Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Vũng tàu - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Vũng tàu - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN vũng tàu NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Câu 1 (2,00 điểm):(Không sử dụng máy tính cầm tay) x x 1 x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức P . ; x 0; x 1; x 4 x x 12 x 1 x x 22 2x y 3 xy 4 x 3 y 2 0 b) Giải hệ phƣơng trình 2 x y 3 x y 1 2 c) Giải phƣơng trình 5x ( x 4) 2 x 1 4 0 Câu 2 (2,50 điểm) a.Cho Px( ) x3 ax 2 bxcQx ; ( ) 3 x 2 2 axbabc ; ; ; với P(x) có 3 nghiệm phân biệt chứng minh có Q(x) có 2 nghiệm phân biệt b.Tìm x,y nguyên thỏa (xy 1)2 x 2 y 2 Câu 3 (1,50 điểm): Xét a,b,c không âm thỏa abc2 2 2 1.Tìm min và max của a b c S 1 bc 1 ac 1 ab Câu 4 (3,00 điểm): Cho tam giác ABC nhọn.Một đƣờng tròn qua B,C và không qua A cắt AB,AC tại E,F,E khác B,E khác C. BF cắt CE tại D.Gọi P là trung điểm BC và K là điểm đối xứng D qua P. AE DE a.Chứng minh tam giác KBC và DFE đồng dạng và AC CK b.Gọi M,N là hình chiếu của D lên AB,AC.Chứng minh MN vuông góc AK và MA2 NK 2 NA 2 MK 2 c.Gọi I,J là trung điểm AD,MN.Chứng minh I,J,P thẳng hàng d)Đƣờng thẳng IJ cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T khác I.Chứng minh AD là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác DTJ. Câu 5 (1,00 điểm): Cho tam giác ABC và O thay đổi trong tam giác ABC.Tia Ox song song AB cắt BC tại D,tia Oy song song CB cắt AC tại E,tia Oz song song AC 2 2 2 AB BC AC cắt BA tại F.Tìm giá trị nhỏ nhất của S OD OE OF LỜI GIẢI Câu 1 (2,00 điểm):(Không sử dụng máy tính cầm tay)
2. x x 1 x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức P . ; x 0; x 1; x 4 x x 12 x 1 x x 22 2x y 3 xy 4 x 3 y 2 0 b) Giải hệ phƣơng trình 2 x y 3 x y 1 2 c) Giải phƣơng trình 5x ( x 4) 2 x 1 4 0 LỜI GIẢI Câu 1 (2,00 điểm):(Không sử dụng máy tính cầm tay) a) Rút gọn biểu thức b) Giải hệ phƣơng trình c) Giải phƣơng trình Câu 2 (2,50 điểm) a.Cho Px( ) x3 ax 2 bxcQx ; ( ) 3 x 2 2 axbabc ; ; ; với P(x) có 3 nghiệm phân biệt chứng minh có Q(x) có 2 nghiệm phân biệt b.Tìm x,y nguyên thỏa (xy 1)2 x 2 y 2 LỜI GIẢI a) Cách 1: P(x) có 3 nghiệm phân biệt x1;; x 2 x 3 thỏa mãn x1 x 2 x 3 =a và 222 x1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 =-b và ta có x1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 0 Với là giá trị khác nhau. Từ đó ab2 30=>Q(x) có 2 nghiệm phân biệt Cách 2: Gọi là 3 nghiệm phân biệt của P(x).Ta có 2 2 2 2 2 2 2 '3abxxxxxxxxx123121323 2'()()()0 xx 12 xx 13 xx 23 .Vậy ta có đpcm. x y xy 1 x y xy 1 b.Ta có (xy 1)2 x 2 y 2 ( xyxyxyxy )( ) 1 . x y xy 1 x y xy 1 Câu 3 (1,50 điểm): Xét a,b,c không âm thỏa abc2 2 2 1.Tìm min và max của a b c S 1 bc 1 ac 1 ab LỜI GIẢI Ta chứng minh (a b c )2(1)2 bc 2 2( ab bc ca )142 bc b 2 c 2 2()abca 2 ()2 bc 2 bc 2 2 ( cba )()0 2 bc 2 (đúng).Từ đó suy ra
3. a b c a2 b 2 c 2 1 S 2 a b ; c 0 hoặc các 1 bc 1 ac 1 ababcabcabc 2 a( b2 c 2 ) a (1 a 2 ) ( a 2)( a 1) 2 hoán vị tƣơng ứng.Ta có a abc a a 11 .Do 2 2 2 đó ta có a b c a2 b 2 c 2 S a2 b 2 c 2 1 a 1; b c 0 1 bc 1 ac 1 ab a abc a abc a abc hoặc các hoán vị tƣơng ứng. Câu 4 (3,00 điểm): Cho tam giác ABC nhọn.Một đƣờng tròn qua B,C và không qua A cắt AB,AC tại E,F,E khác B,E khác C. BF cắt CE tại D.Gọi P là trung điểm BC và K là điểm đối xứng D qua P. AE DE a.Chứng minh tam giác KBC và DFE đồng dạng và AC CK b.Gọi M,N là hình chiếu của D lên AB,AC.Chứng minh MN vuông góc AK và MA2 NK 2 NA 2 MK 2 c.Gọi I,J là trung điểm AD,MN.Chứng minh I,J,P thẳng hàng d)Đƣờng thẳng IJ cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T khác I.Chứng minh AD là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác DTJ. Câu 5 (1,00 điểm): Cho tam giác ABC và O thay đổi trong tam giác ABC.Tia Ox song song AB cắt BC tại D,tia Oy song song CB cắt AC tại E,tia Oz song song AC 2 2 2 AB BC AC cắt BA tại F.Tìm giá trị nhỏ nhất của S OD OE OF Ta sẽ gọi AO cắt BC,CA,AB tại X,Y,Z.Ta có 2 2 2 AX BY CZ S 9 9 9 27 OX OY OZ AX BY CZ SSSSABC ABC ABC9 ABC 6 27 6 27 6.  27 27 OG OX OY OZ SBOC S AOC S BOA S BAC Với G là trọng tâm tam giác ABC.