›
›
›

Tổng hợp đề ôn thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán

doc 53 trang hoaithuong97 7444
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề ôn thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctong_hop_de_on_thi_hoc_sinh_gioi_lop_9_mon_toan.doc

Nội dung text: Tổng hợp đề ôn thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán

  1. ĐỀ 1: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2000-2001 - Thời gian 150 phút Câu 1 a) Tính A = 7 4 3 7 4 3 b) So sánh các số M và N sau đây: M = 30 - 29 ; N = 29 - 28 xy 2 x y 3 yz Câu 2. Giải hệ phương trình : 6 y z zx 3 z x 2 Câu 3. Hai đường tròn (O) và (O1) tiếp xúc ngoài tại điểm C. Đường thẳng OO1 cắt đường tròn (O) và (O1) lần lượt tại A và B. MN là một tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O1) (M,N là các tiếp điểm lần lượt thuộc (O) và (O1) ).Gọi D là giao điểm của AM và BN. a) Chứng minh : góc ADB = 900 b) Chứng minh DC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O1) Câu 4.Cho x;y là 2 số thực thoả mãn điều kiện : x2+y2 x+3. Tìm GTLN của biểu thức S = 2x+3y. ĐỀ 2: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2001-2002 - Thời gian 150 phút Câu 1. Giải phương trình: a) x 2 4x 4 6 2 5 b) (x-1)(2x-2 x2 - 9 )+y(3y- 2 2y2 - 4 ) = 12 Câu 2. a) Cho a;b;c > 0 và ab + bc + ca = 1 . Chứng minh đẳng thức : (a 2 1)(b 2 1) : c 2 1 a b b) Cho a;b;c 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a 3 b3 c 3 a 2 bc b 2 ac c 2 ab Câu 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M (khác A,B) thuộc đường tròn. Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và M . Vẽ MC;MD theo thứ tự vuông góc với AB và AT ( C AB; D AT ), gọi I là trung điểm của CD. a) Tam giác IMT là tam giác gì ? Tại sao? b) Chứng minh : góc DMT = góc OMC c) Chứng minh : AO.AC = 2.AI2 d) Xác định vị trí của M trên (O) để diện tích IMO lớn nhất . Câu 4.Cho 5 đoạn thẳng sao cho bất kỳ 3 đoạn nào trong số đó cũng có thể lập thành 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng trong các tam giác tạo thành có ít nhất một tam giác mà cả 3 góc đều nhọn. 1
  2. ĐỀ 3: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2002 - 2003 - Thời gian 150 phút Câu 1. Cho biểu thức : A = ( ( x 4 x 4 x 4) : x 2 x 1 a) Rút gọn A . b) Tìm x Z để A Z Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình : (m+2)x + (m-3)y = m-8 a) Xác định m biết đường thẳng (d) đi qua điểm P (-1;1) b) Chứng minh: Khi m thay đổi ,(d) luôn đi qua một điểm cố định. Câu 3. Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Hãy tìm GTNN của biểu thức : a b c S = b c a a c b a b c Câu 4.Cho ABC (AB = AC) . Vẽ một đường tròn có tâm O nằm trên cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB,AC lần lượt tại D và E.Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( I ≠ D,E). Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt các cạnh AB , AC tương ứng tại M và N. a) Chứng minh : Chu vi AMN không đổi b) Chứng minh: 4.BM.CN = BC2 c) Xác định vị trí của I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất . Câu 5. Cho ABC đều. Điểm M thuộc miền trong tam giác sao cho: MA2 = MB2+ MC2. Tính góc BMC . ĐỀ 4: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2003 - 2004 - Thời gian 120 phút Câu 1. a)Cho x;y 0 và x + y = 1 .Tính giá trị của biểu thức : S = x x y y 3 xy b) Tính : P = 2 3. 2 2 3 . 2 2 3 . 1 1 3 x y 2 1 1 5 Câu 2. a) Giải hệ phương trình : y z 6 1 1 4 z x 3 b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = 2x – 3 và đường thẳng (l) có phương trình: y = (m+1)x + 2 Xác định gtrị của m để hai đường thẳng (d) và (l) cắt nhau tại điểm I có toạ độ (xI ; yI ) sao cho xI + yI =2 Câu 3. Cho các số thực x;y thoả mãn x 3y 1 và x y 1 . 2003 2002 Tìm GTLN của biểu thức A = x 2 y 2 2002 2003 Câu 4.Cho đường tròn (O) đường kính AB.Gọi M là điểm thuộc đường kinh AB (M khác A;B ), N là trung điểm của MB.Dây CD vuông góc với AB tại N. Gọi E là giao điểm của AC và MD. a) Tứ giác BCMD là hình gì? Chứng minh. b) Xác định vị trí tâm O / của đường tròn ngoại tiếp AEM. c) Chứng minh: NE là tiếp tuyến của đường tròn ( O / ). Câu 5. Cho ABC có AM là trung tuyến. Chứng minh rằng nếu các bán kính của các đường tròn nội tiếp hai tam giác ABM và ACM bằng nhau thì ABC cân. 2
  3. ĐỀ 5: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2004 - 2005 - Thời gian 120 phút Câu 1. (2 điểm) a) .Tính giá trị của biểu thức : A = 7 4 3 7 4 3 b) Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phương trình : x2+x+y2 = 2 x - 1 +2xy. 2x y z 4a Câu 2. (2 điểm) Giải hệ phương trình : x 2y z 4b x y 2z 4c Câu 3. (2điểm) a) Cho x;y > 0 . Chứng minh : + 1 1 b) Cho x;y > 0 và x+2y = 1 .Tìm GTNN của biểu thức: S = 2xy x 2 4y 2 Câu 4.( 4 điểm) Cho đường tròn (O;R) và 2 đường kính AB , MN. Đường thẳng BM và BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tương ứng ở M / và N / .Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của AM / và AN / , H là trực tâm của BPQ . a) Chứng minh: AH.AB = AP.AQ. b) Chứng minh: AH = HO. c) Giả sử đường kính AB cố định, vị trí đường kính MN thay đổi. Tìm điều kiện của đường kính MN để diện tích BPQ nhỏ nhất . ĐỀ 6: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2005 - 2006 - Thời gian 120 phút Câu 1. (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức : 2 2 P = + với a ; b ; 3 7 3 7 Câu 2. (1,5 điểm) Cho a;b > 0 thoả mãn ab = 1. a b Tìm GTLN của biểu thức : a 4 b 2 a 2 b 4 Câu 3. (2điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 2 2 4 x 2 2x Câu 4.( 2điểm) Giải phương trình : x 1 3 2 2 3 7 5 2 Câu 5.( 3điểm) Cho ABC cân đỉnh A nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của AB, AC, MC . Các đường thẳng AO và MC cắt nhau tại G. Các đường thẳng AP và MN cắt nhau tại I. Chứng minh: a) IG // AB ; b) OI vuông góc với MC 3
  4. ĐỀ 7: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2006 - 2007 - Thời gian 120 phút Câu 1. (3 điểm) Hãy chọn phương án đúng trong các phương án ở mỗi câu sau: 1. Giá trị của x để x 2 4 x 2. x 2 là : A. x -2 ; B. x 2; C. | x | 2 . 2 1 2. Điểm M 2; nằm trên đồ thị của hàm số : 2 1 A. y = -x+5 ; B. y = 2x+3; C. y = 2 x – 2. 3. Biểu thức :8 15 8 15 có giá trị là : A. 2 10 ; B. 3 5 ; C. 30 ; D. 15 2 3 5 13 48 Câu 2. (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức P = 6 2 Câu 3. (1,5điểm)Tìm các cặp số (x;y) thoả mãn phương trình : xy 1 +2yx 1 = 1,5 xy Câu 4.(1điểm) Cho x> 0 ;y > 0 ; z 4 và x+y+z =6 . Tìm GTLN của biểu thức: S =xyz. Câu 5.(3điểm) Cho đều ABC với O là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M , trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON = 600 a) Chứng minh : BC2 = 4BM.CN b) Chứng minh: NO là đường phân giác của góc MNC. c) Khi M và N di động trên cạnh AB và cạnh AC của ABC sao cho góc MON = 600 ,kẻ OH vuông góc với MN, chứng minh điểm H luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định. ĐỀ 8: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2007 - 2008 - Thời gian 120 phút Trắc nghiệm. (2 điểm) Hãy chọn phương án đúng trong các phương án ở mỗi câu sau: 1.Với hai số M = 50 + 26 và N = 63 + 15 thì: A. M > N ; B . M = N ; C . M 0 và x + y + z = 1. x y z Tìm GTNN của biểu thức: M = . y z x x 2 x x x x 1 Câu 2. (1,5điểm) Cho biểu thức P = . x x 1 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P b) Rút gọn biểu thức P Câu 3. (2,5điểm) Giải phương trình : a). (x2+x+1)(x2+x+2) = 12; b). x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 4
  5. Câu 4.(3điểm) Cho ABC nhọn, các đường cao BE , CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh : AEF : ABC b) Chứng minh hệ thức : BH.BE + CH.CF = BC2 c) Biết góc A = 600, chứng minh : EF = BC. ĐỀ 9: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2008 - 2009 - Thời gian 120 phút Câu 1. (2 điểm) 27 25 8 6 a) Rút gọn biểu thức : A = 3 2 1 b) Tính giá trị của biểu thức : B = sin220+sin240+sin260+ .+sin2860+sin2880 3 7 Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình: x 1 x x 4 2 a 2 b 2 a b Câu 3. (2điểm) Cho a;b ≠ 0, chứng minh: 3 4 0 b 2 a 2 b a Câu 4.(3điểm) Cho ABC có ba góc đều nhọn. Ba đường cao AA / BB / CC / cắt nhau tại H . A 1 , B 1 , C 1 là các điểm đối xứng của H qua BC, AC và AB . M là trung điểm của BC, MI vuông góc với B / C / , ( I B / C / ). a) Chứng minh: IB / = IC / . AA BB CC b) Chứng minh: 1 1 1 không đổi. AA/ BB / CC / c) Với AB = 4 2 , AC = 5, BC =7 (cùng đơn vị đo) , tính AA / . Câu 5.(1điểm) Cho ABC vuông cân tại A. Qua C vẽ đường thẳng d song song với AB. D là một điểm trên cạnh AC; kéo dài BD cắt đường thẳng d tại E. 1 1 Chứng minh: tổng không đổi khi điểm D di chuyển trên cạnh AC ( D ≠ A) . BD 2 BE 2 ĐỀ 10 : Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2009 - 2010 - Thời gian 120 phút Câu 1. (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử : x2y+ xy2+x2z +xz2 +y2z +yz2 +2xyz . b) Cho a+b+c = 0 . Chứng minh rằng : (a2+b2+c2)2 = 2(a4+ b4+c4) . Câu 2. (3 điểm) Cho các đường thẳng : (d 1 ) : y = 2x+2 ; (d 2 ) : y = - x+2 ; (d 3 ):y = mx . a) Tìm toạ độ các giao điểm A,B,C theo thứ tự của (d 1 ) với (d 2 ) ; (d 1 ) với trục hoành và (d 2 ) với trục hoành . b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d 3 ) cắt cả 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d 3 ) cắt cả 2 tia AB và AC . Câu 3. (2 điểm) a)Cho a,b,c > 0 và a+b+c = abc . Chứng minh: a+b+c 3 ( + + ) 1 b)Tìm GTNN của biểu thức : P = x x2 với x > 0 . x Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Vẽ đường kính AD. Gọi H là trực tâm của ABC và E là trung điểm cạnh BC . C/ m : OE = AH . Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , diện tích là 1 (đvdt) . Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF . Chứng minh : S = sin2A – cos2B – cos2C . ĐỀ 11: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2010 - 2011 - Thời gian 120 phút Câu 1. (2 điểm) a) Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 109 5
  6. b) Hãy viết đa thức x3 + 4x2 + 6x + 4 thành tổng các luỹ thừa giảm dần của (x+1) x y x y x y 2xy Câu 2. (2,5 điểm) Cho biểu thức P = : 1 1 xy xy 1 1 xy a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm GTLN của P. Câu 3. (1 điểm) Cho các số x , y thoả mãn : x y 2 và x y 2 Tìm GTLN của biểu thức P = 19x2 + 5y2 + 2010(x+y)2 Câu 4. (2 điểm) Cho ABC vuông tại A a)Chứng minh : sin2 B + sin2C = 1 B C 2 b) Chứng minh : sin . sin 2 2 8 Câu 5. (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M di động trên đó ( M không trùng với A , B) . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn . Tia AM cắt By tại C , tia BM cắt Ax tại D . Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax , By lần lượt tại E và F . a) Chứng minh : AD . BC = 4R2 b) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất . Tính diện tích tứ giác khi đó . ĐỀ 12: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2011 - 2012 - Thời gian 120 phút Câu1. (2 điểm) Tính : 2 3 2 3 a) A = b) B = 6 11 6 11 2 4 2 3 2 4 2 3 Câu2. (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử : x4 8x3 14x2 8x 15 b) Tìm số tự nhiên a sao cho a+17 và a – 72 đều là số chính phương Câu3. (2 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên x;y thỏa mãn : 2xy x y 21 36 4 b) Giải phương trình : 28 4 x 2 y 1 x 2 y 1 Câu4. (3 điểm) Cho DEF vuông ở D , đường cao DH ( H EF). Vẽ đường tròn (O) đường kính EH cắt cạnh DE tại M . Vẽ đtròn (O/ ) đường kính FH cắt cạnh DF tại N. a) Chứng minh : DM.DE = DN. DF b) Gọi K là trung điểm của EF . Chứng minh : DK  MN. c) Chứng minh : diện tích tứ giác MNO/O = nửa diện tích DEF. Câu5. (1 điểm) Cho 5 số không âm a,b,c,d,e có a+ b+c + d + e = 1. Tìm GTLN của tổng S = ab + bc + cd + de . ĐỀ 13: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2012 - 2013 - Thời gian 120 phút x 3 x 4 5 Câu1. (2 điểm) ) Cho biểu thức : A = x 2 x 3 x x 6 6
  7. a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên Câu2. (2 điểm) a) Chứng minh : a3 – 6a2 + 11a – 6 luôn chia hết cho 6 , với a là số nguyên b) Tìm GTNN của biểu thức P = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82 Câu3. (2 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : 2 x y2 y 2x 1 b) Giải phương trình : ( x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24 = 0 Câu4. (1 điểm) Cho các số thực dương x , y , z . Chứng minh : x2 y2 z2 x y z y z z x x y 2 Câu 5. (2 điểm) Cho nửa đtròn (O ) đường kính AB , kẻ tia Ax vuông góc với AB ( Ax và nửa đt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng) . Lấy điểm C bất kỳ thuộc nửa đt ( C khác A , B) . Qua O kẻ đthẳng // với BC cắt Ax tại M và cắt AC tại F a) Chứng minh :MC là tiếp tuyến của nửa đtròn (O ) b) BM cắt nửa đtròn (O ) tại D . Chứng minh : MDF ~ MBO. Câu6. (1 điểm) Cho ABC có µA 900 ; Bµ 200 , đường phân giác BI . Vẽ ·ACH 300 ( H thuộc cạnh AB ) . Tính số đo của C· HI ĐỀ 14: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2013 - 2014 - Thời gian 120 phút Câu 1: ( 2 điểm) x2 x x2 x Cho biểu thức: A x x 1 x x 1 a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn A. b. Đặt B = A + x – 1. Tìm GTNN của biểu thức B. Câu 2: (1,5 điểm) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x2 5xy 6y2 1 0 Câu 3: ( 2,5 điểm) 1 1 a. Tìm cặp số nguyên (x,y) biết: x y 4 x y x 3 b. Giải phương trình: x 2 x 1 x 2 x 1 2 Câu 4: ( 1 điểm) x2 y2 x y Cho 2 số thực x,y 0. Chứng minh rằng: 4 3( ) y2 x2 y x Câu 5: ( 3 điểm) Cho điểm M nằm trên đường tròn tâm O, đường kính AB bằng 2R ( M không trùng với A,B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt BI tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. a. Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn. b. Tứ giác AHFK là hình gì? Vì sao? c. Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên đường tròn tâm O. ĐỀ 15: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2014 - 2015 - Thời gian 120 phút Câu 1: (3,0 điểm) 7
  8. 1 a) Rút gọn BT: A 4 2 3 3 2 x 3 1 6 b) Cho P . Tìm ĐKXĐ vả rút gọn P x 3 x x 3 x 3 x 9 Câu 2: (1,0 điểm) P (11x 12)3 (12y 13)3 (2014z 1)3 Cho x, y, z là các số nguyên và S 11x 12y 2014z Chứng minh rắng P chia hết cho 6 khi và chỉ khi S chia hết cho 6 Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình: 2x 2 x 2 xy y 1 0 b) giải phương trình : x2 3x 4 2 x 1 Câu 4: (1,0 điểm) 1 1 1 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: 2 . Tìm giá trị lớn nhất của BT: M = xyz x 1 y 1 z 1 Câu 5: (3,0 điểm) Cho nủa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đó ( M khác A,B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với đường kính AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M theo thứ tự tại C và D. a) Tính AC + BD theo R b) Tứ giác ABCD là hình gì? vì sao? c) Khi CD và tia AB cắt nhau tại K. Chứng minh AC.BD < OH.OK. ĐỀ 16: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2015 - 2016 - Thời gian 120 phút Câu 1: (3,0 điểm) 1 1 a) Cho A ; B = 3+2 2 2 1 2 1 Hãy so sánh A và B b) Tìm các số tự nhiên n để: M = n2 4n - 5 là số nguyên tố Câu 2: (2,0 điểm) a) Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình: x2 4 3 3y 4y 5x 3x y 1 b) Giải phương trình: 5 x x 3 3x2 6x 7 Câu 3: (1,0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn phương trình:3x2 4y2 4xy 6x 4y 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: M 2x 2015 Câu 4: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 6 CMR: a3 b3 c3 24 Câu 5: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm (O) đường kính BC cố định, điểm A bất kỳ nằm trên (O) sao cho AB < AC ( A khác B). Kẻ dây AD vuông góc với BC, các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng BC tại H. c) Chứng minh: CA.CE = CB.CH d) Chứng minh: H· EB = O· AC e) Chứng minh rằng khi điểm A di chuyển trên (O) sao cho AB < AC và A khác B thì HA luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. ĐỀ 17: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2016 - 2017 - Thời gian 120 phút 8
  9. 1 x x 4 1 Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: A = x x 1 x x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để P =x A có giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x 3 2x. xy x y 1 0 b) Giải hệ phương trình: yz y z 5 0 . zx x z 2 0 Câu 3: (0,5 điểm) a2 b2 Cho a, b > 0 và a2 b2 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2a 2b . b a Câu 4: (3,0 điểm) Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho A· BO = A· CO. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O lên AB, AC. OB sinO· AB a) Chứng minh: = . OC sinO· AC b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MHK là tam giác cân. Câu 5: (0,5 điểm) Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Hạ IE BC (E thuộc cạnh BC). Chứng minh rằng: IA + IB + IC 6IE. ĐỀ 18: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2002 - 2003 - Thời gian 150 phút Câu 1. Tìm các số x,y thoả mãn phương trình với các ẩn x;y +2 = x +2 y - 1 Câu 2. Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia . Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ. Hãy tìm số đấu thủ của mỗi đội. 1 1 1 3 Câu 3. Cho a;b;c 1. Chứng minh : 1 a 3 1 b3 1 c 3 1 abc Câu 4. Trong mặt phẳng cho một hình vuông. Người ta vẽ 9 đường thẳng sao cho mỗi đường thăng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỷ số diện tích bằng . Chứng minh có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã vẽ cùng đi qua một điểm. Câu 5. Cho ABC, đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc B cắt đường phân giác trong của góc A lần lượt tại I và J. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của J trên BC. Chứng minh AH // IM. ĐỀ 19: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2003 - 2004 - Thời gian 150 phút Câu 1. a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2y +xy2+x2z +xz2+yz2+y2z+3xyz 9
  10. b) Giải phương trình với các ẩn x;y : x - 1 +2 y - 4 = (x+y) Câu 2. Trong hội trại của một trường có 1020 em học sinh tham gia. Ban tổ chức phân chia số học sinh đó thành 40 nhóm,mỗi nhóm có không ít hơn 20 học sinh. a) Chứng minh rằng : với bất kỳ cách chia nào cũng tìm được ít nhất 4 nhóm có số học sinh bằng nhau. b) Hãy tìm một cách chia sao cho không quá 4 nhóm có số học sinh bằng nhau. Câu 3. Cho x;y;z > 0 và xyz = 1 . Tìm GTNN của biểu thức : x 3 y 3 z 3 A = (y 1)(z 1) (z 1)(x 1) (x 1)(y 1) Câu 4. Cho ABC ; AB < AC. Hai điểm M;N lần lượt chuyển động trên hai cạnh AB,AC sao cho BM = CN. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ BCD ( DB = DC) sao cho góc BDC = góc BAC. a) Chứng minh rằng : đường trung trực của MN luôn đI qua D . b) Chứng minh MDN ∽ BDC. c) So sánh chu vi AMN và chu vi DMN. ĐỀ 20: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2004 - 2005 - Thời gian 150 phút Câu 1. (1,5 điểm) Chứng minh rằng : nếu n là số nguyên, thì: A = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 chia hết cho 24 Câu 2. (3 điểm) a) Giải phương trình : x 8 9 x 9 10 1 b) Tìm đa thức bậc hai P thoả mãn điều kiện : P =1 và P – P =2x+1. Câu 3. (1,5 điểm) Tìm các số nguyên x để x2+x+6 là số chính phương. Câu 4. (2,5 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao của 3 đường cao AA 1 , BB 1 , CC 1 ; I là trung điểm của HB ; J là trung điểm của AC ; IJ cắt A 1 C 1 tại E . a)Chứng minh E là trung điểm của A 1 C 1 . b) Trên đoạn HC lấy một điểm M sao cho = . So sánh diện tích hai tam giác HAC và HJM. Câu 5. (1,5 điểm) Cho một bảng ô vuông hình chữ nhật gồm 8 dòng và 2 cột (gồm 8. 2 ô vuông). Người ta tô đỉnh của tất cả các ô vuông bởi một trong hai màu xanh hoăc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 4 điểm là 4 đỉnh của một hình chữ nhật được tô cùng một màu. ĐỀ 21: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2005 - 2006 - Thời gian 150 phút Câu 1. a)Cho a;b;c là 3 số nguyên có tổng chia hết cho 6 . 10
  11. Chứng minh : a3+b3+c3 chia hết cho 6 b)Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111. Câu 2. Giải phương trình : 4(x-5)(x-6)(x-10)(x-12) = 3x2 . a 3 b3 c 3 Câu 3. a)Cho a;b;c > 0 . Chứng minh : ab bc ca . b c a b)Cho 0 0 . Tìm GTNN của biểu thức P = . 2b 3c 2c 3a 2a 3b Câu 4. Gọi G là trọng tâm của ABC . Vẽ qua G một đường thẳng xy cắt 2 cạnh AB,AC lần lượt tại M và N ( M ;N không trùng với A). AB AC a) Chứng minh : 3 AM AN 4 b) Gọi S và S lần lượt là diện tích của ABC và AMN, chứng minh : S S 9 ĐỀ 23: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2007 - 2008 - Thời gian 150 phút Câu 1 Chứng minh rằng: nếu a;b là 2số chính phương lẻ liên tiếp thì (a-1)(b-1) chia hết cho 192 x 2 Câu 2. Giải phương trình : x 2 4 8 x 2 4 Câu 3.Tìm các cặp số ( x ; y) thoả mãn phương trình: 3x2 + 2y2+ 4xy – 7x – 5y + 3 = 0 sao cho (x+y) đạt GTLN,GTNN a b c Câu 4. Cho a;b;c > 0 và abc = 1. Chứng minh: A = 1 . 2 a 2 b 2 c Câu 5.Cho ABC vuông tại A, đường cao AH . Tia phân giác của các góc BAH và CAH cắt BC lần lượt ở D,E a) Chứng minh: ABE và ACD là những tam giác cân. b) Tia phân giác góc B cắt AD ở I, tia phân giác góc C cắt AE ở K, đường thẳng IK cắt AB,AC lần lượt ở P và Q . Chứng minh AP = AQ ĐỀ 24: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2008 - 2009 - Thời gian 150 phút Câu 1 (2điểm) 11
  12. a) Giải phương trình: 2x2+26x +90 = 6 x(x 8) 1 1 1 b) Cho các số a;b;c ≠0 thoả mãn 2 và a+b+c = abc. a b c 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P = a 2 b 2 c 2 Câu 2. (2điểm) Cho 2 số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng : nếu tích ab là số chẵn thì luôn luôn tìm được số tự nhiên c sao cho a2+b2+c2 là số chính phương. Câu 3.(2điểm) Cho các số thực x;y;z thoả mãn điều kiện: xy+yz+zx =3. Tìm GTNN của S = (x4+2)(y4+2)(z4+2) Câu 4.(4điểm) Cho đều ABC đường cao AD, trực tâm H. Từ điểm M bất kỳ trên cạnh BC kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC ( E AB; F AC ) Gọi I là trung điểm của AM, O là giao của EF và ID. Chứng minh: a) EF vuông góc với DI tại O b) Ba điểm H , O , M thẳng hàng. ĐỀ 25: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2009 - 2010 - Thời gian 150 phút Câu 1 (2,5 điểm) a) Chứng minh: tổng của 2 số chính phương liên tiếp cộng với tích của hai số ấy là một số chính phương. b)Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t : x2y+2xy- 81xy +y = 0 . ( Đề sai , đáng ra phương trình x2y+2xy- 81x +y = 0 ) Câu 2 (2,5 điểm) a) Cho a,b,c là các số dương thoả mãn: abc = 1 và a+b+c > + + . Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có 1 số lớn hơn 1 và 2 số bé hơn 1. b) Cho a,b,c ≠ 0 . Chứng minh: a 2 b 2 c 2 d 2 (a c) 2 (b d) 2 Dấu bằng xẩy ra khi nào ? Ap dụng giải phương trình: x 2 2x 5 x 2 6x 10 5 Câu 3 (2điểm) Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 1 .Tìm GTLN của biểu thức : 19b3 a 3 19c 3 b3 19a 3 c 3 P = + + ab 5b 2 cb 5c 2 ac 5a 2 Câu 4 (3điểm) Cho ABC vuông tại A.trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ 2 tia Bx và Cy vuông góc với BC.Lấy I là một điểm trên cạnh BC ( I ≠ B;C). Đường thẳng vẽ qua A và vuông góc với AI cắt Bx, Cy lần lượt tai D,E a) Chứng minh góc DIE = 900 b) Gọi M là giao điểm của AB và DI , N là giao điểm của AC và EI,c/m MN // BC. ĐỀ 26: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2010 - 2011 - Thời gian 150 phút 12
  13. 1 1 1 Câu1. (2 điểm) a)Cho 2 số a; b 0 và a b thoả mãn . a b 5 Chứng minh: trong 2 số : a2 - 10b và b2 - 10a có ít nhất 1 số dương. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x5+ x+ 1 Câu2. (2 điểm) Giải phương trình (x2+10x + 8)2 = 4(2x+1)(x2+8x + 7) (*) 1 1 2 Câu3. (1,5 điểm) x 1 ;y 1 . Chứng minh : 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 Câu4. (1,5 điểm) Cho 1 x y 2 . Tìm GTLN của M = (x+y) ( ) x y Câu5. (3 điểm) Cho tam ABC vuông cân tại A, cạnh góc vuông bằng a .Gọi O là trung điểm của BC và M , N lần lượt thuộc 2 cạnh AB,AC sao cho M· ON = 450 a2 Chứng minh : a) BM.CN = 2 b) Chu vi AMN không phụ thuộc vào vị trí các điểm M , N. ĐỀ 27: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2011 - 2012 - Thời gian 150 phút 2 3 2 10 15 20 Câu1. (2 điểm) a) Tính : 2 3 4 x 2 x2 b) Cho biết : , tính giá trị của biểu thức A = . x2 x 1 3 x4 x2 1 2n+1 n+1 2n+1 n+1 Câu2. (1,5 điểm) Cho biết : an = 2 + 2 + 1 ; : bn = 2 - 2 = 1 , với n N Chứng minh : trong 2 số an và bn có một và chỉ một số chia hết cho 5 Câu3. (2 điểm) Tìm GTNN của biểu thức : S = 3x2 18x 28 4x2 24x 45 Ap dụng giải phương trình 3x2 18x 28 4x2 24x 45 = -5 – x2 + 6x Câu4. (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD ; kẻ CH vuông góc với AD (H AD ) ; kẻ CK vuông góc với AB ( K AB ) . Chứng minh rằng : a) KBC ~ HDC ; b) CKH ~ BCA ; c) AB. AK + AD. AH = AC2 ; d) HK = AC . sinBAD Câu5. (1 điểm) Cho a, b > 0 thỏa mãn : a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh : a2 + b2 1+ ab 13
  14. ĐỀ 28: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2012 - 2013 - Thời gian 150 phút Câu 1: (2,0 điểm) a) Cho 2 số thực x, y thỏa mãn x 3 – 3xy2 = 10 và y3 – 3x2y = 30. ính giá trị biểu thức P = x 2 + y2. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9. Câu 2: (3,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) sao cho: x(x + 1) = y2 + 1. b) Giải phương trình: x4 – x3 – x + 1 = 0. c) Giải phương trình: x + 2y2 + 8 = 2 x y 2 . Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x4 – 4x + 2012. ab bc ca b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 3 . CMR: 3. c a b Câu4: (1,0 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. A a Chứng minh rằng: Sin . 2 2 bc Câu5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, P là điểm trên cạnh AC (P khác A và C); kẻ AN vuông góc với BP (N thuộc đoạn BP). Trên BN lấy điểm I sao cho BI = AN. a) Chứng minh rằng: Tam giác IMN vuông cân. b) Cho SABC = 4SIMN. Tính góc ABP. ĐỀ 29: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2013 - 2014 - Thời gian 150 phút Câu 1: (3 điểm) a) Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: ïì x + y + xy = 3 ï íï y + z + yz = 1 ï îï z + x + zx = 1 Tính giá trị của biểu thức: M = x27 + y9 + z2013 b) Cho số nguyên a, chứng minh rằng A = a5 + 5a3 – 6a chia hết cho 60. Câu 2: (2.5 điểm) a) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 32y + x = 0 b) Giải phương trình: 2x2 + 6x + 5 = 4x + 5 Câu 3: (1 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 - 3 = xy(1- 2xy) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: P = xy Câu 4: (3.5 điểm) Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các cạnh AB, AC; O là trung điểm của AD; M, N thứ tự là trung điểm của BD và DC. a) Chứng minh: ΔDBO đồng dạng với ΔDAN và trực tâm H của ΔAMN là trung điểm của OD AB3 BE b) Chứng minh: EF3 = BE.CF.BC và = AC3 CF c) Khi các đỉnh A, B, C, chuyển động thỏa mãn AD = h (không đổi). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích ΔAMN. ĐỀ 30: Đề Sơ tuyển Hoàng Mai - Năm học 2013 - 2014 - Thời gian 150 phút 14
  15. Câu 1. (4,5 điểm). a. Cho biết x 2 x 1 0 . x 6 3x 5 3x 4 x 3 2013 Tính giá trị của biểu thức Q = x 6 x 3 3x 2 3x 2013 b. Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n2 n 6 không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2n2 n 8 không là số chính phương. Câu 2. (4,5 điểm). a. Giải phương trình: (x2 1)2 3x(x2 1) 2x2 0 b. Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x2 xy 5y 24 0 . Câu 3. (4điểm). a. Cho biểu thức: A 2x2 9y2 6xy 6x 12y 2042 Tìm x, y để A nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b. Cho ba số thực dương a,b,c bất kỳ. Chứng minh rằng: a3 b3 b3 c3 c3 a3 a b c 2ab 2bc 2ca Câu 4. (6 điểm). Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a và D· AB 600 . Đường thẳng qua C cắt tia đối của tia BA, DA ở M và N . a) Chứng minh rằng: BM.DN không đổi. b) Chứng minh rằng: BDM : DNB c) Gọi K là giao điểm của BN và DM . Tính B· KD . Câu 5. (1điểm). Cho tam giác ABC có đường cao AH (H nằm giữa hai điểm B và C ). Cho biết AH 6cm; BH 3cm và số đo góc CAH gấp ba lần số đo góc BAH . Tính diên tích tam giác ABC . ĐỀ 31: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2014 - 2015 - Thời gian 150 phút Câu 1: (6,0 điểm) a) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng. 1 1 1 b) Cho 0; abc 0 . Chứng minh rằng: a b c 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b b c c a 3 3 3 9abc . a b c Câu 2: (5,0 điểm) a) Ký hiệu n! = 1.2.3 n (với n ¥ * ). Tìm số tự nhiên n sao cho số: A = 1! + 2! + 3! + + n! là một số chính phương. b) Giải phương trình: 2 x 2 x x 2 . Câu 3: (2,0 điểm) Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 A = x y . x y Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh điểm H cách đều các cạnh của tam giác DEF. b) Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng. ĐỀ 32: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2015 - 2016 - Thời gian 150 phút 15
  16. Câu 1: (6,0 điểm) c) Trong 4 thùng sữa với 3 thùng sữa thật có khối lượng như nhau và 1 thùng sữa giả có khối lượng khác với khối lượng của thùng sữa thật. Làm thế nào để tìm được thùng sữa giả bằng hai lần cân? (Cân có 2 đĩa thăng bằng và không có quả cân, các thùng sữa hình thức giống nhau và không phân biệt được bằng mắt thường). d) Cho hai số dương a, b khác nhau và thỏa mãn a b 1 b2 1 a2 . Tính giá trị của biểu thức: M = a2 b2 . Câu 2: (5,0 điểm) b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 1 x x2 x3 x4 2016 y . b) Giải phương trình: x2 x 8 4 x 3 . Câu 3: (2,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c 1 1 1 P = 2 abc . abc a b c Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC. Tia phân giác của góc AHB cắt BI tại J, tia phân giác của góc AHC cắt CI tại K. Chứng minh rằng: a) VABC : VHJK b) AI  JK. ĐỀ 33: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2016 - 2017 - Thời gian 150 phút Câu 1: (6,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Cho A = ; B = 1 1 2 2 3 99 100 2 3 35 So sánh A và B 1 b) Cho x, y ¤ * , thỏa mãn x3 y3 2x2 y2 . Chứng minh rằng: B = 1 là số xy hữu tỉ. Câu 2: (5,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + x2 + 1 = y2 b) Giải phương trình: (x 2)(x 4) 2 2x 5 2 Câu 3: (2,0 điểm) Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu a b c thức: P = . b2 1 c2 1 a2 1 Câu 4: (7,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB. Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia By lấy điểm N sao cho M· ON 900 . Kẻ OH MN (H thuộc đoạn MN) a) Chứng minh: tích AM.BN không đổi khi M di chuyển trên tia Ax. b) Chứng minh: ABH là tam giác vuông. c) Gọi I là giao điểm của AN và BM. Đường thẳng qua A vuông góc với BM và đường thẳng qua B vuông góc với AN cắt nhau tại K. Chứng minh: K, H, I thẳng hàng. ĐỀ 34: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2017 - 2018 - Thời gian 150 phút 16
  17. Câu 1: (6,0 điểm) a) Chứng minh rằng số x0 2 2 3 6 3 2 3 là một nghiệm của phương trình x4 16x2 32 0. b) Cho x2016 y2016 z2016 x2017 y2017 z2017 1 . Tính giá trị của biểu thức: P = x10 y10 z2017. Câu 2: (5,0 điểm) a) Cho m, n là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước chung lớn nhất của hai số A = m + n và B = m2 + n2. b) Giải phương trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 10x x2 24. Câu 3: (2,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c S = . a 2b b 2c c 2a Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC). Lấy các điểm M, N thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho A· MN=Cµ (N khác C). Gọi I là giao điểm của BN và CM. a) Chứng minh: A· BN A· CM. b) Chứng minh: BCI : MNI c) Gọi D là giao điểm của tia MN và tia BC. H, K, L thứ tự là trung điểm của BN, CM, AD. Chứng minh: H, K, L thẳng hàng. ĐỀ 35: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2017 - 2018 - Thời gian 120 phút 2 x 1 x 1 x 1 Câu 1: Cho P . 2 2 x x 1 x 1 x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x nguyên để nguyên. P Câu 2: a) Giải PT: 5 x x 1 2 b) với mỗi sô nguyên dương n, đặt Pn 1.2.3 n Chứng minh: 1 1.P1 2.P2 3.P3 n.Pn Pn 1 4x y 2z 4 Câu 3: Cho x,y,z không âm thỏa mãn: 3x 6y 2z 6 Tìm Min, Max của S 5x 6y 7z Câu 4: Trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy các điểm C, D sao cho C· AD 300 và đoạn thẳng AD cắt BC tại I. Hạ HI vuông góc với AB. CD a) Tính tỷ số AB b) Chứng minh I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác CDH Câu 5: Cho tam giác ABC có µA Bµ 2Cµ và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tính diện tích tam giác ABC. 17
  18. ĐỀ 36: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2018 - 2019 - Thời gian 150 phút Câu 1: (6,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 4 + 10 + 2 5 + 4- 10 + 2 5 . a b c b) Cho các số a,b,c thỏa mãn + + = 1 . b + c c + a a + b a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P = 1 . b c c a a b Câu 2: (5,0 điểm) a) Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 như sau: 1234567891011 Hỏi chữ số thứ 2018 là chữ số nào? b) Giải phương trình: x 2 4 x x 4. Câu 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. a b c Chứng minh rằng: + + ³ 3. b + c - a a + c - b b + a- c Câu 4: (5,0 điểm) µ Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200, AB = AC = b, BC = a, đường cao BH. Chứng minh 1 a2 rằng: a) CH = × . b) a3 + b3 = 3ab2. 2 b Câu 5: (2,0 điểm) A a Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng sin £ . 2 2 bc ĐỀ 37: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2018 - 2019 - Thời gian 120 phút Câu 1: (3,0 điểm) Rút gọn: x 3 2 a) 8 3 2 2 b) với x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 2: (2,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên n sao cho biểu thức 5 25 n 5 25 n có giá trị nguyên. b) Giải phương trình: (x x2 9)( x 21 x) 9 ab Câu 3: (1,0 điểm) Cho số có 2 chữ số ab . Tìm Min, Max của P a b Câu 4: (3,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 2R. O là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB. Kẻ Ax, By cùng vuông góc với AB, điểm C di động trên By sao cho C· OD 900 . Nối CO, DO. a) CM: VACO : VBOD b) Tìm vị trí của C trên Ax để AC + BD nhỏ nhất c) CM: D là tiếp tuyến của một đường tròn cố định ĐỀ 38: Sơ tuyển Hoàng Mai - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 150 phút 18
  19. Câu 1. (6,0 điểm) 14 6 3 a) Rút gọn biểu thức: .A 3 1 5 3 b) Giải phương trình: 5 x 1 x2 4 5x2 27x 25 . Câu 2. (5,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên ab 1 bc 1 ca 1 S . abc 5 5 5 A x 2018 26y 2019 9z 2020 b) Cho x, y, z là các số nguyên và B x 26y 9z 2019 Chứng minh rằng A chia hết cho 30 khi và chỉ khi B chia hết cho 30. Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn 0 a,b,c,d 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. P 3 abcd 3 (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) Câu 4. (5,0 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB (M khác A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của AE và BC. a) Chứng minh rằng: AH  BC. 1 1 1 b) Chứng minh rằng: . MH2 MD2 MF2 Câu 5. (2,0 điểm) Cho 2019 số 1, 2, 3, , 2019 chọn ra 45 số trong các số trên. Chứng minh rằng trong các số được chọn, tồn tại hai số có hiệu nhỏ hơn 1. ĐỀ 39: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 120 phút Câu 1 (3,0 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: x 3 a) (với x 0, x 9 ) ; b) 4 2 3 7 4 3 . x 2 x 3 Câu 2 (2,5 điểm). a) Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn x2 2y2 1. b) Giải phương trình sau: x2 2 x2 1 2x 1 . Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 của biểu thức: P = . xy yz Câu 4 (3,5 điểm). 19
  20. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, M là một điểm nằm giữa H và B. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại hai điểm D, E (D nằm giữa A và E). Chứng minh rằng: a) OB2 = OH.OA. b) ODH OAD. c) Các điểm D, E, O, H cùng nằm trên một đường tròn. ĐỀ 40: Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 150 phút Câu 1 (6,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 A = + + + + . 2 + 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 100 99 + 99 100 b) Cho các số a, b, c thỏa mãn ab bc ca 0, (a b)(b c)(c a) 0 . Rút gọn 1 1 1 biểu thức: P = . a2 2bc b2 2ca c2 2ab Câu 2 (5,0 điểm) a) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 chia hết cho 10. Chứng minh abc cũng chia hết cho 10. b) Giải phương trình: x 3 3x 1 2 x 2x 2. Câu 3 (2,0 điểm) Cho a, b 0 thỏa mãn a b 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 M . a b2 b a2 Câu 4 (5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Biết AB  AC, DB  DC. Kẻ HE  BC (E thuộc cạnh BC ). Gọi M , N thứ tự là điểm đối xứng của E qua các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) HAD s HBC. b) Các điểm M , A, D, N thẳng hàng. Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Các điểm K, L, P lần lượt nằm trên cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của các điểm K, L, P sao cho tam giác KLP có chu vi nhỏ nhất. 20
  21. ĐỀ 41: Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2020 - 2021 - Thời gian 150 phút Câu 1 (6,0 điểm). 5 5 2 2 3 5 a) Rút gọn biểu thức sau: A = 3 5 2 a b c b) Cho 1 . Tính giá trị của biểu thức: b c c a a b a3 b3 c3 P = a2 b2 c2 . b c c a a b Câu 2 (5,0 điểm). a) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a b)(a c)(b c) a b c . Chứng minh a b c chia hết cho 54. b) Giải phương trình: x2 7x 14 2 x 4 0. Câu 3 (2,0 điểm). a b c Cho a, b, c 0 thỏa mãn 2 . Chứng minh rằng: abc 8. a 1 b 1 c 1 Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường phân giác cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N. a) Chứng minh AI2 = BM.CN. b) Kẻ đường cao AH, trung tuyến BK, đường phân giác CE. Biết AH, BK, CE đồng quy tại điểm D. Tính tgABC. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Biết diện tích của tam giác AOD và tam giác BOC lần lượt là 4cm 2, 16cm2. Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABCD. ĐÁP ÁN 21
  22. ĐỀ 16: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2015 - 2016 - Thời gian 120 phút Câu 1: (3,0 điểm) 1 1 a) Cho A ; B = 3+2 2 2 1 2 1 Hãy so sánh A và B b) Tìm các số tự nhiên n để: M = n2 4n - 5 là số nguyên tố Câu 2: (2,0 điểm) a) Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình: x2 4 3 3y 4y 5x 3x y 1 b) Giải phương trình: 5 x x 3 3x2 6x 7 Câu 3: (1,0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn phương trình:3x2 4y2 4xy 6x 4y 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: M 2x 2015 Câu 4: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 6 CMR: a3 b3 c3 24 Câu 5: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm (O) đường kính BC cố định, điểm A bất kỳ nằm trên (O) sao cho AB A > B Ta có : M n2 4n 5 (n 1)(n 5) 7,5 Do n 1 n 5n N b Nên M là số nguyên tố khi: n – 1 = 1  n = 2 7,5 (2,0đ) * Với n = 2 => M = 7 là số nguyên tố Vậy n = 2 thì M là số nguyên tố 0,5 2 5,0 22
  23. 3x2 6x 4y2 4xy 4y 3 0 0,5 2x2 4x 2 x2 4y2 1 4xy 2x 4y 0 a 0,5 (2,5đ) 2(x2 2x 1) (x2 4y2 1 4xy 2x 4y) 0 0,5 2(x 1)2 (x 2y 1)2 0 1,0 x 1 0 x 1 x 2y 1 0 y 0 3 3 2x 0 x 0,5 3x 2 3 2x 2 3x 2 (2x 3)2 3x 2 4x 2 12x 2 9 b (2,5đ) 3 0,5 x 3 2 x 2 x 1 x 1 0,5 2 4x 15x 11 0 11 x 4 Vậy pt đã cho có nghiệm x = 1 0,5 0,5 3 2,0 1 1 1 Ta có a b 2c a b c 7,5 1 1 1 (2,0đ) (4a ) (4b ) (c ) 3(a b c) a b c 1 1 1 7,5 2 4a. 2 4b. 2 c. 3.2 4 4 2 6 4 a b c 1 dấu “=” xảy ra khi a b ;c 1 0,5 2 4 7,0 4a E (3,0đ) A C H B K O D 1 Xét ABC có OA OB OC BC 2 1,0 => ABC vuông tại A µ Xét hai tam giác vuông: CAB và CHE có C chung 1,0 23
  24. => CAB : CHE (g-g) CA CB 1,0 => => CA.CE CB.CH CH CE Vì EH // AD ( cùng  BC) => H· EB B· DA (slt) (1) 0,5 Gọi k AD  BC => KA KD ( do AD  BC tại K) 4b 0,5 => BAD cân tại B => B· DA B· AD (2) (2,0đ) Mạt khác: B· AD Cµ ( cùng phụ K· AC ) (3) Cµ O· AC ( OAC cân tại O ) (4) 0,5 Từ (1); (2); (3); và (4) => H· EB O· AC 0,5 E A 4c (2,0đ) H B K O C D G Gọi G AB  EH => BAD : BGE (g-g) 0,5 Mà BAD cân tại B => BGE cân tại B => HE = HG và Gµ H· EB (5) Xét AGE vuông tại A có AH là đường trung tuyến 1 0,5 => AH GE HG => HAG cân tại H => Gµ H· AB (6) 2 0,5 Từ (5) ; (6) và H· EB O· AC ( câu b) => H· AB O· AC Mạt khác: O· AC O· AB 900 H· AB O· AB 900 => HA  OA tại A và A (O) 0,5 => HA là tiếp tuyến của (O) => HA luôn tiếp xúc với (O) cố định ĐỀ 17: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2016 - 2017 - Thời gian 120 phút 1 x x 4 1 Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: A = x x 1 x x c) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. d) Tìm giá trị của x để P =x A có giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (3,0 điểm) c) Giải phương trình: x 3 2x. 24
  25. xy x y 1 0 d) Giải hệ phương trình: yz y z 5 0 . zx x z 2 0 Câu 3: (0,5 điểm) a2 b2 Cho a, b > 0 và a2 b2 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2a 2b . b a Câu 4: (3,0 điểm) Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho A· BO = A· CO. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O lên AB, AC. OB sinO· AB c) Chứng minh: = . OC sinO· AC d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MHK là tam giác cân. Câu 5: (0,5 điểm) Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Hạ IE BC (E thuộc cạnh BC). Chứng minh rằng: IA + IB + IC 6IE. ĐÁP ÁN: ĐỀ 17: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2016 - 2017 Câu Nội dung Điểm ĐKXĐ: x 0 0,5 1 (3 đ) 1 x x 1 x x 4 1 A 0,5 x x 1 x x 1 x x 1 0,5 a/2đ 1 x x 4 x 1 4 x 4 x x 1 x x 1 x 1 0,5 Với x 0 4 4 4 0,25 P x x 1 1 2 x 1 1 3 x 1 x 1 x 1 0,5 2 b/1đ Dấu “=” xảy ra khi x 1 4 x 1 2 x 1(tm) 0,25 Vậy: x = 1 thì P đạt GTNN 2(3đ) a)Giải phương trình : x 3 =2x ĐK:x -3 0,25 x 0 a/2đ x 0 x 0 2 2 4 x 3 2x 4x x 3 0 x 1(tm); x (loai) 3 Vậy phương trình có nghiệm :x=1 xy x y 1 0 x 1 y 1 2 yz y z 5 0 y 1 z 1 6 xz x z 2 0 x 1 z 1 3 b/ 0,25 Nhân từng vế của hệ phương trình: 0,75đ 25
  26. 2 x 1 y 1 z 1 36 x 0 TH1: x 1 y 1 z 1 6 y 1 0,25 z 2 x 2 TH2: x 1 y 1 z 1 6 y 3 z 4 0,25 Vậy hệ có nghiệm (x, y, z) = (0; 1; 2); (-2; -3; -4) 3(0,5đ) Cho a,b>0 và a2 b2 8. Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức: a2 b2 b2 a2 Q= 2a+2b+ + =(a+ )+(b+ )+a+b b a a b a2 b2 a2 b2 8 8 8 8 = + +a+b = + +a+b = ( +2a)+( +2b) (a+b) a b a b a b Ta có: 8 8 +2a 2 2a =8 a a 0,25 8 8 +2b 2 2b =8 b b a+b 2(a2 b2 ) =4 Q 12 Vậy Min Q=12 khi a=b=2(TM) 0,25 4 (3 đ) A a/ 2,25đ K H O N P B M C 26
  27. BHO CKO(g-g) 0,5 OB OH 0,25 = (1) OC OK OH OK 0,5 SinO· AB = ; SinO· AC = OA OA SinO· AB OH = (2) 0,5 SinO· AC OK OB SinO· AB 0,5 Từ (1) và (2) = OC SinO· AC Gọi N là trung điểm OB,P là trung điểm OC Ta có : OC MN=PK(= ) (3) 2 0,25 OB b/ HN=PM(= ) (4) 2 0,75đ 0,25 H· NO 2A· BO K· PO 2A· CO O· NM O· PM (tứ giác ONMP là hình bình hành) H· NM K· PM (5) Từ (3) (4) (5) MNH= KPM (c-g-c) MH=MK 0,25 MHK cân tại M 5(0,5đ) A K H M B E C N Kẻ IH  AB; IK  AC; BM  AI ;CN  AI Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IH=IK=IE=r Goi P là giao điểm của AI và BC IH.AB BM.IA SIAB = c.r=IA.BM IA.BP 2 2 IK.AC CN.IA SIAC = b.r=IA.CN IA.CP 2 2 27
  28. (b+c)r IA(BP+CP)=IA.a b c IA r (1) a Tương tự : a c 0,25 IB r (2) b a b IC r (3) c b c a c a b Từ (1)(2)(3) IA+IB+IC ( + + )r a b c b c a c a b b a c b a c + + =( + )+( + )+( + ) 6 a b c a b b c c a IA+IB+IC 6IE Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hay ABC đều 0,25 ĐỀ 32: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2015 - 2016 - Thời gian 150 phút Câu 1: (6,0 điểm) e) Trong 4 thùng sữa với 3 thùng sữa thật có khối lượng như nhau và 1 thùng sữa giả có khối lượng khác với khối lượng của thùng sữa thật. Làm thế nào để tìm được thùng sữa giả bằng hai lần cân? (Cân có 2 đĩa thăng bằng và không có quả cân, các thùng sữa hình thức giống nhau và không phân biệt được bằng mắt thường). f) Cho hai số dương a, b khác nhau và thỏa mãn a b 1 b2 1 a2 . Tính giá trị của biểu thức: M = a2 b2 . Câu 2: (5,0 điểm) c) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 1 x x2 x3 x4 2016 y . b) Giải phương trình: x2 x 8 4 x 3 . Câu 3: (2,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c 1 1 1 P = 2 abc . abc a b c Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC. Tia phân giác của góc AHB cắt BI tại J, tia phân giác của góc AHC cắt CI tại K. Chứng minh rằng: a) VABC : VHJK b) AI  JK ĐÁP ÁN ĐỀ 32: ĐỀ THI SƠ TUYỂN NĂM HỌC 2015-2016 Câu Nội dung Điểm 1 6,0 Đặt lên mỗi đĩa cân một thùng sữa. 0,5 - Nếu cân thăng bằng thì hai thùng sữa là thật. Thay một thùng sữa đã cân bằng một trong 2 thùng còn lại. Nếu cân thăng bằng thì thùng thứ a) tư là là thung sữa giả. Nếu cân lệch thì thùng vừa thay là thùng sữa giả. (3,0 1,5 - Nếu ngay trong lần cân đầu tiên cân lệch thì một trong hai thùng điểm) trên đĩa là thùng sữa giả. Trong lần cân thứ hai chỉ cần thay một thùng sữa đã cân bằng bằng 1 trong 2 thùng sữa còn lại. Nếu cân thăng bằng thì thùng sửa lấy xuống là thùng sữa giả. Nếu cân bị lệch thì thùng giữ 28
  29. lại trên đĩa là thùng sửa giả. 1,0 a b 1 b2 1 a2 2 2 0,5 a 1 a b 1 b 2 2 2 2 2 2 b) a 1 a 2a 1 a b 1 b 2b 1 b (3,0 2 2 0,5 a 1 a b 1 b điểm) a2 (1 a2 ) b2 (1 b2 ) a2 a4 b2 b4 1,0 a2 b2 (a4 b4 ) 0 (a2 b2 )(1 a2 b2 ) 0(*) Vì a, b là hai số dương khác nhau nên a2 b2 0( ) Từ (*) và ( ) suy ra 1 a2 b2 0 1,0 M a2 b2 1 2 5,0 Với y = 0 1 x x2 x3 x4 0 x 0 (vì x là số tự nhiên) (*) 0,5 Với y 1 2016 y 2 (1) 0,5 Mặt khác: x x2 x3 x4 x(1 x x2 x3 ) x(1 x)(1 x2 )2 a) 1,0 (2,5 1 x x2 x3 x4 2 (2) điểm) Từ (1) và (2) suy ra y 1 không thõa mãn Vây x = 0, y = 0. 0,5 ĐKXĐ: x 3 0,25 Ta có: x2 x 8 4 x 3 x2 x 8 4 x 3 0 0,25 x2 2x 1 x 3 4 x 3 4 0 0,5 2 2 (x 1) ( x 3 2) 0 0,5 b) (2,5 x 1 0 điểm) x 1 (Thỏa mãn ĐKXĐ) 0,75 x 3 2 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 0,25 3 2,0 29
  30. (a b)2 Ta có: (a b)2 0 a2 b2 (1) 0,25 2 Áp dụng (1) ta có 2 2 1 1 1 1 0,5 2 2 x y 1 1 1 x y x y A = x y (1) x y 2 2 Mặt khác với x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 1 1 2 1 1 4 0,25 (x y) 2 xy. 4 (2) x y xy x y x y 2 4 1 x y 25 0,5 Từ (1) và (2) suy ra A 2 2 25 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = khi x = y = 0,5 2 2 4 7,0 A E F H N M K I B D C a) Ta có AFH : ADB (B· AD chung, ·AFH ·ADB 900 ) 0,5 (4,0 AF AD mà B· AD chung AFD : AHB ·ADF ·ABH (1) 1,0 điểm) AH AB Chứng minh tương tự ta cũng có ·ADE ·ACH (2) 0,5 Mà ·ABH ·ACH (3) 0,5 · · Từ (1), (2) và (3) suy ra ADF ADE suy ra DH là tia phân giác của góc 0,5 FDE. (4) 30
  31. Tương tự EH cung là tia phân giác của góc DEF (5) 0,5 Từ (4) và (5) suy ra điều phải chứng minh 0,5 BI BD BK Ta có IK / /FE (1) 0,75 IF DC KE b) Tương tự MN//FE (2) 0,75 (3,0 IF DH NE điểm) Ta lại có IN / /FE (3) 0,75 FA HA EA Từ (1), (2) và (3) suy ra I, K, M, N thẳng hàng 0,75 ĐỀ 33: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2016 - 2017 - Thời gian 150 phút Câu 1: (6,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Cho A = ; B = 1 1 2 2 3 99 100 2 3 35 So sánh A và B 1 b) Cho x, y ¤ * , thỏa mãn x3 y3 2x2 y2 . Chứng minh rằng: B = 1 là số xy hữu tỉ. Câu 2: (5,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + x2 + 1 = y2 b) Giải phương trình: (x 2)(x 4) 2 2x 5 2 Câu 3: (2,0 điểm) Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu a b c thức: P = . b2 1 c2 1 a2 1 Câu 4: (7,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB. Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia By lấy điểm N sao cho M· ON 900 . Kẻ OH MN (H thuộc đoạn MN) a) Chứng minh: tích AM.BN không đổi khi M di chuyển trên tia Ax. b) Chứng minh: ABH là tam giác vuông. c) Gọi I là giao điểm của AN và BM. Đường thẳng qua A vuông góc với BM và đường thẳng qua B vuông góc với AN cắt nhau tại K. Chứng minh: K, H, I thẳng hàng. ĐÁP ÁN ĐỀ 33: ĐỀ THI SƠ TUYỂN NĂM HỌC 2016-2017 Câu Nội dung Điểm 1 6,0 1,0 A = 2 1 3 2 100 99 100 1 9 a) 2 2 2 2 2 2 B =10 (3,0 2 2 2 2 35 1 2 2 3 35 36 1,5 điểm) suy ra B > A 0,5 31
  32. 1 xy 1 4x4 y4 4x3 y3 (x3 y3 )2 4x3 y3 1 xy xy 4x4 y4 4x4 y4 b) (3,0 (x3 y3 )2 1 x3 y3 B 1 suy ra đpcm 1,0 điểm) 4x4 y4 xy 2x2 y2 2 5,0 Ta có: x4 x4 x2 1 x4 2x2 1 0,5 (x2 )2 y2 (x2 1)2 (1) 0,5 2 2 2 a) suy ra y (x 1) (2,5 x4 x2 1 x4 2x2 1 1,0 điểm) x2 0 x 0 Với x = 0 suy ra y = 1,-1 0,5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên x = 0,y = 1; x = 0, y = -1 5 ĐKXĐ: x 0,25 2 Ta có: (x 2)(x 4) 2 2x 5 2 x2 6x 10 2 2x 5 0,25 0,5 x2 4x 4 2x 5 2 2x 5 1 0 b) (x 2)2 ( 2x 5 1)2 0 0,5 (2,5 x 2 0 điểm) x 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ) 0,75 2x 5 1 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -2 0,25 3 2,0 GTLN Do a, b, c có vai trò hoán vị vòng quanh nên giả sử a b,a c a a b b suy ra ; b2 1 a2 1 c2 1 a2 1 a b c a b c 1,0 b2 1 c2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a b c 3 P 3 a2 1 a2 1 2,0 Vậy GTLN của P = 3 chẳng khi a = b =0, c =3, a = c =0, b = 3 và c =b=0, điểm a =3. GTNN b 1 ab2 ab Ta có b2 1 2 b2 1 2 a a(b2 1) ab2 ab2 ab do đó a a (1) 1,0 b2 1 b2 1 b2 1 2 b bc c ca Tương tự ta có: b (2); c (3) c2 1 2 a2 1 2 Từ (1), (2), (3) 32
  33. (ab bc ca)2 (a b c)3 3 P a b c a b c 2 6 2 suy ra GTNN cua p = 3/2 khi a = b = c = 1. 4 7,0 K M P H N I a) A B (3,0 O điểm) Ta có AMO + AOM = AMO + NOB (=900) 1,0 AOM = NOB Xét ∆MAO và ∆OBN có AOM = NOB 1,0 MAO = OBN =900 AM AO AB2 ∆MAO : ∆OBN (g.g) AM.BN AO.BO 1,0 OB BN 4 Gọi P là trung điểm của MN OP//AM AMO = MOP (1) (so le trong) mặt khác MP = OP (t/c đường trung tuyến của tam giác vuông) PMO = MOP (2) 1,0 b) từ (1) và (2) suy ra AMO = PMO (3) (2,0 điểm) Xét hai tam giác AMO và HMO có AMO = PMO (theo (3)) 1,0 MAO = MHO = 900 MO cạnh chung 33
  34. ∆AMO = ∆ HMO AO = OH =OB 1,0 ∆ABH vuông tại H ∆AMO = ∆ HMO AM = MH HN = BN c) vì BN//AM BN/AM = NI/IN HN/HM = NI/IA HI//AM 1,0 2, 0 HI  AB (1) điểm mặt khác I là trực tâm của tam giác ABK (2) 1,0 Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng ĐỀ 34: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2017 - 2018 - Thời gian 150 phút Câu 1: (6,0 điểm) a) Chứng minh rằng số x0 2 2 3 6 3 2 3 là một nghiệm của phương trình x4 16x2 32 0. b) Cho x2016 y2016 z2016 x2017 y2017 z2017 1 . Tính giá trị của biểu thức: P = x10 y10 z2017. Câu 2: (5,0 điểm) a) Cho m, n là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước chung lớn nhất của hai số A = m + n và B = m2 + n2. b) Giải phương trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 10x x2 24. Câu 3: (2,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c S = . a 2b b 2c c 2a Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC). Lấy các điểm M, N thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho A· MN=Cµ (N khác C). Gọi I là giao điểm của BN và CM. a) Chứng minh: A· BN A· CM. b) Chứng minh: BCI : MNI c) Gọi D là giao điểm của tia MN và tia BC. H, K, L thứ tự là trung điểm của BN, CM, AD. Chứng minh: H, K, L thẳng hàng. ĐÁP ÁN ĐỀ 34: ĐỀ THI SƠ TUYỂN NĂM HỌC 2017-2018 Câu Nội dung Điểm 1 6,0 2 2 x0 2 2 3 6 3 2 3 0,5 a) (3,0 2 2 3 6 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 0,5 điểm) 8 2 2 3 2 3 2 3 0,5 34
  35. 8 x2 2 2 3 3(2 3) 0,25 0 2 2 0,5 8 x0 4(2 3 6 3 3 2 3(2 3)(2 3)) x4 16x2 64 32 0 0 0,5 4 2 x0 16x0 32 0 0,25 Từ x2016 y2016 z2016 1 1 x, y, z 1 (1) 1,0 Xét hiệu x2016 y2016 z2016 x2017 y2017 z2017 b) 1,0 (3,0 x2016 1 x y2016 1 y z2016 1 z 0 (2) điểm) 2016 2016 2016 2017 2017 2017 Theo bài ra x y z x y z 1 (3) x 1, y 0, z 0 Từ (1), (2), (3) ruy ra x 0, y 1, z 0 1,0 x 0, y 0, z 0 P = 1. 2 5,0 m nd m2 n2 2mnd Gọi d = (m + n, m2 + n2) 2mnd 2 2 2 2 0,5 m n d m n d 2mnd 2mnd 2  2 2m d m nd 2m 2mnd 0,75 Tương tự ta có 2n2 d a) m2 d Nếu d là số lẻ suy ra mà (m,n) = 1 d = 1 0,5 (2,5 2 n d điểm) 2m2 2d ' m2 d ' Nếu d là số chẵn, đặt d = 2d' mà (m,n) = 1 2 ' 2 ' 2n 2d n d 0,5 d' = 1 d =2. Vậy (m + n, m2 + n2) = 1 khi n, m khác tính chẵn lẻ 0,25 (m + n, m2 + n2) = 2 khi n, n cùng là số lẻ ĐK: x 1 Ta có x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 10x x2 24. (1) 1,0 35
  36. b) 2 2 2 (2,5 x 1 2 x 1 3 1 x 5 điểm) 2 x 1 2 x 1 3 1 x 5 Mà x 1 2 x 1 3 x 1 2 3 x 1 1 (2) 0,75 1 – (x – 5)2 1 (3) x 1 2 x 1 3 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra x 5 2 1 x 5 1 0,75 x = 5 thỏa mãn pt (1). Vậy pt (1) có một nghiệm x = 5 3 2,0 a a 1 1 dấu "=" xảy ra khi b = c a 2b a 2ab2c 1 2b2c 1 b2 b2c2 0,75 b 1 c 1 Tương tự ta có: ; b 2c 1 c2 c2a2 c 2a 1 a2 a2b2 1 1 1 Suy ra S 0,5 1 b2 b2c2 1 c2 c2a2 1 a2 a2b2 2,0 điểm 1 a2 1 a2b2 Mà ; 0,5 1 b2 b2c2 a2 a2b2 1 1 c2 a2c2 a2b2 1 a2 1 a2 a2b2 S 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a a b a a b 1 a b 1 a 0,25 Suy ra GTNN của S = 1 khi a = b = c = 0. 4 7,0 36
  37. A M N I L K H a) B C D (3,0 AM AN điểm) AMN : ACB (g.g) AC AB 3,0 Mà góc A chung ABN : ACM (c.g.c) ·ABN ·ACM (1) b) Ta có BIM = CIN (đối đỉnh) kết hợp với (1) suy ra BIM: CIN MI NI (2,0 (g.g) mà NIM = CIB (đối đỉnh) 2,0 BI CI điểm) MN I: BCI (c.g.c) Ta có SAHK =SABC – SABH – SBCH – SCHK – SACK = c) = SABC – 1/2SABN – 1/2SBCN – 1/2SCMH – 1/2SACM = 1/2S – 1/2S – 1/2S = ½(S + S ) = 1/4S 2, 0 ABC CMH ACM BMH BCH BCNM 2,0 Chứng minh trương ta có: SDHK = 1/4SBCNM điểm Suy ra SAHK = SDHK Gọi L' là giao điểm của HK và AD. Dễ dàng chứng minh được L' là trung điểm của AD suy ra L  L'. Suy ra đpcm ĐỀ 36: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2018 - 2019 - Thời gian 150 phút Câu 1: (6,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 4 + 10 + 2 5 + 4- 10 + 2 5 . a b c b) Cho các số a,b,c thỏa mãn + + = 1 . b + c c + a a + b a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P = 1 . b c c a a b Câu 2: (5,0 điểm) a) Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 như sau: 1234567891011 Hỏi chữ số thứ 2018 là chữ số nào? 37
  38. b) Giải phương trình: x 2 4 x x 4. Câu 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. a b c Chứng minh rằng: + + ³ 3. b + c - a a + c - b b + a- c Câu 4: (5,0 điểm) µ Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200, AB = AC = b, BC = a, đường cao BH. Chứng minh 1 a2 rằng: a) CH = × . b) a3 + b3 = 3ab2. 2 b Câu 5: (2,0 điểm) A a Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng sin £ . 2 2 bc ĐÁP ÁN ĐỀ 36: ĐỀ THI SƠ TUYỂN NĂM HỌC 2018-2019 Câu Nội dung Điểm 1 6,0 Ta có: A2 = 4 + 10 + 2 5 + 4- 10 + 2 5 + 2 16- (10 + 2 5) 1,0 a) (3,0 =8+ 2 6- 2 5 = 8+ 2 ( 5 - 1)2 = 8+ 2 5 - 2 = ( 5 + 1)2 1,0 điểm) Suy ra A = 5 + 1 (Vì A > 0) 1,0 a b c + + = 1 b + c c + a a + b Từ 1,0 æ a b c ö Þ (a + b + c)ç + + ÷= a + b + c èçb + c c + a a + bø÷ b) a2 b2 c2 Þ a + + b + + c + = a + b + c 1,0 (3,0 b + c c + a a + b điểm) a2 b2 c2 Þ + + = 0 Þ P = 1 1,0 b + c c + a a + b 2 5,0 Từ 1 đến 9 có 9 chữ số Từ 10 đến 99 có 2x90 = 180 chữ số 1,0 Từ 100 đến 999 có 3x900 = 2700 chữ số Mà 189 < 2018 < 2889 nên ta đã viết đến các số có 3 chữ số 0,5 a) (2,5 Ta có: 2018 – 189 = 1829 = 3x609 + 2 0,5 điểm) Nên ta đã viết đến 609 số có 3 chữ số và chữ số thứ hai của số có 3 chữ số tiếp theo. Số các số đã viết là 99 + 609 = 708 số và chữ số thư 2 của số 709 0,5 Vậy chữ số thứ 2018 là chữ số 0. ïì x ³ 0 b) ï ï (2,5 Điều kiện để pt có nghĩa í 4- x ³ 0 Û 2 5 - 2 £ x £ 4 (*) 0,5 điểm) ï îï x - 2 4- x ³ 0 38
  39. ïì ï x £ 2 Với x thỏa mãn (*) ta có í 1,0 ï îï x - 2 4- x £ x £ 2 Suy ra x - 2 4- x + x £ 4 dấu (=) xảy ra khi x = 4 1,0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4 3 2,0 Đặt x = b + c – a; y = a + c – b; z = b + a - c 0,5 Suy ra x + y = 2c; y + z = 2a; x + z = 2b 0,5 æ ö a b c 1çy + z x + z x + y÷ 2,0 Ta có + + = ç + + ÷ 0,5 điểm b + c - a a + c - b b + a- c 2èç x y z ø÷ 1 æy + z x + z x + yö 1 éæy xö æz xö æz yöù Mà .ç + + ÷= .êç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷ú³ 3 ç ÷ êç ÷ ç ÷ ç ÷ú 0,5 2 è x y z ø 2 ëèx yø èx z ø èy zøû Suy ra điều phải chứng minh 4 5,0 A a) (3,0 điểm) I D H B C Trên AC lấy điểm I sao cho Ð IBC = 200 Suy ra D ABC : D BIC (g.g) 1,5 CI BC a2 1 a2 Þ = Þ CI = Þ CH = . 1,5 BC AB b 2 b 39
  40. Hạ AD ^ BI . 3 1 Ta có: Ð ABD = 600; Ð BAD = 300; suy ra AD = b , BD = b 2 2 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AID 0,5 2 2 æ a2 ö 3 æb ö 2 2 2 ç ÷ 2 ç ÷ b) AI = AD + DH Þ çb- ÷ = b + ç - a÷ ç ÷ ç ÷ 0,5 (2,0 è b ø 4 è2 ø điểm) Þ 4(b2 - a2 )2 = b2 (b- 2a)2 + 3b4 Þ 4(a4 - 2a2b2 + b4 ) = b2 (b2 - 4ab + 4a2 ) + 3b4 4 2 2 4 4 3 2 2 4 Þ 4a - 8a b + 4b = b - 4ab + 4a b + 3b 0,5 Þ 4a4 + 4ab3 = 12a2b2 0,5 Þ a3 + b3 = 3ab2 5 2,0 A H 2, 0 điểm B C D K Kẻ đường phân giác AD của tam giác ABC, Hạ BH, CK vuông góc với AD. A A 0,5 Ta có: BH = c.sin , CK = bsin 2 2 0,5 A Þ (b + c)sin = BH + CK £ a 2 0,5 A a a Þ sin £ £ . 0,5 2 b + c 2 bc Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đã. 40
  41. ĐỀ 38: Sơ tuyển Hoàng Mai - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 150 phút Câu 1. (6,0 điểm) 14 6 3 a) Rút gọn biểu thức: .A 3 1 5 3 b) Giải phương trình: 5 x 1 x2 4 5x2 27x 25 . Câu 2. (5,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên ab 1 bc 1 ca 1 S . abc 5 5 5 A x 2018 26y 2019 9z 2020 b) Cho x, y, z là các số nguyên và B x 26y 9z 2019 Chứng minh rằng A chia hết cho 30 khi và chỉ khi B chia hết cho 30. Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn 0 a,b,c,d 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. P 3 abcd 3 (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) Câu 4. (5,0 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB (M khác A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của AE và BC. a) Chứng minh rằng: AH  BC. 1 1 1 b) Chứng minh rằng: . MH2 MD2 MF2 Câu 5. (2,0 điểm) Cho 2019 số 1, 2, 3, , 2019 chọn ra 45 số trong các số trên. Chứng minh rằng trong các số được chọn, tồn tại hai số có hiệu nhỏ hơn 1. ĐÁP ÁN ĐỀ 38 – ST HOÀNG MAI 2019-2020 Câu Nội dung Điểm 1 6,0 14 6 3 5 3 A 3 1 0,5 25 3 a) 3 1 4 2 3 1,0 (3,0 điểm) 2 3 1 3 1 1,0 3 1 3 1 2 0,5 ĐKXĐ: x 2 0,5 5 x 1 x2 4 5x2 27x 25 25(x 1) x2 4 10 (x2 4)(x 1) 5x2 27x 25 5 (x2 4)(x 1) 2x2 x 2 1,0 41
  42. Bình phương 2 vế, đưa về phương trình: (x2 2x 4)(4x2 13x 26) 0 x 1 5 TM b) x 1 5 L (3,0 1,0 điểm) 13 3 65 x TM 8 13 3 65 x L 8 13 3 65 Phương trình có nghiệm x 1 5 , x 0,5 8 2 5,0 Điều kiện có nghĩa là a, b, c 0. 1 1 1 1 Ta có S = abc a b c , nên S nguyên a b c abc 0,5 1 1 1 1 P = nguyên. a b c abc 1 1 1 1 Không mất tính tổng quát, giả sử 1 a b c 0. Do đó P = 1 hoặc P = 2. a b c a abc 1 1 1 1 1 1 1 3 3 +) P = 1. Ta có 1 = 1 a b c abc a b c a a a) (2,5 a =1 hoặc a = 2. 0,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 Với a = 1 1 = 1 + = 0 không xảy ra. b c bc b c bc 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 Với a = 2 1 = + = . Suy ra > b 1 b =1 (loại) vì không thỏa mãn b > a. 0,5 b c bc b Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là: (2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3). A a5 b5 c5 b) Đặt a x 2018; b 26y 2019; c 9z 2020 . Ta có: (2,5 B a b c 0,5 điểm) ( a, b, c là các số nguyên ) Xét A B a5 a b5 b c5 c 42
  43. Ta có: với mọi số nguyên m thì m5 m chia hết cho 30 5 4 2 2 Thật vậy: m m m(m 1) m(m 1)(m 1) 0,5 m(m 1)(m 1)(m 2)(m 2) 5m(m 1)(m 1) (1) Với mọi số nguyên m thì m;(m 1);(m 1);(m 2);(m 2) là 5 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3;1 thừa số 0,5 chia hết cho 5 mà 2; 3; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia hết cho 2.3.5. Hay m(m 1)(m 1)(m 2)(m 2) chia hết cho 30 (2) Và m;(m 1);(m 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3 mà 2; 3 nguyên tố cùng nhau nên tích của chúng 0,5 chia hết cho 2.3. Hay 5m(m 1)(m 1) chia hết cho 30 (3) Từ (1); (2); (3) Suy ra với mọi số nguyên m thì m5 m chia hết cho 30 Do đó A B a5 a b5 b c5 c chia hết cho 30 với a, b, c là các số 0,5 nguyên Vậy A chia hết cho 30 khi và chỉ khi B chia hết cho 30. 3 2,0 Áp dung BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có : 1,0 P 3 abcd 3 (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) (2,0 ab c d (1 a)(1 b) 1 c 1 d ab a ab b 3 điểm) 3 3 3 a(b 1) b(a 1) 3 3 1,0 1 do 0 a,b,c,d 1 a(b 1) 0;b(a 1) 0 3 3 Vậy Pmax= 1 khi và chỉ khi a b c d 0 hoặc a b c d 1 4 5,0 D C H O E F a) (3,0 điểm) A M B Chứng minh được: ∆AME = ∆CMB (c.g.c) E·AM = B·CM 1,5 Mà B·CM + M· BC = 900 E·AM + M· BC = 900 A·HB = 900 1,0 43
  44. Vậy AH  BC 0,5 Gọi O là giao điểm của AC và DM. 1 1 ∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến HO AC DM 2 2 0,5 ∆DHM vuông tại H D·HM = 900 b) Chứng minh tương tự, ta có: M· HF = 900 (2,0 · · điểm) Suy ra: DHM + MHF = 1800 ba điểm D, H, F thẳng hàng. 0,5 Chứng minh được ∆DMF vuông tại M, đường cao MH 0,5 Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆DMF, ta có: 1 1 1 0,5 MH2 MD2 MF2 5 2,0 Gọi 45 số được chọn xếp tăng dần là a1,a 2 , ,a 45 1,0 Ta có a1 1, a 45 2019 nên a 45 a1 2019 1 45 1 44 (2, 0 Suy ra (a 45 a 44 ) (a 44 a 43 ) (a 43 a 42 ) (a 2 a1) 44 (1) điểm) Trong 44 hiệu trên, tồn tại một hiệu nhỏ hơn 1, vì nếu cả 44 hiệu đều lớn hơn 1,0 hay bằng 1 thì tổng của chúng lớn hơn hay bằng 44, trái với (1). Vậy tồn tại hai số được chọn có hiệu nhỏ hơn 1. Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đã. ĐÁP ÁN ĐỀ 39: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 120 phút ĐỀ 40: Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 150 phút Câu 1 (6,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 A = + + + + . 2 + 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 100 99 + 99 100 b) Cho các số a, b, c thỏa mãn ab bc ca 0, (a b)(b c)(c a) 0 . Rút gọn 1 1 1 biểu thức: P = . a2 2bc b2 2ca c2 2ab Câu 2 (5,0 điểm) a) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 chia hết cho 10. Chứng minh abc cũng chia hết cho 10. b) Giải phương trình: x 3 3x 1 2 x 2x 2. 44
  45. Câu 3 (2,0 điểm) Cho a, b 0 thỏa mãn a b 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 M . a b2 b a2 Câu 4 (5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Biết AB  AC, DB  DC. Kẻ HE  BC (E thuộc cạnh BC ). Gọi M , N thứ tự là điểm đối xứng của E qua các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) HAD s HBC. b) Các điểm M , A, D, N thẳng hàng. Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Các điểm K, L, P lần lượt nằm trên cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của các điểm K, L, P sao cho tam giác KLP có chu vi nhỏ nhất. ĐÁP ÁN ĐỀ 40: Đề sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 150 phút Câu Nội dung Điểm 1 6,0 1 1 2 - 1 1 Ta có = = = 1- 1,0 2 + 2 2( 2 + 1) 2( 2 + 1)( 2 - 1) 2 1 1 1 Tương tự = - 3 2 + 2 3 2 3 a) 1 1 1 (3,0 = - 4 3 + 3 4 3 4 1,0 điểm) 1 1 1 = - 100 99 + 99 100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 9 A = 1- + - + - + + - = 1- = 1,0 2 2 3 3 4 99 100 10 10 Ta có a2 2bc a2 bc ab ac a2 ab ac bc a a b c a b a b a c 0,5 Tương tự b2 + 2ca = (b- a)(b- c) ; 0,5 c2 2ab c a c b 0,5 b) 1 1 1 Vậy P = 0,5 (3,0 a b a c b a b c c a c b điểm) 45
  46. c b a c b a 0 1,0 a b b c c a 2 5,0 a2 b2 c2 10 a2 b2 c2 2 abc2 (1) 0,5 Mặt khác a2 b2 c2 10 a2 b2 c2 5 (2) 0,5 Giả sử a2 ,b2 ,c2 đều không chia hết cho 5 0,5 suy ra các số a2 ,b2 ,c2 khi chia cho 5 có số dư là 1; 4 Không mất tính tổng quát ta xét các trường hợp sau: TH1: a2 5k 1,b2 5m 1;c2 5n 1 a2 b2 c2 5l 3 a) TH2: a2 5k 1,b2 5m 1;c2 5n 4 a2 b2 c2 5l 1 (2,5 TH3: a2 5k 1,b2 5m 4;c2 5n 4 a2 b2 c2 5l 4 0,5 điểm) TH4: a2 5k 4,b2 5m 4;c2 5n 4 a2 b2 c2 5l 2 Suy ra a2 b2 c2 chia cho 5 có số dư là 1; 2; 3; 4 mẫu thuẫn (2) Vậy trong ba số a2 ,b2 ,c2 luôn có một số chia hết cho 5 a2b2c2 5 abc5 (3) 0,5 Từ (1) và (3) suy ra a2 b2 c2 10 Điều kiện để pt có nghĩa x 0 0,5 Ta có x 3 3x 1 2 x 2x 2 0,5 3x 1 2x 2 2 x x 3 2 2 3x 1 2x 2 2 x x 3 b) 3x 1 2x 2 2 3x 1 2x 2 4x x 3 2 4x x 3 0,5 (2,5 điểm) 3x 1 2x 2 4x x 3 3x 1 2x 2 4x x 3 6x2 2x 6x 2 4x2 12x 0,5 x 1 2 0 x 1thử lại thỏa mãn phương trình đã cho 0,5 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1} 3 2,0 Với a,b 0 , ta có a b 1 2 0 ab2 a 2ab a b2 a 1 a b 2 0,5 1 a 1 2,0 điểm a b2 a b 2 1 b 1 Tương tự 2 2 0,5 b a a b 46
  47. 1 1 a 1 b 1 a b 2 M a b2 b a2 a b 2 a b 2 a b 2 0,5 1 2 1 2 M 2 1 do a b 2 a b a b 2 22 Vậy GTLN của M = 1 khi a b 1 0,5 4 5,0 Q 1 N D A M 1 4 3 2 H a) 1 C (2,5 B E điểm) 0 1,0 Ta có HAB : HDC (B· AH C· DH 90 , ·AHB D· HC (đối đỉnh)) HA HD mà ·AHD B· HC (đối đỉnh) 1,0 HB HC HAD : HBC (c.g.c). 0,5 Tia BA và CD cắt nhau tại Q H là trực tâm của tam giác QBC µ µ Q,H,E thẳng hàng B1 Q1 (1) 0,5 µ µ Từ HAD : HBC A1 B1 (2) µ µ Chứng minh tương tự ta được A2 Q1 (3) 0,5 b) µ µ Từ (1), (2) và (3) A1 A2 (4) (2,5 Mặt khác µA µA (tính chất đối xứng trục) (5) 0,5 điểm) 3 4 Từ (4) và (5) ta có µA µA µA µA 2 µA µA 1800 1 2 3 4 2 3 0,5 M , A,D thẳng hàng (6) Chứng minh tương tự ta được A,D, N thẳng hàng (7) 0,5 Từ (6) và (7) suy ra M , A,D, N thẳng hàng 5 2,0 47
  48. A K2 L P K1 B K C 2, 0 Gọi K , K thứ tự là điểm đối xứng của K qua các cạnh AB, AC. điểm 1 2 AD, BE, CF là ba đường cao của tam giác ABC. 0,5 Gọi M , N thứ tự là điểm đối xứng của D qua các cạnh AB, AC. Ta có chu vi của KLP = KP + PL + KL = K1P + PL + LK2 K 1K2 0,5 Theo câu a) M, F, E, N thẳng hàng suy ra chu vi của DEF = MF + FE + EN = MN 0,5 · · Vì MAN K1 AK2 , AM AN AK1 AK2 MN K1K2 chu vi của KLP Chu vi của DEF Vậy chu vi của KLP nhỏ nhất = Chu vi của DEF khi K, L, P là chân 0,5 đường cao của tam giác ABC. ĐỀ 41: Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2020 - 2021 - Thời gian 150 phút Câu 1 (6,0 điểm). 5 5 2 2 3 5 a) Rút gọn biểu thức sau: A = 3 5 2 a b c b) Cho 1 . Tính giá trị của biểu thức: b c c a a b a3 b3 c3 P = a2 b2 c2 . b c c a a b Câu 2 (5,0 điểm). a) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a b)(a c)(b c) a b c . Chứng minh a b c chia hết cho 54. b) Giải phương trình: x2 7x 14 2 x 4 0. Câu 3 (2,0 điểm). a b c Cho a, b, c 0 thỏa mãn 2 . Chứng minh rằng: abc 8. a 1 b 1 c 1 Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường phân giác cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N. 48
  49. a) Chứng minh AI2 = BM.CN. b) Kẻ đường cao AH, trung tuyến BK, đường phân giác CE. Biết AH, BK, CE đồng quy tại điểm D. Tính tgABC. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Biết diện tích của tam giác AOD và tam giác BOC lần lượt là 4cm 2, 16cm2. Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABCD. ĐÁP ÁN ĐỀ 41: Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2020 - 2021 - Thời gian 150 phút Câu Nội dung Điểm 1 6,0 5+ 5 - 2 2 3+ 5 3+ 5 - 2 2 3+ 5 + 2 Ta có A= = 1,0 3- 5 + 2 3- 5 + 2 a) ( 3 5 2)2 3 5 2 6 2 5 2 (3,0 = 1,0 điểm) 3 5 2 3 5 2 6 2 5 2 ( 5 1)2 2 5 1 3 5 1,0 ( 5 1)2 2 5 1 2 a3 b3 c3 Ta có P (a2 ) (b2 ) (c2 ) b c c a a b 0,5 a2 b2 c2 (a b c) (a b c) (a b c) 0,5 b c c a a b a2 b2 c2 =(a b c)( ) (1) 0,5 b c c a a b Mà b) a b c (3,0 1 điểm) b c c a a b a b c (a b c)( ) a b c b c c a a b 1,0 a2 b2 c2 a b c a b c b c b c c a a2 b2 c2 0 (2) b c c a a b Từ (1) và (2) suy ra P = 0. 0,5 2 5,0 Trong 3 số khi chia cho 2 ít nhất có hai số có cùng số dư nên a) 0,5 (2,5 (a b)(a c)(b c)2 a b c2 (1) điểm) Nếu trong 3 số a,b,c khi chia cho 3 không có 2 số nào có cùng số dư 0,5 49
  50. (a b)(a c)(b c) 3, a b c3 vô lý Nếu trong 3 số a,b,c khi chia cho 3 chỉ có hai số có cùng số dư 0,5 (a b)(a c)(b c)3 , a b c  3 vô lý Vậy 3 số a,b,c khi chia cho 3 luông có cùng số dư 0,5 a b3;a c3;b c3 (a b)(a c)(b c)27 a b c27 (2) Từ (1) và (2) suy ra a b c54 (vì (2; 27) = 1). 0,5 Điều kiện để pt có nghĩa x 4 0,25 Ta có x2 7x 14 2 x 4 0 0,75 x2 6x 9 x 4 2 x 4 1 0 b) (x 3)2 ( x 4 1)2 0 0,5 (2,5 điểm) x 3 0 (1) 0,5 x 4 1 0 (1) x 3thử lại thỏa mãn phương trình đã cho 0,5 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {-3} 3 2,0 Với a,b,c 0 , ta có a b c a b c 1 1 2 1 1 0,75 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a 2 a 1 (b 1)(c 1) Tương tự, ta có: 2,0 b 2 0,75 điểm b 1 (a 1)(c 1) c 2 c 1 (a 1)(b 1) a b c 8 . . a 1 b 1 c 1 (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0,5 abc 8. 4 5,0 50
  51. A I M 1 2 1 N 1 3 2 2 1 1 2 2 B C Ta có AMN là tam giác vuông cân tại A (vì AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao) AI = MI = NI (1) 0,5 a) Xét BMI và BIC có (2,5 M¶ 1800 450 1350 ,Iµ 180 (Bµ C¶ ) 1350 M¶ Iµ (2) điểm) 2 2 2 2 2 2 0,75 µ µ Mà B1 B2 (3) µ ¶ µ Từ (2) và (3) suy ra I1 C2 C1 ¶ ¶ 0 M 2 N2 135 Xét BMI và INC có BMI # INC (g.g) µ µ I1 C1 0,75 BM MI MI.NI BM.CN (4) IN NC Từ (1) và (4) suy ra AI2 = BM.CN 0,5 A F E K D C b) B H (2,5 điểm) Gọi F là điểm đối xứng của D qua K AFCD là hình bình hành 0,5 BE BD Ta có: (DE / /FA) (1) EA DF BD BH (DH//FC) (2) DF CH 0,75 BE BC mà (CE là đường phân giác) (3) EA AC BH BC Từ (1), (2), (3) BH.AC CH.BC (4). CH AC 51
  52. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: 0,5 AC 2 CH.BC (5) Từ (4) và (5) BH.AC AC 2 BH AC 0,25 AC BH 1 tgB cos B tg 2B cos2 B tg 2B AB AB 1 tg 2B 0,5 1 5 5 1 (tg 2B )2 tgB 2 4 2 5 2,0 A D O 2, 0 điểm B C SABO SBCO BO 2 Ta có: ( ) SABO.SCDO SADO.SBCO 4.16 64cm 1,0 SADO SCDO DO 2 SABCD (SABO SCDO ) (SADO SBCO ) 2 SABO.SCDO 20 36cm 0,5 2 2 Vậy min SABCD 36cm khi SABO SCDO 8cm AD / /BC 0,5 52