Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Thường) - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Thường) - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (thường) Ngày thi: 02/ 6/ 2018 Thời gián làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) a 3 3 a 6 a Bài 1 (1,0 điểm). Cho Biểu thức T  , với a 0, a 4, a 9 a 9 a 4 a 2 a) Rút gọn T b) Xác định các giá trị của a để T > 0 Bài 2 (2,0 điểm). 2 2 1. Cho phương trinh x 2(m 1)x m 3m 2 0 , (m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 2 2 thỏa mãn x1 x2 x1x2 5 2018 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2 2x x2 7 Bài 3 (2,0 điểm) Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km bằng xe máy với vận tốc không đổi để đến B vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng thời điểm đã định người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h so với vận tốc ban đâu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó. Bài 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. AD là đường kính của đường tròn (O)., Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại M Đường thẳng OM cắt AB và AB lần lượt tại E và F. a) Chứng minh: MD2 MBMC b) Qua B kẻ đường thẳng song song với MIO cắt AD tại P. Chứng minh bốn điểm B, H, D, P cung nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh O là trung điểm của EF Bài 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca =6. Chứng minh: a 2 b2 c2 3
2. Lượt giải: Bài 1 (1,0 điểm). a 3 3 a 2 a 1 3 a a 2 a) với a 0, a 4, a 9 , ta có: T   a 3 a 3 a 2 a 2 a 2 a 3 a 2 a 4 b) Từ kết qua câu a, ta có: T > 0 a – 4 > 0 (với a 0, a 4, a 9 ) Vậy T > 0 với a 4, a 9 Bài 2 (2,0 điểm). 2 2 1 Ta có: ¨ x 2(m 1)x m 3m 2 0 (1), Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: ' 0 (m 1)2 (m2 3m 2) 0 m 1 x1 x2 2(m 1) Khi đó (1) m có hai nghiệm thỏa mãn (hệ thức Vi-et), (với ) x1, x2 2 m 1 x1x2 m 3m 2 2 2 2 2 2 2 nên x1 x2 x1x2 5 x1 x2 3x1x2 5 4(m 1) 3(m 3m 2) 5 m m 7 0 1 29 1 29 m (loai) hoặc m (nhận) 2 2 1 29 Vậy m 2 2018 2018 2018 2. Ta có: : A , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 x = 1 2 2x x2 7 2 8 (x 1)2 2 2 2 Vậy Min(A) 1009( 2 1) Bài 3 (2,0 điểm) Gọi vận tốc ban đầu của người đó là x (km/h). (ĐK: x > 0) 120 Thời gian dự đinh đi đến B là: (giờ) x 1 Sau 1 giờ đi được x (km), rồi nghỉ 10 phút = (giờ) 6 Quãng đường còn lại: 120 – x (km) Vận tốc trên quãng đường còn lại: x + 6 (km/h) 120 x Thời gian đi quãng đường còn lại: (giờ) x 6 1 120 x 120 Vì tổng thời gian đi như dự định nên ta có phương trình: 1 x2 42x 4320 0. 6 x 6 x x 48 (nhận), x 90 (loại) 1 2 A Vậy vận tốc ban đầu của người đó là 48 km/h Bài 4 (4,0 điểm) a) MDC và MBD có: E D· MC B· MD (góc chung) O 1 F C· DM D· BM ( sđ)C»D 2 B M S MD MC H MDC MBD (g,g) P C MB MD 2 B' Vậy: MD MBMC b) Dễ chứng minh tứ giác OMDH nội tiếp đường tròn đường kính OM D 1 suy ra: H· DO H· MO ( sđ)H»D 2
3. · · mà HMO HBP (so le trong, BP // OM) A · nên H· DO H· BP H· BP H· DP H· DO H· DP 180o Do đó tứ giác BHDP nội tiếp được đường tròn (*) Vậy 4 điểm B, H, D, P cùng nằm trên một đường tròn. c) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua P, BB’C có: BH BP E ( 1) HP // B’C (1) (định lý Ta-let đảo) O HC PB' F Mặt khác: Từ (*) suy ra: H· PO H· BD (cùng bù H· PD ) M B H 1 P C mà: H· BD C· DM ( sđ)C»D 2 B' · · nên: HPO CDM và PO DM PH  DC D Khi đó: Khi đó PH // AC (2) (vì cùng vuông góc CD) Từ (1) và (2) suy ra: B’ nằm trên đường thẳng AC (tiên đề Ơ-Clit) Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let cho hai tam giác APB và APB’ với EF //BB’, ta có: EO AO OF OE BP 1 OE OF . BP AP PB' O F B'P Từ đó suy ra O là trung điểm của EF Bài 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca =6. Chứng minh: a 2 b2 c2 3 Ta có: (x y)2 0 , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y x2 y2 2xy , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y Áp dụng (1), ta có: a 2 1 2a , b2 1 2b , c2 1 2c , a 2 b2 2ab , b2 c2 2bc , c2 a 2 2ca (*) Cộng các bất đẳng thức ở (*) theo vế có: 3(a 2 b2 c2 ) 3 2(a b c ab bc ca) 12 , dấu “=” xáy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy: a 2 b2 c2 3 , dấu “=” xáy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1