Lý thuyết tổng hợp Hình học Lớp 9

Nội dung text: Lý thuyết tổng hợp Hình học Lớp 9

1. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga HÌNH HỌC 9 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG 1. Một số cơng thức trong tam giác vuơng b a2 b .' c a2 c .' h b2 c '. ' 1 1 1 a h b c h b2 c2 2 2.Tỉ số lượng giác của gĩc nhọn Định nghĩa D K s in cos H H D sin Kcos t g cot g Kcos D sin Tính chất a. 0 s i n 1 ; 0 o s 1c ; t0g ; c o gt0 b. Nếu 0 90 thì 123 n sinsinsin sin 123 n c. Nếu 0 90 thì 123 n ccccososos os 123 n d. Nếu hai gĩc B,C phụ nhau thì sin gĩc này cossin gĩc kia, tang gĩc này bằng cơtang gĩc kia: sinosCBc cosB=sinC tg B = cotgC cotgB = tg C 1 1 sin22 co s 1 1t g 2 1t cog 2 cos2 sin2 2. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN.TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG 1. Đường trịn Đường trịn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R. 2. Vị trí tương đối của một điểm với đường trịn Cho đường trịn (O;R) và điểm M Điểm M nằm trên đường trịn (O;R) OMR Điểm M nằm trong đường trịn (O;R) OMR Điểm M nằm n gồi đường trịn (O;R) OMR 3. Cách xác định đường trịn C1: Biết tâm và bán kính C2: Biết đường kính C3: Qua điểm thẳng hàng 4. Tính chất đối xứng Đường trịn là hình cĩ tâm đối xứng. Tâm của đường trịn là tâm đối xứng của đường trịn đĩ Đường trịn cĩ trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường trịn ( đtrịn cĩ vơ số trục đối xứng ) 1
2. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga 5. Ghi nhớ * Đường trịn ngoại tiếp tam giác là đường trịn đi qua 3 đỉnh của tam giác.Tam giác luơn cĩ đường trịn ngoại tiếp . * Đường trịn ngoại tiếp tứ giác là đường trịn đi qua 4 đỉnh của tứ giác .Các tứ giác cĩ đường trịn ngoại tiếp : Hình thang cân, h vuơng, HCN. .* Đường trịn nội tiếp tam g iác là * Đường trịn nội tiếp tam giác là đường trịn tiếp xúc với 3 cạnh cuả tam giác . Đường nối tâm đến tiếp điểm vuơng gĩc với cạnh tam giác * Đường trịn bàng tiếp là đtrịn tiếp xúc với 1 cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh cịn lại. 1. Tam giác thường :Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực 2. Tam giác vuơng: Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuơng là trung điểm của cạnh huyền 3. Tam giác đều Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực tâm, Tâm đường trịn nội tiếp tam 4. Nếu 1 tam giác cĩ một cạnh là đường kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đĩ là tam giác vuơng 5. Tâm đường trịn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác 6. Tâm đường trịn bàng tiếp là giao của 2 đường phân giác ngồi và 1 đường phân giác trong 3. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT CUNG TRỊN 1. Dây của đường trịn : là đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì trên đường trịn - Đường kính là dây lớn nhất của đường trịn 2. Qua n hệ giưa đường kính và dây Trong một đường trịn, đkính vuơng gĩc vơi một dây thì đi qua trung điểm của dây đĩ. Trong một đường trịn, đkính đi qua trung điểm của một dây khơng đi qua tâm thì vuơng gĩc với dây đĩ 2
3. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga 3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng : là độ dài đường vuơng gĩc kẻ từ điểm đến đường thẳng . 4. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Dây nào lớn thì dây đĩ gần tâm hơn Dây nào gần tâm hơn thì dây đĩ lớn hơn 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 1. Vị trí tương đối của đthẳng d và đt rịn (O;R) (O;R) cắt (d) tại 2 điểm khi khoảng cách từ tâm O đến d R (O;R) tiếp xúc (d) khi khoảng cách từ tâm O đến d = R Khi đĩ : d gọi là tiếp tuyến của (O:R), điểm tiếp xúc của đthẳng và đtrịn gọi là tiếp điểm Và d vuơng gĩc với (O;R) tại tiếp điểm 2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến a. Định nghĩa (nội dung 1) b. Nếu đthẳng đi qua một điểm của đường trịn và vuơng gĩc với bán kính đi qua điểm đĩ thì đthẳng ấy là tiếp tuyến của đtrịn 3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Nêu hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau tại 1 điểm thì a. Điểm đĩ cách đều hai tiếp điểm b. Tia kẻ từ điểm đĩ đi qua tâm là tia phân giác của gĩc tạo bởi hai tiếp tuyến c. Tia kẻ từ điểm đĩ đi qua tâm là tia phân giác của gĩc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN 1. Vị trí tương đối của hai đường trịn Cho đtrịn (O; R) và (O’; R’) (O; R) cắt (O’; R’) RRRR ' OO' ' (O; R) Khơng giao nhau (O’; R’) +) Ngồi nhau OO' RR ' +) Đựng nhau OO' RR ' (O; R) tiếp xúc (O’; R’) +) Tiếp xúc ngồi OO' RR ' 3
4. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga +)Tiếp xúc trong OO''0 RR 2. Tính chất đường nối tâm Nếu hai đtrịn căt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của đoạn nối 2 giao điểm. Nếu hai đtrịn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm 3. Tiếp tuyến chung Tiếp tuyến chung là đường tiếp xúc với cả hai đường trịn Tiếp tuyến chung ngồi là tiếp chung của cả hai đường trịn và khơng cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung ngồi là tiếp chung của cả hai đường trịn và cắt đoạn nối tâm 6. GĨC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG 1. Gĩc ở tâm : gĩc cĩ đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi là gĩc ở tâm 2. Số đo cung : Kí hiệu số đo cung AB : sđ AB Số đo của cung nhỏ = số đo gĩc ở tâm ( 180 ) Số đo của nửa đtrịn = 180 Hai cung bằng nhau nếu chúng cĩ sđ bằng nhau. Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì sđ AB =sđ AC + sđ CB 7. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ CUNG 1. Định lí 1:Với 2 cung nhỏ trong một đường trịn hoặc trong hai đtrịn bằng nhau thì a. Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau: AB = CD AB=CD b. Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau: AB = CD AB=CD 2. Định lí 2:Với 2 cung nhỏ trong một đường trịn hoặc trong hai đtrịn bằng nhau thì c. Cung lớn căng dây lớn hơn d. Dây lớn căng cung lớn hơn 3. Bổ sung a. Trong một đường trịn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau b. Trong một đtrịn, đường kính đi điểm chính giữa của 1 cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung âý c. Trong một đtrịn đường kính đi qua trung điểm của 1 dây( dây ko đi quan tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây âý d. Trong một đường trịn, đường kính đi điểm chính giũa của 1 cung thì vuơng gĩc với dây căng cung âý và ngược lại e. Bài tốn chứng minh 2 cung bằng nhau rất quan trọng. Từ hai cung bằng nhau cĩ thể chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, 2 gĩc bằng nhau. 4
5. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga 8. GĨC NỘI TIẾP 1. Định nghĩa Gĩc nội tiếp là gĩc cĩ đỉnh nằm trên đường trịn và hai cạnh chứa hai dây của đường trịn đĩ Cung nằm bên trong gĩc gọi là cung bị chắn 2. Định lí : Trong 1 đtrịn gĩc nội tiếp = nửa số đo của cung bị chắn 3. Hệ quả : Trong một đường trịn a. Các gĩc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau b. Các gĩc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau c. Gĩc nội tiếp cĩ số đo = nửa gĩc ở tâm cùngchắn một cung (gĩc nt 900 ) d. Gĩc nội tiếp chắn nửa đtrịn là gĩc vuơng 9. GĨC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1. Khái niệm 2. Định lí : Số đo của gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung = nửa số đo của cung bị chắn. 3. Định lí bổ sung : Với gĩc BAx( với đỉnh A nằm trên một đường trịn, một cạnh chứa dây cung AB),cĩ số đo = nửa số đo của cung AB căng dây đo và cung này nằm bên trong gĩc dĩ thì cạnh Ax là 1 tiếp tuyến của đtrịn đĩ. 4. Hệ quả : Trong một đường trịn gĩc tạo bởi tiếp và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 10. GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN VÀ GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Số đo của gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đtrịn = nửa tồng số đo 2 cung bị chắn Số đo của gĩc cĩ đỉnh bên ngồi đường trịn = nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn. 11. CUNG CHỨA GĨC 1. Quỹ tích cung chứa gĩc Với đoạn thẳng AB và gĩc 018000 cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn gĩc AMB = là hai cung chứa gĩc dựng trên đoạn AB Chú ý Hai cung chứa gĩc nĩi trên là hai cung trịn đối xứng nhau qua AB Hai điểm A,B được coi là thuộc quỹ tích Qũy tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một gĩc vuơng là đường trịn đường kính AB 2. Cách vẽ cung chứa gĩc - Vẽ đường trung trực đoạn AB 5
6. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga - Vẽ tia Ax tạo với AB một gĩc - Vẽ đường thẳng Ay vuơng gĩc với Ax. Gọi O lag giao điểm của Ay với d - Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia Ax - Cung AmB được vẽ như trên là 1 cung chứa gĩc 3. Cách giải bài tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích hay tập hợp các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đĩ, ta phải chứng minh hai phần Phần thuận: Moi điểm cĩ tính chất đều thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều cĩ tính chất T Kết luận: Qũy tích các điểm M cĩ tính chất T là hình H 12. TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1. Định nghĩa Một tứ giác cĩ bốn đỉnh nằm trên một đường trịn đgl tứ giác nội tiếp 2. Định lí Trong một tứ giác đĩ nội tiếp, tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 180 Nếu một tứ giác cĩ tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 180 thì tứ giác đĩ nội tiếp được đường trịn 3.Một số dấu hiện nhận biết TGNT a. Tứ giác cĩ bốn đỉnh nằm trên một đường trịn b. Tứ giác cĩ tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 180 c. Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong tại đỉnh đối của đỉnh đĩ d. Tứ giác cĩ hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh cịn lại dưới 1 gĩc bằng nhau 13. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN- HÌNH CẦU 1. Độ dài đường trịn :là chu vi của đường trịn Crd 2. Diện tích đường trịn : SR . 2 2. Độ dài cung trịn : Trên đường trịn bán kính R,độ dài l của cung cĩ sđ n0 Rn l 180 3. Diện tích hình quạt trịn cĩ bán kính R, sđ cung R2 n l R S 360 2 4. Hình trụ- hình nĩn- hình cầu 6
7. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga S xung quanh S tồn phần V thể tích 2 Hình trụ S Rxq l 2 Stpxq S S 2. đáy V R h S Rl 1 2 Hình nĩn xq Stpxq S S đáy V R h 3 2 4 Hình cầu SR 4 VR 3 3 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Chứng minh các gĩc so le trong, đồng vị bằng nhau 2. T/c bắc cầu : Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau 3. T/c từ vuơng gĩc đến song song : Hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau 4. Sử dụng tính chất của hình bình hành.HCN,hình thoi, hình vuơng 5. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác , hình thang, hình bình hành . 6. Định lý TALET đảo: Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng. 7. sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường trịn 8. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC 1. Hai đường thẳng đĩ cắt nhau và tạo ra một gĩc 90. 2. Hai đ. thẳng đĩ chứa hai tia phân giác của hai gĩc kề bù. Tính chất: Gĩc tạo bởi hai tia phân giác của 2 gĩc kề bù bằng 90 (Lớp 6) 3. Hai đường thẳng đĩ chứa hai cạnh của tam giác vuơng. 4. Tính chất từ vuơng gĩc đến song song : Cĩ một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuơng gĩc với đường thẳng thứ hai. 5. Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng. Tính chất : Mọi điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đĩ 6. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác. 7. Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân. 8. Hai đường thẳng đĩ chứa hai đường chéo của hình vuơng, hình thoi. 9. Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường trịn. 10. Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường trịn PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG 1. Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC. 7
8. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga 2. Chứng minh qua 3 điểm xác định một gĩc bẹt (180) 3. Chứng minh hai gĩc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau. 4. Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuơng gĩc hay cùng song song với một đường thẳng thứ 3. (Tiên đề Ơclit) 5. Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh 3 điểm đĩ cùng cách đều hai đầu đoạn thẳng. 6. Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh 3 điểm đĩ cùng cách đều hai cạnh của một gĩc. 7. Sử dụng tính chất đồng qui của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác. 8. Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt. 9. Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường trịn. 10. Sử dụng tính chất hai đường trịn tiếp xúc nhau. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI GĨC BẰNG NHAU 1. Hai gĩc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7) 2. Hai gĩc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7,8) 3. Các gĩc của tam giác đều.(lớp 7) 4. Sử dụng tính chất tia phân giác của một gĩc.(lớp 7) 5. Cĩ cùng số đo hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 6. Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau. 7. Hai gĩc ở vị trí đồng vị, so le trong, so le ngồi.(lớp 7) 8. Hai gĩc đối đỉnh.(lớp 7) 9. Sử dụng tính chất hai gĩc cùng bù, cùng phụ với một gĩc khác.(lớp 6) 10. Hai gĩc tương ứng của hai tam giác đồng dạng.(lớp 8) 11. Sử dụng tính chất về gĩc của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8) 12. Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.(lớp 9) 13. Sử dụng tính chất của gĩc ở tâm, gĩc nội tiếp, gĩc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường trịn hay hai đường trịn bằng nhau.(lớp 9) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Oz là tia phân giác của gĩc xƠy. 1. C/minh tia Oz nằm giữa tia Ox, Oy và xƠz = yƠz 1 1 2. Chứng minh xozxoy hay yozxoy 2 2 3. Chứng minh trên tia Oz cĩ một điểm cách đều hai tia Ox và Oy. 4. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của cân. 5. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác. 6. Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuơng. 8
9. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga 7. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường trịn. 8. Sử dụng tính chất tâm đường trịn nội tiếp tam giác. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1 1. Chứng minh M nằm giữa A, B và MA = MB hay MA = AB. 2 2. Sử dạng tính chất đường trung tuyến trong tam giác. 3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang. 4. Sử dụng tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm. 5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt. 6. Sử dụng tính chất đường kính vuơng gĩc với dây cung trong đường trịn. 7. Sử dụng tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa cung trong đường trịn PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH các tam giác đặc biệt. ¨ ¨ Tam giác cân: 1. cĩ hai cạnh bằng nhau. 2. cĩ hai gĩc bằng nhau. 3. cĩ đường cao đồng thời là đường phân giác hay trung tuyến. ¨ Tam giác đều: 1. cĩ ba cạnh bằng nhau. 2. cĩ ba gĩc bằng nhau. 3. cân cĩ một gĩc bằng 60. 4. cân tại hai đỉnh. ¨ Tam giác vuơng: 1. Tam giác cĩ một gĩc vuơng. 2. Tam giác cĩ hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuơng gĩc. 3. Dùng định lý đảo của định lý đường trung tuyến trong vuơng. 4. Dùng định lý Pitago đảo. 5. Tam giác nội tiếp đường trịn và cĩ một cạnh là đường kính. ¨ Tam giác vuơng cân: 1. Tam giác vuơng cĩ hai cạnh gĩc vuơng bằng nhau. 2. Tam giác vuơng cĩ một gĩc bằng 45. 3. Tam giác cân cĩ một gĩc đáy bằng 45. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH các tứ giác đặc biệt. ¨ ¨ Hình thang: Tứ giác cĩ hai cạnh song song. ¨ Hình thang cân: 9
10. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga 1. Hình hang cĩ hai đường chéo bằng nhau. 2. Hình thang cĩ hai gĩc kề một đáy bằng nhau. 3. Hình thang nội tiếp trong đường trịn. ¨ Hình thang vuơng: Hình thang cĩ một gĩc vuơng. ¨ Hình bình hành: 1. Tứ giác cĩ 2 cặp cạnh đối song song. 2. Tứ giác cĩ 2 cặp cạnh đối bằng nhau. 3. Tứ giác cĩ một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 4. Tứ giác cĩ 2 cặp gĩc đối bằng nhau. 5. Tứ giác cĩ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ¨ Hình chữ nhật: 1. Tứ giác cĩ 3 gĩc vuơng. 2. Hình bình hành cĩ một gĩc vuơng. 3. Hình bình hành cĩ hai đường chéo bằng nhau. 4. Hình thang cân cĩ một gĩc vuơng. ¨ Hình thoi: 1. Tứ giác cĩ 4 cạnh bằng nhau. 2. Hình bình hành cĩ hai cạnh kề bằng nhau. 3. H. bình hành cĩ hai đường chéo vuơng gĩc với nhau. 4. Hình bình hành cĩ một đường chéo là tia phân giác của một gĩc. ¨ Hình vuơng: 1. Hình chữ nhật cĩ hai cạnh kề bằng nhau 2. Hình chữ nhật cĩ hai đường chéo vuơng gĩc 3. Hình chữ nhật cĩ một đường chéo là tia phân giác. 4. Hình thoi cĩ một gĩc vuơng. 5. Hình thoi cĩ hai đường chéo bằng nhau. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ giác nội tiếp được trong đường trịn. 1. Tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối bằng 180. 2. Tứ giác cĩ bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta cĩ thể xác định được) Điểm đĩ là tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác. 3. Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong của đỉnh đối diện nĩ. 4. Tứ giác cĩ hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới hai gĩc bằng nhau. 10
11. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH đg thẳg d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 1. Chứng minh d  AB tại trung điểm của AB. 2. Chứng minh cĩ hai điểm trên d cách đều A và B. 3. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến hay phân giác ứng với cạnh đáy AB của tam giác cân. 4. Sử dụng tính chất đối xứng trục. 5. Sử dụng tính chất đoạn nối tâm của hai đường trịn cắt nhau tại hai điểm PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH đường thẳng (d) là tiếp tuyến tại A của (O). 1. Chứng minh A thuộc (O) và (d) OA tại A.(s/d các pp chứng minh 2 đt vuơng gĩc) 2. Chứng minh (d)  OA tại A và OA = R. Chứng minh hai cung bằng nhau. 1. Chứng minh hai cung trong một đường trịn hay hai đường trịn bằng nhau cĩ cùng số đo độ. 2. Chứng minh hai cung đĩ bị chắn giữa hai dây song song. 3. Chứng minh hai cung trong một đường trịn hay hai đường trịn bằng nhau căng hai dây bằng nhau 4. Dùng tính chất điểm chính giữa cung Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. 1. Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7) 2. Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7) 3. Sử dụng tính chất trung điểm.(lớp 7) 4. Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một gĩc đến hai cạnh của gĩc 5. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng.(lớp 7) 6. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (lớp 7) 7. Dùng tính chất bắc cầu. 8. Cĩ cùng độ dài hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 9. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau. 10. Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuơng, đường trung bình trong tam giác.(lớp 8) 11. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8) 12. Sử dụng kiến thức về diện tích.(lớp 8) 13. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường trịn.(lớp 9) 14. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường trịn.(lớp 9) 15. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường trịn.(lớp 9) 11
12. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga Chứng minh một đoạn thẳng bằng ½ đoạn thẳng khác. 1. Sử dụng tính chất trung điểm. 2. Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuơng. 3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác. 4. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều. 5. Sử dụng tính chất trọng tâm của t.giác. 6. Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số ½. 7. Sử dụng quan hệ giữa bán kính và đường kính trong một đường trịn. Chứng minh một gĩc bằng nửa gĩc khác. 1. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều. 2. Sử dụng tính chất tia phân giác của một gĩc. 3. Sử dụng số đo tính được hay giả thiết cho. 4. Sử dụng quan hệ giữa gĩc ở tâm, gĩc nội tiếp và gĩc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường trịn. Chứng minh 3 đường thẳng đồng qui. 1. Chứng minh cĩ một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đĩ. 2. Cm giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba. 3. C/minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ ba. 4. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác. 5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt. Chứng minh hai tam giác đồng dạng. ¨ Hai tam giác bất kỳ: 1. Dùng định lý 1 đường thẳng song song với 1 cạnh và cắt 2 cạnh cịn lại của tam giác. 2. Trường hợp: c – c – c. 3. Trường hợp: c – g – c. 4. Trường hợp: g – g. ¨ Hai tam giác vuơng: 1. Trường hợp: g – g. 2. Trường hợp: c – g – c. 3. Trường hợp: cạnh huyền – cạnh gĩc vuơng. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. 1. Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác. 2. Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác. 12
13. Ghí nhớ Tốn 9 GV: Cơ Nga Chứng minh O là tâm đường trịn ngoại tiếp trong . 1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác. 2. Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác. Chứng minh O là tâm đường trịn nội tiếp tam giác. 1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác. 2. Chứng minh O cách đều ba cạnh của tam giác. Chứng minh O là tâm đường trịn bàng tiếp gĩc A của tam giác ABC. Chứng minh K là giao điểm của phân giác trong gĩc BÂC và phân giác ngồi của gĩc B (hay C). Chứng minh các quan hệ khơng bằng nhau (cạnh – gĩc – cung) 1. Sử dụng quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên (cạnh). 2. Sử dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuơng gĩc (cạnh). 3. Sử dụng quan hệ giữa các cạnh trong một tam giác vuơng (cạnh). 4. Sử dụng quan hệ giữa cạnh và gĩc đối diện trong một tam giác (cạnh và gĩc). 5. Sử dụng định lý: Nếu hai tam giác cĩ hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và gĩc xen giữa khơng bằng nhau thì tam giác nào cĩ gĩc lớn hơn thì cạnh đối diện lớn hơn và ngược lại. 6. Sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung (cạnh). 7. Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (cạnh). 8. Sử dụng quan hệ giữa cung và số đo (độ) của cung trong đường trịn hay hai đường trịn bằng nhau (cung) 9. Sử dụng quan hệ giữa dây và cung bị chắn (cung và cạnh). 10. Sử dụng quan hệ giữa số đo (độ) của cung và số đo của gĩc nội tiếp, gĩc ở tâm, 13