Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Hà Nội (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2018 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x 4 3 x 1 2 Cho hai biểu thức A và B với x ≥ 0, x ≠ 1. x 1 x 2 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 2) Chứng minh B . x 1 A x 3) Tìm tất cả giá trị của x để 5 B 4 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. Bài III (2,0 điểm) 4x y 2 3 1) Giải hệ phương trình x 2 y 2 3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y m 2 x 3 và parabol P : y x2 . a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO. 2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo C· SD . 3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng , khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 x 1 x 2 x Hết NGUYỄN THANH SƠN – THCS MỸ PHONG – TP MỸ THO – TIỀN GIANG (sưu tầm và gõ lại)
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2018 – 2019 MÔN TOÁN – TP HÀ NỘI Bài I x 4 9 4 7 1) A (với x = 9 thỏa mãn điều kiện) x 1 9 1 2 2) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có: 3 x 1 2 3 x 1 2 3 x 1 2 B 2 x 2 x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3 x x 1 3 x 1 x 3 3 x 1 2 3 x 1 2 x 1 x 3 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 A x 4 1 3) : x 4 B x 1 x 1 A x x 2 5 x 4 5 x 4 x 4 0 x 2 0 x 2 0 B 4 4 2 (Vì x 2 0 với mọi x ≥ 0) Suy ra: x 2 x 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 4. Bài II Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (mét) (x > y > 0) Chu vi của mảnh đất là 28 mét, ta có: x + y = 14 (1) Độ dài đường chéo của mảnh đất là 10 mét, ta có: x2 + y2 = 102 ⇔ (x + y)2 – 2xy = 100 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 14 x y 14 x 8 2 (thỏa điều kiện) x y 2xy 100 xy 48 y 6 Vậy chiều dài của mảnh đất là 8(m), chiều rộng của mảnh đất là 6(m) Bài III 4x y 2 3 8x 2 y 2 6 9x 9 x 1 1) x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 y 2 1 x 1 x 1 y 2 1 y 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; −1), (1; −3) x 1 x 1 y 2 1 y 3 NGUYỄN THANH SƠN – THCS MỸ PHONG – TP MỸ THO – TIỀN GIANG (sưu tầm và gõ lại)
3. 2) a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 m 2 x 3 2 x m 2 x 3 0 (a = 1; b = −(m + 2); c = −3) Vì a.c = 1.(−3) = −3 < 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1; x2. b x x m 2 1 2 a Theo định lý Viet ta có c x x 3 1 2 a Vì x1.x2 = −3. Và x1; x2 ∈ Z , giả sử x1 < x2 thì ta có các trường hợp sau đây: x1 3 + Trường hợp 1: x1 x2 2 m 2 2 m 4 x2 1 x1 1 + Trường hợp 2: x1 x2 2 m 2 2 m 0 x2 3 Vậy m = −4 hoặc m = 0 Bài IV 1) C N B + SD, SC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OD ⊥ SD, OC ⊥ SD K M H D, C thuộc đường tròn đường kính SO A ⇒ O E (1) S + H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB F · 0 ⇒ SHO 90 D ⇒ H thuộc đường tròn đường kính SO (2) Từ (1) và (2) suy ra: C, D, H, O, S cùng thuộc đường tròn đường kính SO. 2) Tam giác SDO có: SO2 = SD2 + DO2 ⇒ SD2 = SO2 – DO2 = 4R2 – R2 = 3R2 ⇒ SD R 3 DO 1 sin D· SO D· SO 300 từ đó C· SD 600 (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) SO 2 3) Ta có S, D, O, H cùng thuộc một đường tròn (câu 1) nên SHOD là tứ giác nội tiếp. NGUYỄN THANH SƠN – THCS MỸ PHONG – TP MỸ THO – TIỀN GIANG (sưu tầm và gõ lại)
4. 1 Suy ra: A· HD S·OD C· OD (cùng chắn cung SD) (1) 2 · · · 1 » 1 · Lại có AKD SCD (đồng vị, AN // SC) nên AKD sđCD sđCOD (2) 2 2 · · Từ (1) và (2) suy ra AHD AKD ⇒ ADHK là tứ giác nội tiếp. Gọi M là giao điểm của BK và SC, N là giao điểm của AK với BC. · · · Ta có: KHA CBS (Vì cùng bằng CAD ) ⇒ HK // BC, mà H là trung điểm AB nên K là trung điểm AN. Suy ra: AK = KN. AK KN Ta có: (Talet đảo, AN // SC), mà AK = KN nên SM = CM hay M là trung điểm của SM CM SC. Vậy BK đi qua trung điểm M của đoạn thẳng SC. · 1 · 1 » · · · 4) Ta có AOH AOB sđAB EDF ⇒ FED HAO 2 2 1 1 Lại có: B· FE D· EF H· AO 2 2 1 Suy ra B· FD H· AO 900 2 1 1 Suy ra B· FA 1800 H· AO 900 900 H· AO (không đổi vì A, B, O cố định) 2 2 Vậy F nhìn đoạn AB dưới một góc không đổi nên F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài V P 1 x 1 x 2 x điều kiện xác định: 0 ≤ x ≤ 1 (*) 2 Với a, b ≥ 0 bất kỳ ta có: a b a b 2 ab a b a b a b (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. Áp dụng (1) ta có: 1 x x 1 x x 1 1 x x 1 0 1 (do (*)) Suy ra P ≥ 1 + 1 = 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = 0. NGUYỄN THANH SƠN – THCS MỸ PHONG – TP MỸ THO – TIỀN GIANG (sưu tầm và gõ lại)