Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Quốc Học môn Toán - Năm học 2008-2009 - Sở giáo dục và đào tạo Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Quốc Học môn Toán - Năm học 2008-2009 - Sở giáo dục và đào tạo Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

1. Một số đề thi vào trường chuyên Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYấN QUỐC HỌC THỪA THIấN HUẾ Mụn: TOÁN - Năm học 2008-2009 Đề chớnh thức Thời gian làm bài: 150 phỳt Bài 1: (3 điểm) a) Khụng sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi, hóy chứng minh đẳng thức : 3 3 13 4 3 1. x 1 y 5 b) Giải hệ phương trỡnh : 2 (x 2x 1)y 36 Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trỡnh: x4 2mx2 2m 1 0 . Tỡm giỏ trị m để phương trỡnh cú bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 sao cho: x1 x2 x3 x4 và x4 x1 3 x3 x2 . Bài 3: (3 điểm) Cho đường trũn (O), đường kớnh AB. Gọi C là trung điểm của bỏn kớnh OB và (S) là đường trũn đường kớnh AC. Trờn đường trũn (O) lấy hai điểm tựy ý phõn biệt M, N khỏc A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường trũn (S). a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ. b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: ME2 = MA MP . ME AM c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: . NF AN Bài 4: (1,5 điểm) Tỡm số tự nhiờn cú bốn chữ số (viết trong hệ thập phõn) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa món: (i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (ii)Tổng p + q lấy giỏ trị nhỏ nhất, trong đú p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cũn q là tỉ số của chữ số hàng nghỡn và chữ số hàng trăm. Bài 5: (1 điểm) Một tấm bỡa dạng tam giỏc vuụng cú độ dài ba cạnh là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng cú thể cắt tấm bỡa thành sỏu phần cú diện tớch bằng nhau và diện tớch mỗi phần là số nguyờn. Hết Sưu tầm
2. SBD thớ sinh: Chữ ký GT1: 2
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYấN QUỐC HỌC THỪA THIấN HUẾ Mụn: TOÁN - Năm học 2008-2009 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM BÀI NỘI DUNG Điể m B.1 3,0 1.a 3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1 0.25 2 3 3 2 3 1 3 3 2 3 1 2 0.25 3 3 2 3 1 3 3 1 0,25 3 3 1 3 3 1 1 0.25 1.b Điều kiện y 0 . 0,25 x2 2x 1 y 36 x 1 y 6 . 0,25 u v 5 0,50 Đặt u x 1 , v y (u 0, v 0 ), ta cú hệ uv 6 Giải ra : u = 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2 0,25 Trường hợp u = 2 , v = 3 cú : ( x = 1 ; y = 9 ) hoặc ( x = 3 ; y = 9) 0,25 Trường hợp u = 3 , v = 2 cú : ( x = 2 ; y = 4 ) hoặc ( x = 4 ; y = 4) 0,25 Hệ đó cho cú 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) . 0,25 B.2 1,5 x4 2mx2 2m 1 0 (1) 0,25 Đặt :t x2 , ta cú : t2 2mt 2m 1 0 (2) (t 0 ) . ' m2 2m 1 m 1 2 0 với mọi m. 0,25 Vậy để (1) cú bốn nghiệm phõn biệt thỡ (2) luụn cú hai nghiệm dương 0,25 phõn biệt t1, t2 . Tương đương với: 1 ' 0,P 2m 1 0, S 2m 0 m ,m 1 (3) 2 Với điều kiện (3), phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm dương 0 t1 t2 và phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt: 0,25 x1 t2 x2 t1 x3 t1 x4 t2 Theo giả thiết: x4 x1 3 x3 x2 2 t2 6 t1 t2 3 t1 t2 9t1 (4) 3
4. Theo định lớ Vi-ột, ta cú: t1 t2 2m và t1t2 2m 1 (5) 2 Từ (4) và (5) ta cú: 10t1 2m và 9t1 2m 1 5 9m2 50m 25 0 m ; m 5 . 1 9 2 0,50 Cả hai giỏ trị đều thỏa món điều kiện bài toỏn. Vậy để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm thỏa món điều kiện bài toỏn thỡ cần và đủ là: 5 m và m 5 . 9 B.3 3,0 3.a + Hỡnh vẽ 0,25 Cã PA Bã MA 900 CP / /BM AP AC Do đú : (1) AM AB 0,25 + Tương tự: CQ / /BN và AQ AC 0,25 (2) AN AB AP AQ Từ (1) và (2): , AM AN Do đú PQ / /MN 0,25 3.b + Hai tam giỏc MEP và MAE cú : Eã MP Ã ME và Pã EM Eã AM . Do đú chỳng đồng dạng . 0,50 ME MP + Suy ra: ME2 MA MP MA ME 0,50 2 3.c + Tương tự ta cũng cú: NF NA  NQ 0,25 ME2 MA MP + Do đú: 0,25 NF2 NA  NQ MP MA + Nhưng (Do PQ / /MN) NQ NA 0,25 ME2 AM2 ME AM + Từ đú: NF2 AN2 NF AN 0,25 B. 4 1,5 Xột số tựy ý cú 4 chữ số abcd mà 1 a b c d 9 . (a, b, c, d là cỏc số nguyờn). 0,25 c a Ta tỡm giỏ trị nhỏ nhất của p q d b b 1 1 Do b, c là số tự nhiờn nờn: c b c b 1 . Vỡ vậy : p q 9 b 0,75 1 b 1 1 b 1 7 p q 2  9 9 b 9 9 b 9 4
5. 7 b 1 p q trong trường hợp c b 1, d 9, a 1, 0,25 9 9 b Vậy số thỏa món cỏc điều kiện của bài toỏn là: 1349 0,25 B.5 1,0 Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giỏc vuụng ABC, c là cạnh huyền. ab Ta cú a 2 b2 c2 ; a, b, c N* , diện tớch tam giỏc ABC là S 0.25 2 Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12. + Chứng minh ab  3 Nếu cả a và b đồng thời khụng chia hết cho 3 thỡ a 2 b2 chia 3 dư 2. 0,25 Suy ra số chớnh phương c2 chia 3 dư 2, vụ lý. + Chứng minh ab4 - Nếu a, b chẵn thỡ ab4 . - Nếu trong hai số a, b cú số lẻ, chẳng hạn a lẻ. Lỳc đú c lẻ. Vỡ nếu c chẵn thỡ c2 4 , trong lỳc a 2 b2 khụng thể chia hết cho 4. 0,25 Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h N . Ta cú : b2 2h 1 2 2k 1 2 = 4 h k h k 1 = 4 h k h k 1 8k h k 8 Suy ra b4 . Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối cỏc điểm chia với C thỡ tam giỏc ABC được chia thành 6 tam giỏc, mỗi tam giỏc 0.25 này cú diện tớch bằng ab là một số nguyờn. 12 Ghi chỳ: Học sinh làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa cõu đú. Điểm toàn bài khụng làm trũn. 5