Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên vòng 2 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên vòng 2 - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH BÌNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (10/6/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. aa 21 Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức sau: A ; a 0; a 1 a a 1 a a 1 1 a a.Rút gọn A b.Tìm max A Bài 2. (2,0 điểm) a. Giải phƣơng trình 29 x22 2 x 3 x xy22 4 17 b. Giải hệ phƣơng trình 2xy x 2 y 1 1 1 1 Bài 3. (3,0 điểm) Cho ba số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn 12. x y z y x z 111 Tìm max P 2x 3 y 3 z 3 x 2 y 3 z 3 x 3 y 2 z Bài 4. (3,0 điểm) Trên (O;R) lấy B,C cố định,BC không qua O,A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và AB<AC.Đƣờng cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt tại H.Đƣờng thẳng d qua D và song song EF cắt AB,AC tại M,N.Gọi P là giao điểm của EF và BC.I là trung điểm CB.Chứng minh 1.BEFC nội tiếp và MBNC nội tiếp 2.Tam giác EDI đồng dạng tam giác PEI và H là trực tâm tam giác API. 3.Đƣơng tròn ngoại tiêp tam giác MNP qua 1 điểm cố định. Bài 5. (1,5 điểm) 1.Tìm x,y nguyên thỏa 7 x 2 y 3 y x 8 y 5 x 1 2.Một giải cờ vua n kỳ thủ tham gia thể thức nhƣ sau:Mỗi ngƣời thi với tất cả kỳ thủ khác ,mỗi cặp thi 1 ván,thắng 2 điểm,thua 0điểm ,hòa 1 điểm a.Tính theo n số ván đấu của giải b.Biết khi kết thúc ,tổng điểm mà mỗi kỳ thủ đạt đƣợc khác nhau và bất ngờ là kỳ thủ đứng cuối cùng Lại thắng 3 kỳ thủ đứng đầu bảng theo xếp hạng.Chứng minh n không thể bằng 12. Lời giải Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức sau:
2. a.Rút gọn A b.Tìm max A Lời giải aa 2 1 2 a.Rút gọn A.Ta có A a a 1 a a 1 1 a a a 1 2 b.Tìm max A .Ta có 20 a aa 1 Bài 2. (2,0 điểm) a. Giải phƣơng trình 29 x22 2 x 3 x xy22 4 17 b. Giải hệ phƣơng trình 2xy x 2 y 1 Lời giải x2 4 y 2 17 x 2 4 y 2 17 (x 2 y 5)( x 2 y 3) 0 b.Ta có 2xy x 2 y 1 2(2 xy x 2 y ) ( 2).1 2xy x 2 y 1 x 2 y 5 x 2 y 5 1 (xy ; ) (1; 2); 4; 2xy x 2 y 1 xy 2 2 . x 2 y 3 x 2 y 3 1 (xy ; ) (1;2); 4; 2xy x 2 y 1 xy 2 2 3 a.Ta có x ; x 2 29 x2 292 2 2.232 2 23 x x 2 .Với 2 3 x2 29 x2 29 2 2 2.2 3 2 2 2 x 3 x 2 .Vậy x=2 thỏa 2 1 1 1 Bài 3. (3,0 điểm) Cho ba số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn 12. x y z y x z 111 Tìm max P 2x 3 y 3 z 3 x 2 y 3 z 3 x 3 y 2 z Lời giải 16 16 1 2 1 Ta có .Thiết lập 2 bất đẳng 2xyzxy 3 3 ( ) ( zx ) 2( yzxyzyxz ) 1 thức sau rồi cộng lại là xong.Khi đó x y z .Max P=3. 8 Bài 4. (3,0 điểm) Trên (O;R) lấy B,C cố định,BC không qua O,A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và AB<AC.Đƣờng cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt tại H.Đƣờng thẳng d qua D và song song EF cắt AB,AC tại M,N.Gọi P là giao điểm của EF và BC.I là trung điểm CB.Chứng minh
3. 1.BEFC nội tiếp và MBNC nội tiếp 2.Tam giác EDI đồng dạng tam giác PEI và H là trực tâm tam giác API. 3.Đƣơng tròn ngoại tiêp tam giác MNP qua 1 điểm cố định. Lời giải 1.Ta có BEC  BFC 900 hay BEFC nội tiếp .Suy ra AFE  ACB  NCBcùng bù với BFE .Do MN//EF nênAFE  BMN .Suy ra NCB  BMN nên BMCN nội tiế 2.Ta có BFHD,AEHF nội tiếp nên BDF  BHF  FAE  BAC(1);.Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AEF  ABC .Do tam giác BEC vuông tại E có EI trung tuyến nên tam giác IEC cân tại I.Suy ra IEF 18000  IEC  AEF 180  ACB  ABC  BAC (2) .Từ (1);(2) suy ra BDF  IEF hay FEID nội tiếp.Kết hợp tam giác IEF cân suy ra IEP  IEF  IFE  IDE PEI đồng dạng DEI .gọi K là giao điểm AO với (O) .ta có CK// HB vì vuông góc AC.Tƣơng tự BK//CH nên BHCK là hình bình hành.Do đó K,J,H thẳng hàng .Gọi giao điểm HK với (O) là T khác K.khi đó 5 điểm A,T,F,H,E cùng thuộc đƣờng tròn đƣờng kính AH.Suy ra TFA  TEA  TFB  TEC;  TFB  TCE TBF đồng dạng TCE .Suy ra TB FT TB CT ;; BTF  CTE  ETF  BAC TFE đồng dạng TC ET TF ET TBC  TFE  TBC .Do đó TFP 18000  TFE 180  TBC  TBP suy ra tứ giác PTFB nội tiếp nênPTB  PFB  AFE  ACB .Ta có PTB  BTA  BCA  BTA 1800 nên A,T,P thẳng hàng.Vì vậy IH vuông góc AP .Lại có AH vuông góc IP nên H là trực tâm tam giác API 3.Ta có DBH DAC DB. DC DA . DH (3); DPH DAI DP. DI DA . DH (4) DBM DCN DB. DC DM . DN (5).Từ đó ta có DI.DP=DM.DN nên DPM DNI suy ra DPM  DNI .Vì vậy đƣơng tròn ngoại tiêp tam giác MNP qua 1 điểm cố định là I. Bài 5. (1,5 điểm) 1.Tìm x,y nguyên thỏa 7 x 2 y 3 y x 8 y 5 x 1 2.Một giải cờ vua n kỳ thủ tham gia thể thức nhƣ sau:Mỗi ngƣời thi với tất cả kỳ thủ khác ,mỗi cặp thi 1 ván,thắng 2 điểm,thua 0điểm ,hòa 1 điểm a.Tính theo n số ván đấu của giải b.Biết khi kết thúc ,tổng điểm mà mỗi kỳ thủ đạt đƣợc khác nhau và bất ngờ là kỳ thủ đứng cuối cùng Lại thắng 3 kỳ thủ đứng đầu bảng theo xếp hạng.Chứng minh n không thể bằng 12. Lời giải 1.Ta đặt a x 2; y b y x .Ta có 7(x+2y)(y-x)=8y-5x+1 suy ra 7a33 b a 6 b 1 b (7 a 6) a 1
4. 13 7(a 1)( a2 a 1) (7 a 3 6) (7 a 3 6) 1; 1;13; 13 (ab ; ) (1;2);( 1;0.Từ đó có x,y là (-1;1). 2.a.Ta tính số ván đấu là số cách chọn cặp (A;B) không kể thứ tự .Có n cách chọn A và n-1 cách chọn B.Vì không kể thứ tự nên số ván đấu là nn( 1) 2 b.2.Gỉa sử n=12 và không mất tính tổng quát coi số điểm của 12 ngƣời chơi lần lƣợt là a1 a 2 a 12 .Khi đó ngƣời đứng cuối thắng 3 ngƣời đầu nên a12 2.3 6 a 11 a 12 1 7 a 10 a 11 1 8 .Cứ nhƣ vậy đến ngƣời đứng đầu a1 a 21 17 a 1 a 2 a 12 6 7 8 17 138.Mà lại có sau mỗi ván tổng điểm của 2 ngƣời chơi luôn bằng 2 dù thắng thua hay hòa.Vậy tổng điểm 12 ngƣời nn( 1) chơi là a a a .2 132 (vô lý).Vậy giả sử sai 1 2 12 2