›
›
›

40 Bộ đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 thcs cấp tỉnh & huyện cả nước - Phần I

pdf 38 trang dichphong 3380
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "40 Bộ đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 thcs cấp tỉnh & huyện cả nước - Phần I", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf40_bo_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_9_thcs_cap_tinh_huyen_ca.pdf

Nội dung text: 40 Bộ đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 thcs cấp tỉnh & huyện cả nước - Phần I

  1. 40 Bộ đề thi HSG Tốn 9 THCS Cấp Tỉnh & Huyện Cả Nước. Phần I SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 1 Câu1( 3,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập nguyên: x 2 + 5y 2 − 4xy + 4x − 8y −12 = 0 b) Cho P(x) = x 3 − 3x 2 +14x − 2 . Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11 Câu 2( 4,0 điểm) a 3 − 3a + 2 a) Tính gía trị biểu thức P = , biết a = 3 55 + 3024 + 3 55 − 3024 a 3 − 4a 2 + 5a − 2 b) Cho số thực x,y,z đơi 1 khác nhau thỏa mãn x 3 = 3x −1; y3 = 3y −1, z3 = 3z −1. Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 = 6 Câu 3( 4,0 điểm) x −1 a) Giải phương trình 3x −1+ = 3x +1 4x 3x 2 + 2y2 − 4xy + x + 8y − 4 = 0 b) Giải hệ phương trình: 2 2 x − y + 2x + y − 3 = 0 Câu 4( 7,0 điểm) Cho đường trịn (O;R) và dây cung BC khơng đi qua tâm .Gọi A là chính giữa cung nhỏ BC.Gĩc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và cĩ số đo bằng khơng đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt BC lần lượt tại M và N .Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành . a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp . b) Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi gĩc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định. c) Khi = 600 và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI. Câu 5( 2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 222x2+ y 2 + z 2 y 2 + x 2 + z 2 z 2 + y 2 + x 2 Chứng minh rằng + + 4xyz 4−yz 4 − xz 4 − yx Hêt— Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  2. SỞ GIÁO - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2012 – 2013 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 2 Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: M=( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) , biết xy=3322 + − 3 322, − = 3 17122 + − 3 17122 − 25xx b) Giải phương trình: −= x22− x +1 x + x + 1 3 x22+ y +3 = 4 x (1) Bài 2: a) Giải hệ phương trình: 3 3 2 x+12 x + y = 6 x +9 (2) b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên (ab− 1)( bc − 1)( ca − 1) P = abc Bài 3: Tam giác ABC cĩ chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: abc3 + + = 1−abc 1 − 1 − 2 Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 4: Cho tam giác ABC vuơng cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M khơng trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuơng gĩc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuơng gĩc của N xuống đường thẳng PD. a) Chứng minh AH vuơng gĩc với BH b) Đường thẳng qua B song song AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x4 y 4 z 4 F = + + (xyxy2+ 2 )( + )( yzyz 2 + 2 )( + )( zxzx 2 + 2 )( + ) Hết . Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 3 Câu 1 (2 điểm). 1− 1 −x2 .( (1 + x ) 3 + (1 − x ) 3 ) a) Rút gọn biểu thức A = với −11 x . 21−−x2 b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a3− a 2 b + ab 2 −60 b 3 = . Tính giá trị của ab44− 4 biểu thức B = . ba44− 4 Câu 2 (2 điểm). 2 2 2 a) Giải phương trình x( x+ 2) = 4 − x 2 x + 4. 3 x=+2 x y b) Giải hệ phương trình . 3 y=+2 y x Câu 3 (2 điểm). a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy2 +2 xy + x = 32 y . b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 23a22+ a = b + b .Chứng minh rằng 2ab++ 2 1 là số chính phương. Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuơng gĩc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB. a) Chứng minh HKM= 2AMH. b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE. c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R. Câu 5 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab+ 6 bc + 2 ac = 7 abc . Tìm giá trị nhỏ 4ab 9 ac 4 bc nhất của biểu thức C = + + . a+24 b a + c b + c Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HỐ Năm học 2013 - 2014 Mơn thi: TỐN - Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 4 xy++ x xy x Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A=x++ 1 + + 1 : 1 − − x 1 . xy+ 1 1 − xy xy − 1 xy + 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Cho 11+=6 . Tìm giá trị lớn nhất của A. xy Câu II (5,0 điểm). 1.Cho phương trình x2 + 2(m − 2)x + m2 − 2m + 4 = 0 . Tìm m để phương trình 2 1 1 cĩ hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 2 − = . x1 + x2 x1x2 15m x+ y + z =1 2. Giải hệ phương trình . 4 4 4 x+ y + z = xyz Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). 2. Tìm x, y, z N thỏa mãn x + 2 3 = y + z . Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuơng gĩc với AO cắt nửa đường trịn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường trịn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. 2. Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng. 3. Chứng minh gĩc ABI cĩ số đo khơng đổi khi M di chuyển trên cung BD. Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =+11. xy33+ xy HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Năm học: 2010 - 2011 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 5 Bài 1 (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy a32 a a b) Cho biểu thức A = + + với a là số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ A cĩ giá 24 8 12 trị nguyên. Bài 2 : (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6 b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 33 20 + 14 2 + 20 - 14 2 Bài 3 : (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x - 2 + 6 - x = x2 - 8x + 24 1 1 9 x + y + + = x y 2 b) Giải hệ phương trình: 15 xy + = xy 2 Bài 4 ( 5,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 900), một đường trịn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M (M B;C) . Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH. a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của gĩc HMK. b) Chứng minh PQ // BC. c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường trịn ngoại tiếp MPK và MQH. Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường trịn (O1) và (O2 ). d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng. Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh : AM BN CP ++ 9 OM ON OP HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  6. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề) Đề số 6 Câu 1 (3 điểm). a.Tìm một số chính phương cĩ 4 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố và căn bậc hai của số cần tìm cĩ tổng các chữ số là một số chính phương. 2n+1 b. Chứng minh rằng số A= 22 +31 là hợp số với mọi số tự nhiên n. Câu 2 (7 điểm). x2 =2 y + 3 x − 6 a) Giải hệ phương trình: 2 y=2 x + 3 y − 6. 8xx2 ++ 18 11 b) Giải phương trình: xx+1 + 2 + 3 =  2 2x + 3 Câu 3 (2 điểm). Cho x,, y z là các số thực dương thoả mãn xyz =1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 1 1 thức: P = + +  (3x+ 1)( yzx + ) + (3 y + 1)( xzy + ) + (3 z + 1)( xyz + ) + Câu 4 (6 điểm). Cho AB là mộtđường kínhcốđịnhcủađường trịn (O). Qua điểm A vẽđường thẳng d vuơng gĩc với AB. Từ mộtđiểm E bất kì trên đường thẳng d vẽ tiếp tuyến vớiđường trịn (O) (C là tiếpđiểm, C khác A). Vẽđường trịn (K) đi qua C và tiếp xúcvớiđường thẳng d tại E, vẽđường kính EF củađường trịn (K). Gọi M là trung điểm của OE. Chứng minh rằng: a. Điểm M thuộc đường trịn (K). b.Đường thẳng đi qua F và vuơng gĩc với BE luơn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên đường thẳng d. Câu 5 (2 điểm). Ở miền trong đa giác lồi 2018 cạnh cĩ diện tích bằng 1 lấy 2017điểm, trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luơn tồn tại một tam giác cĩ 3 đỉnh lấy từ 4035điểm trên (bao gồm 2018đỉnh củađa giác và 2017điểm trong đa giácđĩ) cĩ diện tích 1 khơng vượt quá  6050 Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HĨA NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN - Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 8 Câu I (4,0 điểm). x−2 x x + 1 1 + 2 x − 2 x 1. Cho biểu thức P = + + , với xx 0, 1. Rút gọn x x−1 x x + x + x x2 − x P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên. 4(x+ 1) x2018 − 2 x 2017 + 2 x + 1 13 2. Tính giá trị biểu thức P = tại x =−. 23xx2 + 2 3−+ 2 2 3 2 Câu II (4,0 điểm). 1. Biết phương trình (m− 2) x2 − 2( m − 1) x + m = 0 cĩ hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền 2 của tam giác vuơng đĩ bằng . 5 (x+ y )2 (8 x 2 + 8 y 2 + 4 xy − 13) + 5 = 0 2. Giải hệ phương trình 1 21x += xy+ Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2−5 y + 62( = y − 2) x 2 + ( y 2 − 6 y + 8). x 2. Cho ab, là các số nguyên dương thỏa mãn p=+ a22 b là số nguyên tố và p − 5 chia hết cho 8. Giả sử xy, là các số nguyên thỏa mãn ax22− by chia hết cho p . Chứng minh rằng cả hai số xy, chia hết cho p . Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC cĩ (OII ),( ),(a ) theo thứ tự là các đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp và đường trịn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là OII,,a . Gọi D là tiếp điểm của ()I với BC , P là điểm chính giữa cung BAC của ()O , PIa cắt ()O tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O. 1. Chứng minh IBIa C là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác Ia MP. 3. Chứng minh DAI= KAIa . Câu V (2,0 điểm). Cho x,, y z là các số thực dương thỏa mãn xz . Chứng minh rằng xz y2 x+ 25 z + + . y2 + yz xz + yz x + z 2 HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian :150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 9 Câu 1 (4.0đ): Cho phương trình: x 2 − 2mx + m2 − 2m = 0, trong đĩ m là tham số. 1. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt khơng âm. 2. Tìm để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x1 + x2 = 3. Câu 2 (6.0đ): Giải các phương trình sau: 1) x 2 − 6 x − 7 = 0 2) 2x 2 − 3x + 10 = 3 x 3 + 8 3) 3x 2 + 3x + x − x 2 = 2x + 1. Câu 3 (6.0đ): 1. Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB. Trên nửa đường trịn lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho CD = R (C thuộc cung AD). Qua C kẻ đường thẳng vuơng gĩc với CD cắt AB tại M. Tiếp tuyến của nửa đường trịn (O; R) tại A và B cắt CD lần lượt tại E và F. Gọi K là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuơng. b) Xác định tâm và tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác KCD. 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A với AB < AC, BC = 2 + 2 3 và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC bằng 1. Tính độ dài cạnh AB và AC. 1 a,b, c 3 Câu 4 (2.0đ): Cho ba số a , b , c thoả mãn . a + b + c = 6 Chứng minh rằng: a 2 + b2 + c 2 14 Câu 5 ( 2.0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương x , y , z thoả mãn x + y + z 11 8x + 9y + 10 z =100 HẾT . Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  9. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ NAM Năm học 2012 – 2013 Mơn : Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề ) Đề số 10 Bài 1. (4,0 điểm) x y xy Cho biểu thức: P = − − (x+ y )(1 − y ) ( x + y )( x + 1) ( x + 1)(1 − y ) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. (4,0 điểm) 1. Cho hai số thực a, b khơng âm thỏa mãn18ab+ 4 2013. Chứng minh rằng phương trình sau luơn cĩ nghiệm: 18ax2 + 4 bx + 671 − 9 a = 0 . 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x3+2 x 2 + 3 x + 2 = y 3 . Bài 3. (4,5 điểm) 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số. 2. Giải phương trình: 4x2+ 3 x + 3 = 4 x 3 + 3 x 2 + 2 2 x − 1 Bài 4. (6,0 điểm) Cho gĩc xOy cĩ số đo bằng 60o. Đường trịn cĩ tâm K nằm trong gĩc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường trịn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F. 1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ. 2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường trịn. 3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều. Bài 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: abc+ + = 3. Chứng minh rằng: a+1 b + 1 c + 1 + + 3 1+b2 1 + c 2 1 + a 2 HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  10. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH THANH HỐ Năm học 2013 - 2014 Mơn thi: TỐN - Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 11 xy++ x xy x Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A=x++ 1 + + 1 : 1 − − x 1 . xy+ 1 1 − xy xy − 1 xy + 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Cho 11+=6 . Tìm giá trị lớn nhất của A. xy Câu II (5,0 điểm). 1. Cho phương trình x2 + 2(m − 2)x + m2 − 2m + 4 = 0 . Tìm m để phương trình cĩ hai 2 1 1 nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 2 − = . x1 + x2 x1x2 15m x+ y + z =1 Giải hệ phương trình . 2. 4 4 4 x+ y + z = xyz Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). 2. Tìm x, y, z N thỏa mãn x + 2 3 = y + z . Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuơng gĩc với AO cắt nửa đường trịn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường trịn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. 2. Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng. 3. Chứng minh gĩc ABI cĩ số đo khơng đổi khi M di chuyển trên cung BD. Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =+11. xy33+ xy HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  11. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ NAM Năm học: 2011 - 2012 Mơn thi: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 12 Bài 1.(6 điểm) 6+ 2 5 − 13 + 48 1. Cho biểu thức A = 31+ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y22− A = x(A + x)(A + x ) 2. Gọi d12 ,d là các đường thẳng lần lượt cĩ phương trình: 2 d1 :y= 2x + 3m + 2 và d2 : y= (m + m)x − 4 a) Tìm m để hai đường thẳng song song. b) Tuỳ theo giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 B=( 2x − y3m2 + +) + (m + m)x − y4 − Bài 2.(6 điểm) 1. Giải phương trình: 2(x23+ 2) = 3( x + 8 + 2x) 2. Tìm m để phương trình sau cĩ 4 nghiệm phân biệt: x4+ 3x 3 − (2m1)x − 2 −( 3m1x +) + m 2 + m = 0 Bài 3.(1 điểm) x2y1x( − −) + y2x1y( − −) = 0 Giải hệ phương trình : 33 x+= y 16 Bài 4.(6 điểm) Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đĩ. Đường trịn (O) đi qua B và C (O khơng thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường trịn (O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF. 1. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường trịn cố định khi đường trịn (O) thay đổi. 2. Đường thẳng FI cắt đường trịn (O) tại E’(khác F). Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang. 3. Chứng minh rằng: Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường trịn (O) thay đổi. Bài 5.(1 điểm) Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM.BC++ BM.CA CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất. HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  12. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ Năm học: 2012 - 2013 MƠN: TỐN - LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút khơng kể thời gian giao đề Đề số 13 Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 8x −3xy −5y = 25 2) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= n.4n +3n 7 Câu 2( 4,0 điểm) 2 10 + 30 − 2 2 − 6 2 1) Rút gọn biểu thức: A= : 2 10 − 2 2 3 −1 x2 − yz y2 − zx z2 − xy 2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn = = a b c a2 − bc b2 − ca c2 − ab = = Chứng minh rằng x y z Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: x2 − 6x − m = 0 (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho x 2 − x 2 =12 cĩ hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 1 2 8x3 y3 + 27 =18y3 2) Giải hệ phương trình: 2 2 4x y + 6x = y Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường trịn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường trịn (O) thay đổi nhưng luơn vuơng gĩc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. a) CMR: HA2 + HB2 + HC2 + HD2 khơng đổi. b) CMR : PQRS là tứ giác nội tiếp. 2) Cho hình vuơng ABCD và MNPQ cĩ bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh S MN + NP + PQ + QM AB,BC,CD,DA của hình vuơng. CMR: ABCD ≤ AC 4 Câu 5( 2,0 điểm) ab bc ca a +b + c + + Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: a +3b + 2c b +3c + 2a c +3a + 2b 6 Hêt— Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  13. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn thi: TỐN - BẢNG B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 14 Câu 1 (5,0 điểm). a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 ++ n 2 khơng chia hết cho 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là một số chính phương. Câu 2 (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 4x+5 = 2 2x+3 2x+y = x2 b) Giải hệ phương trình: 2 2y+x = y Câu 3 (3,0 điểm). 4x+3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x12 + Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC2 b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K (O). Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC khơng chứa điểm A (I khơng trùng với B và C). Đường thẳng vuơng gĩc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuơng gĩc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luơn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  14. LONG AN Năm học: 2010 - 2011 Mơn thi :TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian :150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Đề số 15 Bài 1:(4 điểm) 3+− 5 3 5 1/ Thực hiện phép tính : A = + 2 2+ 3 + 5 2 2 − 3 − 5 2/ Cho biểu thức: B = xx−24 + − (với 24 x ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng Bài 2:( 5 điểm) 1/ Cho hàm số y = ax2 (a 0) cĩ đồ thị là (P) đi qua M(-1;2) . Trên (P) lấy A và B cĩ hồnh độ tương ứng là 1 và 2 . Xác định m để đường thẳng y = mx +5 song song với đường thẳng AB 1 1 1 2/ Tìm x thỏa mãn : x2− + x 2 + x + =(2 x 3 + x 2 + 2 x + 1) 4 4 2 Bài 3: (5 điểm) Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc đều nhọn cĩ AB < AC nội tiếp đường trịn O bán kính R. Ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh H là tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF b/ Kẻ đường kính AK của đường trịn O.Gọi S là diện tích tam giác ABC AB AC BC Chứng minh : S = 4R c/ Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh: tứ giác DFEM là nội tiếp Bài 4 : (3 điểm) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC cĩ BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các khoảng cách từ M đến ba cạnh BC, AC, AB tương ứng là x,y,z . Hãy xác định vị trí M trong tam giác sao cho biểu thức : a b c P =++ đạt giá trị nhỏ nhất x y z Bài 5 : (3 điểm) Tìm một số chính phương cĩ bốn chữ số , mỗi chữ số nhỏ hơn 9. Biết rằng khi tăng mỗi chữ số thêm một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là số chính phương. ___ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  15. LONG AN Năm học: 2012 - 2013 Mơn thi : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Đề số 16 Bài 1: ( 4 điểm) 2- 3 + 4 - 15 + 10 1/ Thực hiện phép tính: A = 23- 3 5 3x+ 6 x x + 1 x + 2 2/ Cho biểu thức B = -+ x+ x - 2 x + 2 1 - x a/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn B. b/ Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng. Bài 2: (5 điểm) 1/ Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hình thang cĩ diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích). 1 1 1 21 2/ Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời + + = 2 và −=4 . Tính giá trị của x y z xy z2 biểu thức P = (x + 2y + z)2012. Bài 3: (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), các đường cao AD, BE, CF (DỴ BC, E AC, F AB) cắt nhau tại H và cắt đường trịn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng: a/ BH.BE + CH.CF = BC2. AB2++ BC 2 CA 2 b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = . 2 AM BN CK c/ + + = 4. AD BE CF Bài 4: (3 điểm) Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trên tia Ix vuơng gĩc với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K ( K MD) , DN cắt MC tại L ()L MC . Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho CN.NK cĩ giá trị lớn nhất. Bài 5: (3 điểm) Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y. Hết SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  16. QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn thi: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề số 17 x+4 x − 4 + x − 4 x − 4 Câu 1:(2.5 điểm) Cho biểu thức A = với 48 x 8 16 1−+ xx2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để A cĩ giá trị nguyên. Câu 2:(2.5 điểm) Số đo hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác là nghiệm của phương trình bậc hai (m− 2) x2 − 2( m − 1) x + m = 0. Xác định m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền của 2 tam giác đã cho là 5 Câu 3:(3.0 điểm) Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường trịn lần lượt tiếp xúc (O) và (O’) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Các đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và Q. Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AE và CD vuơng gĩc nhau. b) Tam giác EPQ cân. Câu 4:(1.0 điểm) Cho x, y , z 0 thỏa mãn: x2+ y 2 + z 2 = 3. Chứng minh: xy yzx z + + 3 z xy Câu 5:(1.0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn : a5+ b 5 =4( c 5 + d 5 ) Chứng minh rằng : a+ b + c + d chia hết cho 5. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  17. BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề số 18 Câu 1. (5,0 điểm) 1) Tính giá trị của biểu thức A =3326 + 15 3 − 26 − 15 3 . a−2 + 2 a − 2 a + 7 3 a − 2 + 1 1 2) Rút gọn biểu thức P = .: + − . 3 3+a − 2 11− a a − 3 a − 2 − 2 a − 2 Câu 2. (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3x32+ 8 = 2 x − 3 x + 10 . x22+ y + xy +14 = y 2) Giải hệ phương trình sau: . 2 (x+ 1)( x + y − 2) = y Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho hàm số yx= 2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng cĩ phương trình y=− x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y 1 ), B ( x 2 ; y 2 ) thoả mãn: 44 (x2− x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) = 18 . 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố abc,, đơi một khác nhau thoả mãn điều kiện 20abc 30( ab + bc + ca ) 21 abc Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB<AC), cĩ đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC. Đường trịn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N. OA và MN cắt nhau tại D. 1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. 1 1 1 2) Chứng minh : =+. AD HB HC 3) Cho AB=3 và AC=4. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN. Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số dương ab, và c thoả mãn abc =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + . a2+2 b 2 + 3 b 2 + 2 c 2 + 3 c 2 + 2 a 2 + 3 2 Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  18. LẠNG SƠN NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn thi: Tốn 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút khơng kể thời gian giao đề. Đề số 19 Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức: x x− x −4 x + 4 x x + x − 4 x − 4 A =− với x 0, x 1, x 4. 2− 3x + x x 2 + 3 x − x x a) Rút gọn biểu thức A. (2+− 3) 7 4 3 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = . 21− Câu 2 (4,0 điểm). Cho phương trình: x2 −2 mx + 2 m − 1 = 0 . a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luơn cĩ nghiệm. b) Gọi xx12, là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 23xx12+ B = 22 . x1+ x 2 +2(1 + x 1 x 2 ) Câu 3 (4,0 điểm). a) Giải phương trình: x2 −4 x + 1 + 3 x − 1 = 0 . b) Cho fx() là đa thức với hệ số nguyên. Biết ff(2017). (2018)= 2019. Chứng minh rằng phương trình fx( )= 0 khơng cĩ nghiệm nguyên. Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC cĩ AC AB nội tiếp đường trịn (O). Kẻ phân giác trong AI của tam giác ()I BC cắt (O) ở E. Tại E và C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau ở F, AE cắt CF tại N, AB cắt CE tại M. a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường trịn. 1 1 1 b) Chứng minh += . CN CI CF c) Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC, kẻ DK//AI ()K AC . Chứng minh 2AK=− AC AB. Câu 5 (2,0 điểm). Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bĩng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – 3 . Biết rằng cĩ n đội tham gia thi đấu vịng trịn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hịa được 1 điểm và đội thua khơng được điểm nào. Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hịa và tổng số điểm của các đội là 336. Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đội bĩng tham gia? Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  19. THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2008 – 2009 Mơn thi: Tốn 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút khơng kể thời gian giao đề. Đề số 20 Bài 1 : (4 đ) Thu gọn các biểu thức: 2 3 − 3 + 13 + 48 a) A = . 6 − 2 a + b −1 a − b b b b) B = + ( + ) với a > 0, b > 0, a b. a + ab 2 ab a − ab a + ab Bài 2 : ( 4đ) Cho phương trình (m + 3)x 2 + 3(m −1)x + (m −1)(m + 4) = 0 a) Định m để phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu. b) Định m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm âm. Bài 3: (3đ) Giải các phương trình: a) 2(8x + 7)2 (4x + 3)( x +1) = 7 . b) x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9 . Bài 4 : ( 3đ) a)Với n là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số: 21 + 4 và 14 n + 3. ab bc ca b)Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh : + + a + b + c c a b Bài 5 : ( 3đ) Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B. Qua A kẻ đường thẳng (d) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luơn luơn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng (d) thay đổi. Bài 6 : ( 3đ) Cho đường trịn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường trịn (O) với C là tiếp điểm. Đường vuơng gĩc với AB tại O cắt BC ở N a) Cĩ nhận xét gì về tứ giác OMNB? b) Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax? HẾT PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP TỈNH Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  20. HUYỆN ČM’GAR NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN: TỐN- THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 21 xy++ x xy x Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức P=x++ 1 + + 1 : 1 − − x 1 . xy+ 1 1 − xy xy − 1 xy + 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Cho 11+=8. Tìm giá trị lớn nhất của P. xy Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho A = n6− n 4 + 2n 3 + 2n 2 (với n N, n > 1). Chứng minh A khơng phải là số chính phương. b) Cho hai số thực a, b khơng âm thỏa mãn18ab+ 4 2013. Chứng minh rằng phương trình sau luơn cĩ nghiệm: 18ax2 + 4 bx + 671 − 9 a = 0 . Bài 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4. (1,5 điểm) Cho hình thang vuơng ABCD ( A== D 900 ), cĩ DC = 2AB . Kẻ DH vuơng gĩc với AC (H AC) , gọi N là trung điểm của CH. Chứng minh BN vuơng gĩc với DN . Bài 5. (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường trịn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D AC, E AB) a) Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng b) Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng 1 1 1 =+ DK2 DA 2 DM 2 Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  21. PHỊNG GD – ĐT NINH HỊA KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – Lớp 9 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Đề số 22 Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5− 3 − 29 − 12 5 = cotg450 x−4( x − 1) + x + 4( x − 1) 1 Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q =  1 − xx2 −−41( ) x −1 a) Tìm điều kiện của x để Q cĩ nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q y x−14 + x y − Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = xy x22−− yz y xz Bài 4: (3,75đ) Chứng minh nếu = với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 thì x(11−− yz) y( xz) 1 1 1 x+ y + z = + + x y z Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuơng cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ gĩc 450 sao cho các cạnh của gĩc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. 1 Chứng minh rằng: SS MEF 4 ABC Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngồi đường trịn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường trịn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường trịn (O). Chứng minh MK = MA Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  22. PHỊNG GD – ĐT PHÚ GIÁO KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – Lớp 9 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Đề số 23 3 3 x 3 Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức Q = + + +1 23 x+ x3 + 3 x − 27 3 x a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi x =+3 2010 Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức M =4 + 7 − 4 − 7 Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta cĩ a2+ b 2 + c 2 ab + bc + ac Bài 4(2đ): a/ Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B = xy Bài 5(2đ): Giải phương trình a) x22−9 + x − 6 x + 9 = 0 b/ xx22−4 − + 4 = 0 Bài 6(2,5đ): Cho hình vuơng cạnh a. Đường trịn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuơng gĩc với CD tại D cắt CM tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt = MDC a/ Chứng minh AM là phân giác của FCB . Tính độ dài DM, CE theo a và b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của sin Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  23. PHỊNG GD - ĐT LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI : TỐN – Lớp 9 Thời gian : 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 24 Bài 1(4đ) 2 2 2 2 a) Tính tổng: P = + + + + 15 35 63 399 ac b) Cho a, b, c, d các số dương và = . Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau: bd 1 a+ b + c + d Bài 2: (4đ) ab22+ a) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1. Chứng minh : 22 ab− 2 abc=− n 1 b) Tìm tất cả các số tự nhiên abc cĩ 3 chữ số sao cho : 2 với n là số cba=−( n 2) nguyên lớn hơn 2 Bài 3: (4đ) a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = 7 x −1 − x 3 − x 2 + x −1 với x 1 b) (2đ) Giải phương trình: 3 x 2 + 26 + 3 x + x + 3 = 8 Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) cĩ phương trình: x( m+ 2) + ( m − 3) y = m − 8. a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1). b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luơn luơn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (2 đ) Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo gĩc BMC ? Bài 6: (4,0 đ) Cho nửa đường trịn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường trịn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD cĩ diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đĩ theo R. HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  24. PHỊNG GD&ĐT QUẾ SƠN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 25 2x + 2 x 2 − 4 Bài 1: (1.5 điểm) Thực hiện tính: với x = 2 6 + 3 x 2 − 4 + x + 2 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a. x 2 + 5x − x 2 + 5x + 4 = −2 b. x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 Bài 3: (2.0 điểm) a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luơn cĩ nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên. 2 b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x + 2009x + 1 = 0; x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường trịn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường trịn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuơng gĩc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K. a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường trịn. b. Chứng minh  ICB =  IDK c. Chứng minh H là trung điểm của DK. Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n. Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  25. PHỊNG GD&ĐT QUẾ SƠN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 26 Bài 1: (2.0 điểm) 1 1 4 a) Chứng minh bất đẳng thức: + . Với ab; là các số dương. a b a+ b b) Cho xy; là hai số dương và xy+=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 23 i) P = ; ii) M =+ . 2xy xy x22+ y Bài 2: (2.0 điểm) x 2 + y 2 = 11 Giải hệ phương trình: x + xy + y = 3 + 4 2 Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD cĩ M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM tại H. a. Chứng minh HM = HN. b. Chứng minh MN là phân giác của gĩc QMP. Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường trịn với E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I a. Tính gĩc CIF. b. Chứng minh AE.AC + BF. BC khơng đổi khi EF di động trên nửa đường trịn. c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE cĩ diện tích lớn nhất. Tính diện tích đĩ. Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  26. PHỊNG GD&ĐT LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 27 3x+ 9 x − 3 x + 1 x − 2 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = −+ ( xx 0; 1) x+ x −3 x + 2 1 − x a/ Rút gọn K b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111 .111 ( 2m chữ số 1) B = 111 .111 (m + 1 chữ số 1) C = 666 .666 (m chữ số 6) Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương Bài 3: (4 điểm) 1 1 1 a/ Cho abc = 1.Tính S = ++ 1+a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 7y = 167 Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường trịn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d qua A cắt (O) tại M và (O’) tại M’. a/ Chứng tỏ các đường thẳng vuơng gĩc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B b/ Chứng tỏ trung điểm I của N, N’ là tâm của đường trịn tiếp xúc với (O) và (O’). Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường trịn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM. Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  27. PHỊNG GD&ĐT LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 28 Bài 1 ( 6 điểm ) 2 3+ 5 − 13 + 48 1) Chứng minh rằng : A = là một số nguyên 62+ 2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 ab22+ Chứng minh : 22 ab− 2 abc=− n 1 3) Tìm tất cả các số tự nhiên cĩ 3 chữ số abc sao cho : 2 với n là số nguyên cba=−( n 2) lớn hơn 2 2 x−2 x + 2 1 − x Bài 2 : (4 điểm) Cho biểu thức : P = −  ( với xx 0; 1) x −1 xx++2 1 2 a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng : nếu 0 0 c) Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 3 : (5 điểm) Cho ABC nhọn. Trên đường cao AD ( D BC ) lấy điểm I sao cho BICˆ = 900 . Trên đường cao BE ( E AC ) lấy điểm K sao cho AKCˆ = 900 . Chứng minh : CI = CK Bài 4 : (5 điểm) Cho vuơng tại A cĩ M là trung điểm của BC. Cĩ 2 đường thẳng di động và vuơng gĩc với nhau tại M, cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí điểm D và E để diện tích DME đđạt giá trị nhỏ nhất. Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  28. UBND HUYỆN THANH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHỊNG GD&ĐT Năm học 2015 - 2016 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề Đề số 29 Câu 1(4,0 điểm). a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 −2 xy + 4 x − 8 y − 5 = 0. b) Chứng minh rằng A = n3 +11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. 2 x1 x−+ 1 x 1 Câu 2(3,0 điểm). Cho biểu thức B = −  − 2 2x x+− 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị của B khi x =−625 ; c) Tìm giá trị của x để B < 0. Câu 3 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) x32+3 x + 3 x − 4 = 0 . b) 3xx+ 1 + 2 − = 1. Câu 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC cĩ gĩc B bằng 1200, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của gĩc B cắt cạnh AC tại D. a) Tính độ dài đường phân giác BD; b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuơng gĩc với BD. 2. Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cosMAN ? Câu 5 (2,0 điểm). a + 27 a) Cho a 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =  a +3 b) Chứng minh rằng nếu a, b, c dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 thì a2+1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 2( a + b + c) . Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  29. PHỊNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 30 Câu 1. a. Phân tích Q thành nhân tử: Q= x +5 x − 2 2 x − 2 10 b. Tính khi biết x =−13 4 10 Câu 2. Cho hàm số: y= x −21 m − ; với m tham số. a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. b. Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. 2 H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để OH = 2 b. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Câu 3. a. Giải phương trình: x−1 + 2 x − 2 + x + 1 = 5 x − 2 b. Cho ab; là hai số dương thỏa mãn: ab22+=6 . Chứng minh: 3(a2 + 6) ( a + b ) 2 c. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + xy −2008 x − 2009 y − 2010 = 0 Câu 4. Cho đường trịn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuơng gĩc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB. a. Tính sin2MBA+ sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC b. Chứng minh: OK2 =− AH(2 R AH ) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  30. PHỊNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP HUYỆN VỊNG I NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 31 Câu 1. Tính giá trị các biểu thức: 2 27+ 7 5 c. 28− 10 3 + 4 3 + 7 ; b. 10+ 7 2 Câu 2. Giải phương trình: c. xx+2 + 2 + 1 = 3 d. x2 −13 x + 50 = 4 x − 3 Câu 3. d. Cho A =5n++2 + 26.5 n + 8 2 n 1 ; với nN . Chứng minh: A chia hết cho 59. 8 18 21 e. Cho ab; là hai số thực dương thỏa mãn: ab+ 6 và B= a +3 b + + 3 ab Tìm giá trị nhỏ nhất của B f. Tìm các số nguyên n thỏa mãn: n2 + 2014 là số chính phương. Câu 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Biết độ dài BN = 2.sin ; CM = 2cos với 0oo 90 Tính độ dài đoạn MN. Câu 5. Tam giác ABC cĩ đường cao CH, phân giác AD, trung tuyến BM gặp nhau tại điểm O. Kẻ MN vuơng gĩc với HC tại N. Từ A kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AC tại A, đường thẳng đĩ cắt BC tại P. Chứng minh: NM AM c. = BH AB d. AB.sin PAB= BC .sin HCB Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  31. PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VỊNG II NĂM HỌC: 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN 9 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đế số 32 xx22+ Câu 1. Cho biểu thức: P = + + x− x x +2 x ( x − 1)( x + 2 x ) d. Rút gọn P . e. Tính P khi x =+3 2 2 . f. Tìm giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. Câu 2. Giải phương trình: e. x2 −10 x + 27 = 6 − x + x − 4 f. x2 −2 x − x x − 2 x + 4 = 0 Câu 3. g. Tìm các số nguyên xy; thỏa mãn: y2 +2 xy − 3 x − 2 = 0 3 1 x−− 1 1 3 2 x x h. Cho xy 1; 0, chứng minh: 33+ + 3 + (x−− 1) y y x 1 y i. Tìm số tự nhiên n để: A= n2012 + n 2002 +1 là số nguyên tố. Câu 4. Cho hình vuơng ABCD, cĩ độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuơng gĩc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. 1 1 a. Chứng minh: + khơng đổi AE22 AF b. Chứng minh: cos AKE=+ sin EKF .cos EFK sin EFK .cos EKF c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD. Câu 5. Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK cĩ giá trị lớn nhất. Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  32. PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VỊNG I NĂM HỌC: 2012 – 2013. ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN 9 Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 33 Bài 1: (2.5 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau a. A = 3x+ x2 − 4 x + 4 b. B = 3+ 5 − 3 − 5 − 2 c. C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình 2 a. x x−20 x − x = b. x−5 x + 36 = 8 3 x + 4 Bài 3: (2.0 điểm) a. Cho các số nguyên dương a; b; c đơi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab. Xét tổng M = a + b cĩ phải là số chính phương khơng? Vì sao? b. Cho xy;0 và xy+ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 20 11 P =+ x22+ y xy Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuơng gĩc với HC và đường thẳng qua N vuơng gĩc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 2 Từ đĩ hãy suy ra SAEF = SABC. cos BAC b. BH.KM = BA.KN GA5++ GB 5 GH 5 c. = 42 GM555++ GK GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía của AB các tia Ax và By vuơng gĩc với AB. Qua M cĩ hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luơn vuơng gĩc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo gĩc AMC = . Xác định số đo để tam giác MCD cĩ diện tích nhỏ nhất. Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  33. PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VỊNG 2 NĂM HỌC: 2012 – 2013. ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN 9 Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 34 Bài 1: (2.0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau: 11 xx+ Px=(11 −) − − 1−−x x 2 x 1 a. Rút gọn P . b. Tính giá trị của khi x =−7 4 3 . c. Chứng minh: P 1 Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình a. Cho 0 x 90o . Chứng minh giá trị biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị của biến: 6 6 2 2 2 2 2 2 sinx+c os x + 3sin x . c os x + tan x . c os x + cotan x .sin x . b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x22+ 3 y + 4 x = 19 Bài 3: (2.0 điểm) a. Cho các số nguyên dương: a1; a 2 ; a 3 ; ; a2013 sao cho: N = a1+ a 2 + a 3 + + a 2013 chia hết cho 30. 5 5 5 5 Chứng minh: M = a1+ a 2 + a 3 + + a 2013 chia hết cho 30. b. Cho xy; thỏa mãn: x22+ y −2 x − 4 y 0 . Chứng minh: xy+ 2 10 Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho hình vuơng ABCD cạnh a . Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng DA tại E. Đường thẳng qua C vuơng gĩc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F. Diện tích tứ giác ACFE là 3 a2 . a. Chứng minh: N là trung điểm AB. b. Tính CF theo Bài 5: (1,5 điểm) Cho đường trịn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định. Điểm M di chuyển trên đường trịn (O), M khơng trùng với B; C. Gọi G là trọng tâm tam giác MBC. Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường trịn cố định. Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  34. PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG HÀ KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 35 Câu 1: (1đ) x+ y + z = 2010 Cho 3 số x, y, z khác khơng thoả mãn 1 1 1 1 . + + = x y z 2010 Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z luơn tồn tại 2 số đối nhau. n 1 Câu 2: (1đ) Cho n N*. Chứng minh rằng : 13+ n Câu 3: (1đ) Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. xy yz zx Tìm giá trị nhỏ nhất của A = + + z x y Câu 4: (1đ) Chứng minh rằng : P=4 n32 + 6 n + 3 n − 17 khơng chia hết cho 125,  n N. n Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n sao cho 3+ 55 là số chính phương. b) Cho a + 1 và 2a + 1 (a N) đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 24. Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên của các phương trình: 4 2 2 xy a) x+ x +1 = y b) 2−= 3 1 Câu 7: (3đ) Cho tam giác đều ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ MH⊥ BC,,. MK ⊥ AC MI ⊥ AB a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h là chiều cao của tam giác ABC). b) Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’, B’, C’. MA''' MB MC Chứng minh rằng: + + = 3 . OA''' OB OC Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  35. PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 36 2ab a + x + a − x 1 Bài 1 (3,0đ) Cho các số dương: a; b và x = . Xét biểu thức P = + b 2 +1 a + x − a − x 3b 1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P. 2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2 (3,0 đ) Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau: x3 − 3x − 2 = 2 − y 3 y − 3y − 2 = 4 − 2z 3 z − 3z − 2 = 6 − 3x n n 3 + 5 Bài 3 ( 3,0đ) Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = a +b , với a = ; b 2 = 3 − 5 . 2 n + 1 n + 1 n n 1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta cĩ Sn + 2 = (a + b)( a + b ) – ab(a + b ) 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên. n n 2 5 +1 5 −1 3. Chứng minh Sn – 2 = − . Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là 2 2 số chính phương. Bài 4 (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường trịn (O1) đường kính AE và đường trịn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN của hai đường trịn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2). 1. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuơng gĩc với đường thẳng AB. 2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường trịn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường trịn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Bài 5: (4đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N . AB AC 2AM a) Chứng minh : + = AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC. Bài 6: (2 điểm) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : 3 3 3 2 2 2 2a + 2b + 2c 3+ a b +b c + c a Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  36. PHỊNG GD&ĐT BÌNH THUẬN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 38 Bài 1: (4 điểm) 1− 1− x2 . (1+ x)3 + (1− x)3 Cho A = 2 − 1− x2 1. Rút gọn A 1 2. Tìm x biết A 2 Bài 2: (4 điểm) 3xy = 4(x + y) 1. Giải hệ phương trình: 5yz = 6(y + z) 7zx = 8(z + x) 2. Giải phương trình: x4 + 9 = 5x(3 – x2) Bài 3: (4 điểm) a + b 1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ab 2 2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhĩm rồi lấy tích các số trong mỗi nhĩm. Gọi M là tổng của hai tích số đĩ. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất. Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. 1. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp OCD. 2. Cho AB = 8cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đĩ tính phần diện tích của tứ giác nằm ngồi (O). Bài 5: (3 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuơng cĩ số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. HẾT Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  37. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2008 – 2009 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút – Khơng kể thời gian giao đề. Đề số 39 Bài 1 : (2,5đ) 1− x x 1 a) Rút gọn biểu thức P = ( + x) : 1− x (1− x)2 1 b) Tính giá trị biểu thức P khi x = 2 −1 64 c) Đặt a = 3 2 − 3 + 3 2 + 3 .Chứng minh rằng − 3a là số nguyên. (a 2 − 3)3 Bài 2 (2,5đ) a) Giải phương trình : 2 + 5 − x = x −5 xy + 6 = 3x + 2y b) Giải hệ phương trình: 2 2 x + y = 2x + 4y − 3 Bài 3 (2đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Parabol (P) y = - x2 và đường thẳng (d) : y = -x – 2 . a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) : y = mx – m +1 cắt đường thẳng (d) tại các điểm nằm trên Parabol (P) Bài 4 (3đ) Cho nửa đường trịn (C) tâm O đường kính AB . Gọi C là 1 điểm trên nửa đường trịn ( C ) và D là điểm chính giữa cung AC . Gọi E là hình chiếu vuơng gĩc của điểm D trên đường thẳng BC và F là giao điểm của AE với nửa đường trịn ( C ) . Tia BF cắt DE tại M. Chứng minh : a. Hai tam giác MDF và MBD đồng dạng . b. M là trung điểm của đoạn DE . Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  38. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GỎI CẤP TP TP . HCM NĂM HỌC 2011 - 2012 MƠN THI : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số 46 Bài 1: ( 4 điểm ) Thu gọn các biểu thức: (2 − a) 2 − (3 + a) 2 a. A = với a 0 2 a +1 a +1 1 b. B = : với a> 0, a 1 a a + a + a a 2 − a Bài 2: (4 điểm ) a. Chứng minh ad + bc a 2 + b 2 . c 2 + d 2 với a, b, c, d là các số thực. a 3 b3 c 3 ab + bc + ca b. Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh rằng: + + b c a Bài 3: ( 3 điểm ) Cho phương trình: x2 – ( 3m – 2)x + 2m2 – 5m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) a. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt b. Tìm m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm dương c. Tìm m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm âm. Bài 4: ( 3 điểm ) 1 1 1 a. Giải hệ phương trình + + = 2 x y z 2 1 − = 4 xy z 2 b. Chứng minh rằng số cĩ dạng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. Bài 5: ( 4 điểm ) Trên hai cạnh Ox, Oy của gĩc vuơng xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M ( M ở trong đoạn thẳng OB). Từ B kẻ đường vuơng gĩc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I. a. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được. b. Từ O kẻ đường vuơng gĩc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB ? Bài 6: ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại B và gĩc ABC bằng 800. Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho gĩc IAC = 100 và gĩc ICA = 300. Hãy tính gĩc AIB Hết Hố rác Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.