Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quang An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quang An (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT TRƢƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM QUANG AN HỌC 2018-2019 ————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề. ————————— Câu 1 (3,0 điểm). xy x y 1 a) Giải hệ phương trình: yz y z 5 x , y , z z2x z x b) Giải phương trình: x22 32 x x 163 x 12 x 22 x 1, x . Câu 2 (2,0 điểm). 2019 2019 2019 a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì 2 1 2 n chia hết cho nn 1 . b) Tìm tất cả các số nguyên tố pq, thỏa mãn điều kiện pq22 21. Câu 3 (1,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh: a b c 3 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4 Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, AB AC . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp. PB DB b) và D là trung điểm của QS. PC DC c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. Câu 5 (1,0 điểm). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16? HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ; SBD: .
2. SỞ GD&ĐT TRƢƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC QUANG AN 2018-2019 ——————— HƢỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán trang) ————————— A. LƢU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày Điểm xy x y 1 a Giải hệ phương trình yz y z 5 x , y , z 1,5 1 z2x z x xy x y 1 xy 1 1 2 yz y z 5 y 1 z 1 6 0,50 z2x z x zx 1 1 3 Nhân từng vế các phương trình của hệ trên ta được 2 x 1 y 1 z 1 6 0,50 x 1 y 1 z 1 36 x 1 y 1 z 1 6 +) Nếu x 1 y 1 z 1 6 , kết hợp với hệ trên ta được xx 1 1 2 0,25 yy 1 2 3 z 1 3 z 4 +) Nếu x 1 y 1 z 1 6 , kết hợp với hệ trên ta được xx 1 1 0 yy 1 2 1. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm 0,25 z 1 3 z 2 x; y ; z 2;3;4 , 0; 1; 2 . b Giải phương trình 1,5 x22 32 x x 163 x 12 x 22 x 1, x Điều kiện xác định x 1. Khi đó ta có x22 3 x 2 x 1 6 3 x 1 2 x 2 2 x 1 0,50 x 1 x 2 x 116312221 x x x x x 1 x 2 x 113121226 x x x x x1 x 2 x 1 3 2 x 1 x 2 3 0,50 xx 1 2 x 2 1 3 0 *) x 2 x 130 x 212219 x x x x2 x 24 x 0,25
3. x 4 22 x 2 x x 2 x 8 x 16 *) x 1 2 x 1 4 x 3. 0,25 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 2,3. 2019 2019 2019 2 a Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì 2018 1 2 n 1,0 chia hết cho nn 1 . Nhận xét. Nếu ab, là hai số nguyên dương thì a2019 b 2019 a b . 0,25 Khi đó ta có 2018 12019 2 2019 n 2019 0,25 1009 12019 n 2019 2 2019 n 1 2019 n 2019 1 2019 n 1 (1) Mặt khác 2018 12019 2 2019 n 2019 0,25 1009 12019 n 12019 2 2019 n 2 2019 n 1 2019 1 2019 2. n 2019 n 2 Do nn, 1 1 và kết hợp với (1), (2) ta được 2018 12019 2 2019 n 2019 chia 0,25 hết cho nn 1 . b Tìm tất cả các số nguyên tố pq, thỏa mãn điều kiện pq22 21 1,0 Nếu pq, đều không chia hết cho 3 thì p21 mod3 , q 2  1 mod3 p 2 2 q 2  1 mod3 vô lý. Do đó trong hai số 0,50 pq, phải có một số bằng 3. +) Nếu p 3 9 2 q22 1 q 4 q 2. Do đó pq, 3,2 . 0,25 +) Nếu q 3 p22 18 1 p 19 vô lí. Vậy pq, 3,2 . 0,25 3 Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh: a b c 3 1,0 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4 a b c 3 Ta có a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4 0,50 4a c 1 4 b a 1 4 c b 1 3 a 1 b 1 c 1 4 ab bc ca 4 a b c 3 abc 3 ab bc ca 3 a b c 3 0,25 ab bc ca a b c 6 (1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được: 2 ab bc ca 332 abc ; a b c 332 abc cộng từng vế hai bất đẳng thức 0,25 này ta được (1). Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 1.
4. A 4 E F R H S P B D M C Q a Tứ giác BQCR nội tiếp. 1,0 Do AB AC nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó 0,25 Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR. Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE BCA, 0,25 Do QR song song với EF nên AFE BQR 0,25 Từ đó suy ra BCA BQR hay tứ giác BQCR nội tiếp. 0,25 b PB DB và D là trung điểm của QS. 1,0 PC DC DB HB Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên AE HA DC HC Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên 0,25 AF HA DB AE HB AE FB Từ hai tỷ số trên ta được . . 1 DC AF HC AF EC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được: PB EC FA PB AE FB 0,25 . . 1 . 2 PC EA FB PC AF EC PB DB Từ (1) và (2) ta được 3 0,25 PC DC DQ BD DS CD Do QR song song với EF nên theo định lí Thales: , . PF BP PF CP 0,25 Kết hợp với (3) ta được DQ DS hay D là trung điểm của QS. c Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 1,0 Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh DP DM DQ DR. 0,25 Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR DB DC (4). DC DB Tiếp theo ta chứng minh DP DM DB DC DP DB DC 0,25 2 DP DC DB 2 DB . DC DB DP DC DC DP DB DB . PC DC . PB PB DB 0,25 (đúng theo phần b). Do đó DP. DM DB . DC 5 PC DC Từ (4) và (5) ta được DP DM DQ DR suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 0,25 Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ 5 số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 1,0 16? Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số 0.25
5. thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c. Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: 0.25 aac,,,,,,,,. abc acc bac bbc bcc cac cbc ccc Gọi x1,,, x 2 x 9 là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó 0.25 xij c  x c mod16 16 không là ước của xij c x c tức là xxij không chia hết cho 8 Nhưng trong 9 số x1,,, x 2 x 9 chỉ có ba số lẻ ac,, bc cc nên 8 số bất kỳ trong 9 số x,,, x x luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn. 1 2 9 0.25 Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra Hết
6. CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƢNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƢỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI – VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà và tiền .Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao người ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như bèo mà ―cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa ― Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Tôi tên là :Trương Quang An Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê
7. toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích lúc đi học : Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : - Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . -Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường . -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ
8. -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi -Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi -Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi
9. cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư phạm , Một ngƣời đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , tạp chí toán tuổi thơ Nghĩa Thắng ,Tƣ Nghĩa ,Quảng Ngãi Trƣơng Quang An