Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn: Toán (đề chính thức)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn: Toán (đề chính thức)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUNG ) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. x 2xx 3 9 Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = và B = ;xx 0; 9 x 3 x 3 x 9 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 16. 2) Chứng minh A +B = 3 x 3 Bài 2 (2,0 điểm) 1) Giải bài toán sau bằng cáhc lập phƣơng trình hoặc hệ phƣơng trình: Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày nhất định. Thực tế, mỗi ngày tổ đội đã làm đƣợc nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trƣớc khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ đội sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đội đó làm xong mỗi ngày là bằng nhau.) 2) Một thùng nƣớc có dạng hình trụ với chiều cao 1,6m và bán kính đáy 0,5m. Ngƣời ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nƣớc này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt đƣợc sơn của thùng nƣớc (lấy π = 3,14) Bài 3. (2,0 điểm) 3 21y x 1 1.Giải hệ phƣơng trình 5 3y 11 x 1 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đƣờng thẳng (d): y = 2x+m−2. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 sao cho |x1 - x2 | = 2. Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đƣờng tròn (C;C A) (M là tiếp điểm, M nằm khác phía với A đối với BC). 1) Chứng minh rằng 4 điểm A,C,M,B cùng nằm trên 1 đƣờng tròn. 2) Lấy điểm N trên đoạn AB. Lấy điểm P trên tia đối của tia MB sao cho MP = AN. Chứng minh tam giác CPN cân và AM đi qua trung điểm của NP.
2. Bài 5. (2,0 điểm) Cho 2 số thực a,b thoả mãn a2 + b2 = 2. Tìm M in của biểu thức sau: P = 3(a+ b)+ ab Lời giải. x 2xx 3 9 Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = và B = ;xx 0; 9 x 3 x 3 x 9 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 16. 2) Chứng minh A +B = 3 x 3 Lời giải. x 4 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.Ta có A x 3 7 2x 3 x 9 3 x 2) Chứng minh A +B = x 3x 9 x 3 x 3 Bài 2 (2,0 điểm) 1) Giải bài toán sau bằng cáhc lập phƣơng trình hoặc hệ phƣơng trình: Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày nhất định. Thực tế, mỗi ngày tổ đội đã làm đƣợc nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trƣớc khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ đội sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đội đó làm xong mỗi ngày là bằng nhau.) 2) Một thùng nƣớc có dạng hình trụ với chiều cao 1,6m và bán kính đáy 0,5m. Ngƣời ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nƣớc này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt đƣợc sơn của thùng nƣớc (lấy π = 3,14) Lời giải. 1) Giả sử theo kế hoạch, mỗi ngày tổ đội sản xuất phải làm x bộ đồ bảo hộ y tế (0 < x < 4800). Vậy theo kế hoạch, tổ đội phải làm hết 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong 4800 (ngày). Thực tế, số ngày tổ đội sản xuất làm hết 4800 bộ đồ bảo hộ y tế x 4800 là: 8. Vậy thực tế, mỗi ngày tổ đội sản xuất làm đƣợc 4800 x 4800 bộ đồ bảo hộ ytế. Mà theo giả thiết, thực tế mỗi ngày tổ đội làm đƣợc 4800 8 x nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với kế hoạch. Vậy ta có phƣơng trình sau:
3. 4800 = x+100 ⇔ x = 200 (bộ đồ). Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ độ sản xuất 4800 8 x phải làm đƣợc 200 bộ đồ bảo hộ y tế. 2) Ta cần tính diện tích bề mặt đƣợc sơn, hay có nghĩa là tính diện tích xung quanh của hình trụ. Ta có: Sxq = 2π· r · h = 2·3,14·0,5·1,6 = 5,024(m2).Vậy diện tích bề mặt đƣợc sơn của thùng nƣớc là 5,024 m2 Bài 3. (2,0 điểm) 3 21y x 1 1.Giải hệ phƣơng trình 5 3y 11 x 1 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đƣờng thẳng (d): y = 2x+m−2. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 sao cho |x1 - x2 | = 2. Lời giải. 1.Điều kiện x khác -1. Giải hệ phƣơng trình 9 19 6y 3 19 xx 11 x 0 .Vậy hệ phƣơng trình cố nghiệm duy nhất 10 10y 2 6yy 22 6 22 xx 11 (x, y) là (0,2). 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đƣờng thẳng (d): y = 2x+m−2. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 sao cho |x1 - x2 | = 2 Xét phuơng trình hoành độ giao điểm của đƣờng thẳng (d) và Parabol (P) ta có:x2 −2x− m+2 = 0 (1).Ta có:∆’= m-1. Đƣờng thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 , ta có:∆’> 0 ⇔ m > 1. Hệ thức Vi-et: x1 + x2 = 2; x1 x2 = 2− m.Theo đề:|x1 - x2 | = 2 2 2 ⇔ (x1 - x2 ) = 4⇔ (x1 + x2 ) −4x1 x2 = 4 (2). Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: (2) ⇔ 22 −4(2− m) = 4⇔ 4m−8 = 0⇔ m = 2 (TMĐK). Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu đề bài. Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đƣờng tròn (C;C A) (M là tiếp điểm, M nằm khác phía với A đối với BC). 1) Chứng minh rằng 4 điểm A,C,M,B cùng nằm trên 1 đƣờng tròn. 2) Lấy điểm N trên đoạn AB. Lấy điểm P trên tia đối của tia MB sao cho MP = AN. Chứng minh tam giác CPN cân và AM đi qua trung điểm
4. của NP. Lời giải. 1) Vì BM là tiếp tuyến của (C;C A) nên ∠CMB = 900. Mà ∠CAB = 900 nên ∠CMB +∠C AB = 1800 ⇒ A,C,M,B cùng nằm trên 1 đƣờng tròn. 2) Ta xét 2 tam giác CMP và tam giác CAN có: CA = CB; AN = MP; ∠C AN = ∠CMP = 900 nên ∆CAN = ∆CMP (c –g-c) ⇒ ∠ANC = ∠CPM ⇒ 4 điểm B, N,C,P cùng nằm trên 1 đƣờng tròn và CN = CP ⇒ ∆CPN cân tại C. Gọi AM cắt NP tại D thì có: ∠CND = ∠CBM = ∠C AM ⇒ 4 điểm A, N,D,C cùng nằm trên 1 đƣờng tròn ⇒ ∠CDN = ∠C AN = 900 hay CD ⊥ NP. Mà tam giác CPN cân nên D là trung điểm NP (đpcm) Bài 5. (2,0 điểm) Cho 2 số thực a,b thoả mãn a2 + b2 = 2. Tìm M in của biểu thức sau: P = 3(a+ b)+ ab 2 2 x 2 Lời giải. Ta có : Đặt a+ b = x,ab = y. Ta có: x −2y = 2. Suy ra: y . Suy ra 2 xx2 62 ()ab 2 biểu thức đã cho trở thành: H . Ta có: a2 b 2 ( a b ) 2 4 hay x 2 2 ∈ [−2;2]. Ta chứng minh: H −5⇔ x2 +6x−2 −10 ⇔ x2+6x+8 0 ⇔ (x+2)(x+4) 0(đúng).Vậy H −5 hay P −5. Dấu bằng đạt tại x = −2 và y = 1 hay là: a = b = −1. Kết luận. M in P = −5 khi a = b = −1.