Tuyển tập 174 bài tập Toán 9 - Nguyễn Chí Thành

109 trang dichphong 3540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 174 bài tập Toán 9 - Nguyễn Chí Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_174_bai_tap_toan_9_nguyen_chi_thanh.pdf

Nội dung text: Tuyển tập 174 bài tập Toán 9 - Nguyễn Chí Thành

TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 1 2 1 1 1 A= − − ≤ . Dấu bằng xảy ra khi − = 0 ⇔ = 4 2 4 2 4 11 Vậy max A khi x . 44 2x 9 x 3 2 x 1 Bài 10. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: A . x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A. b) Tìm x để A 1. HD: a) Ta có: Đk: x ≥ 0; x≠ 4; x≠ 9. 2 − 9 − + 3 − 3 + 2 + 1 − 2 = − 2 + 3 − − 2 + 1 − 2 + 1 = = = − 2 − 3 − 2 − 3 − 3 b) Ta có: + 1 4 < 1 ⇔ − 1 < 0 ⇔ < 0 ⇔ < 3 ⇔ < 9 − 3 − 3 Kết hợp với điều kiện suy râ: 0 ≤ x <9 và x ≠ 4. 15x 11 3 x 2 2 x 3 Bài 11. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: A . x 2 x 3 1 x 3 x 1 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A . 2 HD:MSC: + 3 ( − 1). Đk: x ≥ 0; x ≠ 1. 15 −11− 3 −2 +3 − 2 +3 −1 −5 +7 −2 −1 −5 +2 2−5 a) = = = = −1 +3 −1 +3 −1 +3 +3 b) Ta có: 1 2−5 1 1 1 = ⇔ = ⇔ 2 2 − 5 = + 3 ⇔ 11 = 1 ⇔ = ⇔ = (tmđk) 2 +3 2 11 121 Bài 12. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: x x 3 x 2 x 2 A 1: . 1 x x 2 3 x x 5 x 6 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A 0 . CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: Đk: x ≥ 0; x≠ 4; x ≠9. 1+ − +3 −3 − +2 −2 + +2 a) = ∶ +1 −2 −3 1 −9− +4+ +2 1 −3 −2 = ∶ = ∶ = +1 −2 −3 +1 −2 −3 +1 −2 b) Để A 0 ⇒ − 2 0 3 +1 2 +1 a) = − + 1 − +1 +1 − +1 = − 2 + 1 + 1 = + 1 − 2 − 1 + 1 = − − +1 b) Với A = 2 ⇔ − = 2 ⇔ − − 2 = 0 ⇔ + 1 − 2 = 0 Vì > 0 ⇒ − 2 = 0 ⇔ = 2 ⇔ = 4(푡 đ ) 1 1 1 1 2 1 c) Ta có: = − = − 2. . + − = − − 2 4 4 2 4 1 2 1 2 1 1 Vì − ≥ 0 ∀ > 0 ⇒ − − ≥ − . 2 2 4 4 1 1 Dấu bằng xảy ra khi − = 0 ⇔ = 2 4 11 Vậy min A khi a . 44 2 a1 a 1 a 1 Bài 14. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: A . 2 2a a 1 a 1 a) Rút gọn A. b) Tìm â để A 0 . c) Tìm â để A 2 . HD: a) Đk: â >0; â ≠ 1. 2 2 2 . −1 −1 − +1 ( −1)2 −2 +1− −2 −1 ( −1)2 −4 1− a) = . = . = . = 2 −1 4 −1 4 −1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1− b) Để A 0; â ≠ 1 nên > 0 1− Để 1 . Vậy a > 1 thì A 1 với mọi â ≥ 0; â≠ 1; â ≠ + +1 4 6 6 mà 0 với mọi â ≥ 0; â≠ 3 + +1 3 3 + +1 3 + +1 1 2 1; a ≠ nên > (đpcm) 4 3 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 Bài 16. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: x 5 x 25 x x 3 x 5 A 1: . x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 â) Rút gọn A. b) Tìm x để A 1. HD: a) Đk: x ≥ 0; x ≠9; x≠ 25. Ta có: −5 − +25 25− − +3 −3 + −5 +5 = ∶ −25 +5 −3 5 5− 25− − +9+ −25 −5 −5 − −3 +3 5 = ∶ = ∶ = −5 +5 +5 −3 −5 +5 +5 −3 +3 5 5 2− b) Để A 0 nên để 2 ⇔ > 4 +3 Kết hợp với điều kiện tâ được: x 4; x 9; x 25. 1 1 aa 1 2 Bài 17. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: A : . a 1 a a 2 a 1 1 a) Rút gọn A. b) Tìm â để A . 6 HD: a) Đk: â >0; â≠ 1; â≠ 4. − +1 +1 −1 − +2 −2 Ta có: = : −1 −2 −1 1 −1− +4 1 −2 −1 −2 = : = . = −1 −2 −1 −1 3 3 1 −2 1 −2 1 2 −2 − −4 b) Để > ⇔ > ⇔ − > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 0 6 3 6 3 6 6 6 Vì a > 0 ⇒ > 0 ⇒ − 4 > 0 ⇔ > 16 1 Vậy a > 16 thì > 6 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x 1 x 1 2 x 1 Bài 18. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: A : . x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 â) Rút gọn A. b) Tính giá trị củâ A khi x 38. c) Tìm x để A 5 . HD: a) Đk: x≠1; x≠ -1. ( +1)2−( −1)2 2− ( +1)+( −1) Ta có: = ∶ ( −1)( +1) ( −1)( +1) 4 1− 2 4 = ∶ = ( −1)( +1) ( −1)( +1) 1− 2 2 b) Ta có: = 3 + 8 = 3 + 2 2 = 2 + 1 = 2 + 1 Suy ra 2 = 3 + 2 2 thây vào A tâ được: 4 2 + 1 = = −2 1 − 3 + 2 2 4 c) Ta có: = 5 ⇔ = 5 ⇔ 5. 2 + 4 − 5 = 0 1− 2 Ta có: ∆= 36 > 0 nên phương trình có hâi nghiệm phân biệt: −4+ 36 1 −4− 36 = = ; = = − 5 (tmđk) 1 2 5 5 1 2 5 1 Vậy = ; = − 5 thì A = 5 5 y xy x y x y Bài 19. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: Bx : . x y xy y xy x xy â) Rút gọn B. b) Tính giá trị củâ B khi xy 3, 4 2 3 . HD: a) Đk: x>0; y>0; x≠ y. Ta có: + + − − + + −( + )( − ) = : + + − + − 2+ + 2− 2− 2 = : + + − + ( + ) = ∶ = − + + − 2 b) Ta có: = 4 + 2 3 = 3 + 1 ⇒ = 3 + 1 ⇒ = 3 + 1 − 3 = 1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x3 21 x x Bài 20. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: B . . xy 2 y x x 2 xy 2 y 1 x a) Rút gọn B. b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y 625 và B 0,2 . HD: a) Đk: x>0; y>0; x≠ 1; x ≠ 4y. 3 2 1− 1+ Ta có: = − . −2 −2 + −2 1− 3 2 = − . 1 + −2 −2 1+ 3 2 3−2 = − = −2 −2 −2 −2 = = −2 b) Với y= 625 và B 0; y>0. Ta có: + 2 1 1 + + + = . + + ∶ + ( + ) 2 1 1 + ( + ) = + + ∶ ( + ) 2 +2 + + + + = : = . = + + 2 b) Với xy = 16 suy ra = ≥ = 1 16 4 = Dấu bằng xảy ra khi ⇒ = = 4 = 16 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 Vậy Bmin = 1 khi x= y = 4 Bài 22. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 1 3ab 1 3 ab a b B .: a baabb a baabba abb a) Rút gọn B. b) Tính B khi a 16, b 4 . HD: a) Đk: â>0; b>0; â≠ b. Ta có: 1 3 1 3 − = + . − : + + − + − − + + + + − + +3 + + −3 − = . ∶ + − + − ( + + + + 2 2 + − + + = . . + − + − + + − 1 = − + b) Với â= 16; b= 4 (tmđk) thây vào B tâ được: 1 1 1 = = = − + 16− 16.4+4 12 Bài 23. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 2 xy xy33 x y xy B : . x yyx x y â) Rút gọn B. b) Chứng minh B > 0. HD: â) Điều kiện: x>0; y>0; x≠ y. Ta có: − + − ( + + ) −2 + + = − ∶ − − + + + + − + = + − ∶ + + 2 + − − − + +2 + − − − = . = = + − + − + − + CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 b) Vì x>0; y>0 ⇒ > 0 2 3 và − + = − + > 0 ⇒ > 0 2 4 Bài 24. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: a 11 ab a a ab a B 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 31 a) Rút gọn B. b) Tính giá trị củâ B nếu a 23 và b . 13 c) Tìm giá trị nhỏ nhất củâ B nếu a b 4 . HD: a) Đk: â ≥ 0; b≥ 0; âb≠1. Ta có: Đặt B = A:C . Ta có: +1 −1 + + +1 − −1 +1 = −1 − + −1+ + + + − +1 = −1 2 +1 = −1 +1 −1 − + +1 + −1 +1 = −1 − + −1− − − − + −1 = −1 −2 +1 2 +1 −2 +1 = ⇒ = = ∶ = − −1 −1 −1 2 3−1 3−1 4−2 3 b) Ta có: = = = = 2 − 3 3+1 3−1 3+1 3−1 2 ⇒ = − 2 − 3 = − 2 − 3 = 3 − 2 + 4 c) Ta có: + ≥ 2 ⇒ ≤ = = 2 ⇒ ≤ 4 ⇒ − ≥ −4 2 2 = Dấu bằng xảy ra khi ⇒ = = 2 ⇒ = = 4 + = 4 Vậy Bmin = -4 khi a= b= 4. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 +4 −2 +1 −2 Bài 25. [Trích ĐTTS] Cho P= − − + −2 +2 1− a) Rút gọn b) Chứng minh mọi m 0 1 với mọi m < 0; m ≠ -1 nên phương trình (2) luôn có hâi nghiệm trái 푃 = < 0 dấu suy râ phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất Bài 26. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức 1xx 3 2 2 P . x x 1 x 1 2 2 x 2 x x a) Tìm điều kiện để P có nghĩâ. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị củâ P với x 3 2 2 . HD: Trục căn thức ngoặc thứ nhất, quy đồng ngoặc thứ 2. a)Biểu thức có nghĩâ khi: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 > 0 − 1 ≥ 0 ≥ 1 ≠ − 1 ⇔ ≠ 2 . Vậy biểu thức có nghĩâ khi x 1; x 2; x 3 ≠ 3 − 1 ≠ 2 2 ≠ b) Ta có: + −1 ( −3) −1+ 2 2 − − 2 푃 = − . − −1 + −1 −1− 2 −1+ 2 2− + −1 ( −3) −1+ 2 − 2 푃 = − . − +1 −1−2 2− 1 푃 = + − 1 − − 1 − 2 . − 2− 푃 = 2 c) Với = 3 − 2 2 = 2 − 1 ⇒ = 2 − 1 . Thây vào P tâ được: 2− 2−1 1 2+1 2+1 푃 = = = = = 2 + 1 2−1 2−1 2−1 2+1 2−1 Bài 27. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 2x 1 x 1 x3 Bx . vớ i x 0 và x 1. 3 x 1 x x11 x a) Rút gọn B. b) Tìm x để B = 3. HD: Đk: x ≥ 0; x≠ 1. 2 +1 1+ − +1 a) = − . − −1 + +1 + +1 1+ 2 +1− −1 = . − + 1 − −1 ( + +1) 2 +1− + 2 = . − 1 −1 + +1 + +1 2 = . − 1 = − 1 −1 + +1 b) Với B = 3 ⇔ − 1 = 3 ⇔ = 4 ⇔ = 16 (tmđk) . Vậy x = 16 thì B = 3. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 x Bài 28. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P . x 1 x x 1 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x . 2 HD: Đk: x >0; x≠ 1. a) Ta có: 1 1 푃 = − = − +1 −1 +1 −1 −1− +1 −1− − −1− +1 푃 = = = = −1 +1 −1 −1 1− 1 1+ 2 +1 2 1 2 2 2+1 2+1 3+2 2 b) Với = ⇒ 푃 = 1 = = = = = 3 + 2 2 2 1− 2−1 2−1 2−1 2+1 2−1 2 2 2x 1 1 x 2 Bài 29. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức A= : 1 x x 1 x 1 x x 1 2 3 a) Rút gọn A b) Tính A biết x= c)Tìm x ∈ Z để A ∈ Z 2 d) Tìm GTNN của A e)Tìm x để A =1/3 f) So sánh A với 1 g) Tìm x để A > 1/2 HD: a)Điều kiện: x ≥ 0; x≠1 2 +1− + +1 + +1− +2 Ta có: = ∶ −1 + +1 + +1 − +3 = ∶ −1 + +1 + +1 −1 + +1 = . = −1 + +1 +3 +3 b) Ta có: 2 3−1 2− 3 4−2 3 3−1 3−1 2 3−1 −4+3 3 = = = ⇒ = ⇒ = 3−1 = = 2 4 2 2 +3 3+5 11 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 3 c)Ta có : = = 1 − . Để A nguyên thì 3 ⋮ + 3 suy ra + 3 = 3 ( vì x ≥ 0) +3 +3 suy ra = 0 ⇒ = 0 (tmđk) . Vậy x = 0 thì A nguyên. 3 d)Ta có : = 1 − +3 Vì x ≥ 0 nên = ≥ 0 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Amin=0 khi x=0 +3 1 1 3 9 e) Ta có : = ⇔ = ⇔ 3 = + 3 ⇔ = ⇔ = (tmđk) . 3 +3 3 2 4 9 1 Vậy = thì = 4 3 − −3 −3 f) Xét hiệu : − 1 = − 1 = = ⇔ > ⇔ − > 0 ⇔ > 0 2 +3 2 +3 2 2 +3 −3 ⇔ > 0 . Vì x ≥ 0 nên + 3 > 0 ⇒ − 3 > 0 ⇔ > 9 . 2 +3 1 Vậy x > 9 thì > 2 x(1 x) 2 x x 1 x x 1 Bài 30. [Trích ĐTTS] B= : x  x 1 x x 1 x 1 2 a)Rút gọn B b)Tìm x để = c)Tính B biết = 12 − 6 3 5 1 d) Tìm GTNN củaB e) So sánh B với g) Tìm x để B > 3 2 x HD: ≥ 0 − 1 = − 1 + + 1 â) Đk: . Các em chú ý: . ≠ 1 + 1 = + 1 − + 1 ( −1)2 −1 + +1 +1 − +1 = : + . − +1 −1 +1 ( −1)2 = ∶ + 2 + 1 − 2 + 1 +1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 ( −1)2 1 ( −1)2 1 = . 2 2 = . 2 = +1 +1 . −1 +1 ( −1) +1 2 2 b) Ta có: = ⇔ = ⇔ 5 = 2 + 2 5 +1 5 = 2 = 4 ⇔ 2 − 5 + 2 = 0 ⇔ − 2 2 − 1 = 0 ⇔ 1 ⇔ 1 (thỏa mãn) = = 2 4 1 = 2 Vậy 4 thì = = 4 5 2 c) = 12 − 6 3 = 3 − 3 nên = 3 − 3 . Thây vào B tâ được: 3− 3 21+5 3 = = 12−6 3+1 61 ≥ 0 d) Vì nên ≥ 0 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Bmin = 0 khi x = 0. ≠ 1 2 1 1 2 − −1 − −1 ≥ 0 e) Xét − = − = = ⇔ > ⇔ − > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 0 ⇔ ∈ ∅ ( vì x≥ 0) +1 +1 ( +1) ( +1) 2 x 5 2 Bài 31. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức C= : 3 2x 5 x 3 2 x 3 1 x 1 1 2 a)Rút gọn C b)Tìm GTLN củâ C’ với C’= . c)Tính C với = C x 1 2− 3 d)Tìm x để C > 0 e)Tìm x Z để C’ Z g)Tìm x để C= 5 HD : Các em tách 2 − 5 + 3 = − 1 2 − 3 ≥ 0 a) Đk : ≠ 1 9 ≠ 4 2 −5 −1 3 1− +2 5−3 1− −1 1 Ta có : = ∶ = . = = −1 2 −3 1− −1 2 −3 5−3 2 −3 3−2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 3−2 5 b) ′ = 3 − 2 . = = −2 + +1 +1 +1 5 5 Vì ≥ 0 nên + 1 ≥ 1 ⇔ ≤ 5 ⇔ −2 + ≤ 3. Dấu bằng xảy ra khi x =0. +1 +1 C’mâx= 3 khi x= 0 2 2+ 3 4+2 3 2 c) = = = 4 + 2 3 = 3 + 1 ⇒ = 3 + 1 thay vào C tâ được : 2− 3 2+ 3 4−3 1 1 1+2 3 = = = − 3−2 3+1 1−2 3 11 1 3 9 d)Ta có : C > 0 ⇔ > 0 ⇔ 3 − 2 > 0 ⇔ 1 c)Tìm GTNN của E với x > 1 d)Tìm x Z để E Z e)Tính E tại 2x 1 5 f)Tìm x để E = 9/2 HD : > 0 â) Đk : . ≠ 1 +1 +1 1− − −2+ Ta có : = 2 ∶ −1 1− CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 +1 − +1 +1 −1 = 2 ∶ = 2 . = −1 1− −1 +1 −1 1 2 3 − +1 − + b) E > 1 ⇔ − 1 > 0 ⇔ > 0 ⇔ 2 4 > 0 ⇔ − 1 > 0 ⇔ x > 1. −1 −1 −1 1 1 1 c) = + 1 + = − 1 + + 2 ≥ 2 − 1 . + 2 = 4 −1 −1 −1 1 2 Dấu bằng xảy ra khi − 1 = ⇔ − 1 = 1 ⇔ − 1 = 1 −1 ⇔ = 2 ⇔ = 4(tmđk) . Vậy Emin=4 khi x=4. d) x = 4 2 + 1 = 5 = 2(푡 ) e) Ta có : 2 + 1 = 5 ⇔ ⇔ . Thây x = 2 vào E tâ được : 2 + 1 = −5 = −3(퐿) 2 2 2+1 = = = 2 + 2 2 2−1 2−1 2+1 9 f) Ta có : = ⇔ 2 = 9 − 1 ⇔ 2 − 9 + 9 = 0 ⇔ − 3 2 − 3 = 0 −1 2 = 3 = 9 = 9 9 ⇔ 3 ⇔ 9 (푡 đ ) . Vậy 9 thì = = = = 2 2 4 4 x 1 x x x 1 1 x Bài 33. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức G= : x 1 x 1 1 x x 1 x 1 a)Rút gọn G b)Tìm GTNN của G với x>0 c)Tính G tại x = 17- 4 13 d)Tìm x để G = 9/8 HD : ≥ 0 â) Đk : . ≠ 1 2 2 2 +1 + −1 − +1 − −1 Ta có : = ∶ −1 +1 −1 +1 2 +1 −1 2 +1 = . = −1 4 4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 1 1 1 2 1 1 b) = + = + ≥ 2 . = Dấu bằng xảy ra khi = ⇔ = . 4 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 1 Suy ra Gmin = khi = 2 2 2 2 17−4 13 +1 −34+19 13 c) = 13 − 2 ⇒ = 13 − 2 suy ra = = 4 13−2 36 9 2 +1 9 d) Ta có : = ⇔ = ⇔ 2(2 + 1) = 9 ⇔ 4 − 9 + 2 = 0 8 4 8 = 2 = 4 ⇔ − 2 4 − 1 = 0 ⇔ 1 ⇔ 1 (푡 đ ) = = 4 16 = 4 9 Vậy 1 thì = = 8 16 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 34. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức K= x 5 x 6 x 2 3 x a)Rút gọn K b)Tìm x để K<1 c)Tìm x Z để K Z d)Tìm GTNN củâ K’=1/K e)Tìm x để K = 5 f) Tính K biết − 3 + 2 = 0 g) So Sánh K’ với 1 HD: Các em tách ∶ − 5 + 6 = − 2 − 3 . Phân số cuối cùng đổi lại mẫu số. ≥ 0 â) Đk: . ≠ 4; ≠ 9 2 −9− +3 −3 + 2 +1 −2 2 −9− +9+2 −4 + −2 Ta có: 퐾 = = −2 −3 −2 −3 − −2 +1 −2 +1 퐾 = = = −2 −3 −2 −3 −3 +1 4 0 ≤ < 9 b) 퐾 < 1 ⇔ − 1 < 0 ⇔ < 0 ⇔ − 3 < 0 ⇔ < 9 . Vậy −3 −3 ≠ 4; 4 c) 퐾 = 1 + . Để K nguyên thì 4 ⋮ − 3 hay − 3 ∈ Ư(4) = *±1; ±2; ±4+ −3 − 3 1 -1 2 -2 4 -4 4 2 5 1 7 -1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x 16 4(L) 25 1 49 L Vậy x = {1;16;25;49} −3 4 d) 퐾′ = = 1 − +1 +1 4 4 ≥ 0 nên + 1 ≥ 1 suy ra − ≥ −4 ⇒ 1 − ≥ −3 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0 +1 +1 ′ 퐾 𝑖푛 = −3 khi x = 0 +1 e) = 5 ⇔ + 1 = 5 − 15 ⇔ = 4 ⇔ = 16 (thỏa mãn). Vậy x = 16. −3 = 1( ℎọ푛) f) − 3 + 2 = 0 ⇔ − 1 − 2 = 0 ⇔ . = 4(퐿) Với x = 1 suy ra 퐾 = −1 −3 −4 ≥ 0 g) Xét 퐾′ − 1 = − 1 = < 0 với mọi . Vậy 퐾′ < 1 +1 +1 ≠ 4; ≠ 9 x 1 x 1 1 x 2 Bài 35. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức M= : x 1 x 1 x 1 1 x x 1 8 a)Rút gọn M b)Tìm x để = c)Tính M tại x= 17+12 2 9 d)Chứng minh M 0 e)So sánh M với 1 f) Tìm GTNN của M HD: Chú ý đổi lại mẫu số phân số thứ hai từ cuối lên. ≥ 0 â) Đk: . ≠ 1 2 2 x+1 − x−1 −1+ +1 +2 Ta có: M = ∶ −1 −1 4 x +2 +1 4 M = ∶ = −1 −1 +2 +1 8 4 8 b) = ⇔ = ⇔ 36 = 8 + 2 + 1 9 +2 +1 9 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 = 4 1 ⇔ 8 − 20 + 8 = 0 ⇔ − 2 2 − 1 = 0 ⇔ = 4 = 4 8 Vậy 1 thì = = 9 4 2 4 3+2 2 4 3+2 2 1 c) Ta có: = 3 + 2 2 ⇒ = 3 + 2 2 ⇒ = = = 17+12 2+2 3+2 2 +1 8 3+2 2 2 ≥ 0 4 d) Vì ⇒ = ≥ 0 (đpcm) ≠ 1 +2 +1 2 4 − −1 ≥ 0 e) − 1 = − 1 = 2 < 0 với mọi nên M < 1. +2 +1 +1 ≠ 1 f) Theo d suy ra Mmin = 0 khi x =0. x 3 x 9 x x 3 x 2 Bài 36. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức N= 1 : x 9 x x 6 2 x x 3 a)Rút gọn b)Tìm x để N <0 c)Tìm GTLN của N d)Tìm x Z để N Z e)Tính N tại x=7-4 3 HD: Các em phân tích x + x − 6 = x − 2 x + 3 . Chú ý đổi mẫu số của phân số thứ hai từ cuối lên. ≥ 0 . â) Đk: ≠ 4; ≠ 9 2 −3 − +9 9− + −3 +3 − −2 Ta có: = ∶ −9 −2 +3 2 −3 −3 − −2 3 = ∶ = −3 +3 −2 +3 −2 3 b) Ta có : N < 0 ⇔ < 0 ⇔ − 2 ≤⇔ < 4 . −2 Kết hợp với điều kiện suy ra 0 ≤ < 4 . 3 3 c) Vì ≥ 0 ⇒ − 2 ≥ −2 ⇒ ≤ − . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. −2 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 3 Vậy = − khi x = 0 2 d) Để N nguyên thì 3 ⋮ − 2 ⇒ − 2 ∈ Ư(3) = *±1; ±3+ − 2 1 -1 3 -3 3 1 5 -1 x 9(L) 1 25 L Vậy x=1 ; x=25 thì N nguyên. 2 3 e) = 2 − 3 ⇒ = 2 − 3 ⇒ = = − 3 2− 3−2 2 x x 3x 3 2 x 2 Bài 37. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 a)Rút gọn P b)Tìm x Z để P Z c)Tìm GTNN của P d)Tính P tại x = 25 4 6 HD: a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9. Ta có : 2 −3 + +3 −3 −3 2 −2− +3 푃 = ∶ −3 +3 −3 −3 +1 −3 −3 푃 = . = −3 +3 +1 +3 b) Để P nguyên thì 3 ⋮ + 3 ⇒ + 3 ∈ Ư(3) = *±1; ±3+ + 3 1 -1 3 -3 -2 -4 0 -6 x (Loại) (Loại) 0 (Loại) CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 Vậy x = 0 thì P nguyên −3 c) Vì x ≥ 0 nên + 3 ≥ 3 ⇒ ≥ −1 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0 +3 Vậ Pmin = -1 khi x = 0. d) Ta có : 2 = 25 − 4 6 = 2 6 − 1 ⇒ = 2 6 − 1 . Thây vào P tâ được : −3 3−3 6 푃 = = 2 6−1+3 10 x 2 x 1 1 Bài 38. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức R=1: x x 1 x x 1 x 1 a)Rút gọn R b)So sánh R với 3 c)Tìm x Z để R 0 Suy ra R > 3. c) Ta có : + +1 −3 +1 푅 0 nên − 3 + 1 0 suy ra 푡2 − 3푡 + 1 0 phương trình có hâi nghiệm 푡 = ; 푡 = 1 2 2 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 2 3− 5 3+ 5 3− 5 3+ 5 3− 5 3+ 5 Vì 푡2 − 3푡 + 1 0 ; x ≠ 1. Ta có : 3 −3 −3− +1 −1 −2 1−1+ 푌 = + . −1 +2 1− 2 −3 −2 −2 푌 = + −1 +2 1− 2 −3 −2− −2 +2 −3 +2 −1 −2 −2 푌 = = = = −1 +2 −1 +2 −1 +2 +2 b) Ta có : −2 4 푌 = = 1 − . Để Y nguyên thì 4 ⋮ + 2 ⇒ + 2 ∈ Ư(4) = *4+ ( vì x >0) +2 +2 Suy ra x = 4. Vậy x = 4 thì Y nguyên. xx3 6 4 Bài 40. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = xx 11x 1 a) Rút gọn P b)Tìm x Z để P Z CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 c)Tìm GTNN của P d) Tính P tại x = 6-2 5 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. 2 +1 +3 −1 −6 +4 −2 +1 −1 −1 푃 = = = = −1 +1 −1 +1 −1 +1 +1 2 b) Ta có : 푃 = 1 − . Để P nguyên thì 2 ⋮ + 1 ⇒ + 1 ∈ Ư(2) = *1; 2+ ( vì x ≥ 0) +1 Suy ra x = 0 hoặc x = 1(loại) . Vậy x = 0 thì P nguyên. 2 c) Ta có : 푃 = 1 − +1 −2 Vì ≥ 0 ⇒ + 1 ≥ 1 ⇒ ≥ −2 ⇒ 푃 ≥ 1 − 2 = −1 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. +1 Vậy Pmin = -1 khi x = 0. 2 d) Ta có : = 6 − 2 5 = 5 − 1 ⇒ = 5 − 1 . Thay vào P tâ được : 5−1−1 5−2 5−2 5 푃 = = = 5−1+1 5 5 2x 2 x x 1 x x 1 Bài 41. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x x x x x a) Rút gọn P b) Tính P tại x = 12+ 6 3 HD: Các em phân tích phân thức thứ hai và thứ 3, rút gọn cho nhau. â) Điều kiện: x > 0; x ≠1. 2 +2 −1 + +1 +1 − +1 Ta có: P = + − −1 +1 2 +2 + +1 − +1 2 +2 +2 푃 = + − = 2 b) Ta có: = 12 + 6 3 = 3 + 3 ⇒ = 3 + 3 . Thây vào P tâ được : 12+6 3+3+ 3+1 27+5 3 푃 = 2. = 3+ 3 3 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 x 1 x 1 1 x Bài 42. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P =  x 1 x 1 2 x 2 a) Rút gọn P b) Tìm x để P =2 c) Tính P tại x= 3-2 2 d ) Tìm x để P > 0 e) So sánh P với -2 x HD: â) Điều kiện: x > 0 ; x ≠ 1. 2 2 −1 − +1 1− 2 −4 ( −1)2 1− 푃 = . = . = +1 −1 2 −1 4 b) Ta có: 1− 2 푃 = 2 ⇔ = 2 ⇔ 1 − = 2 ⇔ + 2 − 1 = 0 ⇔ + 1 = 2 + 1 = 2 2 ⇔ ⇒ = 2 − 1 ⇒ = 2 − 1 = 3 − 2 2 (tmđk) + 1 = − 2(퐿) 2 1− 3−2 2 c) Ta có: = 3 − 2 2 = 2 − 1 ⇒ = 2 − 1 ⇒ 푃 = = −6 − 4 2 2−1 d) Ta có: 1− 푃 > 0 ⇔ > 0 . Vì x > 0 ; x ≠ 1 nên 1 − > 0 ⇔ 0. 1− 1− +2 1+ e) Xét hiệu: 푃 + 2 = + 2 = = > 0 ( vì x > 0) nên 푃 > −2 . x 1 x 2 x 1 Bài 43. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GTLN của P c) Tìm x để P = -4 d) So sánh P với 1 e) Tìm x Z để P Z HD: Các em tách − 1 = − 1 + + 1 â) Điều kiện: x≥ 0; x≠1. +1 +2 +1 푃 = − − −1 +1 −1 + +1 + +1 1 +2 +1 푃 = − − −1 −1 + +1 + +1 + +1− −2− +1 −1 − 푃 = = −1 + +1 −1 + +1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1− − 푃 = = −1 + +1 + +1 − b) Vì x ≥ 0 nên 푃 = ≤ 0 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. + +1 Vậy Pmax = 0 khi x = 0. c) Ta có: − P = -4 ⇔ = −4 ⇔ = 4 + 4 + 4 ⇔ 4 + 3 + 4 = 0 . + +1 Vì x ≥ 0 nên phương trình vô nghiệm . Vậy không tồn tại x để P = -4. 2 − − −2 −1 − +1 d) Xét hiệu : P – 1 = − 1 = = 1. Chứng tỏ có hai giá trị x để P =m. HD: 9 −1−2 3 −1 + +1 9 +6−3 3 +1 a) Ta có: 푃 = ∶ 3 −1 3 +1 3 +1 3 +3 3 + 푃 = ∶ = 3 −1 3 +1 3 +1 3 −1 b) Ta có: 6 + 6 푃 = ⇔ = ⇔ 5 + = 6 3 − 1 ⇔ 5 − 13 + 6 = 0 5 3 −1 5 = 2 = 4 ⇔ − 2 5 − 3 = 0 ⇔ 3 ⇔ 9 (푡 đ ) = = 5 25 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 + c) Xét P = m ⇔ = ⇔ + = 3 − 1 ⇔ + (1 − 3 ) + = 0 (1) 3 −1 Đặt = 푡 ≥ 0 phương trình có dạng: 푡2 + (1 − 3 )푡 + = 0 (2) ∆= (1 − 3 )2 − 4 = ( − 1)(9 − 1) > 0 − = 3 − 1 > 0 Vì m > 1 nên = > 0 Suy râ phương trình (2) luôn có hâi nghiệm phân biệt dương nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm. Vậy Với m > 1 luôn có hai giá trị x để P =m. x 2 x 2x x 2(x 1) Bài 45. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để P = 3 d) Tính P tại x=7+4 3 e ) Tìm x để P > 3 g) So sánh P với ½ HD: Các em chú ý: 2 − = 3 − 1 = − 1 + + 1 â) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1. 3−1 2 +1 2 −1 +1 푃 = − + + +1 −1 −1 + +1 푃 = − 2 − 1 + 2 + 2 + +1 푃 = − + 1 1 3 1 2 3 b) Ta có: 푃 = − + + = − + 4 4 2 4 1 2 1 2 3 3 Vì − ≥ 0 với mọi x > 0; x ≠ 1 nên − + ≥ . 2 2 4 4 1 1 Dấu bằng xảy ra khi − = 0 ⇔ = (푡 đ ) 2 4 3 1 Vậy Pmin = khi = 4 4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 c) Ta có: P = 3 ⇔ − + 1 = 3 ⇔ − − 2 = 0 ⇔ + 1 − 2 = 0 Vì x > 0 nên − 2 = 0 ⇔ = 4 (tmđk) Vậy x = 4 thì P = 3. 2 d) Với = 7 + 4 3 = 2 + 3 ⇒ = 2 + 3 . Thây vào P tâ được: 푃 = 7 + 4 3 − 2 + 3 + 1 = 6 + 3 3 e) Để P > 3 ⇔ − + 1 > 3 ⇔ − − 2 > 0 ⇔ + 1 − 2 > 0 Vì x > 0 nên − 2 > 0 ⇔ > 4 Vậy x > 4 thì P > 3 1 1 1 1 2 1 1 f) Xét hiệu 푃 − = − + 1 − = − + = − + > 0 nên 푃 > 2 2 2 2 4 2 a 3 a 2 a 1 1 Bài 46. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : a a 2 a a a 1 a 1 a) Rút gọn P b) Tìm a để P =3 c) Tính P tại a= 15-6 6 d ) Tìm a để P>3 e) So sánh P với ½ HD: â) Điều kiện: â > 0; â ≠1 +1 +2 −1+ +1 푃 = − : −1 +2 −1 −1 +1 +1 2 푃 = − : −1 −1 −1 +1 1 −1 +1 +1 푃 = . = −1 2 2 +1 1 1 b) Ta có: P = 3 ⇔ = 3 ⇔ + 1 = 6 ⇔ = ⇔ = (푡 đ ) 2 5 25 1 Vậy a = thì P =3 25 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 c) Ta có: = 15 − 6 6 = 3 − 6 ⇒ = 3 − 6 . Thây vào P tâ được: 3− 6+1 6+ 6 푃 = = 2 3− 6 6 +1 1−5 1 d) Để P > 3 ⇔ − 3 > 0 ⇔ > 0 . Vì a > 0 nên 1 − 5 > 0 ⇔ 3 25 1 +1 1 +1− 1 e) Xét hiệu 푃 − = − = = > 0 với mọi â > 0; â ≠ 1 2 2 2 2 2 1 Suy ra P > 2 x 1 2 x Bài 47. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 a) Rút gọn P b ) Tìm x để P>0 c) Tính P tại x=5-2 6 HD : â) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 1. +1+ 1 2 푃 = ∶ − − 1 +1 −1 ( +1) −1 + +1 +1−2 푃 = ∶ − 1 +1 −1 ( +1) + +1 −1 ( +1) + +1 +2 푃 = . 2 − 1 = − 1 = +1 −1 −1 −1 b) Ta có : +2 푃 < 0 ⇔ < 0 . Vì x ≥ 0 nên − 1 < 0 ⇔ < 1 −1 Vậy 0 ≤ < 1. 2 c) Với = 5 − 2 6 = 3 − 2 ⇒ = 3 − 2 thây vào P tâ được : 5−2 6+2 푃 = 3− 2−1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2x x x x x x x 1 x Bài 48. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P=  x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN c) Tìm x để P = 2 d) Tính P tại x= 7+2 10 e ) Tìm x để P>1 HD : â) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 1. 2 + − +1 −1 +1 푃 = − . + −1 + +1 −1 +1 +1 2 −1 2 −1 2 + − −1 푃 = − . + −1 + +1 −1 2 −1 2 −1 2 + − − + +1 −1 푃 = . + −1 + +1 2 −1 2 −1 −2 푃 = + 2 −1 + +1 2 −1 −2 + + +1 푃 = 2 −1 + +1 2 + − 푃 = 2 −1 + +1 2 −1 +1 + 푃 = = 2 −1 + +1 + +1 + b) Vì x ≥ 0 nên 푃 = ≥ 0 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Pmin = 0 khi x = 0. + +1 + 푃 = ⇔ 푃 + + 1 = + ⇔ (푃 − 1) + (푃 − 1) + 푃 = 0 + +1 Đặt = 푡 ≥ 0 ⇒ (푃 − 1)푡2 + (푃 − 1)푡 + 푃 = 0 Phương trình có nghiệm khi : 1 ∆≥ 0 ⇔ (푃 − 1)2 − 4푃(푃 − 1) ≥ 0 ⇔ −3푃2 + 2푃 + 1 ≥ 0 ⇔ − ≤ 푃 ≤ 1 3 Suy ra P + c) P = 2 ⇔ = 2 ⇔ + = 2 + + 1 ⇔ + + 2 = 0 : Vì x ≥ 0 nên + +1 phương trình vô nghiệm + + Cách khác : Vì x ≥ 0 nên 1. + +1 + +1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 + Cách khác : Theo c suy ra 1. + +1 x 2 x 1 1 Bài 49. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GTLN của P c) Tìm x để P =1/3 d) Tính tại x=22- 4 10 HD : â) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 1. +2+ +1 −1 − + +1 푃 = −1 + +1 +2+ −1− − −1 − −1 푃 = = = = −1 + +1 −1 + +1 −1 + +1 + +1 b) Vì x ≥ 0 nên ≥ 0 . Vậy Pmin =0 khi x = 0. + +1 1 1 2 c) 푃 = ⇔ = ⇔ 3 = + + 1 ⇔ − 1 = 0 ⇔ = 1 (퐿) 3 + +1 3 1 Vậy không tồn tại x để 푃 = 3 2 d) Ta có : = 22 − 4 10 = 2 5 − 2 ⇒ = 2 5 − 2 . Thay vào P. 3x 3 x 3 1 1 Bài 50. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= 2 x x 2 x 1 x 2 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 4 c ) Tìm x để P< 2 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠1 3 +3 −3 1 1 푃 = + + − 2 −1 +2 −1 +2 3 +3 −3+ +2+ −1−2 + −2 푃 = −1 +2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 +3 +2 +1 +2 +1 푃 = = = −1 +2 −1 +2 −1 +1 5 25 b) Ta có: 푃 = 4 ⇔ = 4 ⇔ + 1 = 4 − 4 ⇔ = ⇔ = (푡 đ ) −1 3 9 25 Vậy x = thì P = 4 9 c) Ta có: +1 3− > 3 > 9 P 9 Kết hợp với điều kiện suy ra thì P 4 HD : â) Điều kiện : x > 0 ; x ≠ 9. 2 2 3+ − 3− +4 5 −4 −2 푃 = ∶ 3− 3+ 3− 9+6 + − 9−6 + +4 −2 푃 = ∶ 3− 3+ 3− 4 +3 3− 4 푃 = . = 3− 3+ −2 −2 4 b) 푃 = 3 ⇔ = 3 ⇔ 4 = 3 − 2 ⇔ = −6 ⇒ ∈ ∅ . −2 Vậy không tồn tại x để P =3 4 1 c) 푃 > 4 ⇔ > 4 ⇔ > 0 ⇔ > 4 ( chú ý x > 0 nên ta bỏ 4 ở hai vế) −2 −2 Vậy x> 4 và x ≠ 9 thì푃 > 4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 a 5 a 25 a a 5 a 2 Bài 52. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = 1 : a 25 a 3 a 10 2 a a 5 a) Rút gọn P b) Tìm GTLN của P c) Tìm â để P = 2 d) Tính P tại a= 4 - 2 3 e ) Tìm â để P > 2 HD : â) Điều kiện : â ≥ 0 ; â ≠ 25 ; â≠ 4 −5 − +25 25− −5 +2 푃 = ∶ + − −5 +5 −2 +5 −2 +5 −5 −5 25− + −5 +5 − +2 −2 푃 = ∶ −5 +5 −2 +5 −5 25− + −25− +2 −2 푃 = ∶ +5 −2 +5 −5 −2 +5 5 푃 = . = +5 − +2 −2 +2 5 5 b) Vì a ≥ 0 ⇒ + 2 ≥ 2 ⇒ ≤ . Dấu bằng xảy ra khi a = 0. +2 2 5 Vậy Pmax = khi a = 0. 2 c) Ta có : 5 5 1 1 푃 = 2 ⇔ = 2 ⇔ + 2 = ⇔ = ⇒ = (푡 đ ) +2 2 2 4 1 Vậy a = thì P = 2. 4 2 d) Ta có : a= 4 − 2 3 = 3 − 1 ⇒ = 3 − 1 . Thây vào P tâ được : 5 −5+5 3 푃 = = 3−1+2 2 e) Ta có : 5 1−2 1 푃 > 2 ⇔ − 2 > 0 ⇔ > 0 . Vì â ≥ 0 nên 1 − 2 > 0 ⇔ < +2 +1 4 1 Kết hợp với điều kiện suy ra 0 ≤ < 4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x 4x x 3 Bài 53. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : x 2 2 x x x 2 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -1 c) Tìm x để P>-1 g) So sánh P với 1 HD: â) Điều kiện: x > 0; x≠4 4 +3 푃 = − : −2 −2 −2 −4 −2 −3 푃 = . = −2 +3 +3 −3 3 9 b) Ta có: P= - 1 ⇔ = −1 ⇔ 3 = + 3 ⇔ = ⇔ = (tmđk) +3 2 4 9 Vậy x = thì P = -1. 4 −3 3 3 2 −3 c) P > -1 ⇔ > −1 ⇔ 0 nên + 3 > 0 ⇒ 2 − 3 -1 4 −3 d) Vì x > 0 nên 푃 = < 0 suy ra P < 1 +3 2 a 1 6 2 a 1 2 Bài 54. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = 2 3 a a 1 a a 1 a 1 a) Rút gọn P b) Tìm a để P =1 c) Tính P tại a = 7 − 2 6 HD : â) Điều kiện : â ≥ 0 ; â ≠ 1. −1 6−2 −2 +1 2 푃 = − + 3 + −2 +1 −1 + +1 −1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −1 4+4 −2 2 푃 = − + + +1 −1 + +1 −1 2 −1 −4−4 +2 +2 + +1 푃 = −1 + +1 5 −4 −1 5 +1 −1 5 +1 푃 = = = −1 + +1 −1 + +1 + +1 5 +1 b) Với P = 1 ⇔ = 1 ⇔ 5 + 1 = + + 1 + +1 = 0 = 0 ⇔ − 4 = 0 ⇔ − 4 = 0 ⇔ ⇔ (푡 đ ) = 4 = 16 = 0 Vậy thì P = 1. = 16 2 c) Với a = 7 − 2 6 = 6 − 1 ⇒ = 6 − 1 thây vào P tâ được : 5 6−1 +1 2+31 6 푃 = = 7−2 6+ 6−1+1 43 x x 3 1 x 1 x 1 8 x Bài 55. Cho biểu thức P = : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tính P tại x=10-2 21 HD: â) Điều kiện: x > 0; x ≠1. 2 2 − −3− +1 +1 − −1 −8 푃 = ∶ −1 +1 −1 +1 − −4 −4 푃 = ∶ −1 +1 −1 ( +1) +4 푃 = 4 2 b) = 10 − 2 21 = 7 − 3 ⇒ = 7 − 3 . Thây vào P tâ được: 10−2 21+4 7 푃 = = 4 7− 3 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2x x 1 2x x x x x x Bài 56. Cho biểu thức P = 1+  1 x 1 x x 2 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 3 c) Tính P tại x=13- 4 10 HD: Các em xem lại bài rút gọn câu 15. 1 â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1; ≠ 4 +2 +1 Rút gọn được: + +1 b) +2 +1 P = 3 ⇔ = 3 ⇔ + 2 + 1 = 3 + 3 + 3 ⇔ 2 + + 2 = 0 + +1 Vì x ≥ 0 nên 2 + + 2 > 0 suy râ phương trình vô nghiệm Vậy không tồn tại x để P = 3. 2 c) Với x = 13 − 4 10 = 2 2 − 5 ⇒ = 2 2 − 5 thây vào P tâ được: 13−4 10+2 2 2− 5 +1 푃 = (các em tự rút gọn) 13−4 10+2 2− 5+1 x 3 x x 1 x 2 Bài 57. Cho biểu thức P = : 2 x 2 2x 2 x x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tính P tại x= 15+6 6 c) So sánh P với 1 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. 3− +1 +2 푃 = + : + 2 −1 2 −1 +1 + +1 −1 + +1 +1 +3− +1 −1 + +2 푃 = ∶ 2 −1 +1 −1 + +1 +3 + +1 +3 푃 = : = 2 −1 +1 −1 + +1 2 +1 2 b) x = 15 + 6 6 = 3 + 6 ⇒ = 3 + 6 thây vào P tâ được: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 15+6 6+3 18+3 6 푃 = = 2 3+ 6+1 10 2 2 +3 −2 +1 −1 −1 c) Xét 푃 − 1 = − 1 = = . Vì x ≥ 0; x ≠ 1 nên > 0 2 +2 2 +2 2 +2 2 +2 Suy ra P > 1. x x 4 x 1 x 3 :1 Bài 58. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x 2 x 3 3 x x 2 a) Rút gọn P b) Tìm GTLN của P c) Tìm x để P =1/2 d) Tính P tại x= 6+2 5 e ) Tìm x để P > -1 f) So sánh P với 1 HD: a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4; x≠ 9. + −4 −1 −2− +3 푃 = − : +1 −3 −3 −2 + −4− −1 +1 1 푃 = ∶ +1 −3 −2 −3 1 −2 푃 = ∶ = +1 −3 −2 +1 −2 3 b) Ta có: 푃 = = 1 − +1 +1 3 3 Vì x ≥ 0 nên + 1 ≥ 1 ⇒ ≤ 3 ⇒ 1 − ≥ 1 − 3 = −2 . +1 +1 Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Pmin = -2 khi x = 0. c) Ta có: 1 −2 1 푃 = ⇔ = ⇔ 2 − 2 = + 1 ⇔ = 5 ⇔ = 25 (tmđk) 2 +1 2 1 Vậy x = 25 thì 푃 = 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 d) Với x = 6 + 2 5 = 5 + 1 ⇒ = 5 + 1 thây vào P tâ được: 5+1−2 푃 = = 7 − 3 5 5+1+1 −2 2 −1 e) Ta có: 푃 > −1 ⇔ + 1 > 0 ⇔ > 0 . +1 +1 1 Vì x ≥ 0 nên + 1 > 0 ⇒ 2 − 1 > 0 ⇔ > 4 1 Kết hợp với điều kiện tâ được: x > ; ≠ 4; ≠ 9 thì P > -1 4 −2 −2− −1 −3 f) Xét P -1 = − 1 = = < 0 với mọi x ≥ 0 +1 +1 +1 nên P < 1. 1 2 x 2 1 2 Bài 59. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : x 1 x x x x 1 x 1 x 1 1 a) Rút gọn P b)Tìm x để P = 3 c) Tìm GTNN của P d) Tính P tại x=7-2 6 HD : â) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠1 1 2 −1 1 2 푃 = − : − +1 ( −1) +1 −1 −1 +1 1 2 −1 +1−2 푃 = − 2 : +1 −1 +1 −1 +1 +1−2 −1 +1 −1 푃 = 2 . = +1 −1 +1 1 −1 1 b) Ta có : P = ⇔ = ⇔ 3 − 1 = + 1 ⇔ 3 − 4 − 1 = 0 3 +1 3 Đặt = 푡 ≥ 0 ⇒ 3푡2 − 4푡 − 1 = 0 . Ta có : ∆= 28 ⇒ phương trình có hâi nghiệm : 2 2+ 7 2− 7 2+ 7 2+ 7 2+ 7 11+4 7 푡 = (푡 ); 푡 = (퐿) . Với 푡 = ⇒ = ⇒ = = 3 3 3 3 3 9 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −1 2 c) Ta có : 푃 = = 1 − +1 +1 2 Vì x ≥ 0 nên + 1 ≥ 1 ⇒ 1 − ≥ 1 − 2 = −1. Dấu bằng xảy ra khi x = 0. +1 Vậy Pmin = -1 khi x = 0 2 d) Với = 7 − 2 6 = 6 − 1 ⇒ = 6 − 1 . Thây vào P tâ được : 6−1−1 3− 6 P = = 6−1+1 3 x 2 x 3 x 2 x Bài 60. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 3 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 +2 +3 +2 2 +1 − 푃 = + − : −2 −3 −2 −3 +1 +2+ −3 +3 − −2 +2 +2 푃 = : −2 −3 +1 +2+ −9− +4 +1 푃 = . −2 −3 +2 −3 +1 +1 푃 = . = −2 −3 +2 −4 +1 b) P = 3 ⇔ = 3 ⇔ + 1 = 3 − 12 ⇔ 3 − − 13 = 0 −4 Đặt = 푡 ≥ 0 ⇒ 3푡2 − 푡 − 13 = 0. Ta có : ∆= 157 > 0 phương trình có hâi nghiệm : 1+ 157 1− 157 푡 = (푡 ); 푡 = (퐿) 6 6 2 1+ 157 1+ 157 1+ 157 79+ 157 Với 푡 = ⇒ = ⇒ = = 6 6 6 18 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x 1 1 x 2 Bài 61. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x : x x 1 1 x x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 3 c ) Tìm x để P >3 d) So sánh P với 3 x e) Tìm GTNN của P HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. +1 1 +2 Ta có: 푃 = : − + + +1 −1 −1 + +1 −1 +1 − + +1 + +2 푃 = ∶ −1 + +1 −1− − −1+ +2 − 푃 = ∶ = ∶ −1 + +1 −1 + +1 −1 푃 = ∶ = + + 1 −1 + +1 b) P = 3 ⇔ + + 1 = 3 ⇔ + − 2 = 0 ⇔ − 1 + 2 = 0 Vì x ≥ 0; x ≠ 1 nên phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại x để P = 2. c) P > 3 ⇔ + + 1 > 3 ⇔ + − 2 > 0 ⇔ − 1 + 2 > 0 Vì x ≥ 0; x ≠ 1 nên + 2 > 0 ⇒ − 1 > 0 ⇔ > 1. Vậy x > 1 thì P > 3 2 d) Xét 푃 − 3 = + + 1 − 3 = − 2 + 1 = − 1 2 Vì x ≥ 0; x ≠ 1 nên − 1 > 0 suy ra 푃 > 3 e) Vì x ≥ 0; x ≠ 1 nên 푃 = + + 1 ≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Vậy Pmin = 1 khi x = 0. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 3 x x 3 x 3 x 2 Bài 62. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x x 2 x 2 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 7/2 c) Tìm x Z để P Z d) So sánh P với 3 h) Tìm GTLN của P HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠1 3 + −3 +3 −2 푃 = + − +2 −1 +2 −1 3 +3 −9+ +3 −1 − −2 +2 푃 = +2 −1 3 +3 −9+ − +3 −3− +4 푃 = +2 −1 3 +5 −8 −1 3 +8 3 +8 푃 = = = +2 −1 +2 −1 +2 7 3 +8 7 b) P = ⇔ = ⇔ 2 3 + 8 = 7 + 2 ⇔ = 2 ⇔ = 4 (tmđk) 2 +2 2 7 Vậy x = 4 thì 푃 = 2 3 +8 2 c) Ta có: 푃 = = 3 + . Để P nguyên thì 2 chia hết + 2 nên + 2 ∈ *±1; ±2+ +2 +2 Mà + 2 ≥ 2 ⇒ + 2 = 2 ⇔ = 0. Vậy x = 0 thì P nguyên. 3 +8 2 d) Xét P -3 = − 3 = > 0 ( vì x ≥ 0) suy râ P > 3 +2 +2 2 2 2 e) 푃 = 3 + . Vì x ≥ 0 nên + 2 ≥ 2 ⇒ ≤ 1 ⇒ 푃 = 3 + ≤ 4 +2 +2 +2 Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Pmax = 4 khi x = 0. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x x 1 2 x 7 3 x Bài 63. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= : 1 x 2 x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn P b) Tính P biết x= 9-4 5 c) Tìm GTNN của P d) Tìm x Z để P Z HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4. +2 − +1 −2 −2 −7 3− + −2 푃 = ∶ −2 +2 −2 +2 − − −2 −2 −7 1 푃 = ∶ −2 +2 −2 −5 1 −5 푃 = ∶ = −2 +2 −2 +2 2 b) Với x = 9 − 4 5 = 5 − 2 ⇒ = 5 − 2 thây vào P tâ được: 5−2−5 5−7 5 푃 = = 5−2+2 5 −5 7 c) Ta có: 푃 = = 1 − +2 +2 7 7 5 Vì x ≥ 0 nên + 2 ≥ 2 ⇒ 1 − ≥ 1 − = − . Dấu bằng xảy ra khi x = 0 +2 2 2 5 Vậy Pmin = − khi x =0. 2 −5 7 d) Ta có: 푃 = = 1 − . Để P nguyên thì 7 ⋮ + 2 ⇒ + 2 ∈ Ư(7) +2 +2 Vì + 2 ≥ 2 nên + 2 = 7 ⇔ = 25(푡 đ ) Vậy x = 25 thì P nguyên 2 x 2 x 4x 2 x 3 Bài 64. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : 2 x 2 x x 4 2 x 2 x x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -1 c ) Tìm x để P > 4 d)Tìm GTNN của P với x>9 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: â) Điều kiện: x > 0 ; x ≠ 4 2+ 2− 4 2 +3 푃 = − + : − 2− 2+ 2− 2+ 2− 2− 2 2 2+ − 2− +4 2 − −3 푃 = ∶ 2− 2+ 2− 8 +4 −3 푃 = ∶ 2− 2+ 2− 4 ( +2) 2− 4 푃 = . = 2− 2+ −3 −3 4 b) Ta có: 푃 = −1 ⇔ = −1 ⇔ 4 = − + 3 ⇔ 4 + − 3 = 0 −3 9 ⇔ + 1 4 − 3 = 0 . Vì x>0 nên 4 − 3 = 0 ⇔ = (tmđk) 16 9 Vậy x = thì P =-1 16 2 4 4 −4 +12 2 −1 +11 c) P > 4 ⇔ − 4 > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 0 ⇒ − 3 > 0 ⇔ > 9 −3 −3 −3 Vậy x > 9 thì P > 4 4 36 36 d) Ta có: 푃 = = 4 + 12 + = 4 − 3 + + 24 −3 −3 −3 36 36 Áp dụng BĐT Câuchy tâ có: 4 − 3 + ≥ 2 4 − 3 . = 24 −3 −3 36 2 Dấu bằng xảy ra khi 4 − 3 = ⇔ − 3 = 9 ⇔ − 3 = 3 ⇔ = 36 −3 Suy ra Pmin = 48 khi x = 36 2x 1 1 x 4 Bài 65. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = - 2 c) Tìm x Z để P Z d ) Tìm x để P >1 x 3 e) Tìm GTLN , GTNN củâ P’= . P x 1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD : a) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 1 2 +1 1 + +1− −4 푃 = − : −1 + +1 −1 + +1 2 +1− + +1 −3 푃 = ∶ −1 + +1 + +1 − −3 푃 = : −1 + +1 + +1 −1 + +1 푃 = . = −1 + +1 −3 −3 b) P = -2 ⇔ = −2 ⇔ = 2 ⇔ = 4(푡 đ ) −3 Vậy x = 4 thì P =-2 3 c) 푃 = = 1 + . Để P nguyên thì 3 ⋮ − 3 ⇒ − 3 ∈ Ư(3) = *±1; ±3+ −3 −3 − 3 1 -1 3 -3 4 2 6 0 x 16 4 36 0 Kết hợp với điều kiện suy ra x = {0 ;4 ;16 ;36} 3 d) Ta có : P > 1 ⇔ − 1 > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 9 −3 −3 Vậy x > 9 thì P > 1 e) ta có : −3 −3 푃′ = . 푃 = . = +1 +1 −3 +1 Vì x ≥ 0 nên P’ ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy P’min = 0 khi x = 0. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x x 26 x 19 2 x x 3 Bài 66. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x 2 x 3 x 1 x 3 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN của P c) Tính P tại x=17 12 2 HD : â) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 1 +26 −19 2 −3 푃 = − + −1 +3 −1 +3 +26 −19−2 +3 + −3 −1 푃 = −1 +3 +26 −19−2 −6 + −4 +3 푃 = −1 +3 − +16 −16 ( +16) −1 +16 푃 = = = −1 +3 −1 +3 +3 b) Ta có : +16 25 25 푃 = = − 3 + = + 3 + − 6 +3 +3 +3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 25 25 + 3 + ≥ 2 + 3 . = 10 suy ra P ≥ 10 – 6=4. +3 +3 25 2 Dấu bằng xảy ra khi + 3 = ⇔ + 3 = 25 ⇔ + 3 = 5 ⇔ = 4 (tmđk) +3 Vậy Pmin = 10-6=4 khi x = 4 2 c) Với x = 17 − 12 2 = 2 2 − 3 ⇒ = 2 2 − 3 . Thay vào tính P 2 x 1 x 3 2 x 1 Bài 67. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x 7 x 12 x 4 3 x a) Rút gọn P b) Tính P tại x= 2 7 4 3 c) Tìm x để P = 2 d) Tìm x Z để P Z CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x 4 e) Tìm GTNN củâ P’= P . x 2 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 16; x ≠ 9 2 +1 +3 2 +1 푃 = − + −3 −4 −4 −3 2 +1− +3 −3 + 2 +1 −4 푃 = −3 −4 2 +1− +9+2 −7 −4 푃 = −3 −4 −5 +6 −2 −3 −2 푃 = = = −3 −4 −3 −4 −4 2 2 b) Với x = 2 7 − 4 3 = 2 2 − 3 = 2 2 − 3 = 4 − 2 3 = 3 − 1 ⇒ = 3 − 1 . Thay vào P . −2 c) 푃 = 2 ⟺ = 2 ⇔ − 2 = 2 − 8 ⇔ = 6 ⇔ = 36 (tmđk) −4 Vậy x = 36 thì P = 2. −2 2 d) Ta có : 푃 = = 1 + . Để P nguyên thì 2 ⋮ − 4 ⇒ − 4 ∈ Ư(2) = *±1; ±2+ −4 −4 − 4 1 -1 2 -2 5 3 6 2 x 25 9(L) 36 4 Kết hợp với điều kiện suy ra x = {4 ;25 ;36} e) Ta có : −4 −2 −4 −2 4 푃′ = 푃 . = . = = 1 − +2 −4 +2 +2 +2 4 Vì x ≥ 0 nên + 2 ≥ 2 ⇒ 1 − ≥ 1 − 2 = −1. Dấu bằng xảy ra khi x = 0 +2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 Vậy P’min = -1 khi x = 0 x x 1 x x 1 x 1 Bài 68. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x x x x x a) Rút gọn P b) Tìm x để P= 9/2 c) So sánh P với 4 HD : â) Điều kiện : x>0 ; x ≠ 1 −1 + +1 +1 − +1 +1 푃 = − + −1 +1 + +1 − +1 +1 +2 +1 푃 = − + = 9 +2 +1 9 b) P = ⇔ = ⇔ 2 + 4 + 2 = 9 ⇔ 2 − 5 + 2 = 0 . Từ đó tìm x 2 2 2 +2 +1 −2 +1 −1 c) Xét 푃 − 4 = − 4 = = 2 −1 Vì : x>0 ; x ≠ 1 nên > 0 ⇒ 푃 > 4 x 3 6 x 4 Bài 69. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -1 c) Tìm x Z để P Z d )So sánh P với 1 e) Tìm GTNN của P f) Tính P tại x = 7 4 3 7 4 3 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1 +1 +3 −1 −6 +4 푃 = −1 +1 2 −2 +1 −1 −1 푃 = = = −1 +1 −1 +1 +1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −1 b) P = -1 ⇔ = −1 ⇔ = 0 +1 −1 2 c) Ta có: 푃 = = 1 − +1 +1 Để P nguyên thì 2 chia hết + 1. Từ đó các em tìm được x = 0 ( chú ý so với điều kiện) −1 −2 d) Xét 푃 − 1 = − 1 = x 2 c) So sánh P với 1 d) Tìm GTNN của P 8 8 e) Tính P tại x = 5 1 5 1 HD: â) Điều kiện: x > 0 +1+ + +1 푃 = : = +1 +1 + +1 1− b) Ta có: 푃 > + 2 ⇔ − + 2 > 0 ⇔ > 0 Vì x > 0 nên 1 − > 0 ⇔ < 1 Vậy 0 < x < 1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 + +1 1 c) Vì x > 0 nên 푃 = = + + 1 > 1 1 1 d) Ta có: 푃 = + + 1 ≥ 2 . + 1 = 3 1 Dấu bằng xảy ra khi = ⇔ = 1. Vậy Pmin =3 khi x = 1 8 8 8 5+1 8 5−1 e) Ta có: = − = − = 2 5 + 1 − 2 5 − 1 = 4 5−1 5+1 5−1 5+1 5+1 5−1 7 Thây vào P tâ được: 푃 = 2 2 x x 3x 3 2 x 2 Bài 71. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 a) Rút gọn P b) Tìm x Z để P Z c) Tìm x khi x= 16 HD : a) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 9. 2 −3 + +3 −3 −3 2 −2− +3 푃 = ∶ −3 +3 +3 2 −6 + +3 −3 −3 +1 푃 = ∶ −3 +3 +3 −3 +1 +3 −3 푃 = . = −3 +3 +1 −3 b) Để P nguyên thì 3 chia hết − 3 − 3 -1 1 -3 3 2 4 0 6 x 4 16 0 36 Vậy x = {0 ;4 ;16 ;36} −3 c) Với x = 16 suy ra 푃 = = −3 16−3 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 Bài 72. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : 2x 2 2 x 2 1 x x x CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 a) Rút gọn P b) Tìm x để P =2 c) Tìm x Z để P Z HD: â) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1 2 +1 −1 +1 +1 푃 = − + : 2 −1 2 +1 −1 +1 +1 2 2 +1 − −1 +2( +1) +1 푃 = ∶ 2 −1 +1 2 +2 +1 +1 푃 = ∶ 2 −1 +1 2 +1 +1 푃 = ∶ = −1 +1 −1 b) Ta có : P = 2 ⇔ = 2 ⇔ = 2 − 2 ⇔ = 2 ⇔ = 4(tmđk) −1 Vậy x = 4 thì P = 2. 1 c) 푃 = = 1 + . Để P nguyên thì 1 chia hết − 1 . Từ đó tìm được x = 0 ; x = 4 −1 −1 So sánh với điều kiện suy ra x = 4. 21xx Bài 73. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = :1 x x x x 11 x x 1 a) Rút gọn P b)Tính P tại x= 9 c) So sánh P với 1 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. 2 1 +1+ 푃 = − : −1 ( +1) −1 +1 2 − −1 +1 푃 = . −1 ( +1) + +1 2 − −1 1 1− 푃 = . = −1 + +1 + +1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1−3 2 b) Với x = 9 suy ra P = = − 9+3+1 13 1− − −2 − −2 c) Xét 푃 − 1 = − 1 = . Vì x ≥ 0 nên ≥ 0 ⇒ 푃 ≥ 1 + +1 + +1 + +1 xx29 Bài 74. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = xx 339 x a) Rút gọn P = b) Tìm x để P = 5 c) Tìm x Z để P Z d) Tính P tại x=11 6 2 e ) Tìm x để P >0 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9. 2 +9 푃 = − − +3 −3 −3 +3 −3 −2 +3 − −9 푃 = −3 +3 −5 −15 −5 +3 −5 푃 = = = −3 +3 −3 +3 −3 −5 b) P = 5 ⇔ = 5 ⇔ − 3 = −1 ⇔ = 2 ⇔ = 4(푡 đ ) −3 Vậy x = 4 thì P = 5. c) P nguyên khi 5 chia hết − 3 ⇒ − 3 ∈ Ư(5) = *±1; ±5+ − 3 -1 1 -5 5 2 4 -2 8 x 4 16 Loại 64 Vậy x = {4;16;64} thì P nguyên. 2 d) Với x = 11 − 6 2 = 3 − 2 ⇒ = 3 − 2 = 3 − 2 thây vào P tâ được: −5 5 2 푃 = = 3− 2−3 2 −5 e) P > 0 ⇔ > 0 ⇔ − 3 0. x 3 x 2 x 2 Bài 75. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = x 2 3 x x 5 x 6 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 a) Rút gọn P = 1 b) Tìm x để P = -1 x 2 c) Tìm x Z để P Z d) Tính P tại x= 6 4 2 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 +3 +2 +2 푃 = − + −2 −3 −2 −3 +3 −3 − +2 −2 + +2 푃 = −2 −3 −9− +4+ +2 −3 1 푃 = = = −2 −3 −1 −3 −2 1 b) P = -1 ⇔ = −1 ⇔ − 2 = −1 ⇔ = 1 ⇔ = 1(푡 đ ) −2 Vậy x = 1 thì P =-1. c) P nguyên khi 1 chia hết − 2 ⇒ − 2 ∈ Ư(1) = *±1+ ⇒ = *1; 9+ Kết hợp với điều kiện suy ra x = 1. Vậy x = 1 thì P nguyên. 2 d) Với x = 6 − 4 2 = 2 − 2 ⇒ = 2 − 2 = 2 − 2 thây vào P tâ được: 1 2 푃 = = − 2− 2−2 2 x x 3 x 2 x 2 Bài 76. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P= 1 : x 1 x 2 3 x x 5 x 6 a) Rút gọn P b)Tìm giá trị củâ â để P<0 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4; x≠ 9 +1− +3 +2 +2 푃 = : − + +1 −2 −3 −2 −3 1 +3 −3 − +2 −2 + +2 푃 = ∶ +1 −2 −3 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 −3 −2 푃 = ∶ = +1 −2 −3 +1 −2 b) P 0 ⇒ − 2 < 0 ⇔ < 4 +1 Kết hợp với điều kiện suy râ 0 ≤ x < 4 thì P < 0 x 1 1 8 x 3 x 2 Bài 77. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P= : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 6 a) Rút gọn P b)Tìm các giá trị củâ x để P= 5 HD: 1 â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9 −1 3 +1 − 3 −1 +8 3 +1−3 +2 푃 = ∶ 3 −1 3 +1 3 +1 3 −2 −1−3 +1+8 3 푃 = ∶ 3 −1 3 +1 3 +1 3 +3 3 +1 + 푃 = . = 3 −1 3 +1 3 3 −1 6 + 6 b) 푃 = ⇔ = ⇔ 5 + 5 = 18 − 6 ⇔ 5 − 13 + 6 = 0 5 3 −1 5 = 2 = 4 ⇔ − 2 5 − 3 = 0 ⇔ 3 ⇔ 9 (푡 đ ) = = 5 25 = 4 6 Vậy 9 thì 푃 = = 5 25 a 1 2 a Bài 78. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : P= 1 : a 1 a 1 a a a a 1 a)Rút gọn P b)Tìm giá trị củâ â để P<1 c)Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3 HD: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 â) Điều kiện : â ≥ 0; â ≠ 1 +1+ 1 2 푃 = ∶ − +1 −1 −1 ( +1) + +1 +1−2 푃 = : +1 −1 ( +1) + +1 −1 ( +1) + +1 푃 = . 2 = +1 −1 −1 + +1 +3 b) 푃 0 ⇒ − 1 2 ⇔ > 4 . Vậy a > 4 thì P < 1. −2 −2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 Bài 80. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: x 1 2x x x 1 2x x P= 1 : 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 a) Rút gọn P b)Tính giá trị của P khi x . 3 2 2 2 HD: 1 â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 2 +1 2 −1 + 2 + 2 +1 − 2 +1 2 −1 2 −1+ +1 2 −1 − 2 + 2 +1 푃 = : 2 −1 2 −1 2 2+2 2 −2 −2 2 2 +1 푃 = : = = − 2 2 −1 2 −1 −2 +1 1 1 2 b) Với x = 3 + 2 2 = . 2 + 1 thay vào P tâ được: 2 2 1 2 푃 = − 2. . 2 + 1 = − 2 + 1 2 2 x 1 x Bài 81. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P= : 1 x x x x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P b)Tìm x để P 0 HD : â) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 1. 2 1 +1+ 푃 = − : −1 ( +1) −1 +1 2 −( +1) +1 푃 = . −1 ( +1) + +1 2 − −1 1− 푃 = = −1 + +1 + +1 b) Vì x ≥ 0 nên + + 1 > 0 . Để 푃 ≤ 0 thì 1 − ≤ 0 ⇔ ≥ 1 . Kết hợp với điều kiện suy ra x > 1 thì P < 0 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 +1 1+ 3 Bài 82. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 푃 = − . − 3−1 + +1 1+ a) Rút gọn P b)Xét dấu của biểu thức P. 1 a HD: â) Điều kiện: a > 0 2 +1 +1 − +1 푃 = − . − −1 + +1 + +1 +1 2 +1− −1 푃 = . − 2 + 1 −1 + +1 + +1 2 푃 = . − 1 = − 1 −1 + +1 b) Ta có: 푃. 1 − = − 1 . 1 − Để 1 − có nghĩâ thì 0 0 ⇒ 푃 > 3 1 a a 1 a a Bài 84. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : P= a . a 1 a 1 a CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 a) Rút gọn P b)Tìm â để P 3 − 2 ⇔ > 3 − 1 . 2 x x 3x 3 2 x 2 Bài 85. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P= : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 a) Rút gọn P b)Tìm x để P<1/2 c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9. 2 3 +3 2 −2− −3 푃 = + − : +3 −3 −3 +3 −3 2 −3 + +3 −3 −3 +1 푃 = : −3 +3 −3 −3 −3 −3 −3 +1 −3 −3 푃 = . = . = −3 +3 +1 −3 +3 +1 +3 1 −3 1 −6− −3 b) 푃 < ⇔ < ⇔ < 0 2 +3 2 2 +3 −6− −3 1 Vì x ≥ 0 nên < 0 ( luôn đúng). Vậy P < khi x ≥ 0; x ≠ 9. 2 +3 2 −3 −3 c) Ta có: 푃 = . Vì ≥ 0 với mọi x ≥ 0; x ≠ 9 nên ≥ −1 +3 +3 Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Pmin = -1 khi x = 0. x 3 x 9 x x 3 x 2 Bài 86. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : P= 1 : x 9 x x 6 2 x x 3 a) Rút gọn P b)Tìm giá trị củâ x để P<1 HD: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9. −3 −( −9) 9− −3 −2 푃 = : + − −3 +3 −2 +3 −2 +3 2 −3 −3 9− + −3 +3 − −2 푃 = : −3 +3 −2 +3 2 −3 − −2 3 푃 = : = +3 −2 +3 −2 3 3 5− b) Ta có: P 0 x m x m 4x 4m2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 a) Rút gọn P b)Tính x theo m để P=0. c)Xác định các giá trị củâ m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x>1 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 2 2 2 푃 = + − + − 4 − + 8 − +4 + − 2 푃 = 4 − + 12 −4 − 2 푃 = 4 − + 2 − 6 + 푃 = 4 − + 2 − 6 + b) P = 0 ⇔ = 0 . 4 − + 2 2 Vì m > 0 nên 2 − = 0 ⇔ = ⇔ = (tmđk) . Vậy = thì P = 0. 2 4 4 2 2−4 ( −2)( +2) c) x > 1 ⇔ > 1 ⇔ > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 2 ( vì m > 0) 4 4 4 a2 a 2a a Bài 89. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : P= 1 a a 1 a a) Rút gọn P b)Biết a>1 Hãy so sánh P với |P| c)Tìm â để P=2 d)Tìm giá trị nhỏ nhất của P HD: â) Điều kiện : a > 0 3+1 2 +1 푃 = − + 1 − +1 +1 − +1 푃 = − 2 + 1 + 1 − +1 푃 = − . b) Vì a > 1 nên a > ⇒ 푃 > 0 nên P = |P| c) P = 2 ⇔ − = 2 ⇔ − − 2 = 0 ⇔ + 1 − 2 = 0 ⇔ − 2 = 0 ( vì a > 0) ⇔ = 4(푡 đ ). Vậy a = 4 thì P =2. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 2 1 1 1 1 d) Ta có: 푃 = − = − − ≥ − . Dấu bằng xảy ra khi = ⇔ = (tmđk) 2 4 4 2 4 1 1 Vậy Pmin = − khi a = 4 4 2 a b 4 ab a b b a Bài 90. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P= . a b ab â)Tìm điều kiện để P có nghĩâ. b)Rút gọn P c)Tính giá trị của P khi a= 2 3 và b= 3 HD: a ≥ 0; b ≥ 0 a > 0 a) Biểu thức có nghĩâ khi ⇔ a + b ≠ 0 b > 0 ab ≠ 0 −2 + +4 − b) 푃 = . + 2 a+ b P = . − = + − = − + c) Với a = 2 3; b = 3 ⇒ P = 2 3 − 3 = 3 x 2 x 1 x 1 Bài 91. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= : x x 1 x x 1 1 x 2 a)Rút gọn P b)Chứng minh rằng P>0 ∀ ≠ 1 â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. +2 1 −1 푃 = + − : −1 + +1 + +1 −1 2 +2+ −1 − + +1 −1 푃 = ∶ −1 + +1 2 −2 +1 2 2 푃 = . = −1 + +1 −1 + +1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 b) Tâ có: x ≥ 0 nên > 0 ∀ ≠ 1 + +1 2 x x 1 x 2 Bài 92. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : P= : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn P b)Tính P khi x= 5 2 3 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. 2 + 1 + +1− +2 푃 = − : −1 + +1 −1 + +1 2 + − + +1 −1 푃 = : −1 + +1 + +1 −1 + +1 1 푃 = . = −1 + +1 −1 −1 1 1 1 1 3−1 b) Với x = 5 + 2 3 ⇒ 푃 = = = 2 ⇒ 푃 = = 5+2 3−1 4+2 3 3+1 3+1 2 3 1 2 1 Bài 93. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P = 1: + 2 − : 2+ 4− 4−2 4−2 a) Rút gọn P b)Tìm giá trị của P với x = 9 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4. 1 1,5 1 1 푃 = 1: + − : +2 2− 2+ 2− 4−2 2− +1,5 − 2+ 1 푃 = 1: ∶ 2− 2+ 4−2 1,5 −2 3 −4 +2 푃 = 1: .2 2 − = 1: = 2− 2+ +2 3 −4 3+2 1 b)Với x = 9 suy ra 푃 = = 3.9−4.3 3 2 x y x3 y3 x y xy Bài 94. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : P= : x y y x x y a) Rút gọn P b)Chứng minh P 0 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; y≥ 0; x ≠ y. − + − ( + + ) −2 + + 푃 = − : − − + + + + − + 푃 = + − : + + 2 + −( + + ) − + 푃 = : + + 푃 = − + b) Tâ có: x ≥ 0; y≥ 0; x ≠ y nên ≥ 0 2 3 − + = − + > 0 nên 푃 ≥ 0 4 Bài 95. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 3 a 3a 1 a 1 . a b P= : a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b a) Rút gọn P b)Tìm những giá trị nguyên củâ â để P có giá trị nguyên HD: â) Điều kiện: â ≥ 0; b≥0; â ≠ b. 3 3 1 ( −1) − 푃 = − + : + + − + + − 2 + + 3 − −3 + + + ( −1) − 푃 = : − + + 2 + + −2 + ( −1) − 푃 = : − + + 2 + + 2 − 2 + + 2 푃 = . = − + + ( −1) − −1 b) P nguyên khi 2 chia hết a -1. Suy ra a={-1;0;2;3} . Kết hợp với điều kiện suy ra a = {0;2;3} 3 x 3 x 4 x 5 4 x 2 : Bài 96. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức C = 3 x 3 xx 9 3 x 3 x x a) Rút gọn C b) Tìm giá trị củâ C để C > − c) Tìm giá trị củâ C để 2 = 40 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9. 3+ 3− 4 5 4 +2 = − + : − 3− 3+ 3− 3+ 3− 3− 2 2 +3 − 3− +4 5 −4 −2 = : 3− 3+ 3− 4 +12 −2 = : 3− 3+ 3− 4 +3 3− 4 = . = 3− 3+ −2 −2 4 b) Ta có: |C| > -C ⇔ > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 4 . −2 Kết hợp với điều kiện suy râ x > 4 và x ≠ 9 thì C > -C. = 0 c) Ta có: 2 = 40 ⇔ ( − 40) = 0 ⇔ = 40 4 Với C = 0 ⇔ = 0 ⇔ = 0(푡 đ ) −2 4 Với C = 40 ⇔ = 40 ⇔ 4 − 40 + 80 = 0 −2 2 = 5 + 5 = 5 + 5 = 30 + 10 5 ⇔ ⇔ 2 = 5 − 5 = 5 − 5 = 30 − 10 5 a 25 a 25 a a 5 a 2 Bài 97. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức M = 1: a 25 a 3 a 10 2 a a 5 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của â để M < 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M. HD: â) Điều kiện: â ≥ 0; â ≠ 4; â≠ 25 −5 − +25 25− −5 +2 = : + − −25 −2 +5 −2 +5 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −5 −5 25− + −5 +5 − +2 −2 = : −5 +5 −2 +5 −5 −( +2) 5 = : = +5 +5 +2 5 3− b) M 0 ⇒ 3 − 9 +2 +2 Vậy â > 9; â ≠ 25 thì M 0 c) Tính giá trị P khi x = 11 + 6 2 HD: â) Điều kiện: x > 0; x≠ 4 4 −3 +2 −2 − −4 푃 = − : −2 −2 −2 −4 +3 −4− +4 −1 −3 −3 푃 = : = = −2 −2 4 −1 4 −3 b) 푃 > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 9 . Vậy x > 9 thì P > 0. 4 2 c) Ta có: x = 11 + 6 2 = 3 + 2 ⇒ = 3 + 2 . Thây vào P tâ được: 3+ 2−3 2 푃 = = 4 4 22 aa 1 3 2 1 Bài 99. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = 2 2 31aa a a 11 a CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 −1 a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q = −1 HD: â) Điều kiện: â ≥ 0; â ≠ 1. 2 −1 3−2 −2 +1 2 푃 = − + 3 + −2 +1 −1 + +1 −1 2 −1 1−2 +4 2 푃 = − + + +1 −1 + +1 −1 3 −1 − 1−2 +4 +2 + +1 푃 = −1 + +1 −3 +3 −1−1+2 −4 +2 +2 +2 푃 = −1 + +1 + + + +1 푃 = = = −1 + +1 −1 + +1 −1 2 −1 − +1 b) Xét P – Q = − = = −1 < 0 suy ra P < Q. −1 −1 −1 Bài 100. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : m m 3 1 m 1 m 1 8 m : A = mm 11m 1 m 1 m 1 a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1 HD: â) Điều kiện: m ≥ 0; m ≠ 1. − −3 1 +1 −1 8 = − : − − −1 +1 −1 −1 +1 −1 +1 2 2 − −3− +1 +1 − −1 −8 = : −1 +1 −1 +1 − −4 −4 +4 = : = −1 +1 −1 +1 4 2 +4 −4 +4 −2 b) Xét − 1 = − 1 = = ≥ 0 với mọi m ≥ 0; m ≠ 1. 4 4 4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 Suy râ A ≥ 1. 2x x 1 2 x x x x x x 1 Bài 101. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức A = 1 x 1 x x 2 x 1 3−2 6 2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = c) Chứng tỏ A ≤ là bất đẳng thức sai 5 3 HD: 1 â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4 +1 2 −1 2 + − −1 = 1 + − . 1− 1+ 1− + +1 2 −1 2 −1 + +1 −2 − + −1 = 1 + . 1− + +1 2 −1 2 +2 +2 − − −1−2 − + = 1 − . + +1 2 −1 2 −1 = 1 − . + +1 2 −1 +1 = 1 − = + +1 + +1 +1 3−2 6 3−2 6 b) Vì x ≥ 0 nên = > 0 mà 0 ⇒ > ⇒ ≤ là bất đẳng thức sai. 4 3 + +1 3 3 Bài 102. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức x3 x x 1 x 2 : P = 2x 222x x x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 c) Tính giá trị của P, biết xx 23 HD: â) Điều kiện : x ≥ 0; x ≠ 1 3− +1 +2 푃 = + : + 2 −1 2 −1 +1 + +1 −1 + +1 +1 +3− +1 −1 + +2 푃 = : 2 −1 +1 −1 + +1 +3 + +1 +3 푃 = : = 2 −1 +1 −1 + +1 2 +1 2 +3 +3−2 −2 −2 +1 −1 b) Xét P – 1 = − 1 = = = 2 +2 2 +2 2 +2 2 +2 2 −1 Vì x ≥ 0; x ≠ 1 nên > 0 ⇒ 푃 > 1 2 +2 + 2 = 3 c) Ta có: + 2 = 3 ⇔ ⇔ + 2 − 3 = 0 + 2 = −3(푙표ạ𝑖 푣ì ≥ 0) − 1 = 0 ⇔ − 1 + 3 = 0 ⇔ ⇔ = 1 (không thỏâ mãn đk) + 3 = 0(푙표ạ𝑖) 21x x x x x x x x Bài 103. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = . x x 1x 1 2 x x 1 2 x 1 53x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhất của A = P. xx c) Tìm các giá trị củâ m để mọi x > 2 ta có: P. x x 1 3 m x 1 x HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1. 2 + − +1 −1 +1 푃 = − . + −1 + +1 −1 +1 +1 2 −1 2 −1 2 + − −1 푃 = − . + −1 + +1 −1 2 −1 2 −1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 + − − + +1 −1 푃 = . + −1 + +1 2 −1 2 −1 −2 푃 = + + +1 2 −1 2 −1 −2 + + +1 푃 = + +1 2 −1 2 + − +1 2 −1 + 푃 = = = + +1 2 −1 + +1 2 −1 + +1 b) Ta có: 5 −3 + 5 −3 5 −3 = 푃. = . = + + +1 + + +1 ⇒ + + 1 = 5 − 3 ⇔ . + ( − 5) + + 3 = 0 Đặt = 푡 ≥ 0 ⇒ . 푡2 − ( − 5)푡 + + 3 = 0 . Phương trình có nghiệm khi: 25 ∆≥ 0 ⇔ ( − 5)2 − 4 ( + 3) ≥ 0 ⇔ −3 2 − 22 + 25 ≥ 0 ⇔ − ≤ ≤ 1 3 2 Amax = 1 khi 5 − 3 = + + 1 ⇔ − 4 + 4 = 0 ⇔ − 2 = 0 ⇔ = 4 Vậy Amax = 1 khi x = 4. c) Ta có: 푃 + + 1 − 3 > ( − 1) + + ⇔ . + + 1 − 3 > ( − 1) + + +1 ⇔ + − 3 − + − > 0 3− 3− ⇔ (1 − ) > 3 − . Vì x > 2 nên ⇒ ≥ 2 ⇔ − 2 ≥ 0 1− 1− +1 ⇔ ≥ 0 ⇔ −1 ≤ < 1 1− 3 + −3 +3 −2 Bài 104. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 푃 = + − + −2 +2 −1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 15 a) Rút gọn P b) Tìm x để 푃 0 ⇒ 2 − 3 ⇔ > 3 9 4 Vậy x > ; x ≠1. 9 −4 3 +2 Bài 105. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 푃 = − : + −2 2− 2− a) Rút gọn P b) Tìm x để 푃 = 3 − 3 c) Tìm các giá trị củâ â để có x thoả mãn : 푃 + 1 > + HD: â) Điều kiện: x > 0; x ≠ 4. −4 3 +2 −2 − 푃 = + : −2 −2 −2 −4+3 −4 푃 = : −2 −2 4 −4 푃 = = 1 − −4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 b) P = 3 − 3 ⇔ 1 − = 3 − 3 ⇔ 3 − 2 − 1 = 0 ⇔ − 1 3 + 1 = 0 Vì x > 0 nên 3 + 1 > 0 ⇒ − 1 = 0 ⇔ = 1(푡 đ ) Vậy x = 1 thì P = 3 − 3 c) Ta có: 푃 + 1 > + ⇔ 1 − + 1 > + ⇔ 1 − > + ⇔ + + − 1 < 0 ⇔ < 1 − − ⇔ < max 1 − − . Tâ có: x ≥ 0 nên 1 − − ≤ 1 ⇒ < 1 . 2 −9 +3 2 +1 Bài 106. [Trích ĐTTS] Cho 푃 = − − −5 +6 −2 3− a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị củâ x để P<1. c. Tìm x Z để P Z . HD : â) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠9. 2 −9 +3 2 +1 푃 = − + −2 −3 −2 −3 2 −9− +3 −3 + 2 +1 −2 푃 = −2 −3 − −2 +1 −2 +1 푃 = = = −2 −3 −2 −3 −3 b) 0 ≤ x< 9 ; x ≠ 4. 4 c) 푃 = 1 + . Để P nguyên thì 4 chia hết − 3. Từ đó tìm x = *1 ;16 ;25 ;49} ( chú ý −3 điều kiện) Bài 107. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức a 3 a 2 a a 1 1 P: a 2 a 1 a1 a 1 a 1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 a 1 a) Rút gọn P. b) Tìm â để 1 P8 HD: â) Điều kiện: â ≥ 0; â ≠ 1 +1 +2 +1 −1+ +1 푃 = − : +2 −1 −1 +1 −1 +1 +1 2 푃 = − : −1 −1 −1 +1 1 −1 +1 +1 푃 = . = −1 2 2 1 +1 2 +1 b) Ta có: − ≥ 1 ⇔ − − 1 ≥ 0 푃 8 +1 8 2 16 − +1 −8 +1 ⇔ ≥ 0 8 +1 2 6 − −9 − −3 ⇔ ≥ 0 ⇔ ≥ 0 8 +1 8 +1 2 2 2 − −3 − −3 − −3 Vì â ≥ 0 nên ≤ 0 . Để ≥ 0 ⇒ = 0 ⇒ = 3 ⇔ = 9 (tmđk) 8 +1 8 +1 8 +1 1 +1 Vậy a = 9 thì − ≥ 1 푃 8 Bài 108. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức x 1 2 x P 1 : 1 x1 x 1 x x x x 1 â) Tìm điều kiện để P có nghĩâ và rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên củâ x để biểu thức 푃 − nhận giá trị nguyên. HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠1. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 +1+ 1 2 푃 = : − − 1 +1 −1 −1 ( +1) + +1 +1−2 푃 = : − 1 +1 −1 ( +1) + +1 −1 ( +1) 푃 = . − 1 +1 −2 +1 + +1 +2 푃 = − 1 = −1 −1 b) Ta có: +2 +2 3 푃 − = − = = 1 + . Để P - nguyên thì 3 chia hết − 1. −1 −1 −1 − 1 -3 -1 1 3 -2 0 2 4 x Loại 0 4 16 Vậy x = {0;4;16} Bài 109. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: a a a a P 1 1 ; a 0, a 1 a 1 1 a a) Rút gọn P. b) Tìm a biết P > − 2 c) Tìm a biết P = . HD: +1 −1 a) 푃 = 1 + . 1 − = 1 + 1 − = 1 − +1 −1 b) Ta có: 푃 > − 2 ⇔ 1 − > − 2 ⇔ - 2 ≠ 1 c) 푃 = ⇔ 1 − = ⇔ + − 1 = 0. Đặt = 푡 ≥ 0 ⇒ 푡2 + 푡 − 1 = 0 . Ta có: ∆= 5 > 0 ⇒ phương trình có hâi nghiệm phân biệt: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −1+ 5 −1− 5 푡 = (푡 ); 푡 = (퐿표ạ𝑖) 2 2 −1+ 5 −1+ 5 3− 5 Với 푡 = ⇒ = ⇒ = (tmđk) 2 2 2 3− 5 Vậy x= thì 푃 = 2 +1 −1 8 − −3 1 Bài 110. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức = − − : − −1 +1 −1 −1 −1 a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 2 2. c) Chứng minh rằng ≤ 1 với mọi giá trị của x thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1. HD: a) Điều kiện: x ≥ 0; x≠ 1. +1 −1 8 − −3 1 = − − : − −1 +1 −1 +1 −1 +1 −1 2 2 +1 − −1 −8 − −3− +1 = : −1 +1 −1 +1 −4 − −4 4 = : = −1 +1 −1 +1 +4 2 b) Với x = 3 + 2 2 = 2 + 1 ⇒ = 2 + 1. Thây vào B tâ được: 4 2+1 12+20 2 = = 3+2 2+4 41 2 4 4 − −4 − −2 c) Xét B – 1 = − 1 = = ≤ 0 với mọi x ≥ 0; x ≠ 1 +4 +4 +4 Vậy B ≤ 1 với mọi x ≥ 0; x ≠ 1. a 3 a 1 4 a 4 Bài 111. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P = (a 0; a 4) a 2 a 2 4a a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a = 9. HD: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 +3 −1 4 −4 a) 푃 = − − −2 +2 −2 +2 +3 +2 − −1 −2 −4 +4 푃 = −2 +2 +5 +6− −3 +2 −4 +4 푃 = −2 +2 4 +8 4 푃 = = −2 +2 −2 4 b) Với a = 9 suy ra P = = 4 . 9−2 x 1 x 1 2 Bài 112. [Trích ĐTTS] Rút gọn biểu thức: P = (x 0; x 1). 2 x 2 2 x 2 x 1 HD: +1 −1 2 a) 푃 = − − 2 −1 2 +1 −1 2 2 +1 − −1 −4 +1 푃 = −1 +1 −4 푃 = −1 Bài 113. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: x 2 x 1 x 1 : A = , với x > 0 và x 1. x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. HD: +2 1 −1 a) = + − : −1 + +1 + +1 −1 2 +2+ −1 − + +1 −1 = : −1 + +1 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −2 +1 2 = . −1 + +1 −1 2 2 −1 2 = 2 = −1 + +1 + +1 2 b) Vì x > 0 nên A= > 0 (1) + +1 2 và + + 1 > 1 ⇒ 0; x ≠ 1 2 −1 + +1 +1 − +1 2 −1 푃 = − : −1 +1 −1 +1 + +1 − +1 2 −1 푃 = − : +1 2 2( −1) +1 푃 = : = +1 −1 +1 2 b) Ta có: 푃 = = 1 + . Để P nguyên thì 2 chia hết − 1 . −1 −1 Suy ra − 1 ∈ Ư(2) = *±1; ±2+ − 1 -2 -1 1 2 -1 0 2 3 x Loại 0(Loại) 4 9 Vậy x ={4;9} CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x1 x1 x2 4x1 x 2003 Bài 115. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: A = 2 . . x 1 x 1 x 1 x a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩâ. b) Rút gọn A. c) Tìm x Z để A Z HD: − 1 ≠ 0 ≠ ±1 a) Biểu thức có nghĩâ khi: + 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 0 ≠ 0 +1 −1 2−4 −1 +2003 b) = − + . −1 +1 ( −1)( +1) ( +1)2−( −1)2+ 2−4 −1 +2003 = . ( −1)( +1) 2−1 +2003 +2003 = . = ( −1)( +1) +2003 2003 c) = = 1 + . Để A nguyên thì 2003 chia hết cho x, suy ra x = {-2003; -1; 1; 2003} Bài 116. [Trích ĐTTS] Rút gọn biểu thức : 1 1 3 A = 1 với a > 0 và a 9. a 3 a 3 a HD: +3+ −3 −3 2 −3 2 = . = . = −3 +3 −3 +3 +3 Bài 117. [Trích ĐTTS] Rút gọn biểu thức: x x 1 x 1 xx A = với x 0, x 1. x1 x1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: +1 − +1 −1 +1 = − . − 1 −1 +1 +1 − +1 = − − 1 . − 1 −1 2 − +1− −1 = . − 1 −1 = . − 1 = −1 Bài 118. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : x 2 x 2 x 1 . Q = ,với x > 0 ; x 1. x 2 x 1x1 x 2 a) Chứng minh rằng Q = b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. x1 HD: a) Ta có: +2 −2 +1 푄 = 2 − . +1 −1 +1 +2 −1 − −2 +1 +1 푄 = 2 . +1 −1 + −2 − − −2 +1 푄 = 2 . +1 −1 2 +1 2 2 푄 = 2 . = = (đpcm) +1 −1 +1 −1 −1 b) Q nguyên khi 2 chia hết (x -1) suy ra (x-1) thuộc Ư(2). Tâ có: x-1 -1 1 -2 2 x 0(L) 2 -1 3 Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là: x= 3 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 x x 1 x 2 Bài 119. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : A ( ) : x x 1 x 1 x x 1 a. Rút gọn biểu thức . b.Tính giá trị của A khi x= 9 + 4 2 HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1 2 + 1 +2 = − : −1 + +1 −1 + +1 2 + − + +1 + +1 = . −1 + +1 +2 −1 + +1 1 = . = −1 + +1 +2 +2 2 b) Với = 9 + 4 2 = 2 2 + 1 ⇒ = 2 2 + 1 thây vào A tâ được: 1 1 1 1 = = = 2 ⇒ = = 2 − 1 2 2+1+2 3+2 2 2+1 2+1 1 1 1 1 1 Bài 120. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : A= : 1- x 1 x 1 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 c) Với giá trị nào củâ x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠1 1+ +1− 1+ − 1− 1 = : + 1− 1+ 1− 1+ 1− 2 2 1 = : + 1− 1+ 1− 1+ 1− 1 1 1− + 1 = + = = 1− 1− − CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 b) Ta có: x = 7 + 4 3 = 2 + 3 ⇒ = 2 + 3 . Thây vào A tâ được: 1 1 5−3 3 = = = 2+ 3− 7−4 3 −5−3 3 2 c) Ta có: 1 1 = = 1 1 2 − − − 4 2 1 2 1 1 2 1 1 Vì − ≥ 0 với mọi x ≥ 0; x ≠1 nên − − ≤ ⇒ 1 1 2 ≥ 4 2 4 2 4 − − 4 2 1 2 1 Dấu bằng xảy ra khi − = 0 ⇒ = 2 4 1 Vậy Amin = 4 khi x = . 4 a a 1 a a 1 a 2 Bài 121. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : A = : a a a a a 2 a) Với những giá trị nào củâ â thì A xác định b) Rút gọn biểu thức A . c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên . HD: − ≠ 0 > 0 a) Biểu thức xác định khi: > 0 ⇔ ≠ 1 − 2 ≠ 0 ≠ 2 −1 + +1 +1 − +1 +2 b) = − : −1 +1 −2 + +1 − +1 +2 = − : −2 +2 2 −4 = 2: = −2 +2 2 −4 8 c) Ta có: = = 2 − . Để A nguyên thì 8 chia hết (â+2). suy râ â+2 là Ư(8). +2 +2 a+2 -1 1 -2 2 -4 4 -8 8 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 a -3(L) 1(L) -4(L) 0(L) -6(L) 2(L) -10(L) 6(tmđk) Vậy a = 6 thì A nguyên. a a a a Bài 122. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: A 1  1 ; a 0, a 1. a 1 a 1 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm â ≥0 và â≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2 HD: +1 −1 a) = + 1 . − 1 = + 1 − 1 = − 1 +1 −1 b) Ta có: = − 2 ⇔ 2 + − 1 = 0. Ta có: −1+ 5 ( ) = 푡 đ −1+ 5 ∆= 5 > 0 phương trình có hâi nghiệm: 2 . Vậy = −1− 5 2 = (퐿표ạ𝑖) 2 1 a a 1 Bài 123. [Trích ĐTTS] Rút gọn biểu thức: M a  ;a 0, a 1. 1 a 1 a HD: 1− + +1 1 = + . 1− 1+ 1 2 1 = + + 1 + . = + 1 . = + 1 1+ 1+ y y 2 xy Bài 124. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: S : ; x 0, y 0, x y . x xy x xy x y a. Rút gọn biểu thức trên. b. Tìm giá trị củâ x và y để S=1. HD: 2 a) 푆 = + : + − − + − + + 2 푆 = : − + − + CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 2 푆 = : − + − + 1 푆 = 1 b) Ta có: 푆 = 1 ⇔ = 1 ⇔ = 1. = 1 Vậy > 0 thì S = 1. ≠ 1 Bài 125. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 1 1 x 2 x 1 A : ; x 0 , x 1, x 4 . x x 1 x 1 x 2 1. Rút gọn A. 2. Tìm x để A = 0. HD: 1. Ta có: −1− +2 −2 − +1 −1 = : −1 −1 −2 −1 −3 −2 = : = −1 −1 −2 3 −2 2. Ta có: A = 0 ⇔ = 0 ⇔ − 2 = 0 ⇔ = 4 (Loại) 3 Vậy không tồn lại x để A = 0. Bài 126. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: x 1 1 x x 1 B : x( x 1) x 1 x 1 x â. Tìm điều kiện đối với x để B xác định. Rút gọn B. b)Tìm giá trị của B khi x 3 2 2 . HD: > 0 a) Biểu thức xác định khi: ≠ 1 +1 −1 + − +1 −1 Ta có: = : −1 −1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 + −1 1 = : = + − 1 −1 −1 2 b) Ta có: x= 3 − 2 2 = 2 − 1 ⇒ = 2 − 1 = 2 − 1. Thây vào B tâ được: = 3 − 2 2 + 2 − 1 − 1 = 1 − 2 2 +1 3−11 Bài 127. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức = ; = + +3 −3 9− a) Rút gọn A=M+N b) Tính A tại = 3 − 4 − 2 3 c) Tìm ∈ để A là số tự nhiên. HD: â)Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9. 2 +1 3−11 = + + +3 −3 9− 2 +1 3−11 = + − +3 −3 −3 +3 2 −3 + +1 +3 −3+11 = −3 +3 3 +9 3 = = −3 +3 −3 2 b) Ta có: = 3 − 4 − 2 3 = 3 − 3 − 1 = 3 − 3 − 1 =1 . 3.1 3 Thây vào A tâ được: = = − 1−3 2 3 9 c) Ta có: = = 3 + −3 −3 9 Để A là số tự nhiên thì 9 chia hết ( − 3) và ≥ −3 −3 ⇒ − 3 = *−3; −1; 1; 3; 9+ − 3 -9 -3 1 3 9 -6 0 4 6 12 x Loại 0 16 36 144 Vậy x = {0;16;36;144} 1 2 Bài 128. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 푃 = − : −4 2− −2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 a) Rút gọn P. b) So sánh 푃 và 푃2 d) Tìm x nguyên để P nguyên. HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4. 1 2 푃 = + : −2 +2 −2 −2 + +2 −2 +1 푃 = . = −2 +2 2 +2 b) +1 1 Vì 푃 = = 1 − 0 với mọi x ≥ 0; x ≠ 4 nên 푃 > 푃2 +2 +2 +2 1 −1 Bài 129. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : = + + ; = −1 + +1 1− 2 a) Rút gọn = : b) Chứng minh H > 0 mọi x thỏâ mãn ĐKXĐ. c) Tìm x để H nguyên. HD: â) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1 +2 1 Ta có: = + − −1 + +1 + +1 −1 +2+ −1 − + +1 = −1 + +1 2 −2 +1 −1 −1 = = = −1 + +1 −1 + +1 + +1 −1 −1 2 Suy ra H =M:N = : = + +1 2 + +1 2 b) Vì x ≥ 0 nên + + 1 > 0 ⇒ = > 0 với mọi x ≥ 0; x ≠ 1 (đpcm) + +1 2 c) + + 1 ≥ 1 ⇒ ≤ 2 . + +1 = 1 + + 1 = 1 + = 0 = 0 Vì H >0 mà H nguyên nên ⇔ ⇔ ⇔ −1± 5 = 2 = + + 1 = 2 + − 1 = 0 2 = 0 Kết hợp với điều kiện suy ra −1+ 5 thì H nguyên. = 2 2 +3 6− Bài 130. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 푃 = − +2 −3 −6 +2 +3 +6 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 +10 a) Rút gọn P. b) Cho 푃 = ; ≠ 10 . Tính −10 HD: â) Điều kiện: â ≥ 0; b ≥ 0; â ≠ 9. 2 +3 6− 푃 = − −3 +2 +3 9 +2) 2 +3 +3 − 6− −3 푃 = −3 +3 +2 2 + +9 +18 ( +9) +2 +9 푃 = = = −3 +3 +2 ( −9) +2 −9 +10 +9 +10 b) Ta có: 푃 = ⇔ = ⇔ ( + 9)( − 10) = ( + 10)( − 9) −10 −9 −10 18 9 ⇔ − 10 + 9 − 90 = − 9 + 10 − 90 ⇔ 18 = 20 ⇔ = = 20 10 −5 Bài 131. [Trích ĐTTS] Cho 푃 = −2− 3 â) Tìm TXĐ của P b) Rút gọn P c) Tìm GTNN của P. HD: − 2 ≥ 0 ≥ 2 ≥ 2 a) Biểu thức xác định khi: ⇔ ⇔ − 2 − 3 ≠ 0 − 2 ≠ 3 ≠ 5 Vậy TXĐ: = (2; +∞)\ *5+ ( −5) −2+ 3 ( −5) −2+ 3 b) 푃 = = = − 2 + 3 −2− 3 −2+ 3 −2−3 ≥ 2 c) Ta có: − 2 ≥ 0 với mọi nên − 2 + 3 ≥ 3 ≠ 5 Dấu bằng xảy ra khi − 2 = 0 ⇔ = 2. Vậy Pmin = 3 khi x = 2. Bài 132. [Trích ĐTTS] Cho : = 10 − 32 − 8 − 27 8 − 32 − 27 1 1 2 − 1 = + + − 2 + 2 4 − a) Rút gọn A và B b) Tìm x để . = −1 HD: a) Ta có: = 10 − 32 − 8 − 27 8 − 32 − 27 = 10 − 4 2 − 2 2 − 3 3 2 2 − 4 2 − 3 3 = 10 − 2 2 − 3 3 −2 2 − 3 3 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 = 10 + 2 2 − 3 3 2 2 + 3 3 = 10 − 19 = −9 1 1 2 −1 = + + −2 +2 4− 1 1 2 −1 = + − −2 +2 −2 +2 +2+ −2−2 +1 = −2 ( +2) 1 = −4 1 b) Ta có: A.B = -1 ⇔ −9 . = −1 ⇔ − 4 = 9 ⇔ = 13 (tmđk) −4 Vậy x = 13 thì A.B = -1. + +1 1 2− Bài 133. [Trích ĐTTS] Cho A = ; = − + ; > 0; ≠ 1 −2 +1 1− − a) Tính giá trị của A khi x = 9. b) Rút gọn B. +1 c) Tìm x để 1. Tìm GTNN của 4 HD: 9+ 9 12 a) Với x = 9 suy ra A = = = 3 9−2 9+1 4 b) Ta có: +1 1 2− = + + −1 −1 +1 −1 + +2− = ( −1 +1 = −1 + +1 +1 +1 c) Ta có: = : = 2 : = −2 +1 −1 −1 −1 −1 +1 +1 +1 0 4 −1 4 4 −1 +1 −1 −4 −3 −1 ⇔ > 0 ⇔ > 0 4 −1 4 −1 −3 −1 Vì > 0; ≠ 1 nên −3 − 1 0 ⇔ − 1 < 0 ⇔ < 1 4 −1 Vậy 0 < x < 1 . 1 1 d) Ta có: = = + 1 + = − 1 + + 2 −1 −1 −1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 1 Áp dụng BĐT Câuchy tâ có: − 1 + ≥ 2 − 1 . = 2 −1 −1 1 2 ⇒ ≥ 4 . Dấu bằng xảy ra khi − 1 = ⇔ − 1 = 1 ⇔ − 1 = 1 ⇔ = 4 −1 Vậy GTNN = 4 khi x= 4. x 2 x 2x x Bài 134. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức N = 1 ( với x>0) x x 1 x Rút gọn N HD: 3 + 1 2 + 1 = + 1 − − + 1 +1 − +1 = + 1 − 2 + 1 − +1 = + 1 + 1 − 2 + 1 = − Bài 135. [Trích ĐTTS] Rút gọn các biểu thức sau: 1 x 1 x y y x x y S = : T = : x 2 x x x x x xy x y HD: Ta có: 1 +1 푆 = : 3−1 + +1 1 + +1 1 푆 = . = −1 + +1 +1 −1 + − 2 = : = + − + x 2 2 2 4 x 3 x 1 x Bài 136. [Trích ĐTTS] Rút gọn biểu thức X = 3 : 3 x x 1 x 1 3 x HD: Điều kiện: x > 0. CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 +2 +1 +6 −9 +1 2−4 3 +1− = : − 3 +1 +1 3 +3 +2+6 −9 −9 +1 3 +1− = . − 3 +1 2−4 3 2−8 3 +1− = − 6 1−2 3 2 1−2 1+2 3 +1− = − 6 1−2 3 1+2 3 +1− − −1 = − = = 3 3 3 3 2 x 2 x 4 x2 x 3 Bài 137. [Trích ĐTTS] Cho A= 22: 2 x 2 x x 4 2 x x a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi |x | = 1 HD: â) Điều kiện: ≠ 0; ≠ ±2; ≠ 3 ( +2)2−(2− )2+4 2 (2− ) 2+4 +4−4+4 − 2+4 2 2 = . = . (2− )(2+ ) −3 2+ −3 4 2+8 4 ( +2) 4 2 = . = . = . +2 −3 +2 −3 −3 b) Ta có: = 1 = 1 ⇔ = −1 4.12 Với x = 1 suy ra = = −2 1−3 4.(−1)2 Với x = -1 suy ra = = −1 −1−3 2 5x 1 x 1 Bài 138. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức : A = 1- ( ) : 1 2x 4 x2 1 1 2 x 4xx2 4 1 a) Rút gọn A và nêu các điều kiện phải có của x. 1 b) Tìm giá trị củâ x để A = 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: 2(2 −1)−5 +2 +1 (2 +1)2 −1 (2 +1)2 2 a) = 1 − . = 1 − . = − (2 −1)(2 +1) −1 (2 −1)(2 +1) −1 2 −1 1 Điều kiện: ≠ ± ; ≠ 1 2 1 2 1 5 b) = − ⇔ − = − ⇔ 2 − 1 = 4 ⇔ = (thỏâ mãn đk). 2 2 −1 2 2 5 1 Vậy = thì = − 2 2 −1 1 5 3 −2 Bài 139. [Trích ĐTTS] Xét biểu thức 푃 = − + : 1 − 3 −1 3 +1 9 −1 3 +1 6 a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị củâ x để P = 5 HD: 1 â) Điều kiện: ≥ 0; ≠ 9 −1 3 +1 − 3 −1 +5 3 +1−3 +2 푃 = : 3 −1 3 +1 3 +1 3 3 +1 푃 = . = 3 −1 3 +1 3 3 −1 6 6 b) 푃 = ⇔ = ⇔ 5 − 18 + 6 = 0 . Đặt = 푡 ≥ 0 ⇒ 5푡2 − 18푡 + 6 = 0 5 3 −1 5 2 9+ 51 9+ 51 푡 = = ′ 5 5 Ta có: ∆ = 51 > 0 nên phương trình có hâi nghiệm: (푡 ) ⇒ 2 9− 51 9− 51 푡 = = 5 5 Bài 140. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức xx 3 9 x x 3 x 2 Q= ( 1) : ( ) x 9 (x 3)( x 2) x 2 x 3 a) Rút gọn Q. b) Tìm giá trị củâ x để Q < 1 HD: ≥ 0 â) Điều kiện: ≠ 9; ≠ 4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −3 − +9 9− + −3 +3 − +2 −2 푄 = : −3 +3 −3 +3 −3 −2 +3 3 = . = +3 − −2 +2 +2 3 3− −2 1− b) 1 ( vì ≥ 0 ) +2 +2 +2 > 1 Vậy ≠ 9; ≠ 4 21xx x 2 Bài 141. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức B = ( ) : (1- ) x x 11 x xx 1 a) Rút gọn B. b)Tìm B khi x = 5+ 2 3 HD: ≥ 0 â) Điều kiện: . ≠ 1 2 + − − − 1 + + 1 − − 2 1 = : = − 1 + + 1 + + 1 − 1 2 1 2− 3 2− 3 4−2 3 3−1 3−1 b) = 5 + 2 3 ⇒ = = ⇒ = = = = 4+2 3 2 2 4 2 2 Bài 142. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức x 1 2 x x x 1 2 x x M = ( 1): (1 ) 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 a) Rút gọn M b) Tính M khi x = (3+2 2 ) 2 HD: ≥ 0 1 â) Điều kiện:: ≠ 2 +1 2 −1 + 2 + 2 +1 −2 +1 2 −1+ +1 2 −1 − 2 + 2 +1 = : = 2 −1 2 −1 2 2+2 2 2 −1 = . = − 2 2 −1 −2 +1 2 1 2+1 2 b) Với = 3 + 2 2 = ⇒ = − 2 = − 2 + 1 = − 2 − 1 2 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2a 1 a 1 a3 Bài 143. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = . a 3 a 1 a a 11 a a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a HD: a ≥ 0 â) Điều kiện: . a ≠ 1 2 +1− −1 1+ − +1 + +1 2 푃 = . − = . − 1 = − 1 −1 + +1 1+ −1 + +1 b) Ta có: 푃 1 − = − 1 . 1 − Với 0 ≤ 1/6 HD: > 0 â) Điều kiện: ≠ 1; ≠ 4 − +1 +1 −1 − +2 −2 −2 = : = −1 −2 −1 3 1 −2 1 −4 b) Ta có: > ⇔ − > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 16 . 6 3 6 6 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2aa 4 2 2 Bài 145. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: P= a a 1 a a 1 a 1 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị củâ P khi â = 3- 2 2 HD: a ≥ 0 â) Điều kiện: a ≠ 1 2 + 4 + + 2 − 1 − 2 + + 1 − 푃 = = = − 1 + + 1 − 1 + + 1 + + 1 2 2−1 2 2−1 b) Với = 3 − 2 2 = 2 − 1 ⇒ = 2 − 1 ⇒ 푃 = = 3−2 2+ 2−1+1 7 Bài 146. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức 1 2 x 2 1 2 A = : x 1 x x x x 1 x 1 x 1 1) Rút gọn A 2) Với GT nào củâ x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó HD: ≥ 0 1) Điều kiện: . ≠ 1 2 −1−2 +2 +1−2 −1 −1 +1 −1 = : = 2 . = ( −1) +1 −1 −1 . +1 −1 +1 2 ≥ 0 2) = 1 − . Vì ≥ 0 ∀ ⇒ + 1 ≥ 1 ⇒ ≥ 1 − 2 = −1 +1 ≠ 1 Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy 𝑖푛 = −1 ⇔ = 0 2x 1 1 x 4 Bài 147. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= : 1 3 x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GT nguyên củâ x để P nhận GT nguyên dương. HD: ≥ 0 â) Điều kiện: ≠ 1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 +1− + +1 + +1− −4 푃 = : = −1 + +1 + +1 −3 b) Ta có: 3 푃 = 1 + . Để P nguyên dương thì 3 ⋮ − 3 ⇒ − 3 ∈ Ư(3) = *1; 3+ −3 ⇒ = *16; 36+ x 1 1 2 Bài 148. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = : x 1 x x x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm các GT củâ x để P>0 c) Tìm các số m để có các GT của x thoả mãn P. x m x . HD: > 0 â) Điều kiện: ≠ 1 −1 −1+2 +1 +1 −1 −1 푃 = : = . = −1 −1 +1 +1 −1 b) 푃 > 0 ⇒ > 0 ⇒ > 1 . c) 푃. = − ⇔ − 1 = − ⇔ + − − 1 = 0 (1) Đặt = 푡 > 0; 푡 ≠ 1 ⇒ 푡2 + 푡 − − 1 = 0 (2) Vì − = −1 −1 ⇒ 1 + 1 − − 1 ≠ 0 ≠ 1 Bài 149. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức x 4 3 x 2 x P = : . x x 2 x 2 x x 2 a) Rút gọn P b) Tính GT của P biết x= 6-2 5 c) Tìm các GT củâ n để có x thoả mãn P.( x 1) x n . HD: > 0 â) Điều kiện: ≠ 4 − 4 + 3 − 4 − 푃 = : = 1 − ( − 2) − 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 b) = 5 − 1 ⇒ = 5 − 1 . Thây vào P tâ được: 푃 = 1 − 5 − 1 = 2 − 5 1 2 5 c) 푃 + 1 > + 푛 ⇔ 1 − > + 푛 ⇔ + + 푛 − 1 + > ⇔ 푛 0. 2 −1 −1+1− +1 푃 = : = +1 2 2 2− 3 2 b) = = = 4 − 2 3 = 3 − 1 ⇒ = 3 − 1 2+ 3 4−3 Thây vào P tâ được: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 2 2 +1 3−1+1 3 3+3 3 푃 = = = = 3−1 3−1 2 2 c) 푃. = 6 − 3 − − 4 ⇔ + 1 = 6 − 3 − − 4 2 − 2 = 0 ⇔ − 4 + 4 = − − 4 ⇔ − 2 + − 4 = 0 ⇒ ⇒ = 4 (tmđk) − 4 = 0 1 5x 4 2 x x Bài 152. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = ():() x 2 2 x x x x 2 35 a) Rút gon P. b) Tính giá trị của P khi x = 2 HD: > 0 â) Điều kiện: ≠ 4; ≠ 1 − 5 + 4 − 4 − 푃 = : = − 1 − 2 − 2 2 6−2 5 5−1 5−1 5−3 b) = = ⇒ = ⇒ 푃 = 4 4 2 2 +3 +2 + 1 1 Bài 153. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 푃 = − : + +2 −1 −1 +1 −1 1 +1 a) Rút gọn P. b) Tìm â để − ≥ 1 푃 8 HD: ≥ 0 â) Điều kiện: ≠ 1 +1 +2 +1 −1+ +1 푃 = − : +2 −1 −1 +1 +1 −1 +1 2 +1 푃 = − : = −1 −1 −1 +1 2 2 1 +1 2 +1 −( −6 +9) − −3 b) − ≥ 1 ⇔ − − 1 ≥ 0 ⇔ ≥ 0 ⇔ ≥ 0 ⇒ = 9. 푃 8 +1 8 8 +1 8( +1) 3 6 −4 Bài 154. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức 푃 = + − −1 +1 −1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 a) Rút gọn P. b) Tìm x để 푃 0 x+1+x x( x+1) x+ x+1 P = . = x( x+1) x x 4+ 4+1 7 b) Với x= 4 suy râ P = = 4 2 13 x+ x+1 13 c) P = ⇔ = ⇔ 3(x + x + 1) = 13 x ⇔ 3x − 10 x + 3 = 0 3 x 3 t = 3 2 1 Đặt x = t ≥ 0 suy ra 3t -10t+3=0. Các em tính ∆ và tìm được: t = (chọn) 3 Với t=3 suy râ x = 3 ⇔ x=9 1 1 1 Với t = suy ra x = ⇔ x = 3 3 9 1 Vậy nghiệm phương trình: x = ; x = 9 9 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 x 11 Bài 156. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức A ; xx 0, 4 x 4 xx 22 1. Rút gọn A 2. Tính giá trị củâ A khi x 25 1 3. Tìm giá trị củâ x để A 3 HD: x 1 1 x+ x+2+ x−2 x( x+2_ x 1. A = + + = = = x−4 x−2 x+2 x−2 ( x+2) x−2 ( x+2) x−2 25 5 2. Với x=25 suy ra A = = 25−2 3 1 x 1 1 1 3. A = − ⇔ = − ⇔ 3 x = − x + 2 ⇔ x = ⇔ x = 3 x−2 3 2 4 x2 x 3 x 9 Bài 157. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức A ; xx 0, 9 xx 33x 9 1. Rút gọn biểu thức A 1 2. Tìm giá trị củâ x để A 3 3. Tìm giá trị lớn nhất củâ biểu thức A HD: x x−3 +2 x x+3 −3x−9 3( x−3) 3 1. A = = = x−3 ( x+3) x−3 ( x+3) x+3 1 3 1 2. A = ⇔ = ⇔ x + 3 = 9 ⇔ x=36 (tm). Vậy x=36. 3 x+3 3 3 3. x ≥ 0 với mọi 0 ≤ x ≠ 9 nên x + 3 ≥ 3 suy ra ≤ 1 x+3 Dấu bằng xảy râ khi x=0. Vậy Amâx= 1 khi x=0 xx10 5 Bài 158. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức A ; xx 0, 25 xx 55x 25 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm giá trị củâ A khi x 9 1 3. Tìm giá trị củâ x để A 3 HD: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 xx10 5 Cho biểu thức A ; xx 0, 25 xx 55x 25 2 x x+5 −10 x−5( x−5) x−10 x+25 x−5 x−5 1. A = = = = x−5 ( x+5) x−5 ( x+5) x−5 ( x+5) x+5 9−5 2 1 2. Với x=9 suy ra A = = − = − 9+5 8 4 1 x−5 1 x−5 1 2 x−20 3. Ta có: A 0 suy ra 0 cho hâi bie ̉u thứ c: = ; = + + 3 1. Tính giá trị A khi x= 64. 2. Rút gọn B. 3. Tìm x để > 2 HD: 2+ 64 10 5 1. Với x= 64 suy ra = = = 64 8 4 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −1 2 +1 ( +1) −1 +2 +1 +2 +2 2. Ta có: = + = = = ( +1) ( +1) ( +1) +1 3 2+ +2 3 +1 3 +1 3 3. Ta có: > ⇔ : > ⇔ > ⇔ − > 0 2 +1 2 2 2 2 +2−3 2− ⇔ > 0 ⇔ > 0 ⇔ 2 − > 0 ( vì x>0) ⇔ x < 4. Kết hợp đk suy râ 0< x < 4. Bài 161. [Trích ĐTTS] x 1 1. Tính giá trị củâ biểu thức A . khi x 9 x 1 xx 2 1 1 2. Cho biểu thức P . ; với xx 0, 1 x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh rằng P b) Tìm các giá trị củâ x để 2Px 2 5 x HD: 9+1 4 1. Đk: 0 ≤ ≠ 1. Với x= 9 suy ra = = = 2 9−1 2 −2+ +1 −1 ( +2) +1 +1 2. Ta có: 푃 = . = . = đpcm. +2 −1 +2 −1 = −2(퐿) 2 +2 3. Ta có: 2푃 = 2 + 5 ⇔ = 2 + 5 ⇔ 2 + 2 = 2 + 5 ⇔ 1 = ( ℎọ푛) 2 1 1 suy ra = (tm). Vậy = là giá trị cần tìm. 4 4 Bài 162. [Trích ĐTTS] Cho 2 biểu thức x 3 xx 1 5 2 P và Q với xx 0, 4 x 2 x 2 x 4 1. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9 2. Rút gọn biểu thức Q P 3. Tìm giá trị củâ x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Q HD: 9+3 1. Với x=9 suy ra 푃 = = 12 9−2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 −1 −2 +5 −2 −3 +2+5 −2 +2 2. 푄 = = = = +2 ( −2) −2 ( +2) −2 ( +2) −2 푃 +3 +3 3 3 3. Ta có: = : = = + ≥ 2 . = 2 3 푄 −2 −2 3 Dấu bằng xảy ra khi : = ⇔ x=3. 푃 Vậy min = 2 3 khi x= 3. 푄 Bài 163. [Trích ĐTTS] Cho 2 biểu thức 7 2 −24 A và = + ; 0 ≤ ≠ 9 với x 8 −3 −9 1. Tính giá trị củâ biểu thức A khi x = 25 x 8 2. Chứng minh B x 3 3. Tìm x để P = A.B có giá trị là số nguyên. HD: 7 7 7 1. Với x=25 suy ra = = = 25+8 5+8 13 2. Ta có: 2 −24 +3 +2 −24 +5 −24 −3 ( +8) +8 = + = = = = đpcm. −3 −3 ( +3) −3 ( +3) −3 ( +3) −3 ( +3) +3 3. Ta có: 7 +8 7 P=A.B = . = +8 +3 +3 7 7 7 Vì 0 ≤ ≠ 9 nên + 3 ≤ 3 suy ra ≤ suy ra 0 = 1 ⇔ x=16 (thỏa mãn) +3 7 7 1 1 Với A=2 suy ra = 2 ⇔ + 3 = ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn) +3 2 2 4 1 Vậy = 16; 4 Bài 164. [Trích ĐTTS] Cho hai biểu thức: + 2 3 20 − 2 = ; = + ; ≥ 0; ≠ 25 − 5 + 5 − 25 1 a) Tính A khi x = 9. b) Chứng minh B = c) Tìm x để A = B. x -4| x−5 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: x+2 9+2 5 a) Thay x = 9 vào A tâ được: A = = = − x−5 9−5 2 3 20−2 x 3 x−5 +20−2 x x+5 1 b) B = + = = = (đpcm) x+5 x−25 x−5 ( x+5) x−5 ( x+5) x−5 x+2 1 c) A = B. |x -4| ⇔ = . |x − 4| ⇔ x + 2 = |x − 4| (1) x−5 x−5 TH1: x ≥ 4; x ≠ 25. suy ra (1) ⇔ x + 2 = x − 4 ⇔ x − x − 6 = 0 ⇔ x − 3 x + 2=0 ⇔ x=9 (chọn) ( vì x ≥ 4 ) TH2: 0 ≤x < 4: (1) ⇔ x + 2 = 4 − x ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x − 1 x + 2 = 0 ⇔ x =1 (chọn) Vậy x = 1 hoặc x = 9. x x+1 x x−1 Bài 165. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: M = + ; 0 < ≠ 1 x+ x x− x 1) Rút gọn M 2) Tìm x để M = 5. HD: x+1 x− x+1 x−1 x+ x+1 2x+2 1. M = + = x x+1 x x−1 x 1 2x+2 a = 2. M=5 ⇔ = 5 ⇔ 2x − 5 x + 2 = 0 ⇔ 4 x a = 4 x x 2 2−x Bài 166. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức P = + : − ; 0 < ≠ 1 x−1 x−1 x x x+x 1. Rút gọn P 2. Tìm x để P < 2 HD: x x+1 + x 2 x+1 −2+x x 1. P = : = x−1 ( x+1) x( x+1) x−1 2. Đk: 0 < x ≠ 1. 2 x x−2 x+1 x−1 +1 P < 2 ⇔ − 2 < 0 ⇔ < 0 ⇔ < 0 ⇔ x < 1 x−1 x−1 x−1 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 Vậy 0 < x < 1. Bài 167. [Trích ĐTTS] 2x+1 x 1+x x 1. Rút gọn biểu thức: P = − − x ; 0 ≤ x ≠ 1 x x−1 x+ x+1 1+ x 1 1 1 1 2. Tính giá trị biểu thức M = + ; với a = ; b = a+1 b+1 3−2 2 3+2 2 HD: 2x+1 x x+1 x− x+1 x+ x+1 1. P = − . − x = . x − 2 x + 1 = x−1 x+ x+1 x+ x+1 x+1 x−1 x+ x+1 x − 1 1 1 2. Tính giá trị a = = 3 + 2 2; b = = 3 − 2 2 3−2 2 3+2 2 1 1 4−2 2+4+2 2 suy ra a + 1 = 4 + 2 2; b + 1 = 4 − 2 2 nên M = + = 2 = 1 4+2 2 4−2 2 16− 2 2 Bài 168. [Trích ĐTTS] Thu gọn cấc bie ̉u thứ c sâu: 3 3−4 3+4 a) − 2 3+1 5−2 3 −2 +28 −4 +8 b) = − + ; ≥ 0; ≠ 16 −3 −4 +1 4− HD: 3 3−4 3+4 3 3−4 2 3−1 3+4 5+2 3 a) − = − 2 3+1 5−2 3 11 13 22−11 3 26+13 3 = − = 2 − 3 − 2 + 3 11 13 4−2 3 4+2 3 3−1 3+1 = − = − = − 2 2 2 2 2 2 −2 +28 −4 +8 −2 +28− −4 − +8 +1 −4 − +4 b) = − + = = −3 −4 +1 4− +1 −4 +1 −4 ( −1) −4 = = − 1 +1 −4 Bài 169. [Trích ĐTTS] Thu gọn các biểu thức sâu: 1 2 1 a) = + − ; 0 < ≠ 1 + −1 − b) = 2 − 3 . 26 + 15 3 + 2 + 3 . 26 − 15 3 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 HD: 1 2 1 a) = + − + −1 − 1 2 1 −1+2 . − −1 = + − = +1 −1 +1 −1 −1 9 +1) 2 −2 2 = = ( −1) b) = 2 − 3 . 26 + 15 3 + 2 + 3 . 26 − 15 3 1 1 = 2 − 3 . 52 + 30 3 + 2 + 3 . 52 − 30 3 2 2 1 2 1 2 = 2 − 3 . 3 3 + 5 + 2 + 3 . 3 3 − 5 = 2 2 2 Bài 170. [Trích ĐTTS] Thu gọn bie ̉u thứ c sâu: 3 +3 = + . ; 0 ≤ ≠ 9 +3 −3 +9 2 2 = 21 2 + 3 + 3 − 5 − 6 2 − 3 + 3 + 5 − 15 15 HD: 3 +3 −3 +3 +3 +3 +9 +3 1 = + . = . = . = +3 −3 +9 +3 −3 +9 +3 −3 +9 −3 2 2 = 21 2 + 3 + 3 − 5 − 6 2 − 3 + 3 + 5 − 15 15 2 2 1 1 = 21 4 + 2 3 + 6 − 2 5 − 6 4 − 2 3 + 6 + 2 5 − 15 15 2 2 21 6 = 3 + 1 + 5 − 1 − 3 − 1 + 5 + 1 − 15 15 2 2 15 2 = 3 + 5 − 15 15 = 60 2 Bài 171. [Trích ĐTTS] Thu gọn bie ̉u thứ c sâu: 5+ 5 5 3 5 = + − 5+2 5−1 3+ 5 1 2 6 = + : 1 − + ; > 0 +3 +3 +3 HD: CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 5 5 5 3 5 A 5 2 5 1 3 5 (5 5)(5 2) 5(51) 35(3 5) ( 5 2)( 5 2) ( 5 1)( 5 1) (3 5)(3 5) 5 59515 5 59515 3 5 5 3 5 5 4 4 4 3 5 5 5 2 5 5 x 1 2 6 B :1 (x>0) x 3 x x 3 x x 3 x xx1 2 6 : x 3 x 3 x x ( x 3) x 1 ( x 2)( x 3) 6 : x 3 x ( x 3) x (x 1). 1 xx Bài 172. [Trích ĐTTS] Rút gọn các biểu thức sâu: −1 −10 = + + ; 0 ≤ ≠ 4 −2 +2 −4 = 13 − 4 3 7 + 4 3 − 8 20 + 2 43 + 24 3 HD: −1 −10 = + + −2 +2 −4 +2 + −1 −2 + −10 2 −8 = = = 2 −2 +2 −4 = 13 − 4 3 7 + 4 3 − 8 20 + 2 43 + 24 3 2 = 91 + 52 3 − 28 3 − 48 − 8 20 + 2 4 + 3 3 = 43 + 24 3 − 8 28 + 6 3 3 = 43 + 24 3 − 8 3 3 + 1 = 35 Bài 173. [Trích ĐTTS] CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1− a) Cho biểu thức: = . Tính A khi = 6 − 2 5 +1 15− 2 +1 b) Rút gọn = + : ; ≥ 0; ≠ 25 −25 +5 −5 1 c) Tìm x để − ≥ 2 HD: â) Đk : ≥ 0; = 6 − 2 5 = ( 5 − 1)2 suy ra = 5 − 1 thây vào A tâ được : 1− 1−( 5−1) 2 5−5 A = = = 1+ 1+ 5−1 5 1 b) Rút gọn B= +1 1 1 1− 1 −1 c) − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. 2 +1 1+ 2 2( +1) Vậy x ≥ 1 ; x ≠ 25. 2 +2 Bài 174. [Trích ĐTTS] Cho hâi bie ̉u thứ c: = ; = − −1 −1 −1 a) Tính A khi x = 3 + 2 2 b) Rút gọn B. 1− c) Tìm x để = 2 2 HD: a) Đie ̀u kie ̣n: x ≥ 0; x ≠ 1. 2 Vớ i = 3 + 2 2 = 2 + 1 ⇒ = 2 + 1(푡 đ ) 2+1 2+2 Thây vầo A tâ được: = = 2+1−1 2 b) Tâ có: 2 + 2 2 + 1 − − 2 = − = = − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 c) Tâ có: 1− 1− = ⇔ : = ( đie ̀u kie ̣n: x > 0; x ≠ 1) 2 2 −1 +1 −1 2 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA
TTLT Thâ ̀y Nguye ̃n ChiT́ hành 0975.705.122 1 1− ⇔ = ⇔ + 1 1 − = 2 2 +1 2 2 ⇔ 2 2 = 1 − ⇔ 2 2 + − 1 = 0 . = −1(퐿) Vì â-b+c=0 nên phương trình có hâi nghie ̣m: 1 = (푡 ) 2 1 Vâ ̣y = 2 CS1: LÁNG HẠ CS2: QUAN HOA