC 600 ; BC a ; AB c (ac, là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC, P và Q nằm trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. 5. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. 6. Dựng hình vuông EFGH (E nằm trên cạnh AB, F nằm trên cạnh AC, G và H nằm trên cạnh BC ) nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 407
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Câu 5.(2,0 điểm) Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương tận cùng là 2012 chia hết cho 2011. ĐỀ SỐ 445 Bài 1. (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó. Bài 2. (4 điểm) Giả sử a là một nghiệm của phương trình 2xx2 1 0. không giải phương trình, 23a hãy tính giá trị của biểu thức: A 2(2a42 2 a 3) 2 a Bài 3. (4 điểm) a. Giải phương trình: 8x 1 x2 3 x 1 21xy22 b. Giải hệ phương trình: 2 xy x 2 Bài 4. (7 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB (D không trùng A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn O;R). a. Giả sử H là giao điểm của các đường thẳng OM với AB. Chứng minh rằng MH.MO = MC.MD, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố định. b. Chứng minh rằng nếu AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi qua trọng tâm G của tam giác MAB. c. Kẻ đường kính BK của đường tròn (O;R), gọi I là giao điểm của các đường thẳng Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 408
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ MK và AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, khi biết OM = 2R. Bài 5. (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn: abc + a + b = 3ab. Chứng minh rằng: ab b a 3 a b 1 bc c 1 ca c 1 ĐỀ SỐ 446 Bài 1: (4 điểm) Cho phương trình mx2 2( m 2) x m 3 0 (x là ẩn số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình: 4 a) xx 20 x 2 b) x 12 x x Bài 3: (4 điểm) a) Chứng minh rằng: ( a2 b 2)( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 với a, b, c, d là các số thực. b) Cho ab 1, 1. Chứng minh rằng: a b 11 b a ab Bài 4: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 23 y z biết x, y, z không âm và thỏa 2x 4 y 3 z 8 hệ phương trình: 3x y 3 z 2 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 409
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Bài 5: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình 4x2 4 x 8 y 3 2 z 2 4 không có nghiệm nguyên. Bài 6: (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB, bán kính R. Tiếp tuyến tại M bất kì thuộc đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B lần lượt tại C và D. a) Chứng minh rằng: AC. BD R2 b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của OC với AM và OD với BM. Chứng minh IJ//AB. c) Xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD có bán kính nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 447 Bài 1. (2 điểm) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4 và số dư là 3. Bài 2. ( điểm) Giải các phương trình sau: 4. xx33 78 5. 3xx 1 4 1 6. 2xx 2 1 5 Bài 3. (3 điểm) Cho Parabol (P): yx 2 2 . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ bằng 1, điểm B có hoành độ bằng 2. Tìm m và n để đường thẳng d : y mx n tiếp xúc với parabol (P) và song song với đường thẳng AB. Bài 4. (3 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 2 m 1 x 2 m 10 0 , với m là tham số thực. a.Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12, 22 b. Tìm m để biểu thức P 6 x1 x 2 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Các cạnh AB, BC, CA lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, E, F. a. Chứng minh DF//BC và ba điểm A, O, E thẳng hàng, với O là tâm của đường tròn (O). Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 410
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b. Gọi giao điểm thứ hai của BF với đường tròn (O) là M và giao điểm của DM với BC là N. Chứng minh tam giác BFC đồng dạng với tam giác DNB và N là trung điểm của BE. c. Gọi (O') là đường tròn qua ba điểm B,O,C. Chứng minh AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O'). Bài 6. (2 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi habc;; h h lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. Tính số đo các góc của tam giác ABC biết habc h h 9 r , với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. ĐỀ SỐ 448 Bài 1: (3 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của chúng chia hết cho 9. b) Viết các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 ta được số A  1357911 20112013. Hỏi số A có bao nhiêu chữ số? Bài 2: (5 điểm) a) Giải phương trình: 3x2 9 x 1 | x 2 | xx 11 b) Giải bất phương trình: xx 11 13 2 xy 2 c) Giải hệ phương trình 21 11 xy2 Bài 3: (3 điểm) Cho phương trình bậc hai x^2– 2x + m + 2 = 0. Tìm m để phương trình: 22 a) có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa điều kiện xx12 88 b) có đúng một nghiệm dương. Bài 4: (3 điểm) Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một chiếc mô tô khởi hành từ B cùng một lúc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe mô tô chạy thêm 2 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe (Giả sử rằng hai xe chuyển động đều) Bài 5: (4 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 411
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho đường tròn tâm O. Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OA. Qua I vẽ dây cung MQ vuông góc với OA (M trên cung AC, Q trên cung AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt đường tròn (O) tại P. a) Chứng minh rằng tứ giác PMIO là hình thang vuông và ba điểm P, O, Q thẳng hàng. b) Gọi S là giao điểm của AP và CQ. Tính số đo CSP c) Gọi H là giao điểm của AP và MQ. Chứng minh rằng MH. MQ MP2 Bài 6: (2 điểm) 1 17 Cho a, b là hai số dương thỏa điều kiện ab 1. Chứng minh rằng: ab . ab 4 Đẳng thức xảy ra khi nào? ĐỀ SỐ 449 Câu 1. (4,0 điểm) 2 x 1 x 1 1 x Cho biểu thức: P x 1 x 1 2 x 2 1. Rút gọn P. 2.Tìm x để Px 2 . Câu 2.(3,0 điểm) 1 1 4 1. Cho a,b là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh . a b a b 11 2. Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng 16 . ac bc Câu 3 . (3,0 điểm ) Cho 100 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100. Xếp một cách tùy ý 100 số trên nối tiếp nhau thành một dáy các chữ số ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 2007 không ? Câu 4. (5,0 điểm) 1. Giải phương trình 4x22 10 x 9 5 2 x 5 x 3 . x 1 y z 2. Giả sử bộ ba số thực (x,y,z) thỏa mãn hệ: 2 ()I xy z 7 z 10 0 Tìm tất cả các bộ ba (x,y,z) thỏa mãn hệ (I) sao cho xy22 17 . Câu 5 .(5,0 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 412
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Một đường tròn đi qua B và C cắt AB, AC lần lượt ở M và N. Vẽ hình chữ nhật AMDC. AM AN a) Chứng minh rằng . CH AH b) Chứng minh rằng HN vuông góc với HD. ĐỀ SỐ 450 Bài 1 (5 điểm) a) Tìm các số thực a,b sao cho đa thức 4x4 11 x 3 2 ax 2 5 bx 6 chia hết cho đa thức xx2 23 b) Cho biểu thức P ( a2013 8 a 2012 11 a 2011 ) ( b 2013 8 b 2012 11 b 2011 ) . Tính giá trị của P với a 45vàb 45 Bài 2 (5 điểm) 6x22 y xy 5 x 5 y 6 0 a) Giải hệ phương trình: 22 20x y 28 x 9 0 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 6x22 10 y 2 xy x 28 y 18 0 1 2 3 Bài 3 (2 điểm). Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn 3 . Chứng minh: abc 27a2 b 2 8 c 2 3 c( c2 9) a 2 a (4 a 2 b 2 )(9 b b 2 4)2 c 2 Bài 4 (7 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A) a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M,H,N thẳng hàng. c) Chứng minh BM AC AM BC AB MC Bài 5 (1 điểm). Cho 2013 điểm AAA1, 2 , , 2013 và đường tròn (O;1) tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O;1) đó, ta luôn có thể tìm được một điểm M sao cho MA1 MA 2 MA 2013 2013 ĐỀ SỐ 451 Câu 1: (5,0 điểm) 1. Chứng minh n53 56 n n chia hết cho 30, với mọi số nguyên dương n. 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho xy2 8 và yx2 8 là các số chính phương Câu 2: (5,0 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 413
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 3 6 3 1. Giải phương trình 2xx 2 1 x x2 x 4x x y x y 5y 2. Giải hệ phương trình 5y x y x y x Câu 3: (3,0 điểm) Với các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x2 y 2 z 2 2 1. Chứng minh x y z 2 xy x y z 2. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P 2 yz 2 zx 2 xy Câu 4: ( ,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (BC>CA>AB) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác góc ABC tại điểm thứ hai M. Gọi P là trực tâm tam giác BCM 1. Chứng minh bốn điểm A,B.C,P cùng thuộc một đường tròn 2. Đường thẳng H song song với AO cắt cạnh BC tại E. Gọi F là điểm trên cạnh BC sao cho CF=BE. Chứng minh ba điểm A,F,O thẳng hàng 3. Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Chứng minh PN=PO Câu 5 ( 1,0 điểm) Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Hai người A và B lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì đảm bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số 2n+2. Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên? ĐỀ SỐ 452 Câu 1: ( 3 điểm) Chứng minh rằng A = 36k+2 +33k+1 + 1 chia hết cho 13 Câu 2: ( 4 điểm) 3 11 x Cho biểu thức: A = x x 1 x x 1 x x 1 a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A xác định. b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị của x khi A = 4 d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để sao cho A có giá trị nguyên. Câu 3: ( 4 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 414
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a) Cho a> 0, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x a )( x b ) ; (x>0) x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B= x 9 5x Câu 4: ( 4 điểm) a) giải phương trình : x 3 7 x 2 x 8 b) Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m – 4)x – 2 vuông góc với nhau. Câu 5: (5 điểm) Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC tiếp tuyến của đường tròn(O) tại C cắt AB ở E. Chứng minh rằng: a) KBC ~ OBE. b) CK vuông góc với OE. ĐỀ SỐ 453 Câu 1 (4 điểm). a) Rút gọn biểu thức A x 4 x 4 x 4 x 4 với x ≥ 4. a b c d e f b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn 1 và 0 d e f a b c . a2 b 2 c 2 Tính giá trị của biểu thức B . d2 e 2 f 2 Câu 2 (4 điểm). a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương. b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5. Chứng minh rằng a8n 3a 4n 4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n. Câu 3 ( điểm). a) Giải phương trình x2 x 2014 2014. x y z 2 b) Giải hệ phương trình 2 2xy z 4 c) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0. Câu 4 (3 điểm). a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 415
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC = 4 4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC. Câu 5 (3 điểm). Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C). Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC. ĐỀ SỐ 454 Bài 1 : ( 1,5 điểm ) Rút gọn biểu thức a) A = 4 3 2 2 57 40 2 b) B = 5 3 29 6 20 Bài 2 : ( 2,0 điểm ) x5 x 3 2x a) Chứng minh rằng biểu thức M = luôn nhận giá trị nguyên với mọi x 30 6 15 Z b) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương ; chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố . Bài 3 : ( 1, 5 điểm ) Với mọi a , b R . Chứng minh : 2 a b a 2 b 2 a) 2 2 b) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b Bài 4 : ( 2,0 điểm ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = x 2 x b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 ) Bài 5 : ( 1,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD , trên cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M , K sao cho AM = CK . Lấy điểm P nằm trên cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ). Nối PB , PC cắt MK tại E , F . Chứng minh S S S PEF BME CKF Bài 6 : ( 1,5 điểm ) Cho hình thoi ABCD có BAˆ D 1200 . Tia Ax tạo với tia AB một góc BAˆ x 150 4 3 3 và cắt cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N . Chứng minh AB 2 AM 2 AN 2 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 416
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 455 Bµi 1: (2,0®) 1 1 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A= 2 2 3 2 2 3 Bµi 2: (5,0®) Cho parabol(P): y= 1 x 2 4 a.ViÕt ph•¬ng tr×nh ®•êng th¼ng (d) di qua 2 ®iÓm A vµ B thuéc (P) vµ cã hoµnh ®é lÇn l•ît lµ 2 vµ - 4. b.T×m ®iÓm C trªn cung AB cña (P) sao cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 3: (4,0®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i B, néi tiÕp ®•êng trßn (O;R). Trªn cung AC cã chøa ®iÓm B, lÊy 1 ®iÓm D tïy ý; trªn tia ®èi cña tia DA lÊy ®iÓm E sao cho DE = DC. a. Chøng minh r»ng trung ®iÓm I cña EC vµ ®iÓm D th¼ng hµng víi 1 ®iÓm thø ba cè ®Þnh. b.T×m tËp hîp c¸c ®iÓm E khi D di ®éng trªn cung ABC. c.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D trªn cung ABC ®Ó ®é dµi AE lín nhÊt, tÝnh ®é dµi Êy theo R. Bµi 4: (4,0 ®) Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu. §iÓm A’ c¸ch ®Òu c¸c ®iÓm A, B, C. a. Chøng minh r»ng ch©n ®•êng cao h¹ tõ ®Ønh A’ cña l¨ng trô trïng víi tam cña ®¸y ABC b. Chøng minh r»ng mÆt bªn BCC’B’ cña l¨ng trô lµ h×nh ch÷ nhËt. Bµi 5: (5,0 ®) a.Gi¶i ph•¬ng tr×nh: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0 b.T×m nghiÖm nguyªn d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh 2x 2 +7xy + 6y = 60 ĐỀ SỐ 456 Bµi 1: (5,0 ®iÓm) a. T×m c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng: sè ®ã lµ sè ch½n, chia hÕt cho 11 vµ tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã còng chia hÕt cho 11. b. Chøng tá r»ng: 337 50 7 50 lµ sè tù nhiªn. Bµi 2: (3,0 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 4x22 5x132x x19x Bµi 3: (3,0 ®iÓm) Cho a, b lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m tho¶ m·n: a2 + b2 = 1. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 417
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Chøng minh : 1 a + b 2 Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Cho 3 sè thùc x, y, z tho¶ m·n xyz = 1. 1 1 1 Chøng minh r»ng: NÕu x + y + z > x y z th× trong ba sè x, y, z cã duy nhÊt mét sè lín h¬n 1. Bµi 5: (6,0 ®iÓm) Cho ®•êng trßn t©m O ®•êng kÝnh AB vµ d©y cung CD (C, D kh«ng trïng víi A, B). Gäi M lµ giao ®iÓm c¸c tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn t¹i C, D; N lµ giao ®iÓm c¸c d©y cung AC, BD. §•êng th¼ng qua N vu«ng gãc víi NO c¾t AD, BC lÇn l•ît t¹i E, F. Chøng minh: a. MN vu«ng gãc víi AB. b. NE = NF. ĐỀ SỐ 457 Câu 1 : (3 điểm) Cho hệ phương trình với tham số a : a) Giải hệ phương trình khi a = -2. b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng hai nghiệm. Câu 2 : (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = -z2 + z(y + 1) + xy. b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB và CD có cùng độ dài) nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r thì Câu 3 : (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình 499(1997n + 1) = x2 + x có nghiệm nguyên. Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông (AC >BC). Đường tròn (O) đường kính CD cắt hai cạnh AC và BC lần lượt tại E và F (D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với đường tròn (O), hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao điểm của đường thẳng EF và BK là P. a) Chứng minh bốn điểm B, M, F và P cùng thuộc một đường tròn. b) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng. Tính số đo góc của tam giác ABC. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 418
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ c) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP. ĐỀ SỐ 458 Bài 1: (2,5 điểm) 11 xx a) Rút gọn biểu thức P 11 . x 1 x Tính giá trị của biểu thức P khi x 4 2 3 . y 8 3 x 2 y 4 b) Cho 4xy 8, hãy tính giá trị của biểu thức A =  xy 8 Bài 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình 2x 1 x x2 2 . x y z 1 4 3 12 b) Giả sử hệ phương trình có nghiệm x;; y z . x y z 1 3 10 5 Chứng tỏ x y z không đổi. Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số yx có đồ thị là (G). Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là 1 và 3 . a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d . Bài 4: (3,0 điểm) a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP. b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC ĐỀ SỐ 459 Câu 1 : (2 điểm) a) Tìm cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình: 100 x y 2 3y 109 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 419
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Hãy viết các đa thức x3 4x 2 6x 4 thành tổng các lũy thừa giảm dần của x 1 Câu 2 : (2,5 điểm) x - y x y x y 2xy Cho biểu thức: P - : 1 1 xy xy -1 1- xy a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị lớn của biểu thức P. Câu 3 : (1 điểm) Cho các cặp số thỏa mãn điều kiện: |x+y| ≤ 2 và |x-y| ≤ 2 Tìm giá trị lớn của biểu thức: P 19x22 5y 2010 x y 2 Câu 4 : (2 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A. a) Chứng minh hệ thức: sin22 B sin C 1 B C 2 b) Chứng minh rằng: sin sin 2 2 8 Câu 5 : (2,5 điểm) Cho nửa (O, R) đường kính AB và một điểm M di động trên nửa đường tròn đó (M không trùng A và B). Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Tia AM cắt By tại C, tia BM cắt Ax ở D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng: AD.BC = 4R 2 b) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính diện tứ giác đó. ĐỀ SỐ 460 C©u 1. (3®iÓm) x y x y Cho biÓu thøc P = víi x > 0, y > 0, x y. xy y xy x xy a, Rót gän biÓu thøc P. x x 1 b, Chøng minh r»ng P cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi nÕu y y 5 C©u 2. (2,5®iÓm) 1 1 1 a, Cho c¸c sè a, b, c 0, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 vµ a+b+c = abc a b c 1 1 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a 2 b 2 c 2 b, Chøng minh r»ng víi a, b, c lµ c¸c sè d•¬ng bÊt kú, ta cã: a b c 3 b c c a a b 2 C©u 3. (3®iÓm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 420
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho tam gi¸c ®Òu ABC, ®•êng cao AD, trùc t©m H. Tõ ®iÓm M bÊt kú trªn c¹nh BC, kÎ ME  AB vµ MF  AC, (E AB, F AC); I lµ trung ®iÓm cña AM, O lµ giao ®iÓm cña EF vµ ID. Chøng minh: a, DIF ®Òu. b, EF ID t¹i O c, Ba ®iÓm H, O, M th¼ng hµng C©u 4. (1,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, cã gãc A nhá h¬n 900. Tõ B kÎ BM  AC, (®iÓm M 2 AM AB AC). Chøng minh 1 2 . MC BC ĐỀ SỐ 461 Bài 1 (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy a32 a a b) Cho biểu thức A = + + với a là số tự nhiên chẵn. 24 8 12 Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên. Bài 2 : (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6 b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 33 20 + 14 2 + 20 - 14 2 Bài 3 : (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x - 2 + 6 - x = x2 - 8x + 24 1 1 9 x + y + + = x y 2 b) Giải hệ phương trình: 15 xy + = xy 2 Bài 4 ( 5,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M M B;C . Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH. a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK. b) Chứng minh PQ // BC. c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH. Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ). Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 421
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng. Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh : AM BN CP ++ 9 OM ON OP ĐỀ SỐ 462 Bài 1: (5 điểm) 11 a) Tính giá trị của biểu thức : A 2 2 3 2 2 3 x22 y 11 b) Giải phương trình : x xy y 3 4 2 Bài 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có ba chữ số bất kỳ, bao giờ cũng tìm được hai số mà khi viết chúng liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7. b) Cho hai số thực x, y dương thõa mãn điều kiện x2 + y2 – xy = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 + y2. Bài 3: ( 4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 1 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thảng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biết A và B. b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B lần lượt là x1; x2 . Chứng minh rằng : | x1 – x2 | 2. Bài 4: (3,0 điểm) Cho Δ ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB và E là trọng tâm của ACD. Chứng minh rằng : OE CD. Bài 5: ( 4 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đối (CD không trùng với AB). Vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O;R) tại B. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q. a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp. b) Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp CDP. Chứng minh rằng khi đường kính CD thay đổi (CD không trùng với AB) thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 422
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 463 Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: M ( x y )3 3( x y )( xy 1) , biết xy 3322 3 322, 3 17122 3 17122 25xx b) Giải phương trình: x22 x 1 x x 1 3 Bài 2: a) Giải hệ phương trình: x22 y 3 4 x (1) 3 3 2 x 12 x y 6 x +9 (2) b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên (ab 1)( bc 1)( ca 1) P abc Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: abc3 1 abc 1 1 2 Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD. a) Chứng minh AH vuông góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x4 y 4 z 4 F (xyxy2 2 )( )( yzyz 2 2 )( )( zxzx 2 2 )( ) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 423
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 464 Câu 1 (4 điểm). Cho phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0 (1) (x là ẩn số, m là tham số). 1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm m để x12 x 17 . x2 - x 2x + x 2(x - 1) Câu 2 (4 điểm). Cho biểu thức: P = - + (x > 0, x 1). x + x + 1 x x - 1 1. Rút gọn P. 2. Tìm giá trị của x để P = 3. Câu 3 (4 điểm). x + y + xy = 7 1. Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 x + y + 3(x + y ) + 3(x + y) = 70 2. Giải phương trình: ( x + 5 - x + 2)(1 + x2 + 7x + 10) = 3. Câu 4 (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF. EF 1. Chứng minh rằng 3 . AB 2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp. 3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN (C A, C N). Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất. Câu 5 (3 điểm). 3m2 1. Cho các số thực m, n, p thoả mãn: n2 + np + p2 = 1 - . Tìm giá trị lớn nhất 2 và nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p. 2. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a b c 1 . (ab a 1)2 (bc b 1) 2 (ca c 1) 2 a b c Đẳng thức xảy ra khi nào? Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 424
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 465 Bài 1. (4 điểm) 1( a 1) a 11( a 1) a 11 1) Cho a>2 rút gọn biểu thức: A a a 2 a 1 a 2 a 1 x2 3 x y 3 y 1 2) Giải hệ phương trình 16 35y x Bài 2. (4 điểm) 2 1) Cho phương trình x (2 m 1) x 3 m 1 0 có hai nghiệm x1; x2, tìm m để 22 xx12 5 2) Với số thực b sao cho đa thức P( x ) x2 bx 2017 đạt giá trị nhỏ nhất là một số thực dương. Chứng minh rằng phương trình x2 12 10 x b 0 và phương trình x2 12 10 x b 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 3. (4 điểm) 1) Tìm số nguyên xy, thỏa mãn: 12 x y2 42 2) Với mọi số nguyên dương n sao cho Mn( ) 22n 2 4 n 2 n 1 . Chứng minh rằng 28Mn() chia hết cho 31. Bài 4. (4 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không qua tâm O. Gọi I là trung điểm của AB. Gọi C và E là hai điểm thuộc cung nhỏ AB sao cho các góc CIA và góc EIB là các góc nhọn. Gọi D là giao của CI và (O). Gọi F là giao của EI và đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tại M. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E và F cắt nhau tại N. Kẻ OM cắt CD tại P và ON cắt EF tại Q. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác PQNM nội tiếp. 2) AB song song với MN. Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại C có góc ở đỉnh bằng 36o. Chứng minh rằng AB 15 AC 2 Bài 6. (2 điểm) Cho a và b là hai số thực thay đổi sao cho 12 a và 12 b . Tìm giá trị lớn 224 2 4 2 nhất của biểu thức A a b 22 b a a b b a Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 425
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 466 Câu 1: (5,0 điểm) a) Cho xx 0, y> . Chứng minh rằng: y y22 x y y x y y22 x y y x yx ; yx 22 22 2 33 1 1 a 1 a 1 a b) Rút gọn biểu thức: P 21 a2 x33 12 x y 12 y Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 22 xy 56 Câu 3: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Tia Mx song song với AB cắt BC tại D, tia My song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song song với AC cắt AB tại F. Chứng minh rằng: 3SSDEF ABC ( SABC : diện tích tam giác ABC, SDEF : diện tích tam giác DEF ) Câu 4: (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), một dây cung AB cách tâm O một khoảng d ( 0 < d < R). Hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại M, tiếp xúc với AB lần lượt tại C, D và tiếp xúc trong với đường tròn (O) lần lượt tại các điểm E, F. (O1; O2 và O cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB) a) Gọi N là trung điểm của cung nhỏ AB. Chứng minh: NC.NE = ND.NF. b) Khi hai đường tròn (O1), (O2) thay đổi, điểm M chạy trên đường nào? Câu 5: (3,5 điểm) Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Hãy tìm số tự nhiên n biết S(n) = n2 – 2015n + 8 và 0 < S(n) n ĐỀ SỐ 467 Bµi 1: (8 ®iÓm) Cho ph•¬ng tr×nh 2x22 2 mx m 2 0 (1) 5. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph•¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d•¬ng ph©n biÖt. 6. T×m c¸c gi¸ trÞ cña ®Ó ph•¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2 5 tho¶ m·n hÖ thøc xx33 . 122 7. Gi¶ sö ph•¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m. T×m gi¸ trÞ cña ®Ó nghiÖm d•¬ng cña ph•¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: x22 4 x 3 4 x x (2) Bµi 3: (8 ®iÓm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 426
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho tam gi¸c ABC cã ABC 600 ; BC a ; AB c ( ac, lµ hai ®é dµi cho tr•íc), H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã ®Ønh M trªn c¹nh AB, N trªn c¹nh AC, P vµ Q ë trªn c¹nh BC ®•îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong tam gi¸c ABC. 3. T×m vÞ trÝ cña M trªn c¹nh AB ®Ó h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã. 4. Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng th•íc kÎ vµ com-pa. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ®ã. ĐỀ SỐ 468 Bài 1: (4đ) Rút gọn biểu thức: a) N x 2 x 1 x 2 x 1 2 3 2 3 b) P 2 2 3 2 2 3 Bài 2: (5đ) 1. Giải phương trình: 77 y2 y y yy22 2. Giải hệ phương trình: 21xy22 2 xy x 2 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12 P 4 xy x22 y xy Bài 3: (3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;2) và B(5;5). 1. Xác định hàm số có đồ thị đi qua hai điểm A, B và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Một đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với chiều dương của trục Ox tại điểm C. Hãy tính OA, OB và hoành độ x của tiếp điểm C. Bài 4: (4đ) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC; E là giao điểm của PC và AH. 1. Chứng minh AE = EH. 2. Tính AH theo R và PO =d. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 427
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Bài 5: (4đ) Cho tam giác ABC có phân giác trong CD và ngoài CE bằng nhau (D, E thuộc AB), nội tiếp đường tròn (O; R). 1. Chứng minh: ABC 900 BAC . 2. Chứng minh hệ thức: AC2 + BC2 = 4R2 . ĐỀ SỐ 469 Bài 1: (4 đ) x 10 1) Cho biểu thức B x4 9 x 3 9 x 2 9 x 10 a) Tìm điều kiện có nghĩa của B b) Rút gọn B 2) Chứng minh rằng A n8 4 n 7 6 n 6 4 n 5 n 4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên. Bài 2: (4 đ) 1) Cho đa thức bậc hai P() x ax2 bx c . Tìm a, b, c biết P(0)=33; P(1)=10; P(2)=2007 2) Chứng minh rằng: abcabc abc abc với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Bài 3: (2 đ) 2x 2 x 13 A B x C D x E Cho 2 . Tìm các số A, B, C, D, xx 21 2 x 2 x 1 x 1 E để đẳng thức trên là đẳng thức đúng với mọi x>0 và x 4 Bài 4: (6 đ) Cho đoạn thẳng AC=m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (B A, B C). Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD=BA và BE=BC. a) Chứng minh rằng CD=AE và CD  AE Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 428
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC. c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m. Bài 5: (4 đ) Cho hình vuông ABCD. trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ BH vuông góc với CM. Nối DH, vẽ HN vuông góc DH (N thuộc BC). a) Chứng minh rẳng DHC đồng dạng với NHB b) Chứng minh rẳng AM.NB=NC.MB ĐỀ SỐ 470 Bài 1 (4 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x22 3x 1 y . b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương. Bài 2 (4 điểm) xy 1 1 1 2 1 1 1) Cho biểu thức: A: 3 xyxy xy xy2xy xy xy a) Rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A với x 4 7 và y 4 7 2) Đa thức f(x) khi chia cho x5 được số dư là 14 và khi chia cho x1 được số dư là 2. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức: x2 4x 5. Bài 3 (4,0 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 = 0 (m là tham số) a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12. 22 c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = x1 x 2 5x 1 x 2 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4 (6,0 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 429
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O. AB.BC.CA a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC = 4R b) Chứng minh: OA vuông góc với EF c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường tròn. Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. D là một điểm nằm trong tam giác sao cho CD = CA. 1 M là một điểm trên cạnh AB sao cho BDM ACD . N là giao điểm của MD và đường cao 2 AH của ABC. Chứng minh DM = DN. ĐỀ SỐ 471 ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Caâu 1: (4 ñieåm) Cho phöông trình : 2x2 (6 m 3) x 3 m 1 0 ( x laø aån soá) a) Ñònh m ñeå phöông trình treân coù hai ngieäm phaân bieät ñeàu aâm. b) Goïi xx12, laø hai nghieäm cuûa phöông trình treân. 22 Ñònh ñeå A= xx12 ñaït giaù trò nhoû nhaát. Caâu 2 : (4 ñieåm) a) Cho a, b, c, d laø caùc số dương. Chứng minh: a b c d 12 abcbcdcdadab b) Cho ab 1 ; 1. Chöùng minh : a b 11 b a ab Caâu 3 : (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình : a)(x2 3 x ) 2 6( x 2 3 x ) 7 0 b) 8 xx 3 5 3 5 c) x x22 x x x 1 Caâu 4 : (2 ñieåm) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì nn2 1 khoâng chia heát cho 9. Caâu 5 : (4 ñieåm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 430
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) vaø coù tröïc taâm laø H. a) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho töù giaùc BHCM laø moät hình bình haønh. b) Laáy M laø ñieåm baát kyø treân cung BC khoâng chöùa A. Goïi N vaø E laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC. Chöùng minh ba ñieåm N , H , E thaúng haøng. Caâu 6 : (2 ñieåm) Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø dieän tích tam giaùc AOB baèng 4 , dieän tích tam giaùc COD baèng 9. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD. ĐỀ SỐ 472 Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số khi chia cho 37 dư 2 và chia cho 11 dư 5. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2xyy 4x 9 0 Bài 2: (4,0 điểm) ab a) Cho 3a 2b 0 và 9a22 4bb 13a . Tính giá trị biểu thức A . 9a22 4b x 22 x x b) Giải phương trình: 3 2015 2013 2011 Bài 3: (4,0 điểm) x3 2x 2 x 2 ( x 2) 2 x 2 3 a) Cho biểu thức M 3 2 2 2 x 2x 3x 4x 4 x x Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của x khi M = 3. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N x22 y 4x 4 y 2. Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng BEC và ACD đồng dạng. b) Tính tỉ số BE AB Bài 5: (4,0 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 431
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua G không song AB AC song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tính AM AN b) Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AH, BG sao cho CAH CBG 30  . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. ĐỀ SỐ 473 Bài 1: ( 2.0 điểm) 5 3 3 5 a) Rút gọn biểu thức: A = 2 3 5 2 3 5 b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120. c) Tìm số nguyên m để C = mm2 1 là số nguyên. Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: 3 a) x 11 x x 4 b) x2 5 x 8 2 x 2 c) (4x 1) x22 1 2 x 2 x 2 Bài 3: ( 2.5 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = 25xx 2 b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn x1 y22 y 1 x 1. Tính N = x2 + y2 Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AD a) Chứng minh: tanB.tanC = HD BC 2 b) Chứng minh: DH. DA 4 c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. A a Chứng minh rằng: sin 2 2 bc Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 432
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 474 I. PHẦN CHUNG CHO BẢNG A VÀ BẢNG B: ( 6 điểm ) Bài 1. ( 1,5 điểm ) Tính giá trị của biểu thức: P = a3 +b3 – 3(a + b) +2006. Biết rằng: a = 3 3 + 2 2 + 3 3 - 2 2 b = 3 17 +12 2 + 3 17 - 2 2 Bài 2. ( 1,5 điểm ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 3 b3 A = + 1+ b 1+ a Trong đó a, b là các số dương thoả điều kiện ab = 1. Bài 3. ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) với dây BC cố định ( BC 0 ;x ≠ 1 ) x + x +1 x x -1 1) Rút gọn P. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 5. ( 2 điểm ) Giải phương trình : 3 x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 ĐỀ SỐ 475 Câu 1: (5 điểm) Cho biểu thức: 4x 8 x x 1 2 P = : 22 x4 x x x x a. Rút gọn P. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 433
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ b. Tính giá trị của x để P = -1. c. Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m ( x 3)P > x + 1. Câu 2: (3 điểm) Giải các hệ phương trình sau: 11 0 23 (xy 3) 2 6 xy 1 a. b. 3(xy 3)23 5 7 21 3 xy 1 Câu 3: (3 điểm) Cho ba đường thẳng: y ( m 2) x 2 (d); yx 1 (d’) và yx 2 (d”). a. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng trên đồng quy tại một điểm. b.Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Câu 4: (3 điểm) Tìm các số nguyên x để: 199 xx2 2 2 là một số chính phương chẵn. Câu 5: (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác, gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC. a. Chứng minh rằng ba điểm A, I, O thẳng hàng. b. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). c. Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O). AI HI Chứng minh rằng AK HK Câu 6: (1 điểm) Cho 3 số a, b, c đều lớn hơn 6,25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c B . 2b 5 2 c 5 2 a 5 ĐỀ SỐ 476 C©u 1 (3,5 ®iÓm) 2 3 2 3 1) Rót gän biÓu thøc: . 2 4 2 3 2 4 2 3 2) Cho hµm sè f(x) = (x3 + 6x - 5)2010. TÝnh f(a), víi a = 3 3 17 3 3 17 . C©u 2 (4,5 ®iÓm) 1) Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh: x2 2x y 2y x 2 y 2y z 2z y . z2 2z x 2x z 1 2/ Gi¶i ph•¬ng tr×nh: x32 x x . 3 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 434
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ C©u 3 (4,0 ®iÓm) Cho ®•êng trßn (O, R) néi tiÕp h×nh thang ABCD (AB//CD), víi E; F; G; H theo thø tù lµ tiÕp ®iÓm cña (O, R) víi c¸c c¹nh AB; BC; CD; DA. EB GD EB 4R 1) Chøng minh . Tõ ®ã, h·y tÝnh tû sè ,biÕt: AB= vµ BC=3R. EA GC EA 3 2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm D vµ G sao cho ch©n ®•êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn DO lµ ®iÓm K n»m ngoµi (O, R). §•êng th¼ng HK c¾t (O, R) ë ®iÓm T (kh¸c H). Chøng minh MT = MG. C©u 4 (4,0 ®iÓm) 1/ Cho tam gi¸c ABC cã BC = a; CA = b; AB = c vµ R lµ b¸n kÝnh ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tho¶ m·n hÖ thøc R(b + c) = a bc . H·y x¸c ®Þnh d¹ng tam gi¸c ABC. 2/ Gi¶ sö tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï, cã hai ®•êng cao AH vµ BK. Cho biÕt AH BC vµ BK AC. H·y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. C©u 5 (4,0 ®iÓm) 1/ T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè tù nhiªn n vµ k ®Ó ( n4 4 2k 1 ) lµ sè nguyªn tè. 2/ Cho c¸c sè thùc a vµ b thay ®æi tháa m·n a33 b 2. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña (a + b). ĐỀ SỐ 477 Bài 1: a, Cho A 2014 2013; B= 2015 2014 . So sánh A và B. b, Tính giá trị biểu thức: B 335 2 13 5 2 13 Bài 2: a, Giải phương trình : x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1 b, Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 = - 2(x6- x3y - 32) Bài 3: a, Giả sử x, y là những số không âm thỏa mãn điều kiện x2 y 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của xy . 1 1 1 1 1 1 b, Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh rằng : 3 a b c a 2b b 2c c 2a Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi D, E lân lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh: 3 AB DB a. 3 = AC EC 3 b.DE = DB.CE.BC 3 2 3 2 3 2 c. BC = BD + CE Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 435
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ n n n n n Bài 5: Chứng minh rằng: A =5 ( 5 +1) - 6 ( 3 + 2 ) chia hết cho 91 với mọi số tự nhiên n. ĐỀ SỐ 478 Bài 1. ( 4,0 điểm) x 12 x x Cho biểu thức P x x 11 x x 2x23 x x 1/ Thu gọn biểu thức P. 2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Bài 2. ( 5,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương . 1/ Chứng minh rằng a3 b 3 c 3 3 abc . 2/ Tính giá trị biểu thức P ab bc nếu biết ab2 22010 2 2 2 2 bc 2011 . 2 b ac Bài 3. ( 4,0 điểm) 1/ Giải hệ phương trình xy x y 7 22 x y 2 x 2 y 11 2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số xn 12 n 1 n n 1 n 2 1 23 có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp. Bài 4. ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có BC R 3 và AB < AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A. 1/ Tính góc BAC. Suy ra tam giác OAH cân; 2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD. Bài 5. ( 3,0 điểm) Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có AB DE BC EF CD FA . ĐỀ SỐ 479 Bài 1 (5 điểm) 2x 9 x 3 2 x 1 Cho biểu thức A . x 5 x 6 x 2 3 x c) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 436
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ d) Rút gọn biểu thức A . Bài 2 (4 điểm) 2 Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x + 2kx + 4 = 0 . 22 xx Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : 12 3 . xx21 Bài 3 (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . 11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M . xy Bài 4 (2 điểm) 22 xx Cho phương trình : 2 . 2 2 xx 2 2 c) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . d) Giải phương trình . Bài 5 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB BD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB c) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG . d) Chứng minh GF E F . ĐỀ SỐ 480 Bài 1 ( 1 điểm ): a) Thực hiện phép tính: 3 10 20 3 6 12 . 5 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x x 2008 . Bài 2 ( 1,5 điểm ): mx y 2 Cho hệ phương trình: 3x my 5 a) Giải hệ phương trình khi m 2 . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ m2 thức x y 1 . m2 3 Bài 3 (1,5 điểm ): Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 437
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 1 a) Cho hàm số y x 2 , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi 2 qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 2 và 1. b) Giải phương trình: 3x2 3x 2 x2 x 1. Bài 4 ( 2 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. MO MO a) Chứng minh: 1. CD AB 1 1 2 b) Chứng minh: . AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB m ; SCOD n . Tính SABCD theo m và n (với SAOB, SCOD , lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD). Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp. b) OM  BC. c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định. Bài 6 ( 1 điểm ): x 2 y 2 a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng: x y . y x b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 4n là hợp số. ĐỀ SỐ 481 Caâu 1: ( 4 ñieåm) 1. Chöùng minh raèng n6 - n4 – n2 + 1 chia heát cho 128 vôùi n laø soá töï nhieân leû. 2. Trong pheùp chia a cho b (a,b laø caùc soá töï nhieân), neáu taêng soá chia b cho moät ñôn vò thì thöông soá khoâng thay ñoåi trong tröôøng hôïp naøo ? Caâu 2: ( 4 ñieåm) x22 y xy 1 Giaûi heä phöông trình : 2 33x y y Caâu 3: ( 4 ñieåm) Cho phöông trình x2 + px + p = 0 (1) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 438
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Tìm p, q ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm, maët khaùc khi theâm 1 vaøo caùc nghieäm cuûa (1) thì chuùng trôû thaønh nghieäm cuûa phöông trình x2 - p2x + pq = 0 Caâu 4: ( 4 ñieåm) Cho tam giaùc ABC, coù AB CM . 3. Chöùng minh raèng ñieåm D naèm giöõa 2 ñieåm H vaø M . Caâu 5: ( 4 ñieåm) Cho goùc nhoïn xMy vaø ñieåm A coá ñònh ( khaùc M) thuoäc tia Mx. Veõ ñöôøng troøn (O), taâm O sao cho tieáp xuùc vôùi Mx taïi A vaø caét My taïi B, C theo thöùc töï M, B, C. 1. Goïi D laø trung ñieåm cung BC khoâng chöùa A cuûa (O), E laø giao ñeåm cuûa AD vaø BC. Chöùng minh raèng E laø ñieåm coá ñònh khi ñöôøng troøn (O) thay ñoåi . 2. Goïi H laø chaân ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc AOM. Chöùng minh raèng töù giaùc BHOC noäi tieáp ñöôøng troøn. ĐỀ SỐ 482 x x22 22 x x x x Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức A . x x22 22 x x x x 1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định. 2. Rút gọn biểu thức A. 3. Tìm x để A 23. Bài 2. (4,5 điểm) 1. Cho ba số thực a, b, c sao cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm thuộc (a b )(2 a b ) đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . a() a b c 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình (2x y 2)22 7( x 2 y y 1). Bài 3. (4,0 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 16x22 8 x 1 16 x 24 x 9 . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 439
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 8xy xy22 16 xy 2. Giải hệ phương trình 5 x22 12 x y 3 x x 5 2 Bài 4. (5,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO sao cho AO = 3.IO. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ ý. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. 1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp. 2. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳng cố định. 3. Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF. Bài 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác trong AD và đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q ( P, Q khác A). Chứng minh: DP > MQ. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 440
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 483 ĐỀ SỐ 484 Bài 1. a) Cho x x22 2012 y y 2012 2012 . Tính giá trị của biểu thức xy . x xy y 1 b) Giải phương trình y yz z 3 z zx x 7 Bài 2. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 441
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a) Giải phương trình x32 21 x x x x b) Tìm tất cả các cặp hai số nguyên dương (x; y) thỏa mãn x3 + y3 + (x + y)3 + 39xy = 4394 Bài i 3. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy 8. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 24 40 biểu thức: P 23 x y xy Bài 4. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( O; r ). Tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N. Gọi các tiếp điểm trên MN và BC thứ tự là P, D. Tia AP cắt các cạnh BC tại Q. a) Chứng minh PM . BD = r2. b) Chứng minh BD = CQ. AB + BC + CA c) So sánh MN với . 8 Bài 5. Cho a1, a2, , a45 là 45 số tự nhiên thỏa mãn a1 0 và x 1 x x 1 x x 1 1 x 2 a, Rút gọn P. 2 b, Tim x để P 7 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 442
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ c, So sánh P2 với 2P Bài 3: ( 3.5đ) a, Giải phương trình : x 3 5 x x2 8x 18 b, Cho x, y là các số thỏa mãn : x22 3 x y 3 y 3 Hãy tính giá trị của biểu thức : A = x2013 + y2013 + 1 Bài 4:(7.5đ)( Cho tam giác¸ ABC (AB 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào? a b 4 a b 1 1 1 b, Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn : 8 x y z 111 Tìm giá¸ trị lớn nhất của P 2xyz x2yz xy2z ĐỀ SỐ 486 Bµi 1: (4,0 ®iÓm) a. T×m c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng: sè ®ã lµ sè ch½n, chia hÕt cho 11 vµ tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã còng chia hÕt cho 11. b. Chøng tá r»ng: 337 50 7 50 lµ sè tù nhiªn. Bµi 2: (4,0 ®iÓm) a. Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 4x22 5x132x x19x b. Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh: x2 y 2 z 2 29 xyz 24 xy 2x 3y 6 y 2 Bµi 3: (4,0 ®iÓm) Cho a, b lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m tho¶ m·n: a2 + b2 = 1. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 443
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a. Chøng minh : 1 a + b 2 b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 1 2a 1 2b Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Cho 3 sè thùc x, y, z tho¶ m·n xyz = 1. 1 1 1 Chøng minh r»ng: NÕu x + y + z > th× trong ba sè x, y, z cã duy nhÊt x y z mét sè lín h¬n 1. Bµi 5: (5,0 ®iÓm) Cho ®•êng trßn t©m O ®•êng kÝnh AB vµ d©y cung CD (C, D kh«ng trïng víi A, B). Gäi M lµ giao ®iÓm c¸c tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn t¹i C, D; N lµ giao ®iÓm c¸c d©y cung AC, BD. §•êng th¼ng qua N vu«ng gãc víi NO c¾t AD, BC lÇn l•ît t¹i E, F. Chøng minh: a. MN vu«ng gãc víi AB. b. NE = NF. ĐỀ SỐ 487 Bài 1: (4,0 điểm) x2 x2 x x 21 x Cho biểu thức: P . x x 11 x x a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x c. Xét biểu thức: Q , chứng tỏ 0 1, y > 1 sao cho (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh rằng: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 444
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ S Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; AEF cos2 A . SABC 222 b. Chứng minh rằng : SABCSDEF 1 cos cos cos . ABC c. Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1. HA HB HC d. Chứng minh rằng: 3 . BC AC AB Bài 5: (1,5 điểm) Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 36xy 5 . ĐỀ SỐ 488 Bài 1 (5 điểm) 2x 9 x 3 2 x 1 Cho biểu thức A . x 5 x 6 x 2 3 x e) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . f) Rút gọn biểu thức A . Bài 2 (4 điểm) 2 Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x + 2kx + 4 = 0 . 22 xx Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : 12 3 . xx21 Bài 3 (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . 11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M . xy Bài 4 (2 điểm) 22 xx Cho phương trình : 2 . 2 2 xx 2 2 e) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . f) Giải phương trình . Bài 5 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB BD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB e) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG . f) Chứng minh GF E F . Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 445
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 489 Bµi 1: (4,0 ®iÓm) 1 1 2x x12xxx x Cho biÓu thøc A: 1 x x 1x 1 x x 1 Víi x 0; x ; x 1 4 a) Rót gän biÓu thøc A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x 17 12 2 c) So s¸nh A víi A . Bµi 2: (3,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 1 a) 2 a b 2 b c BiÕt a; b; c lµ 3 sè thùc tháa m·n ®iÒu kiÖn: b a = b + 1 = c + 2 ; c >0. 20082 2008 b) BiÓu thøc B 1 20082 cã gi¸ trÞ lµ mét sè tù nhiªn. 20092 2009 Bµi 3: (3,0 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh a) x3x222 x3 x2 x 2x3 x3 b) 4x 1 3x 2 . 5 Bµi 4.(8,0 ®iÓm) Cho AB lµ ®•êng kÝnh cña ®•êng trßn (O;R). C lµ mét ®iÓm thay ®æi trªn ®•êng trßn (C kh¸c A vµ B), kÎ CH vu«ng gãc víi AB t¹i H. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC, OI c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®•êng trßn (O;R) t¹i M, MB c¾t CH t¹i K. a) Chøng minh 4 ®iÓm C, H, O, I cïng thuéc mét ®•êng trßn. b) Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R). c) Chøng minh K lµ trung ®iÓm cña CH. d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C ®Ó chu vi tam gi¸c ACB ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt? T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã theo R. 2008 2008 Bµi 5: (1,5 ®iÓm) Cho M 3 2 3 2 a) Chøng minh r»ng M cã gi¸ trÞ nguyªn. b) T×m ch÷ sè tËn cïng cña M. ĐỀ SỐ 490 Bài 1: (1,5 điểm) Xác định tham số m để phương trình m 1 x2 2 m 1 x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt xx12, thoả mãn: 47 x1 x 2 x 1 x 2 . Bài 2: (2,0 điểm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 446
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x22 xy y 2 x 3 y 2010 khi các số thực x, y thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y. Bài 3: (2,5điểm) a) Giải phương trình : 33xx 3 5 2. 11 xy 40 xy b) Giải hệ phương trình : 1 xy xy - 4 = 0 xy y x Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. Đường trung trực của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K. a) Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Bài 5: (2,0 điểm) 65 5 a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng : . 26 2 Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một ab b khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức đúng. ca c b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: a b c a b c . Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều. ĐỀ SỐ 491 Bµi 1: Cã sè y nµo biÓu thÞ trong d¹ng sau kh«ng? y 5 13 5 13 5 1 1 1 1 Bµi 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n hÖ thøc: . Chøng minh r»ng : a b c a b c 1 1 1 1 Víi mäi sè nguyªn n lÎ ta ®Òu cã: an b n c n a n b n c n Bµi 3: Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh: Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 447
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ xy 2 2 1 9 xy 11 Bµi 4: Cho hÖ ph•¬ng tr×nh hai Èn x, y sau: (m 1) x my 2 m 1 2 mx y m 2 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 2 Bµi 5: T×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh (x -1)(x+3)(x+5) = m cã bèn nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, 1 1 1 1 x3, x4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 x1 x 2 x 3 x 4 1 Bµi 6: Cho Parabol (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè yx 2 2 a. T×m m sao cho ®iÓm C(-2; m)thuéc Parabol b. Cã bao nhiªu ®iÓm thuéc Parabol vµ c¸ch ®Òu hai trôc to¹ ®é Bµi 7: Gi¶i ph•¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0 Bµi 8: Cho gãc vu«ng xOy. C¸c ®iÓm A vµ B t•¬ng øng thuéc c¸c tia Ox vµ Oy sao cho OA = OB. Mét ®•êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®o¹n OB t¹i ®iÓm M n»m gi÷a O vµ B. Tõ B h¹ ®•êng vu«ng gãc víi AM t¹i H vµ c¾t ®•êng th¼ng OA t¹i I 1. Chøng minh OI = OM vµ tø gi¸c OMHN néi tiÕp ®•îc 2. Gäi K lµ h×nh chiÕu cña O lªn BI. Chøng minh OK = KH vµ t×m quü tÝch ®iÓm K khi M di ®éng trªn ®o¹n OB. Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC cã A 900 , M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC. Gäi O vµ E lÇn l•ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn AB vµ AC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó ®é dµi ®o¹n th¼ng OE ng¾n nhÊt. ĐỀ SỐ 492 1 1 a 2 1 1 1 Bµi 1: Rót gän A= 2 víi a > 0 vµ a 1 2 2 a 2 2 a 1 a a Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 thµnh nh©n tö 15 Bµi 3: T×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh x 2 x m2 0 cã hai nghiÖm vµ nghiÖm nµy b»ng 4 b×nh ph•¬ng nghiÖm kia. Bµi 4: X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt (x, y) víi x, y lµ sè nguyªn mx 2y m 1 1 2x my 2m 1 2 Bµi 5: Gi¶i ph•¬ng tr×nh x2 x 5 5 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 448
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Bµi 6: Cho ®•êng th¼ng (d): y = x + 2m – 3 gäi A, B lÇn l•ît lµ giao ®iÓm cña d víi Ox, Oy. X¸c ®Þnh m ®Ó S ABO b»ng 4. Bµi 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bµi 8: TÝnh b¸n kÝnh ®•êng trßn néi tiÕp ABC vu«ng ë A biÕt r»ng ®•êng ph©n gi¸c trong AD chia c¹nh huyÒn thµnh 2 ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 10 cm vµ 20 cm. Bµi 9: Cho ®•êng trßn t©m O, tiÕp tuyÕn ®•êng trßn t¹i B, C c¾t nhau ë A,  BAC = 600, M thuéc cung nhá BC, tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t AB, AC t¹i D, E. Gäi giao ®iÓm cña OD, OE víi BC lÇn l•ît lµ I, K. Chøng minh r»ng tø gi¸c IOCE néi tiÕp. Bµi 10: Chøng minh r»ng trong mét tø diÖn bÊt kú tån t¹i 3 c¹nh cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh mµ mét c¹nh nhá h¬n tæng hai c¹nh kia. ĐỀ SỐ 493 Bµi 1 : Cho biÓu thøc a a a a 2 A : a a 1 a a) T×m a ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa b) Rót gän A Bµi 2 : Cho 2 sè d•¬ng x,y tho¶ m·n x+y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1 1 B 1 1 2 2 x y x2 1 Bµi 3 : Cho ph•¬ng tr×nh m(x 1) (m lµ tham sè ) 4 2 a) Chøng minh r»ng ph•¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi m R b) T×m m ®Ó ph•¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n biÓu thøc 2 2 x1 x2 x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, tÝnh gi¸ trÞ nµy Bµi 4 : Mét vËn ®éng viªn b¾n sóng ®· b¾n h¬n 11 viªn vµ ®Òu tróng vµo vßng 9,10 ®iÓm; tæng sè ®iÓm ®¹t ®•îc lµ 109 ®iÓm. Hái vËn ®éng vieen ®ã ®· b¾n bao nhiªu viªn vµ kÕt qu¶ b¾n vµo c¸c vßng ra sao? Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 449
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Bµi 5 : Gi¶i ph•¬ng tr×nh x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 1 Bµi 6 : Cho parabol(P) : y= x2 vµ ®•êng th¼ng (d) : y= mx – 2m – 1 4 a) t×m m ®Ó ®•êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) b)chøng minh r»ng ®•êng th¼ng (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A (P) Bµi 7: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph•¬ng tr×nh 7x2 13y2 1820 Bµi 8 : Cho tam gi¸c nhän ABC, gäi AH,BI,CK lµ c¸c ®•êng cao cña tam gi¸c Chøng minh r»ng S HIK 1 cos2 A cos2 B cos2 C SABC Bµi 9: Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi MNPQ lµ tø gi¸c låi cã 4 ®Ønh lÇn l•ît n»m trªn 4 c¹nh cña h×nh vu«ng. X¸c ®Þnh tø gi¸c MNPQ sao cho nã cã chu vi nhá nhÊt Bµi 10 : Cho ®•êng trßn (O;R) vµ ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi ®•êng trßn, vÏ c¸t tuyÕn PBC bÊt k× . t×m quü tÝch c¸c ®iÓm O1 ®èi xøng víi O qua BC khi c¸t tuyÕn PBC quay quanh P ĐỀ SỐ 494 Bµi 1 (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc : 1 1 1 1 P = 1 5 5 9 9 13 2001 2005 Bµi 2 (2 ®iÓm) Cho ba sè d•¬ng x; y; z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xy + yx + xz = 1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau : (1 y 2 )(1 z 2 ) (1 z 2 )(1 x 2 ) (1 x 2 )(1 y 2 ) S = x y z 1 x 2 1 y 2 1 z 2 Bµi 3 ( 2 ®iÓm) 2x 13x Gi¶i ph•¬ng tr×nh : 6 3x 2 5x 2 3x 2 x 2 Bµi 4 (2 ®iÓm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 450
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ x3 y 3 3(x y) Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh : x y 1 Bµi 5 (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó ®¼ng thøc sau lµ ®¼ng thøc ®óng : 3x2 18x 28 4x2 24x 45 = – x2 + 6x -5 Bµi 6 (2 ®iÓm) 1 Cho Parabol (P) : y = x 2 vµ ®•êng th¼ng (d) qua hai ®iÓm A, B trªn (P) cã 4 hoµnh ®é lÇn l•ît lµ -2 vµ 4. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t•¬ng øng cã hoµnh ®é x [-2; 4] sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 7 ( 2 ®iÓm) x 4 2 T×m mäi cÆp sè nguyªn d•¬ng (x; y) sao cho lµ sè nguyªn d•¬ng. x 2 y 1 Bµi 8 (2 ®iÓm): Cho 2 ®•êng trßn (0 1 , R 1 ) vµ (0 2 , R 2 ) cã R 1 > R 2 tiÕp xóc ngoµi víi nhau t¹i A. §•êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®•êng trßn (0 , R ) t¹i M vµ ®•êng trßn (0 , R ) t¹i N ( c¸c ®iÓm M, N kh¸c A). T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm I cña c¸c ®o¹n th¼ng MN khi ®•êng th¼ng d quay quanh ®iÓm A. Bµi 9 (2 ®iÓm): Trong h×nh vu«ng mµ ®é dµi mçi c¹nh b»ng 4 cã cho tr•íc 33 ®iÓm, trong ®ã kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng. Ng•êi ta vÏ c¸c ®•êng trßn cã b¸n kÝnh ®Òu b»ng 2 , cã t©m lµ c¸c ®iÓm ®· cho. Hái cã hay kh«ng 3 ®iÓm trong sè c¸c ®iÓm nãi trªn sao cho chóng ®Òu thuéc vµo phÇn chung cña 3 h×nh trßn cã c¸c t©m còng chÝnh lµ 3 ®iÓm. Bµi 10 (2 ®iÓm): Cho tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi b»ng nhau, trong mÆt ph¼ng (BCD) dùng c¸c ®iÓm P, Q, R sao cho B, C, D lÇn l•ît lµ trung ®iÓm cña PR; QR; QP. Chøng minh r»ng AP; AQ; AR ®«i mét vu«ng gãc./ ĐỀ SỐ 495 Câu 1. (1,5 điểm) 2x x 3 x 3 2 x 2 : 1 (víi xx 0, 9) Cho biểu thức A = x 3 x 3x 9 x 3 a) Rút gọn A Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 451
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 1 b) Tìm x để A = 3 Câu 2. (1,5 điểm) Cho hàm số yx 2 (P) và y ( m 3) x m 3 (d) a) Vẽ đồ thị hàm số (P) b) Chứng tỏ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Câu 3. (1,5 điểm) 10y 51x2 2 y 1 Giải hệ phương trình: 2 20y 3x 2 11 y 1 Câu 4. (1,5 điểm) 2 2 2 2 2 Cho phương trình: x 2 mx 1 0 (1). Tìm m để X = x1( x 1 2012) x 2 ( x 2 2012) đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó ( xx12, là hai nghiệm phân biệt của (1)) Câu 5. (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ hơn cung AB), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H AB), kẻ BK vuông góc với CD (K CD); CH cắt BK tại E. a) Chứng minh: CB là phân giác của góc DCE b) Chứng minh: BK + BD < EC c) Chứng minh: BH . AD = AH . BD Câu 6 (1 điểm) 11 Chứng minh rằng: 21. ab 3. 31 , với ab, 0 ba ĐỀ SỐ 496 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = a2()()() b c b 2 c a c 2 a b b) Cho a1; a 2 ; ; a 2010 lµ 2010 sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho 3. 2 2 2 Chøng minh r»ng: Tæng a1 a 2 a 2010 lµ mét sè chia hÕt cho 3. Bµi 2: (2 ®iÓm) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 452
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 3 x 2 x 3 1 0 1 x 2 y b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 y 2 x Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho ph¬ng tr×nh x42 2 mx 4 0 (m lµ tham sè) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n: x4 x 4 x 4 x 4 32 1 234 b) Mét h×nh thang c©n cã ®é dµi ®êng cao b»ng nöa tæng ®é dµi cña hai ®¸y. Chøng minh r»ng: Hai ®êng chÐo cña h×nh thang vu«ng gãc víi nhau. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ cã H lµ trùc t©m. 1 a) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh r»ng: OI= AH 2 b) Gäi Ax, Ay lÇn lît lµ ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc A. Gäi ®iÓm M, N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H lªn Ax vµ Ay. Chøng minh r»ng: MN song song víi OA. c) Chøng minh r»ng: Ba ®iÓm I, M, N th¼ng hµng. Bµi 5: (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho ®êng th¼ng (d): y = mx -3x – m + 5 (m lµ tham sè). T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc täa ®é O tíi (d) lµ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. ĐỀ SỐ 497 Câu I. (2,5 điểm) 1. Cho mn 33322 3221, 17122 171222 . Tính giá trị biểu thức T 2(20 m 6 n )2 38 . 11 2. Giải phương trình: 2(xx2 ) 7( ) 9 0 . xx2 Câu II. (2,5 điểm) x y 21 a Cho hệ phương trình: 2 2 2 (với a là tham số). x y 2 a 4 a 1 Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 453
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ 1. Giải hệ khi a 1. 2. Tìm a để hệ đã cho có nghiệm (;)xy thoả mãn tích xy. đạt giá trị nhỏ nhất. Câu III. (1,0 điểm) Cho abc,, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình x2 ( a b cx ) abbc ca 0 vô nghiệm. Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 1500 . Dựng các tam giác AMB và ANC sao cho các tia AM và AN nằm trong góc BAC thoả mãn ABM ACN 9000 , NAC 60 và MAB 300 . Trên đoạn MN lấy điểm D sao cho ND 3 MD . Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM và AN theo thứ tự tại K và E . Gọi F là giao điểm của BC với . Chứng minh rằng: 1. Tam giác NEC cân. 2. KF// CD . Câu V. (1,0 điểm) Giải phương trình (2x y 2)22 7( x 2 y y 1) trên tập số nguyên. ĐỀ SỐ 498 x 4 x 4 x 4 x 4 Câu 1:(2 5 điểm) Cho biểu thức A với 48 x 8 16 1 xx2 c) Rút gọn biểu thức A. d) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu 2:(2 5 điểm) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác là nghiệm của phương trình bậc hai (m 2) x2 2( m 1) x m 0. Xác định m để số đo đường cao ứng 2 với cạnh huyền của tam giác đã cho là 5 Câu 3:(3 0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) và (O’) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Các đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và Q. Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: c) Các đường thẳng AE và CD vuông góc nhau. d) Tam giác EPQ cân. Câu 4:(1 0 điểm) Cho x, y , z 0 thỏa mãn: x2 y 2 z 2 3. Chứng minh: xy yzx z 3 z xy Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 454
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Câu 5:(1 0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn : a5 b 5 4( c 5 d 5 ) Chứng minh rằng : a b c d chia hết cho 5. ĐỀ SỐ 499 Câu 1 (4 điểm). a) Rút gọn biểu thức A x 4 x 4 x 4 x 4 với x ≥ 4. a b c d e f b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn 1 và 0 d e f a b c . a2 b 2 c 2 Tính giá trị của biểu thức B . d2 e 2 f 2 Câu 2 (4 điểm). a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương. b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5. Chứng minh rằng a8n 3a 4n 4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n. Câu 3 ( điểm). a) Giải phương trình x2 x 2014 2014. x y z 2 b) Giải hệ phương trình 2 2xy z 4 c) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0. Câu 4 (3 điểm). a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC. b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC = 4 4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC. Câu 5 (3 điểm). Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C). Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC. Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 455
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ ĐỀ SỐ 500 Câu 1. (2 điểm) x x 11 x a) Cho biểu thức A (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A x 1 x 1 – 1 khi x 2016 2 2015 b) Cho An 2 12015 2 2015 2015 với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho n(n + 1) Câu 2. (2 điểm) 6 4 7 3 a) Giải phương trình sau: 0 x2 9 x 2 11 x 2 8 x 2 12 x( x 4)(4 x y ) 6 b) Giải hệ phương trình: 2 x 85 x y Câu 3. (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác vuông trong đó a là độ dài cạnh huyền. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là x1 và x2 thỏa mãn 22 xx12 2 Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Các tia phân giác các góc EHB, DHC cắt AB, AC lần lượt tại I và K. Qua I và K lần lượt vẽ các đường vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại M. a) Chứng minh AI = AK. b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động . Chứng minh đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định Câu 5. (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua A và B lần lượt vẽ các tiếp tuyến d1 và d2 với (O). Từ điểm M bất kì trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 tại C và cắt d2 tại D. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) tại E và F (E thuộc cung AM), gọi I là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. b) Chứng minh MI vuông góc với AB và ba điểm E, I, F thẳng hàng. Câu 6. (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 456
"TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9" Người sưu tầm, tổng hợp: Hồ Khắc Vũ CHÍNH THỨC HẾT CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG Thầy giáo : Hồ Khắc Vũ – Giáo viên cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam "THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI" 457