Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 vòng 2 THPT chuyên tỉnh Nghệ an - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 vòng 2 THPT chuyên tỉnh Nghệ an - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NGHỆ AN NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUNG) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Câu 1 (6,00 điểm) 3x22 y 5 2 xy 2 x 2 y a.Giải hệ phƣơng trình 22 2x y 10 2 x 3 y b.Giải phƣơng trình x2 2(2 x 1) 5 x Câu 2 (3,00 điểm): a) Tìm số tự nhiên x,y thỏa x3 1993.3y 2021 b) Tìm số nguyên dƣơng n thỏa n 23 là bình phƣơng của 1 số hữu tỉ dƣơng n 89 Câu 3 (2,00 điểm): Cho các số dƣơng a,b,c thỏa tìm min ab bc ac 3 abc của a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 P a b c b a c 2a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a Câu 4 (7,00 điểm):Cho đƣờng tròn (O) có dây cung định và không đi qua tâm O. Gọi M là điểm di động trên đƣờng tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC. Tia MH cắt đƣờng tròn (O) tại K, đƣờng thẳng AH cắt cạnh BC tại D và đƣờng thẳng AC cắt đƣờng tròn (O) tại E (E khác A). a) Chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành và HA.HD = HR.HM b.Tia KD cắt (O) tại I khác K,đƣờng thẳng qua I và vuông góc BC cắt AM tại J.Chứng minh AK,BC,HJ cùng qua 1 điểm c.Một đƣờng tròn thay đổi luôn tiếp xúc với KA tại A cắt AB,AC tại P,Q phân biệt .Gọi N là trung điểm PQ.Chứng minh AN luôn qua 1 điểm cố định Câu 5 (2,00 điểm): Cho 676 số nguyên tố khác nhau.Chứng minh rằng có ít nhất hai số trong các số đã cho mà hiệu của chúng chia hết cho 2022 Lời giải Câu 1 (6,00 điểm) a.Giải hệ phƣơng trình b.Giải phƣơng trình
2. Lời giải b.Ta có 2 2 2 (x 2) ( x 1 1) x 1 x 1; x 2(2 x 1) 5 x ( x 2) ( x 1 1) (xx 2) (1 1) x 2 a.Ta có 3xy2 2 52 xyxy 22 6 xy 2 2 2 104 xyxy 44(1) 2 2 2 2 2x y 1023 x y 2 x y 1023 x y (2) (2x y )(2 x y 1) 0 22 2x y 10 2 x 3 y xy 12 yx 2 TH1:Ta có 22 5 10 2x y 10 2 x 3 y xy 33 y 2 x 1 x 2 y 2 2 1 TH2:Ta có 22 2x y 10 2 x 3 y xy 2 2 2 1 Từ đó kết luận. Câu 2 (3,00 điểm): a) Tìm số tự nhiên x,y thỏa x3 1993.3y 2021 b) Tìm số nguyên dƣơng n thỏa n 23 là bình phƣơng của 1 số hữu tỉ dƣơng n 89 Lời giải a.Với y=0 thì không có x.Với y=1 thì x=20.Với y 2; x32 1993.3yy 2021 ( x 20)( x 20 x 400) 1993(3 3) 3| (xx3 8000)  1(mod3) Với xx 20  21(mod3) 20 3. Với xx2 20 400  1 20 1  0(mod3) .Suy ra (x 20)( x2 20 x 400) 9;1993(3y 3)không chia hêt cho 9 nên không có x.Vậy (20;1) thỏa đề. b) Ta có là bình phƣơng của 1 số hữu tỉ dƣơng thì (n 89)( n 23) a2 ( a *); n 23.Ta có (n 89)( n 23) a2 ( n 33 a ).( n 33 a ) 3136 (n 33 a ) *;( n 33 a ) *; n 33 a 23 33 1 57 và(n 33 a ) *;( n 33 a ) * cùng tính chẵn lẻ nên lập bẳng có có nghiệm n là 32,37,73,86,167,361,752.
3. Câu 3 (2,00 điểm): Cho các số dƣơng a,b,c thỏa ab bc ac 3 abc tìm min của a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 P a b c b a c 2a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a Lời giải 1 1 1 Với ab bc ac 33 abc .Ta có abc 2 2 2 2 2 2 abab 22 abab abab (1 1 ). a b a b . 2abab 2 2 abab 2 2 abab 2 b2 c 2 bc a 2 c 2 ac Tƣơng tự ta có b c ; c a .Lúc đó 2b 2 c b c 2 a 2 c a c 1 1 1 P .Ta có 1 1 1 1 1 1 a b c b a c 111111 111111 32 3. 3 2 P khi a=b=c=1. ab cb ac abaccb 2 Câu 4 (7,00 điểm):Cho đƣờng tròn (O) có dây cung định và không đi qua tâm O. Gọi M là điểm di động trên đƣờng tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC. Tia MH cắt đƣờng tròn (O) tại K, đƣờng thẳng AH cắt cạnh BC tại D và đƣờng thẳng AC cắt đƣờng tròn (O) tại E (E khác A). a) Chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành và HA.HD = HR.HM b.Tia KD cắt (O) tại I khác K,đƣờng thẳng qua I và vuông góc BC cắt AM tại J.Chứng minh AK,BC,HJ cùng qua 1 điểm c.Một đƣờng tròn thay đổi luôn tiếp xúc với KA tại A cắt AB,AC tại P,Q phân biệt .Gọi N là trung điểm PQ.Chứng minh AN luôn qua 1 điểm cố định Lời giải a.Ta có AE đƣờng kính (O) nên  ABE=  ACE=90 suy ra BH//CE và CH//BE hay BHCE là hình bình hành.Lúc đó M là trung điểm CE hay  AKE=90=  ADM và  AHK=  DHM nên tam giác AKH đồng dạng tam giác MDH suy ra HA.HD=HK.HM b.Gọi L là giao điểm BC và AK và J’ là giao điểm LH và AM ta có ngay H là trực tâm tam giác ALM nên HJ’ vuông góc AM và HJ’MD;HJ’AK nội tiếp .Lấy I’ đối xứng J’ qua BC thì ta chứng minh I trùng I’ chỉ ra I thuộc (O) và I thuộc KD.Ta có LH.LJ’=KL.LA=LB.LC suy ra J’ nằm trên (BHC).Ta có đƣờng tròn này đối xứng (O) qua BC .Nếu gọi Q’ là giao điểm của AH với (O) thì HBC= Q’BC và
4. HCB=  BCQ’ nên tam giác HBC= tam giác Q’BC nên I’ đối xứng J’ qua BC trên (O).Ta có KDA= KMA= HMJ’= HDJ’= Q’DI’ suy ra K,D,I’ thẳng hàng.Ta có I trùng I’ suy ra J’ trùng J. c.Ta chứng minh điêm cố định là O.Ta có tam giác KBC đồng dạng tam giác APQ vì PAQ= BAC= BKC; KCB= KAB= AQP.Mà M trung điểm BC ,N trung điểm PQ suy ra CKM= QAN.Mà CKM= CKE= CAO.Vậy A,N,O thẳng hàng hay ta có đpcm. Câu 5 (2,00 điểm): Cho 676 số nguyên tố khác nhau.Chứng minh rằng có ít nhất hai số trong các số đã cho mà hiệu của chúng chia hết cho 2022 Lời giải Có 2022=2.3.337, ta xét có ít nhất 675 số NT lẻ, trong 675 lẻ này có ít nhất 674 số NT chia 3 dƣ 1(loại 1) hoặc chia 3 dƣ 2 (loaị 2), nếu 1 trong 2 loại có > 337 số thì sẽ tồn tại 2 số thuộc 1 loại sao cho hiệu của chúng chia hết cho 337 (thỏa mãn). Xét khi cả 2 loại đều có đúng 337 số và các số thuộc một loại thì có số dƣ khi chia cho 337 đôi một khác nhau (0->336), thì ta chỉ ra mâu thuẫn rằng tồn tại 2 số NT khác nhau cùng chia hết cho 337