Một số chủ đề ôn tập thi vào Lớp 10 môn Toán

Nội dung text: Một số chủ đề ôn tập thi vào Lớp 10 môn Toán

1. CHñ §Ò : HÖ PH¦¥NG TR×NH HAI ÈN i - Môc tiªu CỦA CHỦ ĐỀ: - Häc sinh cã kÜ n¨ng gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p: thÕ, céng ®¹i sè. - Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi hoÆc gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh. - ¸p dông gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh hoÆc t×m điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu cho trước - Học sinh biết một vài kĩ năng để giải một số loại hệ phương trình bậc cao hai ẩn, giải hệ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, có chứa căn thức. II/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: - Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó ta có ax+by=c(1) hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: (I) a ' x b' y c '(2) - Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x0;y0) thì được gọi là nghiệm của hệ (I) - Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm 2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d) - Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d’) a b * Nếu (d) cắt (d) hệ có nghiệm duy nhất a ' b' a b c * Nếu (d) // (d’) hệ vô nghiệm a ' b' c ' a b c * Nếu (d) trùng (d’) hệ có vô số nghiệm. a ' b' c ' 3. Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp dùng định thức: a/ Quy tắc thế ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13) b/ Quy tắc công đại số ( Sgk Toán 9-T2-Tr 16) c/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát Ăn Cơm) Từ hệ phương trình (I) ta có: a b c b a c D ab' a 'b; D cb' c 'b D ac ' a 'c a ' b' x c ' b' y a ' c ' Dx Dy - Nếu D 0 , thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: x và y = D D - Nếu D = 0 và Dx 0 hoặc Dy 0 , thì hệ phương trình vô nghiệm - Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm
2. III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Giải và biện luận. mx 2y 2m (1) Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ : x y 3 (2) Giải Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp: * Cách 1: Phương pháp thế Ta có: Từ (2) y = 3 - x. Thế vào (1) ta được: Pt (1) mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3). + Nếu m - 2 = 0 m = 2 thì (3) trở thành 0 = - 2, vô nghiệm (không được nói là phương trình vô lí !). 2m 6 + Nếu m - 2 0 m 2 thì (3) x = m 2 Thay vào (2) ta được: 2m 6 m (2) : y = 3 - = m 2 m 2 2m 6 m Hệ có nghiệm duy nhất : (x;y) = ( ; ). m 2 m 2 * Cách 2: Phương pháp định thức: Từ hệ phương trình ta có: m 2 D m.1 1.2 m 2 1 1 2m 2 D 2m.1 3.2 2m 6 x 3 1 m 2m D m.3 1.2m 3m 2m m y 1 3 - Nếu D 0 m – 2 0 m 2 Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: D 2m 6 D m x x ; y y D m 2 D m 2 - Nếu D = 0 m – 2 = 0 m=2 Dx 2.2 6 4 0(Dy 2 0) hệ phương trình vô nghiệm - LK: . 2. Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Những yêu cầu về nghiệm thường gặp : - Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức. - Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức. - Nghiệm của hệ là những số nguyên.
3. 3x 2y m (1) Bài toán 2 : Tìm m để hệ : x my 3 (2) có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0. Giải Nhân hai vế của (2) với -3, ta có: (2) -3x - 3my = -9 (3) Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9 (2 + 3m)y = 9 - m (4) 2 + Nếu 2 + 3m = 0 m = thì (4) trở thành 0 = 29/3 vô nghiệm. 3 2 9 m + Nếu 2 + 3m 0 ; m thì : (4) y = 3 2 3m 9 m m2 6 Thế vào (1) ta có : 3x – 2. = m x = 2 3m 2 3m Khi đó x > 0 và y > 0 2 2 Kết hợp với điều kiện có nghiệm là m m 9 3 3 Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9 x m 1 y 1 (1) Bài toán 3 : Cho hệ : 4x y 2 (2) a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x, y nguyên. b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn x2 + y2 = 0,25. Giải a) Từ (2) m y = 4x + 2 nên thế vào (1) ta có : x + (m + 1) (4x + 2) = 1 (4m + 5)x = -2m - 1 (3) + Nếu 4m + 5 = 0 m = - 5/4 thì (3) vô nghiệm. 2m 1 + Nếu 4m + 5 0 m - 5/4 thì (3) x 4m 5 Thế vào (2) thì : y = - 4. 2m 1 + 2 = 6 4m 5 4m 5 Trước hết ta thấy : Vì m nguyên nên 4m + 5 là số nguyên lẻ. Do đó : y nguyên 4m + 5 là ước số lẻ của 6 4m + 5 { -1;1;-3;3} m {-3/2;-1;-2;-1/2} - Với m = - 1 thì x = 1 ; y = 6 thỏa mãn.
4. - Với m = - 2 thì x = - 1 ; y = - 2 thỏa mãn. Tóm lại : Hệ có nghiệm x và y là số nguyên m = - 1 hoặc m = - 2. b) Ta có x2 + y2 = 0,25 [ - (2m + 1)/(4m + 5)]2 + [ -6/(4m + 5)]2 = 1/4 4(2m + 1)2 + 4.36 = (4m + 5)2 khi và chỉ khi m = 123/24 3.Giải các hệ đưa về hệ bậc nhất hai ẩn (thông qua các ẩn phụ). 3 5 2 2x y 2x y Bài toán 4 : Giải hệ : 1 1 2 2x y 2x y 15 Giải 3u 5v 2 Đặt thì u = 1/(2x - y); v = 1/(2x + y) hệ trở thành : 2 u v 15 Giải hệ này ta có u = 1/3 ; v = 1/5 Từ đó ta có : 4. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất. Có khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức lại xuất hiện loại hệ này. Ta xét bài toán sau : Bài toán 5 : Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = (mx + 2y - 2m)2 + (x + y - 3)2 Giải Ta thấy F ≥ 0 với mọi x, y, m và F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi hệ sau có nghiệm : Hệ này chính là hệ ở bài toán 1, có nghiệm m 2. Với m = 2 thì F = (2x + 2y - 4)2 + (x + y - 3)2. Đặt t = x + y - 2 ta có : F = (2t)2 + (t - 1)2 = 5t2 - 2t + 1 = 5(t - 1/5)2 + 4/5 ≥ 4/5 Khi đó F đạt giá trị nhỏ nhất là 4/5 t = 1/5 Tóm lại : Nếu m = 2 thì F nhỏ nhất là 4/5 Và nếu m 2 thì F nhỏ nhất bằng 0. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
5. x2 (1 y) 4y 4 Bài toán 6: Giải hệ phương trình 2 2 x y 2 Hướng dẫn Vì: x2(1 – y) + 4y = 4  x2 + 4y = 4 + x2y  (x2 – 4)(y – 1) = 0 Nên hệ pt đã cho tương đương với: x2 4 2 2 2 (x 4)(y 1) 0 x y 2 x2 y2 2 y 1 2 2 x y 2 x2 4 a/ Giải 2 2 ( vô nghiệm) x y 1 y 1 x 0 b/ Giải 2 2 x y 1 y 1 Đáp số: (x; y) = ( 0; 1 ) x2 y2 2 Bài toán 7: Giải hệ phương trình sau: x y 2xy xy(x y) 2 Hướng dẫn x y 2xy xy(x y) 2 (x y 2)(xy 1) 0 IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG */ Lo¹i 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng phương pháp thế, định thức: Bài 1 2x 3y 2 a / 9x 8y 6 3x 2y 3 b / 2x y 2 4x 3y 6 x 6y 17 c / 2x y 0 d / 5x y 23 7x 4y 74 x 3y 6 e / f / 3x 2y 32 2x 6y 12 Bài 2:
6. ( 2 1)x y 2 x 2 y 3 1 b / a / x ( 2 1)y 1 x y 3 2 x 2 y 3 1 x 2 3y 1 d / c / x y 3 2 2x y 2 2 x 5 (1 3)y 1 5x 3 y 2 2 e / f / (1 3)x y 5 1 x 6 y 2 2 LOẠI 2: Hệ phương trình gồm một phương trình là bậc nhất, một phương trình không phải bậc nhất x y 1 0 x 5y 1 a / b/ 2 2 2 2 x y 3xy x y 10 2x xy 3y 7x 12y 1 0 2 x2 y2 2x 2y 23 0 3x 6xy x 3y 0 c/ d / x 3y 3 0 4x 9y 6 LOẠI 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: DẠNG 1: 1 1 1 6 5 1 1 1 3 x y x y x y 4 a/ b/ c / 3 4 9 10 10 1 5 1 1 x y x y x y 1 1 1 1 24 4 5 2 x y x 2 y 1 x 3 y 1 d / e/ f / 2 3 2 3 5 1 29 1 x y x 2 y 1 x 3 y 1 20 8 1 4 9 1 1 1 1 2 x y 12 2x 1 y 1 x 1 y 2 g / h/ i / 1 5 3 2 13 2 3 1 x y 12 2x 1 y 1 6 y 2 x 1 7x2 13y 39 2x2 3y2 36 3x2 y2 5 j / k / l / 2 2 2 2 2 5x 11y 33 3x 7y 37 x 3y 1 */ DẠNG 2:
7. 4 5 2 2x 3y 3x y b / 3 5 21 3x y 2x 3y x x 1 y y 12 d / x x 2 y 12 y 4 5 5 x y 1 2x y 3 2 f / 3 1 7 x y 1 2x y 3 5 2x 3y 1 y 1 x 1 h / 2y 5x 2 x 1 y 1 */ LOẠI 4: Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử x y xy 1 0 (x 2y 1)(x 2y 2) 0 a / 2 2 b/ 2 x y x y 22 xy y 3y 1 0 (2x 3y 2)(x 5y 3) 0 (x y 2)(2x 2y 1) 0 c/ d / 2 2 x 3y 1 3x 32y 5 0 (x y)2 3(x y) 2 0 (x 1)2 (y 1)2 0 e/ f / x y 5 0 x 3y 5 0 (x y)2 4(x y) 12 (x y)2 x y 6 g / h/ 2 2 2 (x y) 2(x y) 3 2x 2y 5xy */ LOẠI 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y: ax2 bxy cy2 d(1) -Hệ có dạng: 2 2 a ' x b' xy c ' y d '(2) - Cách giải: * Cách 1: Nhân 2 vế của phương trình (1) và phương trình (2) với k và k’ sao cho:
8. k.d = k’.d’ rồi trừ từng vế của hai phương trình cho nhau ta được một phương trình dạng: Ax2 + Bxy + Cy2 = 0 (*) +/ Xét y = 0 +/ Xét y 0, ta đặt: x = yt pt (*) trở thành: Ay2t2 + By2t + Cy2 = 0 At2 + Bt + C = 0 Giải phương trình trên tìm t. * Cách 2: Chọn hai số m và n sao cho: a.m = a’.n +/ Nhân hai vế của phương trình (1) với m, phương trình (2) với n +/ Trừ từng vế của hai phương trình cho nhau, ta được phương trình dạng: B(x, y) + Cy2 = D (3) +/ Xét y = 0 D Cy2 +/ Xét y 0, từ (3) x = (4) By Thay (4) vào (1) hoặc (2), ta được một phương trình trùng phương. Bài tập: Giải các hệ phươ:ng trình sau 2 2 x2 4xy y2 1 x2 xy y2 21 3x 5xy 4y 38 a / b c / 2 2 2 2 y 3xy 4 y 2xy 5 0 5x 9xy 3y 15 2 2 3x2 y2 5 2x2 3y2 36 x 2xy 3y 9 d / e / f / 2 2 2 2 2 2 x 3y 1 3x 7y 37 2x 2xy y 2 x2 4xy 2y2 3 x2 3xy 54 2x2 y2 1 g / h / i / 2 2 2 2 2x xy 3y 4 xy 4y 115 xy x 2 x2 y2 25 2xy (x y)(x2 y2 ) 5 (x y)(x2 y2 ) 45 j / k / l / 2 2 2 2 y(x y) 10 (x y)(x y ) 3 (x y)(x y ) 85 */LOẠI 6: Hệ đối xứng loại 1 - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi f (x; y) 0(1) Hệ có dạng: (I) g(x; y) 0(2) - Cách giải: Ta quy về hệ phương trình biết tổng và tích của hai nghiệm: Biến đổi các phương trình trong hệ về dạng: x + y và x.y x y S Đặt: ĐK: S2 – 4P 0 (*) x.y P Thay vào hệ phương trình (I), ta được một hệ phương trình có hai ẩn là S và P
9. Hệ phương trình (I) có nghiệm Hệ phương trình ẩn S và P có nghiệm thỏa mãn (*). Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: x y xy 7 xy x y 17 x y xy 1 x2 y2 x y 102 1/ 2 2 2/ 2 2 3/ 2 2 4/ x y xy 13 x y 65 x y y x 6 xy x y 69 xy(x 2)(y 2) 9 x2 y2 2x(y 3) 2y(x 3) 9 0 5/ 2 2 6/ x y 2(x y) 6 2(x y) xy 6 0 1 2 2 x 1 2 2 3 3 x y 52 x y xy 1 x y 9 x y 7 / 8 / 9 / 10 / 3 3 2 2 1 1 5 x y x y x y 5 x x y 12 2 x y LOẠI 7: Hệ đối xứng loại 2: - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thành phương trình (1). f (x; y) 0(1) Hệ có dạng: (I) g(x; y) 0(2) - Cách giải: Trừ từng vế của phương trình (1) và (2) ta được một phương trình dạng: x y 0 (x – y) [A(x; y)] = 0 A(x; y) 0 x y 0 (II ) f ( x; y) 0 Hệ phương trình (I) A( x; y) 0 (III ) f ( x; y) 0 Giải hệ (II) và (III) để tìm nghiệm Chú ý: Nếu trong cả hai phương trình các ẩn đề có lũy thừa là số lẻ thì ta có thể cộng và trừ từng vế của hai phương trình, khi đó ta được một hệ phương trình tương đương với hệ pt (I): (x y).A(x; y) 0 (x y).B(x; y) 0 Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
10. 2x y2 4y 5 y2 2x 3 x2 2y2 7x 1/ 2/ 3/ 2 2 2 2 2y x 4x 5 x 2y 3 y 2x 7y 2x2 3xy y2 3x 1 x3 5x y x3 2y x 4/ 5/ 6/ 2y2 3xy x2 3y 1 3 y3 2x y y 5y x x3 13x 6y y2 x3 4x2 3x x3 2y 1 7/ 8/ 9/ 3 2 3 2 3 y 13y 6x x y 4y 3y y 2x 1 LOẠI 8: Hệ có chứa căn thức: Lưu ý: - Trước khi giải hệ phải đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa - Sau khi giải xong cần đối chiếu với điều kiện trên Bài tập1: Giải các hệ phương trình sau ( Đặt ẩn phụ 7 4 5 3 x y 5 x 3 2 y 1 2 a / c / 3 x 2 y 6 x 7 y 6 3 b / d / 2 x 3 y 18 2 x 3 y 1 4 5 3 1 x y 4, 5 2 x 7 y 6 6 x y 1 1 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: y x 1 1 HD ĐK: x 0 và y 0 Từ đk suy ra: x y 1 1, y x 1 1, Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0 Đ/s: x = y = 0 2 2x 1.4 4y 3 x Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 4 2 2y 1. 4x 3 y HD Nhân hai phương trình của hệ ta thu được: 2x 1.4 4x 3. 2y 1.4 4y 3 x2 y2 2x 1 4 4x 3 Ta có bất đẳng thức: 1; 1 x x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1, suy ra 2x 1.4 4x 3. 2y 1.4 4y 3 x2 y2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1; y = 1 Bài 4: Giải các hệ phương trình:
11. x y ( y x)(1 xy) a / 3 3 x y 54 2 2 x x y 1 x y y x 1 y 18 b / 2 2 x x y 1 x y y x 1 y 2 x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5(1) c / 2 2 x y x y 80(2) HD a/ Ta có: x y ( y x)(1 xy) ( x y) ( x y) 1 xy 0 x y 0 x y b/ Trừ các phương trình của hệ đã cho vế theo vế */LOẠI 9: Hệ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối: Bài 1: Giải hệ phương trình: y x 1 6x 2 | y | 3 y x x 2 3 a / c / b / 4 2x y 1 x 3 | y | 7 2x y 1 3 HD Dùng phương pháp thế, đưa hệ phương trình về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối */LOẠI 10: Hệ có chứa tham số mx 2y n Bài 1 : Cho hệ : x 5y 7 a) Tìm n để hệ có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Với n = 2, hãy tìm m sao cho hệ có nghiệm thỏa mãn x < 0 và y < 0. c) Với n = 3, hãy tìm số nguyên m sao cho hệ có nghiệm x, y là các số nguyên. mx y 1 m 2 x y 1 Bài 2 : Tìm m để hệ có nghiệm : a) x my 1 b) 3x my m x y m Bài 3 : Tùy theo m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a) F = (mx - 2y + 1)2 + (3x + y)2 b) Q = |x - my| + |2x + y - 1| ax by c Bài 5 : Chứng minh rằng : Nếu hệ bx cy a có nghiệm thỏa mãn cx + ay = b thì : a3 + b3 + c3 = 3abc.
12. Chñ ®Ò : mét sè bµi to¸n sö dông hÖ thøc vi- et I/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Định lí Vi-ét: 2 Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 b x x 1 2 a thì: c x x 1 2 a 2.Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: c - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 1; x2 a c - Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x 1; x 1 2 a 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích: Hai số x; y có x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 Điều kiện: S2 4P BỔ SUNG 2 2 a/ Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm x1, x2 thì tam thức ax bx c 2 phân tích được thành nhân tử: ax bx c = a(x – x1)(x – x2) b/ Xét dầu các nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Điều kiện để phương trình (1) - Có hai nghiệm trái dấu P 0 - Có hai nghiệm cùng dương là V 0 , P > 0, S > 0 - Có hai nghiệm cùng âm là V 0 , P > 0, S < 0. II/ CÁC BÀI TẬP */ DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình khi biết hai nghiệm Bài 1: 1 3 1 1 1 a/ x1 = ; x2 = - b/x = -2 ; x2 = 3 c/ x1 = 1 ; x2 = - 0,9 d/ x1 = 1 2 ; x2 = 1 2 4 2 1 4 3 3 1 e/ x1 = 3 2 ; x2= f/ x1 = 5 +26 ; x2 = 5 2 6 g/ x1 = 3 + 22 ; x2 = 3 2 2 3 2 1 1 1 1 h/ x1 = 4 – 35 ; x2 = 4 + 35 i/ x1 = ; x2 = k/ x1 = ; x2 = 2 3 2 3 10 72 10 72 l/ x1 = 3 - 5 ; x2 = 3 +5 m/ x1 = 4; x2 = 1 - 2 n/ x1 = -1,9; x2 = 5,1 o/ x1 = 3 + 11 ; x2 = 3 11 2 Bài 2: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x – 7x – 3 = 0. Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
13. 1 1 x2 x1 x1 1 x2 1 a / 2 và 2 b / và c / và x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 1 1 1 1 1 d/ và e / x1 và x2 f / và x2 x1 x2 x1 x2 2 x 1 2 2 Bài 3: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x + px – 5 = 0. Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là: 1 1 1 1 x2 x1 d / và e / và a / x1và-x2 b / 4x1và 4x2 c / x1và x2 3 3 x1 x2 x1 x2 x 2 x 2 x 3 -x 3 x1 x2 f / 1 và 2 g / 1 và 2 h / và x1 x2 x2 x1 x2 1 x1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 i / x1 và x2 j / x1 và x2 k / x1 và x2 l / x1 x2và x2 x1 x2 x1 x2 x1 Bài 4: Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình 3x 2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình, p q hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: và q 1 p - 1 Bài 5: 2 a/ Chứng minh rằng nếu a 1; a2 là hai nghiệm của phương trình: x + px + 1 = 0; b1; b2 là hai 2 2 2 nghiệm của phương trình: x + qx + 1 = 0 thì: (a1 – b1)(a2 – b2)(a1 + b1)(a2 + b2) = q – p b/ Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình: x2 + ax + 1 = 0 với một nghiệm 4 1 1 2 2 nào đó của phương trình x + bx + 1 = 0 là nghiệm pt thì: a2b2 a2 b2 c/ Cho phương trình: x2 + px + q = 0 Chứng minh rằng nếu 2p2 – 9q = 0 thì phương trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. */ DẠNG 2: Tìm tổng và tích các nghiệm 2 Bài 1: Cho phương trình x – 5x + 3 = 0. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính: 2 2 3 3 2 2 3 3 a / x1 x2 b / x1 x2 c / x1 x2 d / x1 x2 e / x1 x2 1 1 1 1 x 3 x 3 1 1 f / h / 1 2 i / g / 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 2 x2 2 1 1 1 x 1 x x1 x2 j / x x k / 1 2 2 2 m / 1 2 l / x1 x2 x1x2 x1 x2 2x1 2x2 x2 x1 Bài 2: Cho phương trình –x2 – 4x + 1 = 0. Không giải phương trình hãy tính: a/ Tổng bình phương các nghiệm b/ Tổng nghịch đảo các nghiệm c/ Tổng lập phương các nghiệm d/ Bình phương tổng các nghiệm e/ Hiệu các nghiệm f/ Hiệu bình phương các nghiệm. Bài 3: 2 Cho phương trình: x + 43 x + 8 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Không giải phương trình hãy tính:
14. 2 2 6x1 10x1x2 6x2 A 3 3 5x1x2 5x1 x2 DẠNG 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích Bài 1: Tìm hai số u, v biết: a/ u + v = 32; u.v = 231 b/ u + v =-8; u.v = -105 c/ u + v = 2; u.v = 9 d/ u + v = 42; u.v = 441 e/ u - v = 5; u.v = 24 f/ u + v = -5; u.v = -24 g/ u2 + v2 = 85; u.v = 18 h/ u - v = 3; u.v = 180 i/ u2 + v2 = 5; u.v = -2 j/ u2 + v2 = 25; u.v = -12 DẠNG 4: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm. Bài 1: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm 1 1 2 2 1 1 4 d/ 3 x1; x2 thỏa mãn: a / x1 x2 36 b / x1 x2 4 c/ 2 2 x1 x2 3 x1 x2 Bài 2: Cho phương trình: x 2 – 8x + m = 0. Tính giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn một trong các hệ thức sau: 2 2 a / x1 x2 50 b / x1 7x2 c / 2x1 3x2 26 d / x1 x2 2 Bài 3: Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 .Tính giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 = 2x2. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của phương trình. Bài 4: 2 2 2 a/ Tìm k để pr: x + (k – 2)x + k – 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 10 2 2 2 b/ Tìm k để pr: x - 2(m – 2)x – 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 18 2 c/ Tìm k để pt: (k + 1)x – 2(k + 2)x + k – 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 d/ Tìm k để pt: 5x + mx – 28 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn: 5x1 + 2x2 = 1 Bài 5: Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: mx2 + (m – 1)x + 3(m – 1) = 0 1 1 1 Chứng minh: x1 x2 3 */ DẠNG 5: Các bài toán tổng hợp Bài 1:Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 a/ Định m để phương trình có một nghiệm là 2. Khi đó phương trình còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? b/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 2 c/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1 + x2 = 1 d/ Định m để phương trình có nghiệm này bằng ba nghiệm kia? Bài 2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – m = 0 a/ CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m 1 1 b/ Với m 0. Hãy lập PT ẩn y có hai nghiệm là: y1 x1 và y2 x2 x 2 x1 c/ Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 3. Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2(k + 3)x + 2k – 1 = 0 a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k b/ CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
15. 1 1 3 d/ Định k để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 e/ Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất? x2 2(2m 1)x 3m2 6m Bài 4: Cho phương trình: 0 x 2 a/ Giải phương trình trên khi m = 2/3 b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 16 Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 a/ Giải và biện luận pt trên b/ Tìm giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại? 2 2 c/ Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thỏa mãn: 10x1x2 +x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó? Bài 6: Cho pt: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 2 b/ Đặt A = 2( x1 x2 ) 5x1x2 Chứng minh: A = 8m2 – 18m + 9 Tìm m sao cho A = 27 c/Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy. Bài 7: Cho pt: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m b/ Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu c/ Tìm m để pt có hai nghiệm dương d/ CMR biểu thức A x1(1 x2 ) x2 (1 x1) không phụ thuộc m. e/ Tính giá trị của biểu thức x1 – x2 Bài 8: 2 a/ Phương trình: x – 2px + 5 = 0 có nghiệm x1 = 2. Tìm p và tính nghiệm kia? b/ Phương trình: x2 + 5x + p = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm p và tính nghiệm kia? c/ Biết hiệu hai nghiệm của pt: x2 – 7 + q = 0 bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. 2 2 d/ Tìm giá trị của m để pt: x + 2(m + 2)x + 2m + 7 = 0 có nghiệm x1 = 5 khi đó hãy tìm nghiệm còn lại? Bài 9: Cho phương trình: x4 + 2mx2 + 4 = 0 (1) Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân 4 4 4 4 1 2 3 4 biệt x , x , x , x thỏa mãn:x1 x2 x3 x4 = 32 Hướng dẫn Đặt x2 = t suy ra phương trình trở thành: t2 + 2mt + 4 = 0 (2) Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1; t2 Đ/s: m < -2. Khi đó (1) có 4 nghiệm là x1,2 t1 ; x3,4 t2 và 4 4 4 4 2 2 x1 x2 x3 x4 2(t1 t2 ) 4t1t2 8m 16 2 2 1 1 Bài 10: Cho phương trình: m (1) x x 1 a/ Giải pt với m = 15
16. b/ Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt Hướng dẫn 2 1 2 1 Pt (1) m 0 ; Đặt y (*) x(x 1) x(x 1) x(x 1) Thì pt (1) trở thành: y2 + 2y – m = 0 (2) ( Với m = 15, tìm y sau đó tìm x) b/ Từ (*) ta thấy tồn tại hai giá trị của x khi và chỉ khi y 0 Do đó pt (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm p/b thỏa mãn: y  4;0 Theo định lý Vi-ét: y1 + y2 = -2 nên (2) chỉ thỏa mãn khi y1 < -4 < 0 < y2 a. f (4) 0 a. f (0) 0 CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ Qua chủ đề này giúp học sinh: - Biết được một số bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai như: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Biết cách đưa một số phương trình bậc cao về phương trình bậc hai( phương trình quy về phương trình bậc hai) - Rèn kỹ năng giải toán và trình bày lời giải cho học sinh II/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Công thức nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) 2. Một số bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai 2 Giả sử phương trình: ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có hai nghiệm x1; x2 và x1 + x2 = S, x1.x2 = P thì ta có các bài toán tổng quát sau: a 0 a 0 a 0 * Bài toán 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: hoặc hoặc b 0 V 0 b 0 c 0 a 0 * Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: V 0 a 0 a 0 * Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình có một nghiệm: hoặc V 0 b 0 V 0 * Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: P 0 V 0 * Bài toán 5: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghệm dương ( 0 < x1 x2 ). P 0 S 0
17. V 0 * Bài toán 6: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm ( x1 x2 0 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu: V' 0(câu a) 2 m 1 P 0 m 1 0 P 0 m 1 Vậy với m > 1 hoặc m < - 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
18. c/ Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: -2 - 1 Giải (II) ta được: m < 3 Vậy với - 1 < m < 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4 2.Bài toán 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + 3 )x +a2 + 2 = 0 (*) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt HD V 0(1) Để pt có hai nghiệm dương phân biệt: S 0(2) P 0(3) Ta có: 2 2 2 4 2 2 2 V a 3 4.(a 2) a 2a 1 (a 1) 0a Vậy (1) luôn đúng với mọi a 2 Ta có: S = x1 + x2 = a + 3 3 a Vậy (2) luôn đúng với mọi a Ta có: P = x1.x2 = a2 + 2 2 a Vậy (3) luôn đúng với mọi a KL: Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt dương với mọi a 3.BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Cho phương trình : x2 2m 1 x m2 m 1 0 . a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m . b) Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm số không phụ thuộc m . 2. Tìm những giá trị nguyên của k để biệt thức của phương trình sau là số chính phương : kx2 2k 1 x k 2 0; k 0 . 3. Tìm a để phương trình x4 2 a 1 x2 2a 1 0 có 4 nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn 4 nghiệm đó lên trục số nó chắn trục số thành 3 đoạn bằng nhau. 4. Tìm k để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt : x 2 . x2 kx k 2 3 0 5. Chứng minh rằng phương trình bậc hai : ax2 bx c 0 không thể có nghiệm hữu tỷ nếu a,b,c đều là số lẻ. 6. Tìm a,b để hai phương trình sau tương đương :
19. x2 3a 2b x 4 0 và x2 2a 3b x 2b 0 1 7. Giả sử b,c là các nghiệm của phương trình : x2 ax 0 a 0 2a2 Chứng minh : b4 c4 2 2 . 8. Chứng minh rằng nếu các hệ số a,b,c phương trình sau luôn có nghiệm : a x b x c b x c x a c x a x b 0 9. Chứng minh rằng nếu các hệ số a,b,c của phương trình : ax2 bx c 0 a 0 thỏa mãn điều kiện : 2b2 9ac 0 thì phương trình sẽ có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 10. Chứng minh rằng nếu m n p, m n p với m,n, p là các số dương thì phương trình sau đây vô nghiệm : m2 x2 m2 n2 p2 x n2 0 . 3 2 3 3 2 3 11. Chứng minh rằng : x0 a a b a b a là nghiệm của phương trình : x3 3bx 2a 0 . 12. Tìm giá trị của tham số a để 2 bất phương trình sau đây có đúng một nghiệm chung : a x 2 4 x, a x 1 x 2. 13. Cho 2 phương trình x2 2bx c 0, x2 2cx b 0 . Chứng minh rằng nếu b c 2 thì ít nhất có một trong 2 phương trình trên phải có nghiệm. 2 14. Cho phương trình ax bx c 0 a 0 có nghiệm là x1, x2 . a) Tính theo a,b,c các biểu thức sau : x1 x2 P 5x1 3x2 5x2 3x1 , Q x2 3x1 x1 3x2 b) Cho a m; b 2 2m 1 ; c 3m 4 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x 2không phụ thuộc vào m . 15. Chứng minh rằng nếu phương trình ax2 bx c 0 có 2 nghiệm dương thì phương trình cx2 bx a 0 cũng có 2 nghiệm dương. 16. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung : x2 m 4 x m 5 0, x2 m 2 x m 1 0 . 17. Cho hai phương trình : x2 a 3b x 6 0 1 , x2 2a b x 3a 2 Tìm a,b để 2 phương trình (1), (2) có cùng tập hợp nghiệm. 2 2 18. Tìm m để phương trình x 2m 1 x m 1 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho 2 2 x1 x2 5 . 19. Cho hàm số y x2 2m 1 x m2 1 , tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn : x1 0; x2 0; x2 x1 . 20. Tìm các giá trị của a sao cho 2 phương trình x2 ax 2a 1 0, ax2 2a 1 x 1 0 có nghiệm chung. 21. Cho phương trình : m 1 x2 2mx m 2 0 (m là tham số)
20. Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 . Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m . Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ x x thức : 1 2 6 0 . x2 x1 IV/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp 1: - Trường hợp phương trình có ẩn số ở mẫu, ta thu tất cả về một vế, vế còn lại bằng 0 - Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Do đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình - Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức. So với điều kiện trước khi trả lời Phương pháp 2: Trường hợp ẩn x có bậc cao - Biến đổi phương trình thành phương trình tích hoặc - Hoặc vận dụng cách đặt ẩn phụ Các ví dụ: Giải các phương trình: 2 x 1 5 y 2 y 2 a / 2 b / 5 6 0(2) x x 2 y 1 y 1 6 3 c / x 2x 80 0 d / x4 4x3 3x2 2x 2 0 HD y 2 b/ Đặt x với y 1, x 1 (*) y 1 Do đó (2) x2 - 5x + 6 = 0 Phương trình có hai nghiệm là: x1 = 3; x2 = 2( thỏa mãn (*)) c/ Đặt x3 = t phương trình đã cho tương đương với: t2 – 2y – 80 = 0 d/ Phương trình đã cho tương đương với: (x + 1)2(x2 + 2)(x – 1) = 0 V/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) x2 2x 2 1 0 2) 2x2 7x 5 0 3) 0,7x2 2,3x 3 0 4)x2 1 2 x 2 0 5) x2 2 2 3 1 x 3 2 0 6) x2 2m 1 x 2m 0 7)x2 m n x mn 0 8) 2m 3 x2 2mx 3 0 9) x2 2 1 2 x 4 3 2 0 10) 4x2 2 1 3 x 3 0 11) 2 2 5x 3 5x 3 x 3 2 2 12) x 2 x 3 2 x 5 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) x4 7x2 12 0 2) x4 18x2 81 0 3) 4x4 5x2 9 0 4) x4 x2 1 0
21. 1 1 1 5) 2x4 5x2 7 0 6) 2x4 5x2 7 0 7) x4 x2 0 3 2 6 Bµi 3: Gi¶i các phương trình sau: 2 2 2 2 a/ x 1 4 0 b/ 2x 3 16 0 c/ x 1 4 x 3 0 2 d/ x4 4x2 4 16x2 8x 1 e/ x3 4x2 8x 8 0 f/ x2 x 4 x2 x 12 0 x2 12 x2 14 x2 18 x2 16 g/ x2 x 1 x2 x 2 12 0 h/ 7 9 13 11 2 1 1 19 5 2 k*/ 3 x 2 4 x u/ x x 2x 2 0 x x 4 Bµi 11: Gi¶i các phương trình: x 4 2x 3 1 1 1 1 1 a/ 2 b/ c/ 0 2x 3 x 4 x x 2 x 1 2 12 2x2 1 2x2 4 2x 1 3 x 1 x 4 2x 3 1 1 1 d/ 6 e/ 2 f/ x 1 x 1 2x 3 x 4 x 1 x 9 x y 3 1 32 1 1 ­/ ¬/ y2 9 6y 2y2 y2 3y x3 2x2 x 2 x 1 x 2 x 1 2x 5 x 3 2 1 1 1 g/ 0 h/ 2 k/ 0 2x 2x 5 x2 x 5 x2 x 4 x 1 x 1 x 4 2 2 3 1 1 3 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 2 m*/ 3 n*/ 3 u*/ 0 x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 14 4 x 7 1 x 1 x 1 s/ t/ 3 x2 9 3 x x 3 3 x x 1 x 1 Bµi 5. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) x 4 10x 3 26x 2 10x 1 0 b)x4 4x3 6x2 4x 1 0 c) x 4 2x 3 x 2 2x 1 0 d) x 4 3x 3 14x 2 6x 4 0 e) x 4 4x3 9x 2 8x 4 0 f) x 4 5x3 10x 2 15x 9 0 Bµi 6. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: x 2 x 5 3x 7 a) 4 0 b) x 2 x 5 x x 2 x 5 x 2 x 5 21 2 2 4 2 c) 2 x 4x 6 0 d) x 2 4 x x 4x 10 x x e) x 3 4 x 5 4 2