Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Sư phạm môn Toán (Vòng 1) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Sư phạm môn Toán (Vòng 1) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 HÀ NỘI Năm học 2018 – 2019 CHUYÊN SƯ PHẠM(Vòng 1) Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm)Các số thực x;y không âm thỏa mãn (x 1)(y 1) 2. Tính giá trị của biểu thức: P x2 y2 2(x2 1)(y2 1) 2 xy. Bài 2. (1,5 điểm) Các số thực x;y;z không âm thỏa mãn x2 y2 z2 x2y2 y2z2 z2x2 6.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Q x y z. Bài 3. (1,5 điểm) (a b)2 1) Cho biểu thức: M với a;b là hai số nguyên dương phân a3 ab2 a2b b3 biệt. Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên. 2) Cho a;b là hai số nguyên dương đặt: A (a b)2 2a2;B (a b)2 2b2 Chứng minh A;B không đồng thời là số chính phương. Bài 4. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB AC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt đường thẳng AB;AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P sao cho AP  PC. Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q .Chứng minh: 1) PB PQ. 2)O là trực tâm của tam giác ADE. · · 3) PAO QAC. Bài 5. (1,5 điểm)Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: Nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong một cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp) 1) Xây dựng ví dụ để S 870. 2) Chứng minh S 870.
2. HẾT Bài 1. (1,5 điểm) Các số thực x;y không âm thỏa mãn (x 1)(y 1) 2. Tính giá trị của biểu thức: P x2 y2 2(x2 1)(y2 1) 2 xy. Lời giải: Từ (x 1)(y 1) 2. x y xy 1. Thay vào P , ta có: P x2 y2 2(x2 xy x y)(y2 xy x y) 2 xy x2 y2 2(x 1)(y 1)(x y)2 2 xy x2 y2 2.2.(x y)2 2 xy x2 y2 2(x y) 2 xy x2 y2 2(xy x y) 2 xy (x y)2 xy x y xy 1. Bài 2. (1,5 điểm) Các số thực x;y;z không âm thỏa mãn x2 y2 z2 x2y2 y2z2 z2x2 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Q x y z. Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số, ta có: