Toán 9 - Một số câu Vi - Et nâng cao

Nội dung text: Toán 9 - Một số câu Vi - Et nâng cao

1. MỘT SỐ CÂU VI – ẫT NÂNG CAO Cõu 1: Cho phương trỡnh: x2 2mx m 2 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị m b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trỡnh (1) thỏa món 2 2 (1 x1)(2 x2 ) (1 x2 )(2 x1) x1 x2 2 Cõu 2: Cho phương trỡnh x2 mx 1 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu b) Gọi x1, x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh (1): x2 x 1 x2 x 1 Tớnh giỏ trị của biểu thức : P 1 1 2 2 x 1 x 2 Cõu 3: 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):y 2x m 3 và parabol (P): y x . a) Tỡm m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 2. b) Tỡm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là 2 x1, x2 thỏa món: x1 2x2 x1x2 16 . Cõu 4: Cho phương trỡnh x2 mx m 2 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị m 2 2 x1 2 x2 2 b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa món . 4 x1 1 x2 1 Cõu 5: 1. Cho phương trỡnh ẩn x: x2 2m 5 x n 0 a) Tỡm m và n biết phương trỡnh cú hai nghiệm là -2 và 3. b) Cho m = 5. Tỡm số nguyờn dương n nhỏ nhất để phương trỡnh cú nghiệm dương 2. Cho phương trỡnh : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 2 Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa món: x1 +2mx2 = 9 Cõu 6: Cho phương trỡnh x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trỡnh với m = 2. 2 2 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món x1 2(m 1)x2 3m 16 . Bài 7: 2 a) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d 1): y m 1 x 2m (m là tham số) và (d2) : y = 3x + 4 . Tỡm cỏc giỏ trị của m để hai đường thẳng song song với nhau? b) Cho phương trỡnh: x2 2 m 1 x 2m 5 0 (m là tham số). Tỡm cỏc giỏ trị của m để 2 phương trỡnh cú 2 nghiệm x1; x2 thỏa món: x1 2mx1 2m 1 x2 2 0 Cõu 8: Cho hàm số y = -x2 cú đồ thị hàm số là (P) và hàm số y = 2x + m – 3 cú đồ thị hàm số là (d). a) Khi m = 3, hóy vẽ đồ thị (P) và (d). Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 1
2. b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A(x1; y1); B(x2 ; y2 ) sao cho: (y1 2x2 m).(y2 2x1 3m) 51 Cõu 9 (2018) Cho phương trỡnh x2 2(m 1).x 4m 11 0 (1) với m là tham số. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để pt cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 thỏa món hệ thức Cõu 10 (2019) Cho pt 4x2 (m2 2m 15)x (m 1)2 20 0 với m là tham số. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món hệ thức 2 x1 x2 2019 0 Cõu 11 (2020) 2 Cho pt x 19x 7 0 , biết rằng pt này cú hai nghiệm x1, x2. Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức 2 2 2 2 P x2 (2x1 38x1 x1.x2 3) x1(2x2 38x2 x1.x2 3) 120 Hd giải Không có việc gì khó Chỉ sợ lòng không bền Đào núi và lấp biển Quyết chí ắt làm nên! (Hồ Chí Minh) Cũn nữa .! Lời giải chi tiết vui lũng inb MỘT SỐ CÂU VI – ẫT NÂNG CAO Cõu 1. Cho phương trỡnh: x2 2mx m 2 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị m b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trỡnh (1) thỏa món 2 2 (1 x1)(2 x2 ) (1 x2 )(2 x1) x1 x2 2 HD a) Ta cú: ( 2m)2 4.1.(m 2) 4m2 4m 8 (2m 1)2 7 7 0m  (1) luụn cú 2 nghiệm với mọi m. x1 x2 2m b) Theo định lý Viet ta cú: x1x2 m 2 Ta cú: (1 x1)(2 x2 ) (1 x2 )(2 x1) 2 2x1 x2 x1x2 2 2x2 x1 x1x2 4 x1 x2 2x1x2 4 2m 2(m 2) 8 Và 2 2 2 2 x1 x2 2 (x1 x2 ) 2x1x2 2 (2m) 2(m 2) 2 4m2 2m 6 Do vậy: Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 2
3. 4m2 2m 6 8 2m2 m 1 0 (m 1)(2m 1) 0 1 Vậy giỏ trị của m thỏa món là: m = 1; m = m 1 2 1 m 2 Cõu 2: Cho phương trỡnh x2 mx 1 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu b) Gọi x1, x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh (1): x2 x 1 x2 x 1 Tớnh giỏ trị của biểu thức : P 1 1 2 2 x 1 x 2 HD: Cho phương trỡnh x2 mx 1 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu Ta cú a.c = -1 0 ; 4 – n >0 m < 4 x1 x2 2 2 theo hệ thức vi ột ta cú mà x1 2x2 x1x2 16 x1.x2 m 3 2 2 2 x1 2x1x2 x2 x1 x2 2x2 x2 16 2 x1 x2 x2 x1 2 x2 16 4 – x2 (2+2) =16 4.x2 = -12 x2 = -3 x1 = 5 mặt khỏc x1. x2 = m-3 Thay vào ta cú -15 = m – 3 m = -12 < 4 Thỏa món Vậy với m = -12 thỡ đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt 2 là x1, x2 thỏa món: x1 2x2 x1x2 16 . Cõu 4: Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 3
4. Cho phương trỡnh x2 mx m 2 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị m 2 2 x1 2 x2 2 b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa món . 4 x1 1 x2 1 HD: Cho phương trỡnh x2 mx m 2 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trỡnh (1) luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị m m2 4(m 2) m2 4m 8 (m 2)2 4 4 0,m Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m 2 2 x1 2 x2 2 b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa món . 4 x1 1 x2 1 Vỡ a + b + c = 1 m m 2 1 0,m nờn phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm x1, x2 1,m . Từ (1) suy ra : x2 2 mx m x2 2 x2 2 mx m mx m m2 (x 1)(x 1) 1 . 2 4 1 . 2 4 1 2 4 m2 4 m 2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1) Cõu 5: 1.Cho phương trỡnh ẩn x: x2 2m 5 x n 0 a) Tỡm m và n biết phương trỡnh cú hai nghiệm là - 2 và 3. b) Cho m = 5. Tỡm số nguyờn dương n nhỏ nhất để phương trỡnh cú nghiệm dương 2. Cho phương trỡnh : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 2 Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thỏa món: x1 +2mx2 = 9 HD 4m n 14 m 2 1a. Thay lần lượt x = -2; x = 3 vào pt ta được hệ pt Kết luận 6m n 6 n 6 1b. Cho m =5, pt trở thành: x2 5x n 0 0 n 25 / 4 Theo đề bài, ta cú: n 0 x1.x2 0 n 0 Vậy n = 1 là số dương nhỏ nhất thỏa món đk bài toỏn 2) Cho phương trỡnh : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 Để pt cú hai nghiệm thỡ ' 0 m 1 (*) x1 x2 2m Theo Vi-et, ta cú: 2 x1.x2 m m 1 2 2 2 2 Vỡ x2 là nghiệm của pt nờn ta cú : x2 – 2mx2 m – m 1 0 2mx2 x2 m – m 1 Thay vào biểu thức điều kiện của đề, ta được : 2 2 2 x1 x2 m – m 1 9 2 2 (x1 x2 ) 2x1x2 m m 1 9 0 4m2 2(m2 m 1) m2 m 8 0 3m2 m 10 0 Giải pt này ta được : m1 5 / 3 ;m2 2 Đối chiếu ĐK, ta suy ra khi m = 5/3 thỡ Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 4
5. Cõu 6: Cho phương trỡnh x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trỡnh với m = 2. 2 2 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món x1 2(m 1)x2 3m 16 . HD a) Khi m = 2, pt trở thành x2 6x 8 0 Dễ dàng ta giải tỡm đc tập nghiệm của pt là S 2;4 3 b) Để pt (1) cú hai nghiệm x , x thỡ ' 0 (m 1)2 (m2 7) 0 m (*) 1 2 2 x1 x2 2(m 1) Theo Vi-et, ta cú: 2 x1.x2 m 4 Vỡ x2 là nghiệm của pt (1) nờn ta cú thỏa món pt (1). Tức là 2 2 2 2 x2 – 2 m 1 x2 m 4 0 2 m 1 x2 x2 m 4 2 2 Từ điều kiện để bài: x1 2(m 1)x2 3m 16 2 2 2 2 2 2 x1 x2 m 4 3m 16 (x1 x2 ) 2x1.x2 2m 12 Theo Vi-et, ta được : 4(m 1)2 2(m2 4) 2m2 12 8m 16 m 2 . 3 Đối chiếu đk (*), ta được suy ra với m 2 thỡ 2 Bài 7: 2 a) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d 1): y m 1 x 2m (m là tham số) và (d2) : y = 3x + 4 . Tỡm cỏc giỏ trị của m để hai đường thẳng song song với nhau? b) Cho phương trỡnh: x2 2 m 1 x 2m 5 0 (m là tham số). Tỡm cỏc giỏ trị của m để 2 phương trỡnh cú 2 nghiệm x1; x2 thỏa món: x1 2mx1 2m 1 x2 2 0 HD cõu b. 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2 0 x1 2 m 1 x1 2x1 2m 5 4 x2 2 0 2 x1 x1 x2 x1 2x1 x1x2 4 x2 2 0 2x1 4 x2 2 0 2x1x2 4 x1 x2 8 0 x1x2 2 x1 x2 4 0 3 2m 5 2 2m 2 4 0 2m 3 m 2 Cõu 8: Cho hàm số y = -x2 cú đồ thị hàm số là (P) và hàm số y = 2x + m – 3 cú đồ thị hàm số là (d). a) Khi m = 3, hóy vẽ đồ thị (P) và (d). b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A(x1; y1); B(x2 ; y2 ) sao cho: (y1 2x2 m).(y2 2x1 3m) 51 HD b) ĐK pt hoành độ cú hai nghiệm phõn biệt: m < 4 (*) Từ ĐK, biến đổi pt đk: Giải tỡm đc m 5 . Đối chiếu với đk (*), ta chọn đc m = -5 Cõu 9 (2018) Cho phương trỡnh x2 2(m 1).x 4m 11 0 (1) với m là tham số. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để pt cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 thỏa món hệ thức Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 5
6. 2 2(x1 1) (6 x2 )(x1x2 11) 72 HD Để pt (1) cú hai nghiệm phõn biệt thỡ ' 0 2 2 Ta lại cú ' (m 1) (4m 11) (m 3) 3 0 m . Do đú pt (1) luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x 1 và x2 Theo Vi-et, ta cú : x1.x2 4m 11; x1 x2 2(m 1) 2 2(x1 1) (6 x2 )(x1x2 11) 72 2 Theo đề, ta cú : 2(x1 2x1 1) (6 x2 )(4m 11 11) 72 2 2(x1 2x1 1) (6 x2 ).4m 72 (2) Vỡ x1 là nghiệm của pt (1) nờn ta cú : 2 2 x1 2(m 1).x1 4m 11 0 x1 2m.x1 2.x1 4m 11 0 2 x1 2.x1 1 12 2m.x1 4m Thay vào (2), ta được : 2 2(x1 2x1 1) (6 x2 ).4m 72 2.(12 2m.x1 4m) 24m 4mx2 72 24 4mx1 8m 24m 4mx2 72 4m(x1 x2 ) 16m 48 0 Thay x1 x2 2(m 1) vào ta được : 4m 2(m 1) 16m 48 0 2m2 3m 6 0 Giải pt này ta cú : m1 2;m2 3 (cả hai giỏ trị này đều thỏa món hết đk *) Kết luận : Nhận xột : Đặc điểm chung những cõu Vi-et khú thỡ ngoài sự biến đổi chuẩn về mặt đại số, chỳng ta cần sử dụng chớnh cỏi pt (1) của đề để rỳt cỏi phần phức tạp thế vào phương trỡnh (hay biểu thức) điều kiện. Quan sỏt tinh thế một chỳt nhộ. Cỏc bạn làm hết mấy cõu Vi-et thầy đăng hụm trước sẽ thấy được điều này. Cõu 10 (2019) Cho pt 4x2 (m2 2m 15)x (m 1)2 20 0 với m là tham số. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món hệ thức 2 x1 x2 2019 0 Cõu 11 (2020) 2 Cho pt x 19x 7 0 , biết rằng pt này cú hai nghiệm x1, x2. Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức 2 2 2 2 P x2 (2x1 38x1 x1.x2 3) x1(2x2 38x2 x1.x2 3) 120 Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 6
7. Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 7
8. Biờn soạn: ThS. NGUYỄN DUY LIỆU ĐT/Zalo: 0935991512 8