Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn Toán - Trường THPT Quang An

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn Toán - Trường THPT Quang An

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐH SP HÀ NỘIV1 NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. b a a a b b() b a2 ab 1.Câu 1 Cho P : ; a , b 0; a b b aab b a 1. Rút gọn P. 2. Chứng minh rằng P 0. Lời giải. ba aabb () ba 2 ab ab 1. P : b aab b a a b ab 3(b a )22 ( b a ) 2. Ta có: a b ab 0. Do đó: P 0 44 2 Câu 2 a) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, ít nhất một trong hai phƣơng trình sau có nghiệm: x2 −(2m+1)x+ m2+3 = 0 ; x2 − mx+(4m−11) = 0 (2) b) Một tấm biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O, bán hình bằng 1,6m. Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đƣờng tròn tâm O, bán kính bằng 1,6m sao cho ∠BOC = 450. Ngƣời ta sơn màu toàn bộ tấm biển quảng cáo và chỉ sơn một mặt nhƣ hình bên dƣới. Biết mức chi phí sơn phần hình tô đậm là 150000 đồng trên m2, phần còn lại là 200 000 đồng/m2 .Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn bộ biển quảng cáo là bao nhiêu? Cho π = 3,14. Lời giải. a) Ta xét hai trƣờng hợp sau: 1. Nếu (4m−11) 0 thì 2 2 2 2 ∆1 = (2m+1) −4(m +3) = 4m +4m+1−4m −12 = 4m−11 0, vậy phƣơng trình (1) có nghiệm. 2 2. Nếu (4m − 11) 0 ⇒ phƣơng trình (2) có nghiệm. Tóm lại, trong mọi trƣờng hợp, ít nhất một trong hai phƣơng trình có nghiệm. 2 n 628 2 b) Ta có Squạt AOD = Squạt BOC =π.R . = (m ). 360 625
2. 122 16 2 Stam giác BOC = Stam giác AOD .sin 45.Rm ( ) . 2 25 Vậy diện tích phần không tô đậm là 1256 800 2 2 2(Squạt AOD -Stam giác AOD )() m . 625 Stô đậm = Stròn -Skhông tô đậm 3768 800 2 ()m2 .Nhƣ vậy tổng số tiền cần để sơn tấm biển là: 625 3768 800 2 1256 800 2 150000. 200000. ≈ 1.216.000 (V ND) 625 625 3.Câu 3 Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng, cố định, B nằm giữa A và C. Gọi d là đƣờng thẳng qua C vuông góc AB. Lấy điểm M bất kỳ trên d. Đƣờng thẳng qua B vuông góc AM lần lƣợt cắt AM,d tại I, N. MB cắt AN tại K. a) Chứng minh rằng tứ giác M IK N nội tiếp. b) Chứng minh rằng CM ·CN = AC ·BC c) Gọi O là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Vẽ hình bình hành MBNE. Gọi H là trung điểm BE. Chứng minh rằng OH vuông góc với d và OH = 1 AB 2 Lời giải. a) Theo giả thiết có ∠MIN = 900 = ∠ACM nên B là trực tâm tam giác AMN suy ra MB vuông góc AN hay ∠MKN = 900 = ∠M IN suy ra tứ giác MIK N nội tiếp. b) Ta có ∠AKM = 900 = ∠ACM suy ra tứ giác AMCK nội tiếp dẫn đến ∠BMC = ∠BAK. Từ đó xét 2 tam giác BCM và NC A có: ∠BMC = ∠NAC; ∠BCM = ∠NCA = 900 ⇒ BCM đồng dạng NCA (g-g) ⇒ CM ·CN = C A ·CB c) Vì MBNE là hình bình hành nên MB ∥ NE mà MB ⊥ NA nên NA ⊥ NE. Tƣơng tự ta có MA ⊥ ME nên AE là đƣờng kính của đƣờng tròn (AMN) suy ra O là trung điểm AE. Cũng từ hình bình hành ra suy ra H là trung điểm BE. Từ đó OH là đƣờng trung bình của tam giác EAB suy ra OH ∥ AB ⇒ OH ⊥ d và OH = AB 4 .Câu 4 22 x y 4 x 57 a) Giải hệ phƣơng trình 2021 2020 xx 1 2 1 b) Cho a,b là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu a 2 + b 3 cũng là số hữu tỉ thì a = b = 0.
3. Lời giải. a) Xét phƣơng trình |x−1|2021 +|x−2|2020= 1 • Trƣờng hợp 1: x > 2 ⇒ |x−1| > 1 ⇒ |x−1|2021 > 1 ⇒ |x−1|2021 +|x−2|2020> 1 • Trƣờng hợp 2: x 0 và 2− x > 1 ⇒ (2− x)2020 > 1 ⇒ (1− x)2021 +(2− x)2020 > 1 • Trƣờng hợp 3: 2 > x > 1 ta có |x−1|2021 +|x−2|2020= 1⇔ (x−1)2021 +(2− x)2020= 1. Do 0 0 và 2−x > 0 nên : (x−1)2021 +(2− x)2020 < (x−1)2020 +(2− x)2020 < [(x−1)+(2− x)]2020 = 1 • Trƣờng hợp 4: x = 1 hoặc x = 2. Nếu x = 1 , thay vào phƣơng trình ban đầu ta có 1+ y2 −4 = 57 ⇔ y2 = 60⇒ y = 2 15 hoặc y = − 2 15 Nếu x = 2, thay vào phƣơng trình ban đầu ta có 4+ y2 −16 = 57 ⇔ y2 = 69⇒ y = 69 hoặc y = − b) Giả sử a khác 0.Đặt A = a 2 + b 3 là số hữu tỉ. Ta có: A = a + b ⇔ 2Aa 2 A2 2 a 2 3 b 2 (1) b 3 • Trƣờng hợp 1: 2Aa = 0 mà a khác 0⇒ A = 0 ⇔ a 2 (vô lý vì vế trái là số hữu tỉ, vế phải là số vô tỉ) A2 23 a 2 b 2 • Trƣờng hợp 2: 2Aa khác 0.Ta có (1) ⇒ 2 2Aa (vô lý vì vế trái là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ). Từ 2 trƣờng hợp, ta suy ra giả sử sai, nên a = 0⇒ A = b là số hữu tỉ, mà là số vô tỉ ⇒ b = 0. Vậy a = b = 0.