Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông - Môn: Toán học

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông - Môn: Toán học

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1. (1,5 điểm) 1) Giải phương trình: 2 2 + 5 − 3 = 0. 2) Cho hàm số = ( − 1) + 2021. Tìm tất cả giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên ℝ . 3) Cho = 1 + √2 và = 1 − √2. Tính giá trị của biểu thức 푃 = + − 2 . Câu 2. (2,0 điểm) Cho biểu thức: 2√ − 9 √ + 3 2√ + 1 푃 = − + 푣ớ𝑖 ≥ 0, ≠ 4, ≠ 9. − 5√ + 6 √ − 2 √ − 3 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm tất cả giá trị của để 푃 > 1. Câu 3. (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm (1; −2) và song song với đường thẳng = 2 − 1. 2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho Parapol (푃): = 2 và đường thẳng ( ): = 2( − 1) − + 3. Gọi 1, 2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng ( ) và Parapol (P). Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 của biểu thức = 1 + 2 . Câu 4. (3,5 điểm) Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB với = 2022, lấy điểm C (C khác A và B), từ C kẻ CH vuông góc AB ( ∈ ). Gọi D là điểm bất kì trên đoạn CH (D khác C và H), đường thẳng AD cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai E. 1) Chứng minh tứ giác BHDE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: . = . . 3) Chứng minh: . + . = 20222. 4) Khi điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A,B và điểm chính giữa cung AB), xác định vị trí điểm C sao cho chu vi tam giác COH đạt giá trị lớn nhất. Câu 5. (1,0 điểm) Cho ≥ 1348, ≥ 1348. Chứng minh rằng: 2 + 2 + ≥ 2022( + ). Hết Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du
2. ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1. (1,5 điểm) 1) Xét phương trình 2 2 + 5 − 3 = 0 Ta có ∆= 52 − 4.2. (−3) = 49 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm: −5 + √49 1 −5 − √49 = = ; = = −3 1 2.2 2 2 2.2 1 Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là 푆 = {−3: }. 2 2) Hàm số = ( − 1) + 2021 đồng biến trên ℝ khi và chi khi − 1 > 0 hay là > 1 Kết luận: > 1 3) Ta có: 푃 = + − 2 = (1 + √2) + (1 − √2) − 2(1 + √2). (1 − √2) = 2 − 2. (1 − 2) = 4 Vậy: P=4 Câu 2. (2,0 điểm) 1) ớ𝑖 ≥ 0, ≠ 4, ≠ 9 thì biểu thức P xác dịnh và ta biến đổi P như sau: 2√ − 9 √ + 3 2√ + 1 2√ − 9 (√ + 3)(√ − 3) (2√ + 1)(√ − 2) 푃 = − + = − + − 5√ + 6 √ − 2 √ − 3 (√ − 2)(√ − 3) (√ − 2)(√ − 3) (√ − 2)(√ − 3) 2√ − 9 − (√ + 3)(√ − 3) + (2√ + 1)(√ − 2) 2√ − 9 − ( − 9) + (2 − 3√ − 2) = = (√ − 2)(√ − 3) (√ − 2)(√ − 3) − √ − 2 (√ + 1)(√ − 2) √ + 1 = = = . (√ − 2)(√ − 3) (√ − 2)(√ − 3) √ − 3 2) ớ𝑖 ≥ 0, ≠ 4, ≠ 9 thì √ + 1 4 푃 > 1 ⇔ 푃 − 1 > 0 ⇔ − 1 > 0 ⇔ > 0 ⇔ √ − 3 ⇔ ≥ 9 √ − 3 √ − 3 Kết hợp với điều kiện ≥ 0, ≠ 4, ≠ 9 ta được > 9 là tất cả giá trị cần tìm. Câu 3. (2,0 điểm) 1) Vì đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng = 2 − 1 nên phương trình đường thẳng (Δ) có dạng (Δ): = 2 + với a là hằng số. Vì điểm (1; −2) thuộc đường thẳng điểm (Δ) nên −2 = 2.1 + hay = −4 Vậy: Phường trình đường thẳng (Δ): = 2 − 4. 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2 − 2( − 1) + − 3 = 0 (∗) Vì 1, 2 là hoành độ giao điểm của (P) và (d) nên 1, 2 là nghiệm của phương trình (*). Do đó Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du
3. 3 2 7 Δ′ = ( − 1)2 − ( − 3) ≥ 0 ⇔ ( − ) + ≥ 0 (퐿 ô푛 đú푛𝑔) ∗ 2 4 + = 2( − 1) Theo hệ thức Viet ta có: { 1 2 . Khi đó: 1 2 = − 3 15 15 = 2 + 2 = ( + )2 − 2 = 4( − 1)2 − 2. ( − 3) = (4 − 5)2 + ≥ 1 2 1 2 1 2 4 4 5 Dấu “=” xảy ra khi và chi khi = 4 15 5 Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là khi = 4 4 Câu 4. (3,5 điểm) E C D A H O B 1) Xét tứ giác BHDE có: ∡ = 90표 (𝑔푡) ; ∡ = 90표 (𝑔ó 푛ộ𝑖 푡𝑖ế ℎắ푛 푛ử đườ푛𝑔 푡 ò푛) nên ∡ = ∡ do đó tứ giác BHDE nội tiếp. 2) Xét hai tam giác ∆ 푣à ∆ có: ∡ ℎ 푛𝑔; ∡ = 90표 − ∡ = ∡ Nên ∆ ~ ∆ (𝑔. 𝑔) do đó = hay AD.EC= CD .AC 3) HD: Dựa vào ý (1) để chứng minh ∆ ~ ∆ (𝑔. 𝑔) khi đó: . + . = . + . = 2 = 20222. 4) Tam giác CHO vuông tại H nên theo định lí Pytago ta có: 1 1 1 2 = 2 + 2 = ( + )2 + ( − )2 ≥ ( + )2 2 2 2 Hay là + ≤ √2 nên 푣 = + + ≤ (1 + √2) = (1 + √2). 1011 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm C nằm trên nửa đường tròn O sao cho ∡ = 45표. Câu 5. (1,0 điểm) Để ý rằng 3 1 ( 2 + + 2) − ( + )2 = ( − )2 ≥ 0 ∀ , ≥ 1348 4 4 Nên ta có Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du
4. 3 3 ( 2 + + 2) ≥ ( + )2 ≥ . (1348 + 1348). ( + ) ∀ , ≥ 1348 4 4 Hay là 2 + + 2 ≥ 2022( + ) ∀ , ≥ 1348 Vậy, bất đẳng thức được chứng minh xong. Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du