Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 - Chuyên đề: Phương trình, hệ phương trình - Lê Văn Tiến

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 - Chuyên đề: Phương trình, hệ phương trình - Lê Văn Tiến

1. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I. Các kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối f (x) khi f (x) 0 1. Định nghĩa: |f(x)|= f (x) khi f (x) 0 2. Chú ý:f (x) 0 ; f (x) f(x); f (x) - f(x); f (x) 2  f (x)2 II. Các dạng tốn thường gặp 1. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Dạng 1: | f (x)| = | g(x)| (1) Cách giải: - Giải phương trình f (x) g(x) (a) và giải phương trình f (x) g(x) (b) - Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (a) và (b). Dạng 2: | f (x)| = g(x) (2) Cách giải - Tìm điều kiện để g(x) 0 (*) - Giải phương trình f (x) g(x) (c) và giải phương trình f (x) g(x) (d) chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện (*) - Tập nghiệm của phương trình (2) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (c) và (d). 1) Giải các phương trình sau a) |x – 1|= x3 + x + 1 b) x2 1 = x2 - 2x + 8 c) x2 5x 4 = x + 4 Dạng 3: | f (x)| + | g(x)|=h x Cách giải: - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được các khoảng mà dấu f(x) và dấu g(x) hồn tồn xác định - Giải phương trình trên từng khoảng vừa tìm được 2) Giải các phương trình sau 3 a) x2 - 5x 1 - 1 = 0 b) x 3 c) (| x | + 1)2 = 4 | x | + 9 x 4 1 3) Giải các phương trình sau: 2 a) (x2 – 1)2 + 4|x – 1| + 3 = 0 b) x 2 2 | x 2 | 1 c) (x + 2)|x3 – 3x| = x6 – 6x4 + 9x2 + 2x d) |x2 - 4x + 3| - 2 2|3 - x| - |x - 1| g) (| x | + 1)2 = 4 | x | + 9 HD: c) viết lại phươpng trình: (x3 – 3x)2 - (x + 2)|x3 – 3x| + 2x = 0 Đặt t = |x3 – 3x|. đáp số: x = 0; x 1; x 2; x 2 u | x 1| d) - đặt , điều kiện: u 0 vaì v 0. v | x 3| - Lúc đĩ BPT viết lại theo u và v là: u.v + u - 2v - 2 0 (v +1)(u - 2) 0. 1
2. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 2. Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối Dạng 1: | f (x)| > g(x) (1) Cách giải: g(x) 0 Trường hợp 1: (a) f (x) xác định Trường hợp 2: - Điều kiện g(x) 0 (*) f (x) g(x) - Bất phương trình (1) (b) , chọn nghiệm thoả mãn (*) f (x) g(x) Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (a) và (b). 4) Giải các bất phương trình sau 2 x2 4x a) 1 4x 2x 1 b) 2x 3 2x2 5x 3 c) x2 1 d) 1 x2 x2 x 2 Dạng 2: | f (x)| < g(x) (2) Cách giải - Tìm điều kiện để g(x) 0 (*) - Bất phương trình (2) g(x) f (x) g(x) (c) chọn nghiệm thảo mãn (*) 5) Giải các bất phương trình sau a) x2 1 2x 0 b) | x2 -2x -3| 3x – 3 c) 2x 5 7 4x x2 4x x2 5x 4 d) x2 3x 2 x2 2x e) 1 g) 1 x2 x 2 x2 4 Dạng 3: | f (x)| + | g(x)|< h x Cách giải: - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được các khoảng mà dấu f(x) và dấu g(x) hồn tồn xác định - Đưa về dạng 1 hoặc dạng 2 6) Giải các phương trình sau a)x 2 x 4 x 2 b) x 3 x 1 2 c) x x 1 3x x 2x 5 x 2 d) x 1 x x 2 e) 1 0 g) 3 x 3 x2 5x 6 x 2 x x2 2x 4 x2 4x 3 h) 2 k) 1 l) 1 x x2 x 2 x2 x 5 2 x2 1 x 1 x x 6 m) 2 n) 2x x x 2 x 2 2
3. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I. Các kiến thức cơ bản 1) f (x) Xác định khi f(x) 0. Lúc đĩ f (x) 0; 2)  f (x)2 f (x) II. Các dạng tốn thường gặp 1. Phương trình chứa căn bậc hai Dạng 1: f (x) g(x) Cách giải: - Tìm điều kiện để f (x) 0 hoặc g(x) 0 - Bình phương hai vế của phương trình 7) Giải các phương trình sau: a) 2x2 3x 4 = 7x 2 b) 3x 2 = 2x 1 c) 5 2x = x 1 Dạng 2: f (x) g(x) Cách giải: - Tìm điều kiện để g(x) 0 - Bình phương hai vế của phương trình 8) Giải các phương trình sau: a) 3x2 9x 1 | x 2 | b) 3x2 9x 1 x 2 c) x2 2x 4 3 x Dạng 3: f (x) g(x) h(x) f (x) 0 Cách giải: - Tìm điều kiện sao cho g(x) 0 h(x) 0 - Bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng 1 hoặc dạng 2. Chú ý: Nếu hai vế của phương trình chưa cùng dấu thì phai biến đổi sao cho hai vế cùng dấu rồi mới bình phương hai vế của phương trình. 9) Giải các phương trình sau: a) 3x 7 - x 1 = 2 b) x2 9 x2 7 2 c) x2 3 2 2 5 x2 Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn 10) Giải các phương trình sau: a) x2 x 5 x2 x 4 5 b) 44 x 4 x 1 4 x 1 HD: a) đặt t = x2 + x – 4 đk t 0 b) với x 1. chia hai vế cho 4 x rồi đặt ẩn phụ; 11) Giải các bất phương trình sau a) x 5 x 2 3 x x 3 0 b) x 1 x 4 5 x2 5x 28 2 x 1 x 4 2 2 c) 3x 5x 7 3x 5x 2 1 Đáp số: a) b) – 9 < x < 4 c) 2 1 x 1 x 3 3 3
4. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Dạng 5: Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ 12) Giải các phương trình sau: a) 3x2 2x 15 3x2 2x 8 7 b) x3 + 1 = 23 2x 1 c) 3 9 x 2 x 1 d) x x 1 (x 1) x x2 x e) 2 x 3 x (2 x)(3 x) 5 HD: a) đặt u 3x2 2x 15, v 3x2 2x 8 , điều kiện: u 0 ; v 0 b) đặt u 3 2x 1 ; c) đặt u 3 9 x ; v x 1, v 0 d) đặt u = x ; v = x 1 . điều kiện: u 0 ; v 0; e) đặt u=2 x 3 x ; v 2 x 3 x 2. Bất phương trình chứa căn bậc hai Dạng 1: f (x) g(x) f (x) 0 Cách giải: - Tìm điều kiện để g(x) 0 - Bình phương hai vế của phương trình 13) Giải các phương trình sau: 1 3 1 1 a) 1 x 2x2 3x 5 0 b) 21 4x x2 x 3 c) x2 4 x 2 d)x2 x 12 7 x e) x 3 x2 4 x2 9 g) x 2 x2 4 x2 4 h) 8x2 6x 1 4x 1 0 Dạng 2: f (x) g(x) (1) Cách giải: Ta giải hai trường hợp f (x) 0 Trường hợp 1. Bất phương trình (1) g(x) 0 Trường hợp 2. - Điều kiện g(x) 0 - Bình phương hai vế của phương trình Tập nghiệm của bất phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của trường hợp 1 và trường hợp 2 14) Giải các phương trình sau: a) x2 4x 3 2x 5 b) (x 1)(4 x) x 2 c) x2 3x 10 x 2 x 1 4 3 d) 3x2 13x 4 2 x 0 e) x2 8x 12 x 4 g) 2 2 x2 4 h) (x 3) x2 4 x2 9 Dạng 3: f (x) g(x) h(x) f (x) 0 Cách giải: - Tìm điều kiện sao cho g(x) 0 h(x) 0 - Bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng 1 hoặc dạng 2. Chú ý: Nếu hai vế của phương trình chưa cùng dấu thì phai biến đổi sao cho hai vế cùng dấu rồi mới bình phương hai vế của phương trình. 4
5. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 15) Giải các phương trình sau: a) x 3 2x 8 7 x b) x 1 3 x 4 c) x 2 3 x 5 2x 4x x 1 3 d) 2x 1 3x 2 4x 3 5x 4 e) x 1 x 2 x 3 g) x 1 4x 2 h) x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 9x 7 Dạng 4: Đặt ẩn phụ 16) Giải các bất phương trình a) x2 2x 2x2 4x 3 b) x 1 x 2 x2 3x 4 c) x2 3x 12 x2 3x d) x x 3 6 x2 3x e) x2 4x 6 2x2 8x 12 g) 6 x 2 x 32 x2 34x 48 h) 2x x 1 1 x2 x 1 k) x 4 x 1 3 x2 5x 2 6 l) 5x2 10x 1 7 x2 2x m) x2 x 6 2(2x 1) 0 n) 2x 6x2 1 x 1 17) Giải các phương trình sau: a) 3 x 5 3 x 6 3 2x 11 b) 3 x 1 3 x 2 3 x 1 0 18) Giải các phương trình sau: a) x 4 x 4 2x 12 2 x2 16 b) 3x2 6x 16 x2 2x 2 x2 2x 4 x2 4356 x c) x. x2 4356 x2 5 d) x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2 x 2 x 3 1 1 4 2 e) x 3 3x 22 x2 3x 7 g) 3x 9 x 9 x2 21 x 21 x 21 h) 21 x 21 x x HD: a) đặt t x 4 x 4 2x 2 x2 16 t 2 . Đáp số x = 5 b) bình phương hai vế. Đáp số x = 0; x = - 2 x2 4356 x 6 c) đặt u ; v x. x2 4356 x2 . Đáp số x x 119 d) nhân hai vế với 2 . Đáp số x = 15 e) đặt t x2 3x 7 . Đáp số x = 6; x = - 3 x 3 3 g) đk: 0 . Bình phương hai vế. Đáp số x 3x 4 19) Giải các bất phương trình sau: 6 x x2 6 x x2 x2 4x a) b) 2 2x 5 x 4 3 x 17 15x 2x2 c) 0 d) x 3 x2 4 x2 9 x 3 Đáp số: 3 x 1 2 x 1 x 0 a) b) c) 17 d) x 3 x 3 x 4 x 2 5
6. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1. Trục căn thức Phương pháp: Phân tích đưa về dạng: x x0 A x 0 Chứng minh A x 0 vơ nghiệm hoặc đưa về hề tạm Bài tập: Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 3x2 5x 1 x2 2 3 x2 x 1 x2 3x 4 2x 4 3x 6 Hướng dẫn: biến đổi đưa về: 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 1 x2 3x 4 2) x2 12 5 3x x2 5 x 2 x 2 Hướng dẫn: biến đổi đưa về: x 2 3 0 x2 12 4 x2 5 3 x 2 x 2 5 Chứng minh 3 0, x x2 12 4 x2 5 3 3 3) 3 x2 1 x x3 2 2 x 3 x 3 x 3x 9 Hướng dẫn: biến đổi đưa về: x 3 1 2 2 2 3 3 x 1 2 x 1 4 x 2 5 x 3 x 3 x2 3x 9 Chứng minh 1 = 1 2 3 3 x2 1 2 2 x2 1 4 2 x2 1 1 3 x 2 5 4) 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4 Hướng dẫn: Ta cĩ x > - 4 2x 8 Biến đổi đưa về: x 4 2x2 x 9 2x2 x 1 = 2 2x2 x 9 2x2 x 1 2x2 x 9 2x2 x 1 Ta cĩ hệ phương trình 2 2 2x x 9 2x x 1 x 4 2. Biến đổi về dạng phương trình tích Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 3 x 1 3 x 2 1 3 x2 3x 2 2) 3 x x 3 x 3. Đặt ẩn phụ Bài 3. Giải các phương trình sau: 1) x x2 1 x x2 1 2 2) 2x2 6x 1 4x 5 4 Hướng dẫn: Ta cĩ x 5 Đặt t 4x 5,t 0 Ta cĩ phương trình theo t t 4 22t 2 8t 27 0 Phương trình cĩ hai nghiệm x: 1 2; 2 3 6
7. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 3) x2 3 x4 x2 2x 1 3. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến Khái niệm phương trình thuần nhất bậc hai: ax2 bxy cy2 0 Cách giải Xét x 0 2 y y Nếu x 0 , chia hai vế cho x, ta được a b c 0 x x a) Dạng: aA x bB x c A x B x Cách giải Đặt P x A x B x và Q x aA x bB x Bài 4. Giải các phương trình: a) 2 x2 2 5 x3 1 b) 2x2 5x 1 7 x3 1 c) x3 3x2 2 x 2 3 6x 0 d) x2 2x 2x 1 4x2 4x 1 e) 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 1 Hướng dẫn: d) Ta cĩ x . Bình phương hai vế ta được: x2 2x 2x 1 x2 1 2 2 u x 2 2 1 5 Đặt . Giải hệ theo u, v ta được phương trình theo x x 2x 2x 1 v 2x 1 2 4. Phương pháp ẩn phụ khơng hồn tồn Bài 5. Giải các phương trình: a) x 1 x2 2x 3 x2 1 b) 4 x 1 1 3x 2 1 x 1 x2 (1) Hướng dẫn: a) Đặt t x2 2x 3,t 2 Phương trình theo ẩn t và ẩn x là: x 1 t x2 1 Phương trình bậc hai ẩn t: x2 2x 3 x 1 t 2 x 1 0 Hướng dẫn: b) ĐK: x 1 . Đặt t 1 x Phương trình theo ẩn t và ẩn x là: 4 x 1 1 3x 2t t 1 1 (1) (Phương trình bậc hai ẩn t cĩ deta khơng cĩ dạng bình phương) Để ý: 3x = - (1 – x) + 2(1 + x) Thay vào (1) 5. Phương pháp lượng giác hĩa 5.1. Một số kiến thức cơ bản Dấu hiệu Phép thế Điều kiện x a, a 0 x asin ; 2 2 c x sin 2 2 2 2 2 a a x b y c ;a,b,c 0 ; a 2 2 y cos b 2 2 a a2 x2 x a tan a x ; cos 2 2 3 2 2 a 2 2 a x x a x a tan 0;  ; cos 2 2 1 x; x 1 x cos2 0; 2 7
8. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm a b a tan , ; 1 ab b tan  2 2 a tan ,, là ba gĩc của một tam a b c abc b tan  giác c tan Chú ý:   k a) tan tan  tan tan tan  tan ;; k 2   k 2 b) tan tan  tan  tan tan tan 1 ;; k 2 2   k 4 c) 1 tan 1 tan  1 tan 2 1 tan tan  tan ;; k 2 2 5.2. Phương pháp lượng giá hĩa Từ phương trình lượng giác đơn giản cos3t sint và cos3t 4cos3 t 3cost Ta cĩ phương trình: 4x3 3x 1 x2 (1) x Nếu thay x bởi ta được phương trình4 3x2 x2 x2 1 (2) 2 Trong phương trình (2) thay x bởi x – 1 ta được phương trình: 4x3 12x2 9x 1 2x x2 2 3 3 2 1 x Bài 6. Giải phương trình: 1 1 x2 1 x 1 x 3 3 Hướng dẫn: ĐK: x 1 . Trường hợp x  1;0 . Ta cĩ 1 x 3 1 x 3 0 vơ nghiệm Trường hợp x 0; 1 . Đặt x cost, t 0; 2 1 Khi đĩ phương trình là: 2 6 cost 1 sint 2 sint 2 Bài 7. Giải các phương trình: 1 2x 1 2x 1) 1 2x 1 2x 2) 1 1 x2 x 1 2 1 x2 1 2x 1 2x 3) x3 3x x 2 4) 3 6x 1 2x 2 2 1 x2 1 x 1 5) x2 1 1 6) 1 x2 2 x2 1 2x 2x 1 x 1 2cos x Hướng dẫn: 1) Đặt tant 1 2cos x 1 2) Đáp số: x 2 3) Chứng minh x 2 . PT vơ nghiệm 8
9. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Giáo viên: Lê Văn Tiến Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 1 4) Lập phương hai vế: 4x3 3x x 1, x cost, t 0;  2 5 7  Tập nghiệm của phương trình: S cos ;cos ;cos  9 9 9  1 5) Đặt x , t ; . Đáp số: x 2 3 1 sint 2 2 1 5) Đặt x tant, t ; Đáp số: x 2 2 3 6. Phương pháp bất đẳng thức Bài 8. Giải các phương trình: 2 2 1) x x 9 2) x3 4x2 5x 6 3 7x2 9x 4 x 1 3) x3 3x2 8x 40 8 4 4x 4 0 7. Phương pháp hàm số Bài 9. Giải các phương trình: 1) 2x 1 2 4x2 4x 4 3x 2 9x2 3 0 2) 13 x2 x4 9 x2 x4 16 3) x3 3x2 8x 40 8 4 4x 4 0 9