Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Hưng Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Hưng Yên (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN H HƯƯNGNG YÊNYÊN Năm học 2009 – 2010 Môn thi: Toán Đề chính thức (Dành cho thí sinhHướng thi vào dẫn các chấm lớp thichuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) 1 1 Cho a 2 : 7 1 1 7 1 1 Hãy lập một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm. Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy y 3 a) Giải hệ phương trình: y 9 xy x 2 2 b) Tìm m để phương trình x2 2x 3x2 6x m 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn k2 4 và k2 16 là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì p a p b p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng: a) MB.BD MD.BC b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi. Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ. Hết
2. Bài 1: (1,5 điểm) 1 1 7 1 1 7 1 1 a 2 : 2 : 0,5 đ 7 1 1 7 1 1 7 2 a = 2 : 7 0,25 đ 7 Đặt x a 1 x 7 1 x 1 7 x2 2x 1 7 0,5 đ x2 2x 6 0 0,25 đ Vậy phương trình x2 2x 6 0 nhận 7 1 làm nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16 x 16 xy xy (1) y 3 y 3 a) ĐK: x, y 0 0,25 đ y 9 y x 5 xy (2) x 2 x y 6 Giải (2) 6y2 6x2 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0 0,25 đ 3y * Nếu 2x 3y 0 x . 2 3y 3 16 0,25 đ Thay vào (1) ta được y. 2 2 3 3y2 23 (phương trình vô nghiệm) 0,25 đ 2 6 2y * Nếu 3x 2y 0 x . 3 0,25 đ Thay vào (1) ta được y2 9 y 3 - Với y 3 x 2 (thoả mãn điều kiện) - Với y 3 x 2 (thoả mãn điều kiện) 0,25 đ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) Đặt x2 2x 1 y x 1 2 y x 1 y (y 0) (*) Phương trình đã cho trở thành: y 1 2 3 y 1 m 0 0,25 đ y2 5y m 4 0 (1) Từ (*) ta thấy, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì 0,25 đ phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 9 4m 0 S 0 5 0 0,25 đ P 0 m 4 0
3. 9 m 9 4 4 m 4 m 4 0,25 đ 9 Vậy với 4 m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 4 Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > 1 suy ra k2 4 5; k2 16 5 - Xét k 5n 1 với n ¢ k2 25n2 10n 1 k2 4  5 0,25 đ k2 4 không là số nguyên tố. - Xét k 5n 2 với n ¢ k2 25n2 20n 4 k2 16  5 0,25 đ k2 16 không là số nguyên tố. - Xét k 5n 3 với n ¢ k2 25n2 30n 9 k2 16  5 0,25 đ k2 16 không là số nguyên tố. - Xét k 5n 4 với n ¢ k2 25n2 40n 16 k2 4  5 k2 4 không là số nguyên tố. 0,25 đ Do vậy k5 b) Ta chứng minh: Với a,b,c thì a b c 2 3 a 2 b2 c2 (*) Thật vậy (*) a 2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3a 2 3b2 3c2 0,5 đ (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: 2 p a p b p c 3 3p a b c 3p 0,5 đ Suy ra p a p b p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) N D J I O A C B M
4. a) Xét MBC và MDB có: B· DM M· BC 0,5 đ B· MC B· MD Do vậy MBC và MDB đồng dạng MB MD 0,5 đ Suy ra MB.BD MD.BC BC BD b) Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp BDC B· JC 2B· DC 2M· BC B· JC hay M· BC 2 0,5 đ 1800 B· JC BCJ cân tại J C· BJ 2 B· JC 180O B· JC Suy ra M· BC C· BJ 90O MB  BJ 2 2 0,5 đ Suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB c) Kẻ đường kính MN của (O) NB  MB Mà MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp ADC 0,5 đ Chứng minh tương tự I thuộc AN Ta có A· NB A· DB 2B· DM B· JC CJ // IN Chứng minh tương tự: CI // JN Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ Suy ra tổng bán kính của hai đường tròn (I) và (J) là: 0,5 đ IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) A E a F B b G h c M H g K d f e D J I C Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dương) Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 0,25 đ (8 2).180O cạnh có số đo là: 135O 8
5. Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân. h b d f MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 0,5 đ 2 2 2 2 h b f d Ta có AB = CD nên: a e 2 2 2 2 (e - a)2 = h + b - f – d h b f d Nếu e - a ≠ 0 thì 2 ¤ (điều này vô lý do 2 là số vô e a tỉ) 0,25 đ Vậy e - a = 0 e = a hay EF = IJ (đpcm).