Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Khánh hòa - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Khánh hòa - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Câu 1. (2,0 điểm) 2(1 33 10 63 2(1 10 63 a) Tính giá trị của biểu thức: T 2 2 2 3 2 2 2 3 b) Với mọi số nguyên dƣơng n, chứng minh A n2 n 2( n 1) 2 ( n 1) 2 là số nguyên nhƣng không thể là số chính phƣơng. Câu 2. (2,0 điểm) Cho các phƣơng trình (ẩn ) ax22 bx c 0(1); cx bx a 0(2) và với a, b ,c là các số thực dƣơng thỏa mãn a b 40 c . a) Chứng minh các phƣơng trình và đều có hai nghiệm dƣơng phân biệt. b) Gọi xx12; , là hai nghiệm của phƣơng trình (1), xx34; là hai nghiệm của phƣơng 1 1 1 1 trình.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:T xxx123 xxx 423 xxx 143 xxx 124 Câu 3. (1,5 điểm) a) Phân tích đa thức P( x , y ) 4 x3 3 xy 2 y 3 thành nhân tử. Từ đó chứng minh 43x3 y 3 xy 2 với mọi số thực x, y , thỏa mãn x+y 0 33 b) Cho các số thực x1, x 2 , , x 21 thỏa mãn x1, x 2 , , x 21 2; x 1 x 21 12Chứng minh rằng: x1 x 2 x 21 18 Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB và (I) đƣờng kính AC cắt nhau tại điểm thứ hai H ,H khác A .Đƣờng thẳng d thay đổi đi qua A cắt đƣờng tròn (O) tại M và cắt đƣờng tròn (I) tại N (A nằm giữa M và N). a) Đoạn thẳng OI lần lƣợt cắt các đƣờng tròn (O);( I) tại D E, . Chứng minh OI là đƣờng trung trực của đoanh thẳng AH và AB +AC- BC =2DE. b) Chứng minh giao điểm S của hai đƣờng thẳng OM và IN di chuyên trên một đƣờng tròn cố định khi đƣờng thẳng (d) quay quanh A. c) Giả sử đƣờng thẳng MH cắt đƣờng tròn (I) tại điểm thứ hai là T (T khác H ). Chứng minh ba điểm N, I, T thẳng hàng và ba đƣờng thẳng MS, AT, NH đồng quy. Câu 5. (1,5 điểm) a) Hai số tự nhiên khác nhau đƣợc gọi là “thân thiết” nếu tổng bình phƣơng của chúng chia hết cho 3. Hỏi tập
2. hợp X ={1; 2; 3; ; 2021} có bao nhiêu cặp số “thân thiết” không phân biệt thứ tự? b) Trong kỳ thi chọn đội tuyể năng khiếu của trƣờng T có n môn (n thuộc N*, n lớn hơn hoặc bằng 5 , mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: - Có ít nhất 5 môn có số lƣợng thí sinh tham gia thì đôi một khác nhau; - Với 2 môn thi bất kỳ, luôn tìm đƣợc 2 môn khác có tổng số lƣợng thí sinh tham gia bằng với tổng số lƣợng thí sinh của 2 môn đó. Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu môn đƣợc tổ chức? Lời giải Câu 1. (2,0 điểm) 2(1 33 10 63 2(1 10 63 a) Tính giá trị của biểu thức: T 2 2 2 3 2 2 2 3 b) Với mọi số nguyên dƣơng n, chứng minh A n2 n 2( n 1) 2 ( n 1) 2 là số nguyên nhƣng không thể là số chính phƣơng. Lời giải Câu 1. (2,0 điểm) 2(1 3 10 6 3) 2(1 3 10 6 3) a) Tính giá trị của biểu thức: T 2 2 2 2 3 2 2 2 3 b) Với mọi số nguyên dƣơng n, chứng minh n2 A n 2 n 2( n 1) 2 ( n 1) 2 n 2 n 1 ( n 1) 2 là số nguyên nhƣng không thể là số chính phƣơng. Câu 2. (2,0 điểm) Cho các phƣơng trình (ẩn ) ax22 bx c 0(1); cx bx a 0(2) và với a, b ,c là các số thực dƣơng thỏa mãn a b 40 c . a) Chứng minh các phƣơng trình và đều có hai nghiệm dƣơng phân biệt. b) Gọi xx12; , là hai nghiệm của phƣơng trình (1), xx34; là hai nghiệm của phƣơng 1 1 1 1 trình.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:T xxx123 xxx 423 xxx 143 xxx 124 Lời giải a.Phƣơng trình (1) và (2) đều có: b2 4 acac ( 4 ) 2 4 aca 2 4 ac 16 c 2 với a ,b, c > 0. Gọi PS11; lần lƣợt là tổng và tích của hai nghiệm của phƣơng trình (1) .Gọi PS22; lần lƣợt là tổng và tích của hai nghiệm của phƣơng trình (1).Theo bc SP 0; 0 11aa định lý Viete, ta có: . Do đó phƣơng trình (1) và (2) đều có ba SP 0; 0 22cc hai nghiệm dƣơng phân biệt.
3. 1 1 1 1 1 1 (a 4 c )( a c ) a 4 c b) Ta có: Tb 59 . xxx123 xxx 423 xxx 143 xxx 124 ac ac c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2c.Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 9 đạt đƣợc khi a =b=2c . Câu 3. (1,5 điểm) a) Phân tích đa thức P( x , y ) 4 x3 3 xy 2 y 3 thành nhân tử. Từ đó chứng minh 43x3 y 3 xy 2 với mọi số thực x, y , thỏa mãn x+y 0 33 b) Cho các số thực x1, x 2 , , x 21 thỏa mãn x1, x 2 , , x 21 2; x 1 x 21 12Chứng minh rằng: x1 x 2 x 21 18 Lời giải a.Phân tích đa thức Pxy( , ) 4 x3 3 xy 2 y 3 ( xyxy )(2 ) 2 thành nhân tử. Ta có Pxy(,)4 x3 3 xy 2 y 3 ( xyxy )(2 )0 2 x3 2 b) Với mọi x 2ta có: (x 2)( x 1) 0 x i .Từ đây suy ra: i i i i 3 (x3 2) ( x 3 2) ( x 3 2) x x x 1 2 21 18 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có 1 2 21 3 một số -2 và 20 số còn lại bằng 1. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB và (I) đƣờng kính AC cắt nhau tại điểm thứ hai H ,H khác A .Đƣờng thẳng d thay đổi đi qua A cắt đƣờng tròn (O) tại M và cắt đƣờng tròn (I) tại N (A nằm giữa M và N). a) Đoạn thẳng OI lần lƣợt cắt các đƣờng tròn (O);( I) tại D E, . Chứng minh OI là đƣờng trung trực của đoanh thẳng AH và AB +AC- BC =2DE. b) Chứng minh giao điểm S của hai đƣờng thẳng OM và IN di chuyên trên một đƣờng tròn cố định khi đƣờng thẳng (d) quay quanh A. c) Giả sử đƣờng thẳng MH cắt đƣờng tròn (I) tại điểm thứ hai là T (T khác H ). Chứng minh ba điểm N, I, T thẳng hàng và ba đƣờng thẳng MS, AT, NH đồng quy.
4. Lời giải a) Ta có:  AHB +  AHC = 180 , B,H,C thẳng hàng hay AH vuông góc BC . Do OA =OH ;IA =IH , nên OI là đƣờng trung trực của AH. Ta có: OI là đƣờng trung bình của tam giác ABC hay BC =0,5.OI .Do đó: 2DE =OD -OE +IE -ID =OD +IE –(OI –IE)-( OI –OD) =2 OD+2 OE -2OI =AB +AC -BC . b) Ta có:  OSI =180- OMA - NIA . Mặt khác tam giác OMA cân tại O nên OMA = OAM. Tƣơng tự ta cũng có: INA= NAI. Từ đó suy ra: OSI =180-( OAM + NAI)= 180-180+ OAI=90.Suy ra S nằm trên đƣờng tròn đƣờng kính OI.Vậy khi (d) quay quanh A thì S di chuyên trên đƣờng tròn đƣờng kính OI. c) Ta có: MHN= MHA + AHN = MBA + ACN =90- MAO =90- IAN=180- MAO- IAN = OAI.Do đó tam giác MNH vuông tại H hay NH vuông góc MT .Suy ra H nằm trên đƣờng tròn đƣờng kính NT hay N, T ,I thẳng hàng.Gọi R là giao điểm của MS và NH suy ra R là trực tâm tam giác MTN hay RT vuông góc MN. Mặt khác TAN =90 do A nằm trên đƣờng tròn đƣờng kính NT hay TA vuông góc MN . Từ đó ta có A, T, R thẳng hàng hay ba đƣờng thẳng MS, AT ,NH đồng quy. Câu 5. (1,5 điểm) a) Hai số tự nhiên khác nhau đƣợc gọi là “thân thiết” nếu tổng bình phƣơng của chúng chia hết cho 3. Hỏi tập hợp X ={1; 2; 3; ; 2021} có bao nhiêu cặp số “thân thiết” không phân biệt thứ tự? b) Trong kỳ thi chọn đội tuyể năng khiếu của trƣờng T có n môn (n thuộc N*, n lớn hơn hoặc bằng 5 , mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: - Có ít nhất 5 môn có số lƣợng thí sinh tham gia thì đôi một khác nhau;
5. - Với 2 môn thi bất kỳ, luôn tìm đƣợc 2 môn khác có tổng số lƣợng thí sinh tham gia bằng với tổng số lƣợng thí sinh của 2 môn đó.Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu môn đƣợc tổ chức? Lời giải a) Số chính phƣơng chia 3 dƣ 0 hoặc 1, do đó ab22 chia 3 dƣ 0, 1 hoặc 2. Do đó ab22 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a và b cùng chia hết cho 3. 2021 Tập hợp X có 673 số chia hết cho 3.Do đó số cặp thân thiết trong tập hợp 3 673.762 226128.Vậy có 226128 cặp thân thiết trong tập hợp X. 2 b) Không mất tính tổng quát, giả sử hai môn có số lƣợng thí sinh tham gia nhiều nhất lần lƣợt là a và b với a,b thuộc N*, a b . Nếu a >b thì không tồn tại hai môn nào có tổng số lƣợng thí sinh bằng a +b do hai môn này có số lƣợng thí sinh đều nhỏ hơn hoặc bằng b. Do đó a =b . Vì hai môn khác có tổng số thí sinh bằng 2a nên hai môn này đều có số thí sinh là a. Xét một môn có số thí sinh khác a lớn nhất. Gọi c thuộc N* ,c là số lƣợng thí sinh của môn này, ta có c< a. Ta thấy tổng số thí sinh của môn này với một môn có a thí sinh sẽ có hai môn khác có tổng số thí sinh bằng nhƣ vậy. Do đó tồn tại một môn nữa có số thí sinh là c.Nhƣ vậy có 4 môn có số thí sinh tham gia nhiều nhất là a và 2 môn có số thí sinh tham gia nhiều kế tiếp là c.Tƣơng tự cách lập luận trên ta có 4 môn có số thí sinh tham gia ít nhất là d và hai môn có số thí sinh khác d nhỏ nhất là e, với d,e thuộc N*. Nếu c =e thì chỉ có 4 môn có số thí sinh đôi một khác nhau là (a ,c);( c ;d);( d, e);( a, e) do đó phải có ít nhất 13 môn.Ta xây dựng một cấu hình với 13 môn có số thí sinh thỏa mãn. 1; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5. Vậy có ít nhất 13 môn đƣợc tổ chức trong kỳ thi.