Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Hài Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Hài Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN NGUYỄN HẢI DƯƠNG TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 08 thỏng 07 năm 2010 Đề thi gồm: 01 trang Cõu 1 (2,0 điểm) 1 12 135 12 135 1) Cho x 1 3 3 . 3 3 3 2 Khụng dựng mỏy tớnh cầm tay, hóy tớnh giỏ trị của biểu thức M= 9x3 9x2 3 . x y a b 2) Cho trước a,b R ; gọi x, y là hai số thực thỏa món 3 3 3 3 x y a b Chứng minh rằng: x2011 y2011 a2011 b2011 . Cõu 2 (2,0 điểm) Cho phương trỡnh: x3 ax2 bx 1 0 (1) 1) Tỡm cỏc số hữu tỷ a và b để phương trỡnh (1) cú nghiệm x 2 3 . 2) Với giỏ trị a,b tỡm được ở trờn; gọi x1; x2; x3 là ba nghiệm của phương trỡnh (1). Tớnh 1 1 1 giỏ trị của biểu thức S 5 5 5 . x1 x2 x3 Cõu 3 (2,0 điểm) 1) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món điều kiện: x2 y2 5x2 y2 60 37xy . 3 2 x x x y y 2) Giải hệ phương trỡnh: 2 x4 1 5 x y 2 0 Cõu 4 (3,0 điểm) Cho hai đường trũn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ cỏc tiếp tuyến chung của hai đường trũn đú; chỳng cắt nhau ở A. Gọi B và C là cỏc tiếp điểm của hai tiếp tuyến trờn với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cựng nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khỏc điểm I ). 1) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh: KB2 = KI.KJ ; từ đú suy ra KB = KD. 2) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trờn một đường trũn. 3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp Δ IBD . Cõu 5 (1,0 điểm) Mọi điểm trờn mặt phẳng được đỏnh dấu bởi một trong hai dấu (+) hoặc ( ). Chứng minh rằng luụn chỉ ra được 3 điểm trờn mặt phẳng làm thành tam giỏc vuụng cõn mà ba đỉnh của nú được đỏnh cựng dấu. Hết
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MễN TOÁN HẢI DƯƠNG Kè THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 08 thỏng 07 năm 2010 Đỏp ỏn gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thớ sinh làm bài theo cỏch khỏc nhưng vẫn đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa. - Việc chi tiết điểm số (với cỏch khỏc, nếu cú) phải được thống nhất Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Cõu í Nội dung Điểm 1 12 135 12 135 2 1 1 Cho x 1 3 3 .Tớnh M= 9x3 -9x2 -3 . 1,00 3 3 3 1 12 135 12 135 Từ x 1 3 3 3 3 3 12 135 12 135 3x 1 3 3 3 3 3 3 12 135 12 135 0,25 3x 1 3 3 3 3 0,25 3 0,25 3x 1 8 3 3x 1 0,25 9x3 9x2 2 0 M 1 2 1 1 2 Cho trước a,b R ; gọi x,y là hai số thực thỏa món 1,00 x y a b .Chứng minh rằng: x2011 y2011 a2011 b2011 . 3 3 3 3 (I) x y a b x y a b (I) 3 3 x y 3xy x y a b 3ab a b x y a b (1) 0,25 (*) xy(a b) ab(a b) (2) x y a b +/Nếu a b 0 thỡ (*) xy ab 0,25 => x, y là 2 nghiệm của phương trỡnh X 2 (a b)X ab 0 0,25 x b x a 2011 2011 2011 2011 Giải ra ta cú ; => x y a b . y a y b
3. +/Nếu a b 0 => a b . x y 0 Ta cú hệ phương trỡnh . 3 3 x y x y 0 a2011 b2011 0 => => x2011 y2011 a2011 b2011 2011 2011 x y 0 0,25 2 1 x3 ax2 bx 1 0 (1) . Tỡm a,b Q để (1) cú nghiệm x 2 3 . 1,00 3 2 Thay x 2 3 vào (1)ta cú : 2 3 a 2 3 b 2 3 1 0 3 4a b 15 7a 2b 25 0,25 +/Nếu 4a b 15 0 7a 2b 25 0,25 =>3 (vụ lớ vỡ VT là số vụ tỷ , VP là số hữu tỷ). 4a b 15 7a 2b 25 0 0,25 +/ Suy ra 4a b 15 0 4a b 15 0 a 5 0,25 Giải hpt ,kết luận : b 5 2 2 1 1 1 1,00 Với a=-5 ;b=5. Tớnh giỏ trị của biểu thức S 5 5 5 . x1 x2 x3 a 5 3 2 2 +/ (1) cú dạng x 5x 5x 1 0 x-1 x 4x 1 0 . 0,25 b 5 Khụng mất tớnh tổng quỏt coi x3 1 thỡ x1, x2 là 2 nghiệm của phương trỡnh 2 x1 x2 4 x 4x 1 0( cú ' 3 0 ) => 0,25 x1x2 1 2 2 2 +/x1 x2 x1 x2 2x1 x2 14 . 3 3 2 2 +/x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 52 . 0,25 5 5 2 2 3 3 2 2 0,25 +/ x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 724 =>S = 725 3 1 Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món x2 y2 5x2 y2 60 37xy (1) 1,00 (1) x y 2 5x2 y2 35xy 60 x y 2 5 xy 3 4 xy . 0,25 Giả sử cú x,y nguyờn thỏa món, VT 0 5 xy - 3 4 xy 0 3 xy 4 . 0,25 xy 3 Do x, y Z =>xy Z => . xy 4
4. 0,25 xy 3 x y +/ (vụ nghiệm trờn Z). 2 2 x y 0 x 3 xy 4 x y x y 2 +/ . 2 2 x y 0 x 4 x y 2 x y 2 0,25 Vậy là cỏc giỏ trị cần tỡm. x y 2 x3 x x2 y y (1) 3 2 1,00 Giải hệ phương trỡnh: 2 x4 1 5 x y 2 0 (2) Điều kiện :y 0 . x y 2 0,25 (1) x y x 1 0 . x 1 0,25 +/Nếu x 1 thay vào phương trỡnh (2) ta cú :y 1 0 y 1 . +/Nếu x y 0 Khi đú (2) 2 x4 1 4 x 2 0 (3) do 2 x4 1 2.2 x4.1 4x2 2 x4 1 2 x 2x . 2 nờn VT(3) 2(x - 2 x 1) 2 x 1 0. 0,25 4 x 1 Do đú Pt (3) x 1 y 1 . x 1 0 0,25 x 1 x 1 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ; y 1 y 1 4 1 K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh KB = KD. 1,00
5. B K M D I A O H O' J C 0,25 Do AO và AO’ là hai tia phõn giỏc của Bã AC => A,O,O’ thẳng hàng. 1 Cú BảJI IãBK sđ BºI ; Bã KI chung 0,25 2 KI KB Δ KBI đồng dạng với Δ KJB (g.g)=>= KB2 =KI.KJ (1) 0,25 KB KJ 0,25 KI KD Tương tự:Δ KDI đồng dạng với Δ KJD = KD2 =KI.KJ (2) KD KJ Từ (1) và (2) =>KB=KD . 4 2 Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trờn một đường trũn. 1,00 +/Xột tam giỏc vuụng ABO’ cú: AB2 =AH.AO' (3) 0,25 1 +/ Cú : Ã BI Ã MB sđ BºI ; Bã AI chung 2 AB AI 0,25 Δ ABI đồng dạng với Δ AMB (g.g) = AB2 =AM.AI (4). AM AB AH AM Từ (3),(4) =>AI.AM=AH.AO' = . AI AO' 0,25 AH AM =>Δ AHI đồng dạng với Δ AMO' ( vỡ = ;À chung ). AI AO' 0,25 =>Ã HI=Ã MO' => tứ giỏc MIHO’ nội tiếp hay 4 điểm I, H, M, O’ cựng thuộc một đường trũn. 4 3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp Δ IBD 1,00 AO OD R OI OI Do OD // O’B (cựng  AB) AO' O'B R' O'M O'I 0,25 nhưng OI cắt O’I và A,I,M thẳng hàng => OI // O’M. =>Dã OI=Bã O'M . 0,25
6. 1 1 1 1 0,25 mà Bã DI Dã OI sđ DºI và Bã IM Bã O'M sđ BẳM 2 2 2 2 =>Bã DI Bã IM =>IM tiếp xỳc với đường trũn ngoại tiếp ΔBID 0,25 hay AM là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp Δ IBD . 5 Chứng minh rằng luụn chỉ ra được 3 điểm trờn mặt phẳng làm thành tam giỏc 1,00 vuụng cõn mà ba đỉnh của nú được đỏnh cựng dấu. Dựng tam giỏc vuụng cõn ABC đỉnh A. Do chỉ đỏnh bởi hai dấu (+), ( ) nờn tồn tại hai C D điểm cựng dấu , khụng mất tổng quỏt giả sử hai điểm A, B cựng dấu và cựng dấu (+). + Nếu C cú dấu (+) thỡ tam giỏc vuụng cõn 0,25 ABC là tam giỏc phải tỡm. I + Nếu C cú dấu (- ) thỡ ta dựng điểm D sao cho ABDC là hỡnh vuụng. _ Nếu D cú dấu (+) thỡ tam giỏc ABD là tam giỏc cần tỡm. A B 0,25 _ Nếu D cú dấu (-) thỡ gọi I là giao điểm của AD và BC . 0,25 * Nếu I cú dấu (+) thỡ tam giỏc vuụng cõn ABI là tam giỏc cần tỡm. * Nếu I dấu (-) thỡ dễ thấy tam giỏc vuụng cõn CID cú ba đỉnh cựng 0,25 dấu (-) là tam giỏc cần tỡm.