Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT (lần thứ VII) - Môn Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT (lần thứ VII) - Môn Toán

1. TRƯỜNG THCS NGUYỄN BIỂU KỲ THI THỬ LẦN VII . TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,5 điểm) : a a - 1 a a + 1 a +2 a) Cho biểu thức: P = - : với a > 0, a 1, a 2. a - a a + a a - 2 1) Rút gọn P. 2) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên. b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y = - x + 2 và Parabol (P): y = x2 Câu 2: (2,0 đ): Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x 1 - x2 = 4. Câu 3 (1,5 điểm) D©n sè x· X hiÖn nay cã 10.000 ng­êi . Ng­êi ta dù ®o¸n sau 2 n¨m d©n sè x· X sÏ lµ10.404 ng­êi. Hái trung b×nh hµng n¨m d©n sè x· X t¨ng bao nhiªu % . Câu 4 ( 3,0 đ) . Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M. a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC. b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD. c) Chứng minh: OK.OS = R2. Câu 5 (1,0đ) : Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ: x + a + b + c = 7 (1) 2 2 2 2 x + a + b + c = 13 (2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x. 1
2. Hướng dẫn chấm . Câu ý Nội dung hướng dẫn chấm Điểm a Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2 0,75 a - 1 a + a + 1 a + 1 a - a + 1 a + 2 Ta có: P = - : a a - 1 a a + 1 a - 2 a + a + 1 - a + a - 1 a + 2 2 (a - 2) = : = a a - 2 a + 2 2a - 4 2a + 4 - 8 8 Câu 1 b Ta có: P = = = 2 - 0,5 a + 2 a + 2 a + 2 (2,5 đ) P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8  (a + 2) a + 2 = 1 a = - 1; a = - 3 a + 2 = 2 a = 0 ; a = - 4 0,25 a + 2 = 4 a = 2 ; a = - 6 a + 2 = 8 a = 6 ; a = - 10 c Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của 0,25 phương trình: - x + 2 = x2 x2 + x – 2 = 0. Phương trình này có tổng các hệ số bằng 0 nên có 2 nghiệm là 1 và – 2. 0,25 + Với x = 1 thì y = 1, ta có giao điểm thứ nhất là (1;1) 0,25 + Với x = - 2 thì y = 4, ta có giao điểm thứ hai là (- 2; 4) 0,25 Vậy (d) giao với (P) tại 2 điểm có tọa độ là (1;1) và (- 2; 4) Câu 2 a Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0 0,75 (2,0 đ) b Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9 0,25 x1 + x2 = 6 (1) Theo hệ thứcViét ta có x1 . x2 = m (2) Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4 (3) Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1 Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn) 0,5 Vậy m = 5 là giá trị cần tìm Câu 3 0,75 (1,5 đ) 0,75 0,5 2
3. ∆SBC và ∆SMA có: · · · · a BSC MSA , SCB SAM 0,75 (góc nội tiếp cùng chắn M¼ B). SBC ~ SMA . » » Câu 4 Vì AB  CD nên AC AD . 1 (3,0 đ) Suy ra M· HB M· KB (vì cùng bằng (sdA»D sdM¼ B) tứ giác BMHK nội b 2 0,25 · · tiếp được đường tròn HMB HKB 1800 (1). · · Lại có: HMB AMB 900 (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 0,5 · Từ (1) và (2) suy ra HKB 900 , do đó HK // CD (cùng vuông góc với AB). ¼ » Vẽ đường kính MN, suy ra MB AN . 0,5 · · 1 · · 1 1 Ta có: OSM ASC (sđ A»C - sđ B¼M ); OMK NMD sđ N»D = (sđ A»D- 2 2 2 c sđ A»N ); · · mà A»C A»D và M¼ B A»N nên suy ra OSM OMK OS OM 0,5 OSM ~ OMK (g.g) OK.OS = OM2 R 2 . OM OK Câu 5 : Tìm GTLN, GTNN của x thoả mãn. x + a + b + c = 7 (1) (1,0đ) 2 2 2 2 x + a + b + c = 13 (2) 0,5 Từ (1) a + b + c = 7 - x Từ (2) a2 + b2 + c2 = 13 - x2. Ta chứng minh: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2. 3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc ≥ 0 (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (đpcm) 2 2 2 2 Suy ra 3 (13 - x ) ≥ (7 - x) . 3 (13 - x ) ≥ 49 - 14x + x . 0,5 5 4x2 - 14x + 10 ≤ 0 1 ≤ x ≤ . 2 5 3 x khi a b c , x 1 khi a b c 2 . 2 2 5 Vậy max x = , min x = 1.Suy ra 3 (13 - x2) ≥ (7 - x)2. 3 (13 - x2) ≥ 2 49 - 14x + x2. 5 4x2 - 14x + 10 ≤ 0 1 ≤ x ≤ . 2 5 3 x khi a b c , x 1 khi a b c 2 . 2 2 Vậy max x = 5 , min x = 1. 2 3