›
›
›

Một số đề ôn HSG môn Toán lớp 7

doc 45 trang mainguyen 5751
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số đề ôn HSG môn Toán lớp 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docmot_so_de_on_hsg_mon_toan_lop_7.doc

Nội dung text: Một số đề ôn HSG môn Toán lớp 7

  1. MỘT SỐ ĐỀ ÔN HSG MÔN TOÁN LỚP 7\ SƯU TẦM TỔNG HỢP UBND HUYÖN Y£N L¹C ®Ò thi giao L¦U hsg LíP 7 CÊP HUYÖN PHßNG GD & ®t n¨m häc 2014-2015 M«n : To¸n (Ngày 25/4/2015) §Ò CHÝNH THøC Thêi gian:120 phót ( Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Câu 1(2,5 điểm): a)Tìm x biết b) CMR nếu a+5b chia hết cho 7 với a;b Z thì 10a+b cũng chia hết cho 7. Câu 2(2 điểm): a) Cho và Tính giá trị biểu thức ( giả thiết A có nghĩa). b) Cho . Chứng tỏ B không phải là số nguyên. Câu 3(2 điểm): a) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x R. Biết rằng với mọi x 0 ta đều có . Tính f(2) b) Tìm một nghiệm của đa thức P(x) = x 3 +ax2 + bx + c. Biết rằng đa thức có nghiệm và a+2b+4c= Câu 4(2,5 điểm): a) Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng . b) Tam giác HIK có = =360. Trên tia phân giác của góc HIK lấy điểm N sao cho góc IKN =120 . Hãy so sánh độ dài của KN và KH Câu 5(1 điểm): Xét tổng T= . Hãy so sánh T với 3
  2. ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 NĂM 2014-2015 HUYỆN YÊN LẠC Câu 1 a) b) Vì a+5b chia hết cho 7 với a;b Z nên 10a+50b chia hết cho 7 => 10a+50b -49b chia hết cho 7 hay 10a+b chia hết cho 7. Câu 2 a) Từ và suy ra Từ Suy ra Suy ra => b) Ta có: = 49- M Trong đó Áp dụng tính chất Ta có: M M > >0 Từ đó suy ra 0<M<1 , Do đó B = 49- M không phải là một số nguyên. Câu 3 a) Với x =2 ta có: (*) Với ta có: ( ) Thay ( ) vào (*) Ta được:
  3. 4 Câu 3 b) Do đa thức có nghiệm nên gọi d là một nghiệm của đa thức đã cho. Ta có P(x) = (x-d)(x2 + mx+n) =x3 +mx2 +nx – dx2 – dmx – dn = x3 + (m-d)x2 + (n-dm)x –dn Cân bằng hệ số ta có: m –d =a ; n-dm = b; dn = -c Thay a,b,c vào điều kiện đề bài đã cho a+2b+4c= ta có: suy ra 2d.( -4n-2m-1) =(-1-4n-2m) →d =1/2 Câu 4 a) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho MD=DA Từ đó chứng minh ABD = MCD (c.g.c) => AB =MC Áp dụng BĐT tam giác vào AMC ta có AM>AC+MC=AC+AB Hay 2AD >AC+AB b) Trên tia đối của tia HI lấy điểm D sao cho ID=IK. D => IDN= IKN (c.g.c)=> ND=NK (*)và = =120. 60 H 12 Tam giác HIK có = =360. Suy ra = 1080. 0 N Mà góc DHK kề bù với góc IHK nên = 72 .(1) 18 I 18 12 Tam giác IDK có ID=IK ( theo cách vễ điểm D) => Tam K giác IDK là tam giác cân, lại có góc DIK =360, nên có = =720.(2) Từ (1) và (2) => KDH cân tại K => KD=KH (3) Mặt khác, = 720 – 120 = 600 ( ) Từ (*) và ( )=> KDN là tam giác đều => KD=KN (4) Từ (3) và (4) => KN=KH . Câu 5: Ta có: T= ; = Trong đó Ta lại có Hay N<1 Từ đó suy ra T< <3 Hay T<3.
  4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 1 3 2 1 1) Rút gọn: A : . 2 5 10 2 3 12
  5. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012 x 2013 với x là số tự nhiên. Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm x biết 2x 2.3x 1.5x 10800 . 2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 2012 là hợp số. 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n 4 và 2n đều là các số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn. 1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC . Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI  CE . 2) Phân giác của các góc ·ABC, B· DC cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của 1 góc B· DA cắt BC tại N. Chứng minh rằng: BD MN. 2 Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và P . 2 3 4 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 Tính S P 2013 . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HƯỚNG DẪN CHẤM TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP BẮC GIANG TỈNH MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Bản hướng dẫn có 03 trang
  6. Câu Phương pháp-Kết quả Điểm Câu 1 ( 4 điểm) 1 15 4 1 18 8 1 A : (2điểm) 10 10 10 12 12 12 0.5đ 12 11 0.5đ : 10 12 6 12 72 0.5đ . 5 11 55 72 0.5 Vậy A . 55 P x 2012 x 2013 2 + Nếu x 2012 hoặc x 2013 thì P 1 0.5 đ (2điểm) + Nếu x 2013 thì P x 2012 x 2013 1 x 2013 1 0.5đ + Nếu x 2012 thì P x 2012 x 2013 x 2012 1 1 0.5 + Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x 2012 hoặc 0.5 đ x 2013 . Câu 2 (4điểm) Ta có 2x 2.3x 1.5x 10800 2x.22.3x.3.5x 10800 1.0 đ 1 x 2.3.5 900 0.5 đ (2.5điểm) 30x 302 x 2 0.5 Vậy x 2 là kết quả cần tìm. 0.5 đ + Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là a,b,c . Vì tổng số 0.5 đ 2 viên bi của ba bạn là 74 nên a b c 74 (2.5điểm) a b a b + Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 0.5 đ 5 6 10 12 b c b c + Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 0.5 4 5 12 15 a b c a b c 74 + Từ đó ta có 2 0.5đ 10 12 15 10 12 15 37 + Suy ra a 20;b 24;c 30 0.5đ
  7. Câu 3 (4điểm) 1 + Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p 3k 1 k ¥ ,k 1 0.5 (2điểm) +Với p 3k 1 0.5 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 +Với p 3k 1 0.5 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 Vậy p2 2012 là hợp số. 0.5 2 (2điểm) + Vì n là số có hai chữ số nên 9 n 100 18 2n 200 0.5đ + Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 0.5đ 36; 64; 100; 144; 196. + Với 2n 36 n 18 n 4 22 không là số chính phương 2n 64 n 32 n 4 36 là số chính phương 2n 100 n 50 n 4 54 không là số chính phương 0.5 đ 2n 144 n 72 n 4 76 không là số chính phương 2n 196 n 98 n 4 102 không là số chính phương + Vậy số cần tìm là .n 32 0.5đ Câu 4 (6 điểm) 1 (3điểm)
  8. + Xét hai tam giác AIB và BCE Có AI=BC (gt); BE=BA( gt) 0.5 + Góc I¼AB là góc ngoài của tam giác ABH nên ¼ ¼ ¼ ¼ 0 IAB ABH AHB ABH 90 0.5 + Ta có E· BC E· BA ·ABC ·ABC 900 . Do đó I·AB E· BC . + Do đó VABI VBEC(c g c) 0.5 đ + Do VABI VBEC(c g c) nên ·AIB B· CE . 0.5 đ + Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có ·AIB I·BH 900 . Do đó B· CE I·BH 900 . 0.5đ KL: CE vuông góc với BI. 0.5đ 2 (3điểm) + Do tính chất của đường phân giác, ta có DM  DN . 0.5 đ + Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FM FD FN . 0.5 đ + Tam giác FDM cân tại F nên F· MD M· DF . · · · FMD MBD BDM (góc ngoài tam giác) 0.5 đ M· BD C· DM Suy ra M· BD C· DF (1) 0.5 đ Ta cóM· CD C· DF C· FD (2) Do tam giác ABC cân tại A nên M· CD 2M· BD (3) 0.5 đ · · Từ (1), (2), (3) suy ra MBD DFC hay tam giác DBF cân tại D. Do đó 0.5 đ 1 BD DF MN 2
  9. Câu 5 1 1 1 1 1 1 ChoS 1 và (1 điểm) 2 3 4 2011 2012 2013 (1 điểm) 1 1 1 1 2013 P . Tính S P . 1007 1008 2012 2013 + Ta có: 1 1 1 1 P 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 đ 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 3 1006 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 2 4 6 2012 1 1 1 1 1 1 =S. 2 3 4 2012 2013 Do đó S P 2013 =0 0.5 đ Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng. ĐỀ ÔN HSG -1 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (3 điểm) 1 4,5: 47,375 26 18.0,75 .2,4 : 0,88 3 1. Thực hiện phép tính: 2 5 17,81:1,37 23 :1 3 6 2. Tìm các giá trị của x và y thoả mãn: 2x 27 2007 3y 10 2008 0 3. Tìm các số a, b sao cho 2007ab là bình phơng của số tự nhiên. Bài 2: ( 2 điểm)
  10. x 1 y 2 z 3 1. Tìm x,y,z biết: và x-2y+3z = -10 2 3 4 2. Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 a3 b3 c3 a Chứng minh rằng: b3 c3 d 3 d Bài 3: ( 2 điểm) 1 1 1 1 1. Chứng minh rằng: 10 1 2 3 100 2. Tìm x,y để C = -18-2x 6 3y 9 đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: ( 3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE). 1, Chứng minh: BH = AK 2, Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao? Hướng dẫn chấm Bài Hướng dẫn giải Điểm 1.1 Số bị chia = 4/11 0,5 Số chia = 1/11 0,25 Kết quả = 4 0,25 1.2 Vì 2x-272007 ≥ 0 x và (3y+10)2008 ≥ 0 y 0,25 2x-272007 = 0 và (3y+10)2008 = 0 0,25 x = 27/2 và y = -10/3 0,5 1.3 Vì 00≤ ab ≤99 và a,b N 0,25 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 0,25 Ta biết: 4472=119809 0,25 4492=201601 0,25 4472 < 2007ab < 4492 2007ab = 4482 a = 0; b= 4 x 1 y 2 z 3 2.1 Đặt k 0,25 2 3 4 x 1 2y 4 3z 9 x 1 2y 4 3z 9 (x 2y 3z) 6 16 2 0,5 2 6 12 2 6 12 8 8 Tức là k=-2 x=-3; y=-4; z =- 5 0,25
  11. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ,GIỎI LỚP 7 a b c 2.2 Từ giả thiết suy ra b2 = ac; c2 = bd; 0,25 b c d 0,25 a3 b3 c3 a3 b3 c3 0,25 Ta có (1) b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 a3 a a a a b c a Lại có . . . . (2) b3 b b b b c d d a3 b3 c3 a 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: b3 c3 d 3 d 3.1 Ta có: 1 > 1 ; 1 > 1 ; 1 > 1 1 > 1 ; 1 = 1 0,5 1 100 2 100 3 100 9 100 100 100 0,5 1 1 1 1 10 1 2 3 100 3.2 Ta có C = -18 - ( 2x 6 3y 9 ) -18 0,5 Vì 2x 6 0; 3y 9 0 0,25 0,25 2x 6 0 Cmak=-18 x = 3 và y = -3 3y 9 0 0,5 A K E B C M H 4.1 ABH = CAK (g.c.g) (vì gócBAH=gócKCA(góc có cạnh tương ứng 1 vuông góc); AB=AC; gócABH=góc KAC) BH = AK MAH = MCK (c.g.c) (vì CK=AH (cmt); MC=MA( AMC vuông 4.2 cân); gócKCA=gócMAH (góc có cạnh tương ứng vuông góc); AB=AC; 1,5 góc ABH=góc KAC)) MH = MK (1) góc AMH = góc CMK góc HMK = 900 (2) Từ (1) và (2) MHK vuông cân tại M.
  12. HUYỆN VĨNH LỘC NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 11/04/2017 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức A = 2 3,5 : 4 3 +7,5 3 6 7 4 2 9 b) Rút gọn biểu thức: B = 2.8 .27 4.6 27.67 27.40.94 c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng : M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn . 2x 5 2012 3y 4 2014 0 Bài 2: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tìm x : x 2 5 3 b) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y +z = 11 c) Tìm x, biết : x 2 n 1 x 2 n 11 (Với n là số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy – x – y = 2 Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính A· IC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. c) Chứng minh IDE cân. Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ. Hết Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!
  13. Họ và tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN : TOÁN. Nội dung Điểm Câu a: (1 điểm) 1 1 1 A = 2 3,5 : 4 3 +7,5 3 6 7 7 7 25 22 15 = : + 3 2 6 7 2 = 35 : 43 + 15 6 42 2 Bài 1 245 15 490 645 155 0.5 đ . = + = + = (4,0đ) 43 2 86 86 86 Câu b: ( 1 điểm) 4 2 9 B= 2 8 27 4 6 27 67 27 40 94 13 6 11 9 0,5đ = 2 3 2 3 214 37 210 38 5 11 6 2 3 =2 3 2 3 = 2 210 37 24 3 5 3
  14. Câu c: (2 điểm) M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 M 6x2 9xy y2 5x2 2xy => M 6x2 9xy y2 5x2 2xy x2 11xy y2 0,5đ Ta có 2x 5 2012 3y 4 2014 0 0.5 2012 2x 5 0 2012 2014 Ta cã : 2x 5 3y 4 0 2014 3y 4 0 Mµ 2x 5 2012 3y 4 2014 0 => 2x 5 2012 3y 4 2014 0 1 1 0.5 2012 x 2 x 2 2x 5 0 2 2 => . VËy 2014 1 1 0,5 3y 4 0 y 1 y 1 3 3 2 2 5 5 4 4 25 110 16 1159 Vậy M = + 11 - = - - = 2 2 3 3 4 3 9 36 0.25 0.5 0.25
  15. 1 1 1 x 2 5 3 1 1 1 x 5 2 3 1 1 x = 5 6 0,25đ TH1: x+1 = 1 5 6 x = - 1 0,25đ 30 TH2: x+1 = - 1 2. 5 6 1 1 11 (1,0đ x = - - = = - ) 6 5 30 Vậy x= - 1 ; x = - 11 30 30 0,25đ 0,25đ x y x y Ta có : 2x = 3y suy ra hay 0.25đ 3 2 15 10 y z y z 4y = 5z suy ra hay 5 4 10 8 b. x y z Vậy (1,5đ 15 10 8 ) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z x y z 11 1 = = = 0.5đ 15 10 8 15 10 8 33 3
  16. Suy ra x = 5, y =10 , z = 8 3 3 0.5đ 0.25 ( x +2)n+1 = ( x +2)n+11 ( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0 0.25 10 n+1 1 x 2 (x+2) =0 0.5 n+1 c TH 1: (x+2) = 0 suy ra x = -2 TH2: 1 - (x +2)10 = 0 1,5 0.25 điểm (x +2)10 = 1 x + 2 = 1 suy ra x = -1 x + 2 = -1 suy ra x = -3 Vậy x = -2; x=-1; x=-3 0.5 Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) 0,25 đ Theo bài ra ta có : x +y + z = 13 và 2x= 3y =4z = 2 SABC x y z Suy ra 6 4 3 Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau a 0,75 đ Bài 3 x y z x y z 13 = 1 (2.0đ 6 4 3 6 4 3 13 (4.0đ) ) suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3 KL: 0,75
  17. 0.25 2xy – x – y = 2 4xy - 2x -2y =4 2x(2y-1) - 2y + 1 = 5 0,5 đ (2y -1) ( 2x -1) =5 b. HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  ( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ) 0,5 đ (2,0đ Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  ) 1 đ Bài 4 (6.0đ) A F E I K B D M C H P 1 a/ Ta có  ABC = 600 suy ra  BAC +  BCA = 1200 0.5đ (2.0đ 1 ) AD là phân giác của  BAC suy ra  IAC =  BAC 2 0.5đ
  18. 1 CE là phân giác của  ACB suy ra  ICA =  BCA 2 0.5đ 1 Suy ra  IAC +  ICA = . 1200 = 600 2 Vây  AIC = 1200 0.25đ 0.25đ b/ Xét AHP và AHK có  PAH =  KAH ( AH là phân giác của  BAC) 0.5 đ AH chung  PHA =  KHA = 900 2 Suy ra AHP = AHK (g-c-g) suy ra PH = KH ( 2 cạnh tương ứng). Vậy HK= 3cm (2đ) 0,5 đ Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25 0.5 Suy ra AK = 5 cm 0.25 0.25 Vì  AIC = 1200 Do đó  AIE =  DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE 0,25 đ Xét EAI và FAI có 0,5 đ AE = AF c  EAI =  FAI (2.0đ AI chung ) Vậy EAI = FAI (c-g-c) suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1)  AIE =  AIF = 600 suy ra  FIC =  AIC -  AIF = 600 Xét DIC và FIC có 0.25  DIC =  FIC = 600
  19. Cạnh IC chung 0.5  DIC =  FCI Suy ra DIC = FIC( g-c-g) Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I 0.25 0.25 Bài 5 Giả sử 10 là số hữu tỷ 0.25đ (2,0đ) a 0.5đ 10 = ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; (a;b) = 1 ) b a2 = 10 0.25đ b2 Suy ra a2 = 10b2 a 2 a2  4 10b2  4 b2  2 b  2 0.25đ Vậy ( a;b) 1 0.5đ Nên 10 là số vô tỷ 0.25đ Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. ĐỀ THI KSCL HSG TOAN 7. L1 Bµi 1.(4®iÓm) a) So s¸nh A = 1 7 72 73 7100 Víi B = 7101 163.310 120.69 b) TÝnh P = 46.312 611 Bµi 2.(4,5®iÓm) T×m x biÕt: a) 3x 3x 2 270 b) 2x 1 x 3 5 c) x 1 3 Bµi 3.(2,5®iÓm) T×m 3 sè x,y,z biÕt x:y:z = 2:3:5 vµ x2 y2 z2 80 Bµi 4.(4®iÓm) a)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x 2009 x 1 b)T×m n Z sao cho 2n - 1 chia hÕt cho n - 4
  20. Bµi 5 .(5®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC cã ®êng cao AH .Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC chøa B lÊy E sao cho gãc EAC =900 vµ AE=AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa C lÊy F sao cho gãc FAB =900 vµ FA = AB. a) Chøng minh EB=FC b) Gäi N lµ giao ®iÓm cña FE vµ AH . Chøng minh N lµ trung ®iÓm cña FE. Câu Ý Nội dung Điểm 7A= 7 72 73 7101 0,5 7A-A= 7101 1 0,5 a) 6A= 7101 1 0,25 (2,0đ) A=(7101 1 ):6 0,25 VËy B>A 0,5 1, 3 24 .310 23.3.5. 2.3 9 0,5 (4đ) 6 22 .312 2.3 11 212.310 212.310.5 0,5 b) 212.312 211.311 (2đ) 310.212.(1 5) 0,5 211.311. 2.3 1 6 0,5 7 3x 3x 2 270 0.25 2 3x 3x.32 270 0.25 (4,5đ) a) 3x 9.3x 270 0.25 (1,5đ) 10.3x 270 0.25 3x 27 33 0.25 X=3 0.25 1 0.25 b) Víi x th× ta cã -2x-1-x+3=5 2
  21. (1,75đ) -3x=3 x= -1(tháa m·n) 0.25 1 0.25 Víi x 3 th× ta cã 2x+1-x+3=5 2 x=1(tháa m·n) 0.25 Víix 3 th× ta cã 2x+1+x-3=5 0.25 7 0.25 3x=7 x= (lo¹i) 3 VËy x=-1;x=1 0.25 Ta cã x-1>3 hoÆc x-1 3 x>4 0.25 C T/h2:x-1 4 hoÆc x<-2 x y z x : y : z 2 :3:5 2 3 5 0,5 2 2 2 0,5 x y z x y z 2 2 2 Tõ vµ x y z 80 2 3 5 2 3 5 ¸p dông d·y tØ sè b»ng nhau ta cã 0,5 x 2 y2 z2 x2 y2 z2 80 3) 4 4 9 25 4 9 25 20 (2,5®) T×m ®îc x=4 vµ -4; y=6 vµ -6; z=10 vµ -10 0,5 (x=4;y=6;z =10) vµ (x =-4;y =-6;z =-10) 0,5 4 a) A x 2009 x 1 x 2009 1 x x 2009 1 x 2010 0,5 (4®) (2,5đ) Min A =2010 khi (x+2009)(1-x) 0 0,5
  22. x 2009 0 x 2009 0,5 NghÜa lµ 1 x 0 x 1 2009 x 1 1 x 0 x 1 0,5 HoÆc x 2009 o x 2009 kh«ng tháa m·n VËy MinA =2010 khi -2009 x 1 0,5 2n 1 2n 8 7 7 0,5 2 n 4 n 4 n 4 b) §Ó (2n-1) chia hÕt cho (n-4) th× (n-4) lµ íc cña 7 0,5 (1,5đ) (n-4) 1; 1;7; 7 n 5;3;11; 3 0,5 A K F N E I 5, B H C (5đ) vÏ h×nh ®óng chÝnh x¸c, ghi GT-Kl:0,5® xÐt AEB vµc ã:ACF a) AE=AC(gt) 0,5 (2®) AB=FA(gt) 0,5 EAB FAC (Cïng phôBAC ) 0,5 BAE FAC (C.G.C) EB=FC( 2 C¹nh t¬ng øng) 0,5 b) c/m ABH FAK (C¹nh huyÒn – gãc nhän) 0,5 (2,5®) Gãc BAH =gãc KFA(cïng phôgãc FAH) AH=FK(1) 0,25 c/m ACH EAI (c¹nh huyÒn – gãc nhän) 0,5
  23. Gãc AEI=Gãc HAC ( cïng phô gãc HAE) IE=AH(2) 0,25 Tõ (1)(2) IE=KF 0,25 ENI FNK (G.C.G) EN=FN 0,75 - NÕu h×nh vÏ sai th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh - NÕu häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài 120 phút 3 3 11 11 Câu 1( 4điểm) a) Tính: A = 0,75 0,6 : 2,75 2,2 7 13 7 13 10 1,21 22 0,25 5 225 B = : 7 3 49 9 b) Tìm các giá trị của x để: x 3 x 1 3x Câu2( 2 điểm) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 . Câu 3( 4điểm) a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12. b) Vận tốc của máy bay,ô tô, tàu hoả lần lượt tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ? Câu 4( 2 điểm)Biết a,b,c R;a,b,c 0;b2 a.c .Chứng minh rằng : a (a 2011b) 2 c (b 2011c) 2 Câu 5 (3,5điểm)Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vuông góc với 1 1 1 BC( H thuộc BC) a,Chứng minh rằng: AH 2 AB 2 AC 2 b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH Câu6(4,5điểm) Cho tam giác ABC có góc A bằng 900. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở điểm E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
  24. Đáp án: Bài 1: Câu1 Đáp án Điểm 3 3 11 11 0,5 0,75 0,6 : 2,75 2,2 7 13 7 13 3 3 3 11 11 11 ( ) : ( ) 20 7 13 7 13 20 a 1 1 1 1 1 1 3 3.( ) :[11.( )] 0,5 20 7 13 7 3 20 11 10 1, 21 22 0 , 25 5 225 0,5 : 7 3 49 9 10 .1,1 22 .0 ,5 5 15 11 11 5 5 ( ) : ( ) ( ) : ( ) 7 3 7 9 7 3 7 3 1 1 1 1 11 11.( ) :[5.( )] 0,5 7 3 7 3 5
  25. Tìm các giá trị của x để: x 3 x 1 3x 0,25 Nếu x = - 1 thì ta có vế phải bằng - 3 ; vế trái bằng 2( không thoả mãn) Nếu x = - 3 vế trái bằng 2; vế phải bằng – 9( không thoả mãn) 0,25 Nếu – 3 -1ta có x + 3 +x + 1 = 3x, do đó x = 4 ( thoả mãn) 0,5 Vây. x= 4 a + b + c = 0 suy ra a = - ( b + c) vậy ab + bc + ca = -( b + c).b + bc – cb – c2 = -[ b2 + cb + c2 ] 0,5 Câu 2 =-[b2 + ½ cb + ½ cb + ¼ c2 + ¾ c2 ] 0,5 =-[ b(1/2 c + b) + ½ c(b + ½ c) + ¾ c2 ] 0,5 =- [(1/2 c + b) + ¾ c2 ] nhỏ hơn hoặcbằng 0; hay ab + bc + ac 0,5 nhỏ hơn hoặc bằng 0. Câu3 ( x + y).35 = ( x- y) .210 = 12xy a x y x y x y x y 2x 2y x y xy 1 210 35 210 35 245 185 12 35 49y 37x 49y x 35x 35y 12xy 0,5 37 1505 215 x ; y 0,5 222 42 b Gọi vận tốc của máy bay, ô tô, tàu hoả lần lượt là v1,v2,v3 0,5 thời gian tương ứng đi từ A đến B của 3 động cơ là t1,t2,t3. v1 10 v2 t2 t3 Theo baì ta có 5; 2 5; 2 0,5 v2 2 v3 t1 t2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 0,5
  26. t5 t1 t2 t1 16 4 t2 20;t1 4;t3 40 5 1 5 4 4 Câu 4 a (a 2011b) 2 Biết a,b,c R;a,b,c 0;b2 a.c .C/m : c (b 2011c) 2 a b 2011b a 2011b b 2 a.c 1 b c 2011c b 2011c a a 2011b a a b a a a 2011b ( ) 2 ( ) 2 ;( ) 2 . ( ) 2 1 b b 2011c b b c c c b 2011c Câu 5 Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vuông góc 1 1 1 với BC( H thuộc BC)a,Chứng minh rằng: AH 2 AB 2 AC 2 b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH 2SABC AH.BC AB.AC 0,5 AB BC AB2 BC 2 1 AH AC AH 2 AC 2 1 BC 2 AC 2 AB 2 1 1 1 AH 2 AB 2 .AC 2 AB 2 .AC 2 AC 2 AB 2 Tính AB = 9cm, từ đó suy ra AH = 7,2cm 1 A 1 4 2 3 B Câu 6 E 0,5 H D C G, KL AEC ABC A1 A3 A4 A1 A2 A3 A4 Vì góc B và góc HAC cùng phụ với góc BAH 1,5 Suy ra tam giác AEC cân tại C, do đó AC = CE Tương tự cm được AB = BD 1,5 AB + AC = BD + EC = ED + BC 1
  27. PHÒNG GD VÀ ĐT PHÙ YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU LỚP 7- NĂM HỌC 2010- 2011 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A = (a b)( x y) (a y)(b x) abxy(xy ay ab by) Với a = 1 ; b = -2 ; x = 3 ; y = 1 3 2 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < < a9 thì: a a a 1 2 9 3 a3 a6 a9 Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó. Bài 4: Cho 2 biểu thức: 2 A = 4x 7 ; B = 3x 9x 2 x 2 x 3 a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên. Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.
  28. PHÒNG GD VÀ ĐT PHÙ YÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU LỚP 7- NĂM HỌC 2010- 2011 Môn: TOÁN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Điểm Điểm Bài Cách giải TP toàn bài A = (a b)( x y) (a y)(b x) abxy(xy ay ab by) a( x y) b( x y) a(b x) y(b x) = 0,5 abxy(xy ay ab by) ax ay bx by ab ax by xy = 0,5 abxy(xy ay ab by) = ay bx ab xy 1 abxy(xy ay ab by) 0,5 2,5 = (xy ay ab by) abxy(xy ay ab by) 0,25 = 1 abxy 0,25 1 3 1 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 1 1 3 3 2 ( 2) 1 0,5 3 2 Ta có: 0 0 nên ta được: 3 0,5 a3 a6 a9 Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C 0,25 theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC. Theo bài ra ta có: SA 4 SB 7 ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 0,5 SB 5 SC 8 24(m) Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều rộng. Ta có: 3 1 4,5 S 4 r r r r r 27 A A A B A B 3 S 5 r 4 5 4 5 9 B B 0,25 rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài. Ta có: 1 SB 7 dB 7dC 7.24 dB = 21 (m) = dA S 8 d 8 8 C C 0,5
  29. 2 Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m ) 0,5 2 SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m ) 0,5 2 SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m ) 4x 7 4(x 2) 1 1 a) Ta có: A = = 4 x 2 x 2 x 2 0,5 Với x Z thì x - 2 Z. 1 Để A nguyên thì nguyên. x - 2 là ước của 1 0,25 x 2 Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1 Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1 0,5 3x2 9x 2 3x(x 3) 2 2 +) B = = 3x 4 x 3 x 3 x 3 0,5 3 Với x Z thì x - 3 Z. 2 Để B nguyên thì nguyên. x - 3 là ước của 2 x 3 0,25 Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1. Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2 Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2 0,5 b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1 0,5 A ABC có AB = AC. GT DB = CE (D tia đối của CB; E H K M 0,5 tia đối của BC) D B C E O a) ADE cân b) MB = MC, chứng minh AM KL là tia phân giác gócChứng DAE minh: a) ABC cân có AB = AC nên: A· C A· C c) BH  AD = H; CK  AE = K 5 Suy ra: A· D A· CE 0,5 8 Xét chứngABD và minh: ACE BH có: = CK AB = AC (gt) A·d) DAM A·CBHE (CM CK trên) tại 1 điểm DB = CE (gt) Do đó ABD = ACE (c - g - c) 1 AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cân tại A. 0,5 b) Xét AMD và AME có: MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trên) Do đó AMD = AME (c - c - c) 1 M· AD M· AE . · Vậy AM là tia phân giác của DAE 0,5
  30. c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên ·ADE ·AED 0,25 Xét BHD và CKE có: B· DH C· EK (Do ·ADE ·AED ) DB = CE (gt) BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn) 1 Do đó: BH = CK. 0,5 d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. 0,25 Xét AHO và AKO có: OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì BHD = CKE )) AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông) 1 Do đó O· AH O· AK nên AO là tia phân giác của K· AH hay AO là tia phân giác của D· AE . 0,25 Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của D· AE . Do đó AO  AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau 0,75 tại O. /
  31. Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A = (a b)( x y) (a y)(b x) abxy(xy ay ab by) Với a = 1 ; b = -2 ; x = 3 ; y = 1 3 2 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 0 nên ta được: 3 0,5 a3 a6 a9 UBND huyÖn L¹c s¬n §Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o BËc THCS, n¨m häc 2010 - 2011 M«n To¸n - B¶ng A (Thêi gian lµm bµi 150 phót) Bài 1 ( 4,0 điểm): Cho biểu thức: 2 x 9 2 x 1 x 3 A x 5 x 6 x 3 2 x
  32. a.Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A. b.Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 c. Tìm x Z để A Z. Bài 2( 5,0 điểm): Giải các phương trình sau a, 4x 8 x 2 9x 18 4 b, x 6 x 2 2 c, x 2x 1 x 2x 1 2 Bài 3(3,0 điểm): Cho hàm số y = x2 2x 1 x2 6x 9 a. Vẽ đồ thị hàm số trên. b. Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m x2 2x 1 x2 6x 9 = m Bài 4(2,0 điểm): Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và một điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Bài 5( 5,0 điểm): Cho nửa đường tròn O đường kính AB=2R.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB với nửa đường tròn vẽ hai tia tiếp tuyến Ax,By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt hai tia Ax, By theo thứ tự ở C và D. a. Tính góc C· OD. b. Chứng minh AC.BD không đổi. c. Gọi N là giao điểm của CB và AD. Chứng minh: NM  AB Bài 6.( 1,0 điểm): Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x3 2012 A x Hết Họ,tên thí sinh SBD Trường Người coi thi số1 Người coi thi số2
  33. UBND huyÖn L¹c s¬n §Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o BËc THCS, n¨m häc 2010 - 2011 M«n To¸n - B¶ng B (Thêi gian lµm bµi 150 phót) Bài 1 ( 4,0 điểm): Cho biểu thức: 2 x 9 2 x 1 x 3 A ( x 3)( x 2) x 3 x 2 a.Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A. b.Tính giá trị của A khi x=3 2 2 Bài 2( 6,0 điểm): Giải các phương trình sau: a.2 3x 4 3x 27 3 3x 24 b. 4x 8 x 2 9x 18 4 c. x 6 x 2 2 Bài 3(3,0 điểm): Cho hàm số y = (2m-3)x -1(*) a. Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 5x + 3 b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm A(-1;0) c. Tìm m để đồ thị hàm số (*) và các đường thẳng y =1 và y =2x -5 cùng đi qua một điểm. Bài 4(2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và một điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Kẻ MP  AB, ME  BC, MN  AC.Chứng minh rằng: MP + ME+ MN = a 3 2 Bài 5( 5,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB với nửa đường tròn vẽ hai tia tiếp tuyến Ax,By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt hai tia Ax ,By theo thứ tự ở C và D. a. Tính góc C· OD AB2 b. Chứng minh AC.BD 4 c. Gọi N là giao điểm của CB và AD. Chứng minh: MN // AC. Hết
  34. Họ,tên thí sinh SBD Trường Người coi thi số1 Người coi thi số2 UBND huyÖn L¹c s¬n híng dÉn chÊm HSG cÊp huyÖn n¨m häc 2010 - 2011 Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o bé M«n : To¸n - b¶ng B Bµi Néi dung §iÓm 1 a, Điều kiện: x 0; x 4; x 9 2,0đ 4đ 2 x 9 2 x 1 x 3 A ( x 3)( x 2) x 3 x 2 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 2) x x 2 ( x 1)( x 3) x 1 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 2 b, Ta có x =3 2 2 1 2 2,0đ x 1 (1 2)2 1 1 2 1 2 2 A = x 3 (1 2)2 3 1 2 3 2 1 2 Giải các phương trình 2,0đ 6đ a.2 3x 4 3x 27 3 3x 24 ĐK x 0 3x(2 4 3) 24 27 (1,0điểm) 3x 3 3x 9 x 3
  35. x = 3 Thoả mãn điều kiện. Vậy PT có một nghiệm x=3 (1,0điểm) 2,0đ b,4x 8 x 2 9x 18 4 ĐK: x 2 ( 0,5điểm) 2 x 2 x 2 3 x 2 4 ( 0,5điểm) 4 x 2 4 x 2 1 x 2 1 x 3 ( 0,5điểm) thoả mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình có một nghiệm x = 3.( 0,5điểm) c, x 6 x 2 2 ĐK .x( 0,25điểm)6 2đ x 6 x 2 2 ( x 6 )( x 2 ) 4 ( x 6 )( x 2 ) 6 x ( x 6 )( x 2 ) ( 6 x ) 2 (1,5điểm) 4 x 2 4 x 6 x = 6 tho¶ m·n §K. Vậy ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x= 6.( 0,25điểm) 3 Cho hàm số y = (2m-3)x -1(*) 3đ 3 3đ ĐK để hàm số (*) là hàm số bậc nhất m ( 0,5điểm) 2 a. Đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y =5x +3 2m 3 5 m 4 ( thoả mãn ĐK) ( 0,5điểm) b. Đồ thị hàm số (*) đi qua A( -1 ;0) x 1, y 0 ( 0,5điểm) thay vào hàm sốTa được : (2m-3).(-1) -1= 0 2m 2 m 1( thoả mãn ĐK) ( 0,5điểm) c. Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng y =1 và y =2x -5 là nghiệm PT : 2x 5 1 2x 6 x 3 Vậy giao điêm M (3 ;1) (0,5điểm) Để ba đường thẳng cùng một điểm thì toạ độ của điểm M phải thoả mãn hàm số y = (2m-3)x -1 .Thay x =3, y =1 và (*) ta có : 11 (2m-3).3 -1 = 1 6m 11 m ( thoả mãn ĐK) 6 Vậy với m =11 thì ba đường thẳng y = (2m-3)x -1, y =1 và y =2x -5 6 Cùng đi qua một điểm. (0,5điểm) 4 A 2,0đ 2đ VÏ h×nh ghi GT & KL ®óng (0,5điểm) P M N B H E C
  36. KÎ AH  BC trong tam gi¸c vu«ng ABH cã AH = BC.sin B = a.sin 600 = a 3 (0,5điểm) 2 S ABC S MAB S MBC S MAC 1 1 1 = MP.AB ME.BC MN.AC = 2 2 2 BC = (PM ME MN) 2 = BC.AH 2 a 3 MP ME MN AH = .Kh«ng ®æi (1,0điểm) 2 5đ 5đ VÏ h×nh ghi GT & KL ®óng ( 0,5đ) D M C N O A B Ta có OC, OD lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù: ·AOM , M· DB
  37. Suy ra OC  OD hay C· OD 900 . ( 1,0điểm) b . Xét COD có C· OD 900 (cmt) vàOM  CD nên ta có hệ thức : CM.MD OM 2 ( 0,5điểm) mà AC = CM, MD = DB. AC.BD OM 2 R2 ( 0,5điểm) R không đổi nên tích AC. BD không đổi ( 0,5điểm) c.Ta có AC // DB ( Vì cùng vuông góc với AB). Theo hệ quả định lí ta lét AC CN AC CM mà (1,0điểm) BD NB BD MD CN CM suy ra MN / /BD ( Địnhlí đảo ta lét) NB MD suy ra MN / / AC (1,0điểm) Ghi chú: _Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối da theo từng câu, từng bài. - Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm - Điểm toàm bài không làm tròn. UBND huyÖn L¹c s¬n híng dÉn chÊm HSG cÊp huyÖn n¨m häc 2010 - 2011 Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o bé M«n : To¸n - b¶ng A
  38. Bµi Néi dung §iÓm 1 a, Điều kiện: x 0; x 4; x 9 2,0đ 4đ 2 x 9 2 x 1 x 3 A ( 0,5điểm) x 5 x 6 x 3 2 x 2 x 9 2 x 1 x 3 ( x 3)( x 2) x 3 x 2 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 2) ( 1,5điểm) x x 2 ( x 1)( x 3) x 1 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 b, Ta có x =7 4 3 = (2 3)2 1,0đ x 1 (2 3)2 1 2 3 1 3 3 3 3 A = x 3 (2 3)2 3 2 3 3 1 3 3 1 x 1 x 3 4 4 1,0® c, A= 1 x 3 x 3 x 3 A nguyên x 3 là ước của 4 x 3 nhận các giá trị: -4;-2; -1; 1; 2;4 x 1;4;16;25;49 do x 4 x 1;16;25;49 2 a, 4x 8 x 2 9x 18 4 ĐK: x 2 1đ 5đ 2 x 2 x 2 3 x 2 4 4 x 2 4 x 2 1 x 2 1 x 3 thoả mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình có một nghiệm x = 3.( 1,0điểm) 2đ b,x 6 x 2 2 ĐK x 6 x 6 x 2 2 ( x 6 )( x 2 ) 4 ( x 6 )( x 2 ) 6 x ( x 6 )( x 2 ) ( 6 x ) 2 4 x 2 4 x 6
  39. x = 6 tho¶ m·n §K. Vậy ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x= 6( 2,0điểm) 1 c, x 2x 1 x 2x 1 2 §K x 2 2đ Nh©n c¶ 2vÕ cña PT (*) víi 2 ta ®îc. ( 0,5điểm) (*) 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 2 ( 2x 1 1)2 ( 2x 1 1)2 2 ( 0,5điểm) 2x 1 1 2x 1 1 2 2x 1 1 2x 1 1 2 ( ) ( 0,5điểm) 1 Víi x 2. PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt ( 0,25điểm) 4
  40. 2đ VÏ h×nh ghi GT & KL ®óng( 0,5điểm) A KÎ AH  BC trong tam gi¸c vu«ng ABH cã P AH = BC.sin B = a.sin 600 = a 3 2 M N S ABC S MAB S MBC S MAC 1 1 1 = MP.AB ME.BC MN.AC = 2 2 2 B H E C BC = (PM ME MN) 2 = BC.AH 2 a 3 MP ME MN AH = .Kh«ng ®æi(1,0điểm) 2 Vậy tæng MP + ME + MN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M trong tam gi¸c ABC ( 0,5điểm) 5 VÏ h×nh ghi GT & KL ®óng ( 0,5đ) 5đ D M C N O A B Ta có OC, OD lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù: ·AOM , M· DB Suy ra OC  OD hay C· OD 900 . ( 1,0điểm) b. Xét COD có C· OD 900 (cmt) vàOM  CD nên ta có hệ thức : CM.MD OM 2 ( 0,5điểm) mà AC = CM, MD = DB. AC.BD OM 2 R2 ( 0,5điểm) R không đổi nên tích AC. BD không đổi ( 0,5điểm)
  41. c.Ta có AC // DB ( Vì cùng vuông góc với AB). Theo hệ quả định lí ta lét AC CN AC CM mà (1,0điểm) BD NB BD MD CN CM suy ra MN / /BD ( Địnhlí đảo ta lét) NB MD Mà BD  AB NM  AB (1,0điểm) 6 x3 2012 Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x3 2012 2012 1006 1006 Ta có A x2 x2 (0,5 điểm) x x x x 1006 1006 Áp dụng BDT cô si cho 3 số dương x2 , , x x 1006 1006 A 33 x2. . 33 10062 x x 1006 Min A =33 10062 x2 x3 1006 x 3 1006 (0,5 điểm) x Ghi chú: _Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối da theo từng câu, từng bài. - Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm - Điểm toàm bài không làm tròn. PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP THỊ THỊ XÃ SẦM SƠN NĂM HỌC: 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (120 PHÚT) Ngày thi 24/4/2013 Câu 1: ( 4 điểm)Tìm x biết: a)(2x-1)2 =4 b) x:2 + x: 6 + x:12 + +x :9900 =99 Câu 2 : (5 điểm) 1) Tìm x,y biết rằng: 7x=2y và xy=56 2) Ba tấm vải có giá trị lần lượt là 120000 đồng ; 192 000 đ; 144000 đ
  42. tấm thứ nhất và tấm thứ hai có cùng chiều dài . Tấm thứ hai và tấm thứ ba có cùng chiều rộng . Tổng cả ba chiều dài là 110 mét ; Tổng cả ba chiều rộng là 2,1m. Tính chiều dài , chiều rộng của mỗi tấm vải , biết giá của mỗi mét vuông của ba tấm vải bằng nhau. Câu 3( 5 điểm) : a) Cho 2 đa thức f(x) = x2 + mx +n và g(x) = x2 + px + q Biết rằng  x1; x2 sao cho f(x1) – g (x1) =0 ; f(x2) – g( x2) =0 Chứng minh : f(x) = g(x)  x b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2.3n +3 11 Câu 4:(4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC , trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AD. gọi O là giao điểm của CD và BE ,Trên đường vuông góc với AB vẽ tại B lấy điểm F sao cho BF = CE ( F; C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) a) chứng minh DF= DC b) Chứng minh: tam giác CDF Vuông cân từ đó tính số đo góc COE Câu 5: (2 điểm ) Cho tam giác ABC Có AB > AC Gọi N là một điểm thuộc phân giác ngoài của góc BAC chứng minh: NB +NC > AB +AC Bài 4: C a)Chứng minh ADC = BFD ( c.g.c) F suy ra CD = DF E O ADC BDF 900  0 b) chứng minh CDF = 90 A D B Vậy tam giác CDF vuông cân ; chỉ ra CBE = BCF ( c.g.c) suy ra CF // BE COE 450 ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
  43. Hướng dẫn giải đề thi HSG toán 7 năm 2012-2013 Thị xã Sầm sơn Câu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ý 2 : Đưa về : x( ) 99 1 2 2 3 3 4 99 99 100 99x 99 x=100 100 Câu 2 : Ta có 7x.2y = 56.14 vậy (7x)2 = (2y) 2 =( 28)2 Hoặc 7x =2y =28 suy ra (x; y) = (4; 14) Hoặc 7x= 2y = - 28 suy ra ( x,y) =( -4 ; -14) 2) Gọi chiều dài tấm vải thứ nhất là x mét (0 0 Ta có 2.3n +3 = 3( 2.3n-1 +1) 11 mà (3; 11) =1 buộc 2. 3n-1 +1 11suy ra
  44. 3n-1  5 (mod 11) cách 1:ta có bảng sau: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3n-1  1 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 Cóchu kỳ lặp lại là 5 nên ta có n= 5k +4 (k N) thì 2.3n +3 11 cách 2: xét n= 5k +r (r=0;1;2;3;4 ) chỉ có n = 5k +4 thỏa mãn nên các số n =5k +4 ( k N) là các số cần tìm. Bài 4: C a)Chứng minh ADC = BFD ( c.g.c) F suy ra CD = DF E O ADC BDF 900  0 chứng minh CDF = 90 A D B Vậy tam giác CDF vuông cân ; chỉ ra CBE = BCF ( c.g.c) suy ra CF // BE COE 450 Bài 5: Qua c kẻ CD  d cắt AB tại D D ( d là đường thẳng chứa phân giác ngoài d N A đỉnh A) chứng minh : AC =AD suy ra AB +AC = BD Chứng minh NC = ND vì N A B C nên NB + NC = NB + ND > BD = AB +AC ( BĐT tam giác) vậy NB + NC > AB + AC